PHÒNG GD& ĐT TÂN KỲ TRƯỜNG THCS HƯƠNG SƠN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP (lần 2) Năm học: 2019-2020 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút � x x 1�� x x 10 � � � �� � � � x x x �� x x x � Bài (4 điểm) Cho biểu thức: P = � � x a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị P với x = 7 50 7 50 Bài (3 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – có giá trị số nguyên tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M24 với n số nguyên Bài (3 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + = b) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a b c 2019 a2 b2 c2 Tìm GTNN của: M bc ca ab Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x 10 x x2 12x 40 b) 2x x 3 x Bài (6 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm cạnh BC ( M khác B C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H� BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG TOÁN LẦN Ý Đáp án � x x x 1�� x x 10 � Bài (4 điểm) Cho biểu thức: P = � � x x x � �� � x x x 3� � � �� � a) Rút gọn biểu thức P Điểm b) Tính giá trị P với x = 7 50 7 50 a (2 điểm) b (2 điểm) ĐKXĐ: x > 0, x � x x x x 2 x2 3 x 10 P= xx21 x 3 x x xx12 P= x3 17 x50 33= 14x– 3xx 3 50 Ta có x3x= x3 72 � x3 + 3x – 14 = � (x – 2)(x2 + 2x + 7) = � x = 2 25 Với x = P = 2 Bài (3 điểm) 0,5 1 0,5 0,5 0,5 a) Tìm số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – có giá trị số nguyên tố b) Chứng minh rằng: n4 + 6n3 + 11n2 + 6n M24 với n số nguyên a (1,5 điểm) b (1,5 điểm) Ta có: P = n3 – 6n2 + 9n – = (n – 2)(n2 – 4n + 1) Để P số nguyên tố n – = n2 – 4n + = +) n – = � n = +) n2 – 4n + = � n = n = Thử lại ta thấy n = P số nguyên tố Vậy n = P số nguyên tố Ta có: A = n4 + 6n3 + 11n2 + 6n = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) Do n(n + 1)(n + 2)(n + 3) tích số nguyên liên tiếp � A M3 (1) Trong số nguyên liên tiếp ln có hai số chẵn liên tiếp � A M8 (2) Mà (3, 8) = (3) Từ (1), (2), (3) � A M3.8 = 24 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài (3 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + = b c 2019 b) Cho số dương a, b,2 c thỏa 2mãn a a b c2 Tìm GTNN của: M b c a 2c a Ta có: x y + xy - 2x – 3x + = a0 b � xy(x + 1) – 2x(x + 1) – (x + 1) = -5 (1,5 điểm) � (x + 1)(xy – 2x - 1) = -5 0,25 0,25 b (1,5 điểm) Do x, y số nguyên nên ta có bảng x+1 -1 -5 xy – 2x - -5 -1 x -2 -6 y Khơng có -1 7/2 Vậy PT có nghiệm (x, y) = (-2; -1), (-6; 1) Vì 2a, b, c dương nên 2theo bđt Cosi ta có: a bc a bc a 2�2 b cbac c a b b c �b; �c Tương tự ca ab abc �a b c Cộng vế bất đẳng thức ta có M a b c 2019 Hay M � 2019 2 Dấu xảy a b c 2019 2019 � abc3 Vậy M Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x 10 x x2 12x 40 a (2 điểm) b) 2x x ĐKXĐ: �x �10 Ta có: x2 – 12x + 40 = (x – 6)2 + �4 Dấu “=” xẩy x = (1) Theo Bunhiacopxki ta có: x 10 x � 1 1 x 2 10 x Dấu “=” xẩy x = (2) Từ (1), (2) � PT có nghiệm x = ĐKXĐ: x � b (2 điểm) 2x 1 x x 3 x 2x x � 0 12 2x1 � 1 x 2 � � x 3 � � � x 2� � 2x x Vậy PT có nghiệm x = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 3 x 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,75 0,75 0,25 Bài (6 điểm) Cho hình vng ABCD có AC cắt BD O M điểm cạnh BC ( M khác B C) Tia AM cắt đường thẳng CD N Trên cạnh AB lấy điểm E cho BE = CM a) Chứng minh rằng: OEM vuông cân b) Chứng minh: ME // BN c) Từ C kẻ CH BN ( H� BN) Chứng minh ba điểm O, M, H thẳng hàng a (2,5 điểm) Xét OMC = OEB (c-g-c) � MOC � � OM = OE (1) � EOB 0,5 b � MOC � 900 � MOB � EOB � 900 (2) Mà MOB Từ (1) (2) � OEM vng cân Ta có: OMC : OEB (g-g) (2 điểm) � CM MN BM MA 0,5 0,5 0,5 (3) Mà CM = BE, BM = AE (4) Từ (3), (4) � 0,5 0,5 BE MN AE MA � ME // BN (định lý Ta lét đảo) c (1,5 điểm) 0,5 0,25 Gọi H’ giao điểm OM với BN � MH'B � Do EM // BN � OME 450 (5) � MCO : MHB (g g) MO MC � MB MH' � � 450 � OMB : CMH' (c g c) � MH'C MBO � Từ (5), (6) � CH'B 900 � H’ trùng với H Vậy O, M, H thẳng hàng 0,25 0,25 (6) 0,25 0,25 0,25 ... c 20 19 Hay M � 20 19 2 Dấu xảy a b c 20 19 20 19 � abc3 Vậy M Bài (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x 10 x x2 12x 40 a (2 điểm) b) 2x x ĐKXĐ: �x �10 Ta có: x2 –... M3.8 = 24 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 0 ,25 0 ,25 Bài (3 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2y + xy - 2x2 – 3x + = b c 20 19 b) Cho số dương a, b ,2 c thỏa 2mãn a a b c2 ... 72 � x3 + 3x – 14 = � (x – 2) (x2 + 2x + 7) = � x = 2 2 5 Với x = P = 2 Bài (3 điểm) 0,5 1 0,5 0,5 0,5 a) Tìm số tự nhiên n để biểu thức P = n3 – 6n2 + 9n – có giá trị số nguyên tố