Các chủ đề lượng giác trong chương trình toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG -   - LÊ THỊ TUYẾT VÂN CÁC CHỦ ĐỀ LƢỢNG GIÁC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG – NĂM 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG -   - LÊ THỊ TUYẾT VÂN CÁC CHỦ ĐỀ LƢỢNG GIÁC TRONG CHƢƠNG TRÌNH TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG CHUN NGÀNH: PHƢƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ NGÀNH: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN ĐÀ NẴNG – NĂM 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn TS Nguyễn Duy Thái Sơn Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả luận văn Lê Thị Tuyết Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục đề tài Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƢƠNG CÁC CHỦ ĐỀ LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 1.1 Đa thức lượng giác 1.2 Lượng giác phương trình hệ phương trình 15 1.3 Lượng giác đẳng thức bất đẳng thức 35 1.4 Lượng giác hình học 41 1.5 Lượng giác giải tích 61 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CÁC CHỦ ĐỀ LƢỢNG GIÁC 69 2.1 Lượng giác kỳ thi tuyển sinh đại học 69 2.2 Các toán khác 85 2.3 Các toán nâng cao 92 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 100 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (bản sao) MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong khoa học thực tiễn, có nhiều toán cần đến can thiệp lượng giác để đo đạc, tính tốn mơ Điều giải thích lượng giác đóng vai trị quan trọng chương trình Tốn Trung học phổ thơng Nó khơng đối tượng cần nghiên cứu mà cịn cơng cụ sử dụng hữu hiệu đại số, giải tích, hình học Tuy nhiên, học sinh làm quen với lượng giác thường chưa hiểu cặn kẽ tư tưởng phương pháp tiếp cận, đặc biệt là, học sinh thường tỏ lúng túng khâu vận dụng kiến thức lượng giác vào việc giải toán Cần ý tốn có liên quan đến chủ đề lượng giác xuất thường xuyên thi Toán học, đặc biệt kỳ thi Olympic Toán học quốc gia, khu vực quốc tế; mà phép toán lượng giác thường ẩn dạng cơng cụ Tài liệu lượng giác nhiều, tài liệu tiếng Việt phương pháp lượng giác dạng chuyên đề chọn lọc, hệ thống, cho học sinh THPT chuyên chưa nhiều Trong luận văn này, tơi cố gắng tìm hiểu kỹ thuật lượng giác (từ đến nâng cao) thường dùng giải toán mong luận văn - sau hoàn thành - cung cấp thêm tài liệu có tính hệ thống chủ đề lượng giác, đáp ứng phần lòng u thích Tốn học học sinh, phục vụ cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Với lý trên, hướng dẫn TS Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn “Các chủ đề lượng giác chương trình Tốn trung học phổ thơng” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Thạc sĩ 2 Mục tiêu nghiên cứu Tơi mong muốn tìm kiếm nhiều tài liệu từ nguồn khác nhau, nghiên cứu kỹ tài liệu đó, cố gắng lĩnh hội đầy đủ kiến thức lượng giác liên quan đến đề tài Từ đó, trình bày kiến thức luận văn theo thể khép kín Trong luận văn này, tơi cố gắng tìm tịi lời giải cho tốn (theo mức độ từ dễ đến khó) thu thập từ nhiều nguồn khác nhau, đặc biệt từ kỳ thi Olympic Tốn học tơi hy vọng luận văn sử dụng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh, sinh viên giáo viên Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu: Lượng giác 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Các chủ đề lượng giác dùng để giảng dạy cho học sinh chuyên Toán trường THPT, tốn có yếu tố lượng giác thường gặp kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán nước quốc tế Phƣơng pháp nghiên cứu - Cơ sử dụng phương pháp nghiên cứu tài liệu (sách, báo tài liệu internet có liên quan đến đề tài luận văn) để lĩnh hội, trau dồi kiến thức lượng giác tập hợp toán phục vụ cho yêu cầu đề tài - Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn khoa học Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu kết luận, nội dung luận văn chia thành hai chương Mở đầu Chƣơng 1: Các chủ đề lƣợng giác thƣờng gặp 1.1 Đa thức lượng giác 1.2 Lượng giác phương trình hệ phương trình 1.3 Lượng giác đẳng thức bất đẳng thức 1.4 Lượng giác hình học 1.5 Lượng giác giải tích Chƣơng 2: Một số tốn liên quan đến chủ đề lƣợng giác 2.1 Lượng giác kỳ thi tuyển sinh đại học 2.2 Các toán khác 2.3 Các toán nâng cao Kết luận Tài liệu tham khảo Tổng quan tài liệu nghiên cứu Xây dựng giáo trình có tính hệ thống, khép kín giảng dạy với thời lượng chấp nhận cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thơng sinh viên Tốn trường sư phạm Xây dựng hệ thống tốn (cũ mới) với mức độ khó dễ khác CHƢƠNG I CÁC CHỦ ĐỀ LƢỢNG GIÁC THƢỜNG GẶP 1.1 ĐA THỨC LƢỢNG GIÁC 1.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1.1 Hàm số có dạng An  x   a0  a1 cos x  b1 sin x    an cos nx  bn sin nx, an bn không đồng thời (tức an2  bn2  0), ai, bj  với i  0,1,2, , n; j  0,1,2, , n, gọi đa thức lượng giác bậc n (n *) Khi tất bj = với j  0,1,2, , n, ta có Định nghĩa 1.1.2 Hàm số có dạng Cn  x   a0  a1 cos x  a2 cos2 x    an cos nx, (an  0) gọi đa thức lượng giác bậc n theo cosin Tương tự tất = với i  0,1,2, , n, ta có Định nghĩa 1.1.3 Hàm số có dạng Sn  x   b0  b1 sin x  b2 sin x   bn sin nx (bn  0) gọi đa thức lượng giác bậc n theo sin Sau đây, ta liệt kê số tính chất đơn giản đa thức lượng giác Tính chất 1.1.1 Tổng hai đa thức lượng giác An  x  có bậc n đa thức lượng giác Bm  x  có bậc m đa thức lượng giác có bậc nhỏ max{n,m} Tính chất 1.1.2 Tích hai đa thức lượng giác An  x  Bm  x  đa thức lượng giác có bậc n + m Tính chất 1.1.3 Nếu đa thức lượng giác An  x   a0  a1 cos x  b1 sin x    an cos nx  bn sin nx, đồng , tất hệ số 0, tức a0  a1  b1  a2  b2    an  bn  Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n Với n = 0, ta có A0  x   a0  Do a0 = Với n = 1, ta có A1  x   a0  a1 cos x  b1 sin x  0x   Lần lượt cho x  0, ,  ta thu a0  a1  0; a0  b1  0; a0  a1  Suy a0  a1  b1  Giả sử tính chất ứng với  n  1 Ta chứng minh tính chất ứng với n Với số tự nhiên m  m   , k  1, 2, , m  x  , ta có 2  cos kx  cos k  x  m   m  1        cos k  x  m       m  1    k  cos k  x      sin  m m     k sin m 1          3  sin k   x   sin k   x    sin k   x   sin k   x   m  m    m  m    k sin m sin k k 2  cos kx  sin cos k  x  m m m     2m      2m  1   1  x   sin k   x  sin k  m m         k sin m   2m  1   1   sin k  x  sin k  x      2 m m     k sin m   m  1 cos k  x  m   k sin m   sin k  0 (1.1) 2  sin kx  sin k  x  m  sin   m  1      sin k x    m       m  1    k      sin sin k  x   m m    k sin m k k 2  sin kx  sin sin k  x  m m m  1          3  cos k   x   cos k   x    cos k   x   cos k   x   m  m    m  m    k sin m    2m      2m  1   1  x   cos k   x  cos k  m m         k sin m   2m  1   1    x  cos k   x   cos k  m m      k sin m   m  1 sin k  x  m   k sin m   sin k   (1.2) 87 Suy C  300 C  1500 Nhưng C  1500  A  300 , B  300  3sin A  4cos B    (mâu thuẫn) Vậy C  300 Bài toán 2.2.6 Cho tam giác ABC Chứng minh A B C a) sin A  sin B  sin C  4cos cos cos ; 2 b) cos A  cos B  cos C   4sin A B C sin sin ; 2 c) tan A  tan B  tan C  tan A tan B tan C, (tam giác ABC không vuông); d) cot A B C A B C  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 Bài giải a) Ta có sin A  sin B  sin C  2sin A B A B C C cos  2sin cos 2 2  2cos C A B A B C A B  cos  cos   2cos  2cos cos 2 2  2  4cos A B C cos cos (đpcm) 2 A B A B C cos   2sin 2 2 C A B A B C A B   2sin  cos  cos    2sin sin sin (đpcm) 2 2  2 b, cos A  cos B  cos C  2cos c, Trong tam giác ABC khơng vng ta có tan A  tan B   tan C  tan A tan B  tan A  tan B  tan C  tan A  tan B  tan C (đpcm) A  B    C  tan  A  B   tan   C   d, Trong tam giác ABC, ta có A B  C A B  C      cot     cot    2 2 2 2 2 2 88 A B cot  A B C A B C 2  cot  cot  cot  cot cot cot   A B C 2 2 2 cot  cot cot 2 cot Bài toán 2.2.7 Cho tam giác ABC Chứng minh a) cos A  cos B  cos C  ; c) sinA  sinB  sinC  3 ; b) cosA cosBcosC  ; d) sin A B C sin sin  ; 2 e) sin A  sin B  sin C  Bài giải a) cos A  cos B  cos C  A B A B C  2cos cos   2sin  2 2 C C A B  4sin cos 1 2 2 C A B  A B   2sin  cos  (đúng)   sin 2    4sin 1 b) cosA cosBcosC   cos  A  B   cos  A  B  cosC  8   cos C  cos  A  B  cosC   4cos2 C  4cosC cos  A  B     cos C  cos  A  B   sin  A  B   (đúng) c) Cách  sinA  sinB  sinC   3  sin A sin B   sin A    sin B  2  cos B    cos A    2   3 3  89  3    sin A   sin B  2  sin A   sin B    c os B   cos A        4     3     3  Nhận xét: Theo ý kiến tác giả cách giải nhất, ngắn độc đáo mà chưa có sách xuất giới Lời giải sử dụng bất đẳng thức đơn giản 2xy  x  y , sách xuất chứng minh bất đẳng thức theo sơ đồ bất đẳng thức Jensen Cách Đặt f  x   sin x, x   0,   Ta có f   x   cos x, f   x    sin x Ta thấy f   x   0, x   0,  Áp dụng bất đẳng thức Jensen ta có  sin A  sin B  sin C  3sin d) theo câu 6b,  4sin  3 A B C sin sin  cos A  cos B  cos C  2 2  sin e) sin A  sin B  sin C    A B C sin sin  2  cos A  cos B   sin C     cos2 A  cos2 B   4sin C  2   4cos  A  B  cos  A  B   1  cos C    4cos2 C  4cos C cos  A  B     2cos C  cos  A  B   sin  A  B   (đúng) Nhận xét: Trong tam giác có đẳng thức bất đẳng thức hay gặp lượng giác, ta nên chứng minh kĩ lưỡng nhớ kết quả, từ sử dụng để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức khác hay để giải phương 90 trình Bài tốn 2.2.6, toán 2.2.7 đẳng thức, bất đẳng thức tam giác Bài toán 2.2.8 Giải phương trình (2.14) cos x  cos3 x –cos4 x  Bài giải Đây dạng phương trình liên quan đến bất đẳng thức tam giác Trong tam giác ABC, ta có cos A  cos B  cos C  (2.15) hay cos A  cos B  cos  A  B   Ta áp dụng kĩ thuật biến đổi tương tự cách chứng minh bất đẳng thức (2.15) để giải phương trình (2.14) Ta có 3  cos x  cos3 x  cos4 x   cos2 x cos x  cos2 x  2 1   cos2 x  cos x   sin x  2 Vậy (2.14) tương đương với hệ sin x   2cos x  cos x sin x  sin x    cos x  2  4sin x  cos x Hệ vơ nghiệm nên phương trình (14) vơ nghiệm Bài tốn 2.2.9 Giải phương trình 8cos x cos2 x cos3x   (2.16) Bài giải Đây dạng phương trình liên quan đến bất đẳng thức tam giác Trong tam giác ABC, ta có 91 cos A cos B cos C  (2.17) Ta áp dụng kĩ thuật biến đổi tương tự cách chứng minh bất đẳng thức (2.17) để giải phương trình (2.16) Ta có 8cos x cos x cos3 x    cos3 x  cos x  cos3 x   4cos 3x  4cos x cos3 x    2cos3 x  cos x   sin x  Vậy phương trình (2.16) tương đương với hệ  cos x    2  4cos x  3cos x   cos x  sin x   2cos3x   cos x cos x  cos x      8cos x  5cos x  cos x   Hệ vơ nghiệm nên phương trình (2.16) vơ nghiệm Bài toán 2.2.10 Cho tam giác ABC Chứng minh a  b2  c  4S Bài giải Theo bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân sin A  sin2 B  sin2 C   sin A  sin B  sin C   9sin A sin B sin C Ta biết sin A  sin B  sin C  3 , nên suy sin A  sin B  sin C  sin Asin B sin C Theo định lí sin tam giác a b c    R sin A sin B sin C Vậy nên 92 2 a b c  a   b   c           3 2R 2R 2R  2R   2R   2R  Suy a  b2  c   abc  3S 4R Dấu “ = ” xảy tam giác ABC tam giác 2.3 CÁC BÀI TỐN NÂNG CAO Bài tốn 2.3.1 a) [AIME2 2000] Tìm số tự nhiên n nhỏ thỏa đẳng thức 1 1      0 0 sin 45 sin 46 sin 47 sin 48 sin133 sin134 sin n0 b) Chứng minh 1 cos10      sin10 sin 20 sin 20 sin30 sin890 sin900 sin 10 Bài giải Để ý sin10  sin  x  1  x     sin  x  1 cos x  cos  x  1 sin x 0 Do sin x sin  x  1 cos x sin  x  1  sin x cos  x  1 sin10  sin x sin  x  1 0  cot x0  cot  x  1 a) Nhân hai vế đẳng thức với sin10 , ta sin10   cot 450  cot 460    cot 470  cot 480      cot1330  cot1340  sin n  cot 450   cot 460  cot1340    cot 470  cot1330      cot890  cot 910   cot 900  93 Do đó, sin n0  sin10 suy số tự nhiên n nhỏ cần tìm n = b) Vế trái đẳng thức viết lại 89 89   cot k  cot  k  1   0   sin1 k 1 k 1 sin k sin  k  1 1 cos10  cot1  (đpcm) sin10 sin Bài toán 2.3.2 [China 2001, Xiaoyang Su] Cho tam giác ABC, x số thực không âm Chứng minh x a  b x  c x   Bài giải Khơng tính tổng qt, ta coi a  b  c Do A  B  C, suy a x cos A  b x cos B  c x cos C  cos A  cos B  cos C Như a x  b x   cos A  cos B   0, hay a x cos A  b x cos B  a x cos B  b x cos A Tương tự, ta có b x cos B  c x cos C  b x cos C  c x cos B a x cos A  c x cos C  a x cos C  c x cos A Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta 3 a x cos A  b x cos B  c x cos C    a x  b x  c x   cos A  cos B  cos C  , Theo toán 2.2.7a trang 88, ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Lời giải ngắn gọn ta áp dụng bất đẳng thức Chebyshev Nếu a  b  c cos A  cos B  cos C 3 a x cos A  b x cos B  c x cos C    a x  b x  c x   cos A  cos B  cos C  94 Bài toán 2.3.3 [USAMO 2002] Cho tam giác ABC thỏa 2 2 A  B  C   6p    cot    2cot    3cot     2  2    7r   (2.18) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác T có cạnh số ngun dương, khơng có ước số chung Tìm số Bài giải Đặt u  cot A B C , v  cot , w  cot 2 Ta có u  cot A pa B pb C pc  , v  cot  , w  cot  , r r r p  p  a   p  b   p  c   u  v  w r r suy Khi (2.18) viết lại 36 u  v  w  49 2  13u  160v  405w  72  uv  vw  wu   u  4v  9w2    3u  12v    4v  9w  18w  2u  2 3u  12v    4v  9w 18w  2u  Suy u  4v  9w  ru  r 4v  r9w  p  a   p  b    p  c  p  a p b p  c 2p b  c 2p  c  a 2p  a b       36 94  36 36  a b c    13 40 45 Do đó, ABC đồng dạng với tam giác có cạnh 13, 40, 45 Nhận xét: – Ta nhận mối liên hệ với bất đẳng thức Cauchy – Schwarz 95 6 2 2  32  22  u   2v    3w     u   2v   3w   Dấu đẳng thức xảy 6:3:  u : 2v :3w – Lời giải sử dụng cách khéo tính chất nhiên, theo tốn 2.2.6d trang 87, ta có a c ac   Tuy b d bd u  v  w  uvw Kết hợp với 7 u  4v  9w ta u  7, v  , w  Sử dụng công thức nhân đôi , sin A  56 63 , sin B  , sin C  , 25 65 65 hay 13 40 45 , sin B  , sin C  325 325 325 7 Theo Định lí hàm số sin, tam giác ABC đồng dạng với tam giác T với độ dài sin A  cạnh 13, 40 45 (Tam giác T có bán kính đường trịn ngoại tiếp 325 ) 14 Bài tốn 2.3.4 [USAMO 1996] Chứng tỏ số trung bình cộng số 2sin 20 ,4sin 40 ,6sin 60 , ,180sin1800 cot10 Bài giải Cách Ta cần chứng minh 2sin 20  4sin 40  6sin 60    178sin1780  90cot10 , Điều tương đương với  2sin  sin10    2sin 40 sin10     89  2sin1780 sin10   90cos10 Mặt khác 2sin 2k  sin10  cos  2k  1  cos  2k  1 Cho nên 96  2sin  sin1    2sin  sin1     89  2sin178  sin1    cos1  cos3    cos3  cos5     89  cos177  cos179  0 0 0 0 0 0  cos10  cos30    cos1770  89cos1790  cos10   cos30  cos1770      cos890  cos910   89cos10  cos10  89cos10  90cos10 (đpcm) Nhận xét: Với kỹ thuật ghép cặp số hạng có liên quan tổng giải hay Bài giải hai sử dụng số phức Bài giải dài người đọc thấy quen thuộc với công thức Moivre cấp số nhân, bước giải tự nhiên Cách Đặt số phức z  cos20  i sin 20 Theo cơng thức Moivre, ta có z n  cos2n0  i sin 2n0 Gọi a, b hai số thực thỏa z  z    89 z89  a  bi   cos20  i sin 20    cos40  i sin 40     89  cos1780  i sin1780   a  bi Vì sin 1800 = 0, nên b 2sin 20  4sin 40    178sin1780  180sin180 ,  Như , ta cần chứng minh b  45cot10 Đặt Ta có pn  x   x  x    nx n 1  x  pn  x   pn  x   xpn  x    x  x    nx n    x  x3    nx n1   x  x  x3    x n  nx n1 Đặt Khi qn  x   1  x  pn  x   nx n1  x  x    x n 1  x  qn  x   qn  x   xqn  x   x  xn1 97 Do đó, ta có pn  x   qn  x  nx n1 x  x n1 nx n1     x  x 1  x 2  x Suy a  bi  z  z    89 z 89  p89  z   z  z 90 1  z   89 z 90 z 1 89   ,  z  z  1 z 1 (vì z 90  cos1800  i sin1800  1) Để ý z   cos 20  i sin 20   cos 20  i sin 20  cos00  i sin 00  2cos10  cos10  i  2sin10  cos10  2cos10  cos10  i sin10  , z   cos 20  i sin 20   cos 20  i sin 20  cos00  i sin 00  2sin10  sin10  i  2sin10  cos10  2sin10  cos910  i sin 910  Vì , a  bi    2cos10  cos10  i sin10  4sin 10  cos910  i sin 91  2cos10  cos10  i sin10   4sin 10  cos1820  i sin1820  89 2sin1  cos910  i sin 910   89 2sin10  cos910  i sin 910  cos10  cos10 cos1820  sin10 sin1820   i  sin10 cos1820  cos10 sin1820   89  cos910  i sin 910  2sin10 2sin 10 98  cos10  cos1810  i sin1810  2sin 10  89  cos910  i sin 910  2sin10 89  cot 10   i 45cot10 Vậy b  45cot10 Bài toán 2.3.5 [IMO 2001 Shorlist] Cho x1, x2 , , xn số thực tùy ý Chứng minh bất đẳng thức x1 x2 x3 xn       n 2 2 2  x1  x1  x2  x1  x2  x3  x1  x22    xn2 Bài giải Đặt x1  tan 1, x2  tan  tan  k tan  , x3  , …, xk  , cos 1 cos 1 cos  cos1 cos  cos k 1    với  k    ,  , k  1,2, , n  2 Khi x1  cos 1 sin 1 ,  x12 x2  cos 1 cos  sin  ,  x12  x22 xk  cos 1 cos   cos  k sin  k  x    xk2 Bất đẳng thức cho quy cos1 sin 1  cos1 cos sin     cos1 cos  cos n sin  n  n Viết gọn lại c1s1  c1c2 s2    c1c2  cn sn  n , với ci  cosi , si  sin i , i  1,2, , n Để ý 99 ci2  si2  cos2 i  sin i  1, c12c22  ci21si2  c12c22  ci21ci2  c12c22  ci21, i  2,3, , n Do đó, s12  c12 s22    c12c22  cn22 sn21  c12c22  cn22cn21   s12  c12 s22    c12c22  cn22  s12  c12 s22    c12c22  cn23  (2.19) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với (2.19), ta có  c1s1  c1c2 s2    c1c2  cn sn    s12  c12 s22  c12c22 s32    c12c22c32  cn21  c12  c22  c32    cn21  cn2 sn2   c1s1  c1c2 s2    c1c2  cn sn  s12  c12 s22  c12c22 s32    c12c22c32  cn21  c12  c22  c32    cn21  cn2 sn2  c12  c22  c32    cn21  cn2 sn2  cos2 1  cos   cos 3    cos  n1  cos  n sin  n  n Dấu đẳng thức xảy cos1  cos  cos3    cos n1  cos n sin  n  1, Điều khơng thể xảy ra, cos n sin  n  sin 2 n  Do ta có điều phải chứng minh 100 KẾT LUẬN Luận văn tìm hiểu trình bày số chủ đề lượng giác thường gặp chương trình tốn trung học phổ thông Cụ thể, tác giả đã: Trình bày chủ đề lượng giác Trong chủ đề, luận văn hệ thống lại lý thuyết có tốn minh họa với lời giải chi tiết Chi tiết hóa phép chứng minh tính chất chủ đề “đa thức lượng giác”; Vẽ hình minh họa cho tốn mục 1.4.1, toán mục 1.4.3 chủ đề “lượng giác hình học” Lựa chọn toán lượng giác đề thi tuyển sinh đại học, xếp chúng theo chiều tăng độ khó; Phân loại dạng tốn trình bày lời giải theo cách hiểu Tuyển chọn số toán đề thi IMO, USAMO,… có liên quan đến chủ đề lượng giác; tìm cách đọc hiểu, phân tích lời giải chi tiết hóa dẫn giải Mong luận văn sử dụng tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề lượng giác Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn, thầy giáo giảng dạy tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn Đặc biệt, tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Nguyễn Duy Thái Sơn – người dành nhiều thời gian, hướng dẫn tác giả tận tình cho ý kiến đóng góp có giá trị Hy vọng kết luận văn tiếp tục mở rộng hoàn thiện tương lai gần nhằm phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi tốn phổ thơng, việc nghiên cứu giáo viên sinh viên bậc đại học 101 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Văn Mậu, Phạm Thị Bạch Ngọc (2004), Một số toán chọn lọc lượng giác, NXB Giáo dục [2] Trần Phương (2002), Hệ thức lượng giác, NXB Hà Nội [3] Trần Phương (2001), Ba thập kỷ đề thi toán vào trường đại học Việt Nam (gồm 580 đề thi lời giải 90 trường đại học toán quốc từ 1970 đến 2000), NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] Titu Andreescu and Zuming Feng (2004), 103 Trigonometry Problems (from the Training of the USA IMO Team), Birkhäuser Trang Web [5] diendantoanhoc.net/forum, artofproblemsolving.com, ... hai chương Mở đầu Chƣơng 1: Các chủ đề lƣợng giác thƣờng gặp 1.1 Đa thức lượng giác 1.2 Lượng giác phương trình hệ phương trình 1.3 Lượng giác đẳng thức bất đẳng thức 1.4 Lượng giác hình học. .. GIÁC THƢỜNG GẶP 1.1 Đa thức lượng giác 1.2 Lượng giác phương trình hệ phương trình 15 1.3 Lượng giác đẳng thức bất đẳng thức 35 1.4 Lượng giác hình học 41 1.5 Lượng giác. .. LƢỢNG GIÁC TRONG PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH 1.2.1 Phƣơng trình lƣợng giác Phương trình lượng giác thuộc loại phương trình siêu việt Khơng tồn phương pháp chung để giải tất toán phương trình lượng