Thi HSG truong Toan 8 lan 4

Xác định vị trí của điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn nhất.c. Đường thẳng qua trung điểm M của cạnh BC song song với AD cắt AC tại E và cắt AB tại F.[r]

TRƯỜNG THCS NGUYỄN KHUYẾN

KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP TRƯỜNG LẦN 4

NĂM HỌC 2011-2012 Mơn: Tốn - Lớp 8

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: ( 2,5 điểm)

a Cho:

2

2

1 2 2 4

2 7 10 5

x x x

A

x x x x

  

  

   

- Thực rút gọn A

- Tìm x nguyên để A nguyên.

b Chứng minh: a + b = c a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 Bài 2: ( 1,5 điểm)

a Chứng minh: a2 + b2 + c2  ab + ac + bc với số a, b, c.

b Chứng minh a b c

c ab b ac a bc

   

 với số dương a, b, c.

Bài 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình:

6 42 12

20 8

72 16

6

4 2

2

    

   

   

 

x x x x

x x x

x x x

x x

Bài 4: (3,0 điểm)

Cho hình vng ABCD M điểm đường chéo BD Hạ ME góc với AB và MF vng góc với AD.

a Chứng minh DE  CF; EF = CM

b Chứng minh ba đường thẳng DE, BF CM đồng qui.

c Xác định vị trí điểm M để tứ giác AEMF có diện tích lớn Bài 5: (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC (AB < AC) có AD phân giác Đường thẳng qua trung điểm M cạnh BC song song với AD cắt AC E cắt AB F.

HƯỚNG DẪN CHẤM

B i 1: ( 2,5 i m)à đ ể

5 ) )( ( 2           x x x x x x x A

Điều kiện để A có nghĩa x ≠5 x ≠2

0,25 ) )( ( 15 ) )( ( )( (

5 2

                x x x x x x x x x x x A 0,25 )( ( ) )( (           x x x x x x A 0,25

( 2) 1 1

1 2 2 x A x x      

  0,25

A nguyên 1

2

x nguyên, x-2=1 x-2 =-1  x=3, x=1

0,25

Đặt P = a4 + b4 + c4 - 2a2b2 -2 b2c2 - 2a2c2

= (a2 + b2 + c2 )2 - 4a2b2 - 4b2c2 - 4a2c2 0,25

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:

= (2a2 + 2b2 + 2ab )2 - 4(a2b2 + b2c2 + a2c2) 0,25

= 4[(a2 + b2 + ab)2 - a2b2 - c2(a2+b2)] 0,25

Thay c2 = (a+b)2 vào ta được:

= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab + a2b2 - a2b2 -(a+b)2 (a2+b2)]

= 4[ (a2+b2)2 +2(a2+b2)ab -(a+b)2(a2+b2)]

0,25 = 4(a2+b2)[ (a2+b2) +2ab -(a+b)2]

=  a4 + b4 + c4 = 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 0,25

Bài 2: ( 1,5 i m)đ ể

 2(a2 + b2 + c2 ) 2(ab + ac + bc) 0,25  2a2 + 2b2 + 2c2 -2ab -2ac - 2bc  0,25  (a-b)2 + (a-c)2 + (b-c)2

Bất đẳng thức cuối (Do (a-b)2 …) nên có đpcm 0,25

Câu b

 a b c

abc ab abc ac abc bc      2

2 ( ) ( )

)

( 0,25

Nhân hai vế với số dương abc được:

 (bc)2 (ac)2 (ab)2 a2bc b2ac c2ab

     0,25 Áp dụng a) cho ba số ab, bc, ca ta có: (bc)2 (ac)2 (ab)2 a2bcb2acc2ab

đpcm

0,25

Bài 3: (1,5 điểm)

 6 ) ( 4 ) ( 8 ) ( 2 )

( 2 2

               x x x x x x x x 0,25  6 4 8 2                x x x x x x x x 0,25  6 4 8 2      

 x x x

x 

3      

 x x x

x  ) )( ( 24 ) )( ( 16        x x x x x x 0,25

 (5x+16)(x+4)(x+6) = (5x+24)(x+2)(x+8)

 (5x+16)(x2 +10x + 24) = (5x+24)( x2 +10x + 16) 0,25  5x3 + 50x2 + 120x + 16x2 + 160x + 16.24

= 5x3 + 50x2 + 80x + 24x2 + 240x + 24.16

 8x2 + 40x =

0,25  8x(x + 5) =

x = 0; x = -5

Đối chiếu điều kiện kết luận nghiệm

Bài 4: (3,0 điểm) Câu a: 1,25 điểm

DF = AE DFC = AED 0,25  ADE = DCF

 EDC + DCF = EDC + ADE

0,25

EDC + ADE = 900nên DE  CF 0,25

MC = MA (BD trung trực AC) 0,25 MA = FE nên EF = CM 0,25

Câu b: 1,0 điểm

MCF =FED  MCF = FED 0,25 Từ MCF = FED chứng minh CM  EF 0,25

Tương tự a) CE  BF 0,25

ED, FB CM trùng với ba đường cao FEC nên chúng đồng qui 0,25

Câu c: 0,75 điểm

ME + MF = FA + FD số không đổi 0,25  ME.MF lớn ME = MF 0,25 Lúc M trung điểm BD 0,25

Bài 5: (1,5 điểm)

Trong BMF có AD//MF nên:

BD BM BA BF

 0,25

Trong CAD có AD//ME nên:

CD CM CA CE

 0,25

Chia vế theo vế được:

CM CD BD BM CE

CA BA BF

 0,25

BD CD CE CA BA BF



 (BM=CM) 0,25

AD phân giác nên:

AB AC BD CD

 0,25

Thay vào được:

AB AC CE CA BA BF



BF CE CE

BF

  



0,25

A B

C D

M

E F

A

B D M C