Vận dụng số phức vào giải các bài toán định tính trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN  KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỀ TÀI: VẬN DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI CÁC BÀI TỐN ĐỊNH TÍNH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực Lớp : ThS Ngơ Thị Bích Thủy : Lê Thị Ngọc Trinh : 12ST Đà Nẵng, tháng 04 năm 2016 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy LỜI CẢM ƠN Trong suốt trình thực luận văn này, nhận nhiều hỗ trợ, giúp đỡ từ thầy cô, người thân bạn bè Trước hết, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thạc Sĩ Ngơ Thị Bích Thủy, người trực tiếp hướng dẫn tơi suốt q trình viết luận văn Cảm ơn giúp đỡ ân cần, nhiệt tình giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo trường Đại Học Sư Phạm-Đại Học Đà Nẵng trang bị cho kiến thức, kĩ cần thiết suốt trình học để thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỤC LỤC Lời cảm ơn…………………………………………………………………………1 Mục lục……………………………………………………… ………………… Mở đầu…………………………………………………………………………… 1.Lý chọn đề tài…………………………………………………………………4 2.Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………… 3.Nhiệm vụ nghiên cứu…………………………………………………………….5 4.Phương pháp nghiên cứu…………………………………………………………5 5.Phạm vi nghiên cứu………………………………………………………………5 Chương 1: Cơ sở lí luận……………………………………………………….…6 1.Giới thiệu số phức…………………………………………………………… 1.1.Lịch sử phát triển số phức………………………………………………… ….6 1.2.Số phức phép toán……………………………………………… … 11 1.2.1.Định nghĩa…………………………………………………………… … 11 1.2.2.Các phép toán số phức………………………………………… …… 12 1.3.Các tính chất số phức………………………………………………… …14 1.3.1.Dạng lượng giác số phức……………………………………… …… 14 1.3.2.Biểu diễn dạng phức số yếu tố hình học…………………… … 20 1.4.Xây dựng số tính chất hình học số phức…………………… …… 26 2.Dùng số phức chứng minh số định lý hình phẳng………………… 31 2.1.Định lý Ceva………………………………………………………… ………31 2.2.Định lý Meneclaus…………………………………………………… …… 33 2.3.Định lý Shainer…………………………………………………………… …34 2.4.Định lý Newton…………………………………………………………… 35 Chương 2: So sánh phương pháp giải tốn hình học phương pháp số phức phương pháp giải toán sơ cấp…………………………………………37 Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Kết luận………………………………………………………………………… 48 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………….49 Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy MỞ ĐẦU 1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Mỗi tốn có nhiều phương pháp giải khác để đến kết Nhưng để tìm phương pháp giải tối ưu cho tốn khơng phải điều dễ dàng Số phức chương cuối sách giải tích 12 Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung cịn Với thời lượng không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt ứng dụng số phức vào giải tốn hình học phẳng Phương pháp giải tốn hình học phẳng số phức phương pháp dễ hiểu, ưu việt việc giải số tốn định tính hình học phẳng, cụ thể số toán đưa nghiên cứu Các tốn hình học phẳng toán tương đối phức tạp Để giải toán hình học phẳng, đơi ta phải vẽ thêm yếu tố phụ, điều gây nên khó khăn cho học sinh Với học sinh THPT, dùng số phức để giải tốn hình học phẳng kiến thức lạ với em, vấn đề thực tế giảng dạy chưa quan tâm, chưa trọng bồi dưỡng cho em học sinh giỏi Nhưng lại phương pháp hay, hiệu giải tốn hình học phẳng Việc sử dụng số phức công cụ giải tốn khơng mang lại cho học sinh phương pháp giải tốn mà cịn góp phần đáng kể vào việc rèn luyện kĩ năng, bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh Với lí trên, chọn đề tài: “ Vận dụng số phức vào giải tốn định tính hình học phẳng” Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy 2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: Giúp học sinh rèn kỹ giải toán số phức, biết vận dụng số phức vào giải số tốn hình học phẳng 3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Đưa tính chất dạng tốn vận dụng số phức vào tìm lời giải cho tốn hình học phẳng 4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Tra cứu tài liệu sách giáo khoa tài liệu sách tham khảo mạng 5.PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu ứng dụng giải tốn hình học phẳng Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp CHƯƠNG 1: GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC: 1.1.Lịch sử phát triển số phức: Lịch sử phát triển khái niệm số theo chu trình N  Z  Q  R  C thúc đẩy phát triển thực tế sản xuất toán học Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc cần số tự nhiên Số âm xuất bắt đầu có chuyện nợ nần, có chuyện trừ số nhỏ cho số lớn Số hữu tỷ xuất phải thực phép chia … khơng hết Cịn số vơ tỷ xuất người ta thấy cạnh huyền tam giác vuông cân cạnh biểu diễn dạng thương hai số nguyên, thuật ngữ số thực có nghĩa độ dài đoạn thẳng có thực Lịch sử số phức kỉ thứ XVI Đó thời kì Phục hưng toán học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo 1, b 1, a  b 1 xuất từ kỉ XVI cơng trình của nhà tốn học Italy “Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số” (1545) G Cardano (1501 – 1576) “Đại số” (1572) R Bombelli (1530 – 1572) Nhà toán học Đức Felix Klein (1849 – 1925) đánh giá cơng trình G Cardano sau: “Tác phẩm quý giá đến đỉnh chứa đựng mầm mống đại số đại vượt xa tầm toán học thời cổ đại” Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu 1 lời giải hình thức phương trình x   Xét biểu thức b 1 nghiệm hình thức phương trình x  b2  Khi biểu thức tổng quát có dạng a  b 1, b  xem nghiệm hình thức phương trình ( x  a)2  b2  Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Về sau biểu thức dạng a  b 1, b  xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (cơng thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a  ib , kí hiệu i : 1 L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị “ảo” Q trình thừa nhận số phức cơng cụ quý giá toán học diễn chậm chạp Ngay tên gọi kí hiệu i : 1 đơn vị ảo gây nên nhiều nỗi băn khoăn, thắc mắc từ dẫn đến khủng hoảng niềm tin khơng có chung với số - công cụ phép đếm, người ta xem kí hiệu trừu tượng thỏa mãn định nghĩa i  1 Sự khủng hoảng niềm tin trở nên sâu sắc việc chuyển cách thiếu cân nhắc thiếu thận trọng số quy tắc đại số thông thường cho số phức sản sinh nghịch lí khó chịu Chẳng hạn nghịch lí sau đây: i  1 nên i  1 , đồng thời cách sử dụng quy tắc thơng thường phép tốn khai bậc hai lại thu i  1 1  (1)(1)  (1)   Như 1  Ta nhấn mạnh lại hệ thức i  1 định nghĩa số i cho phép ta đưa vào xét số phức Điều có nghĩa hệ thức khơng thể chứng minh, quy ước Tuy vậy, có người muốn chứng minh hệ thức Trong sách “phương pháp tọa độ” mình, viện sĩ L.S Pointriagin mơ tả lại chứng minh sau: Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Đầu tiên người ta lấy nửa đường trịn với đường kính AB Từ điểm R tùy ý nửa đường trịn hạ đường vng góc RS trung bình nhân độ dài đoạn AS SB Vì nói đến độ dài nên khơng sai sót lớn nói bình phương đoạn RS tích đoạn thẳng AS BS Bây giờ, trở với mặt phẳng phức, kí hiệu điểm -1 A, điểm +1 B điểm i R Khi S điểm Tác giả phép chứng minh lập luận sau: Đoạn thẳng RS i , đoạn thẳng AS -1 SB +1 Như theo định lí vừa nhắc lại ta có i   1 1  1 Thật đáng tiếc phép chứng minh kì lạ viết sách giảng dạy số trường phổ thơng trước chiến thứ II Lịch sử tốn học ghi lại Cardano nhắc đến nghiệm phức lại gọi chúng nghiệm “ngụy biện” Chẳng hạn giải hệ phương trình  x  y  10   xy  50 Cardano tìm nghiệm  5 ơng gọi nghiệm “âm túy” chí cịn gọi “nghiệm âm ngụy biện” Có lẽ tên gọi “ảo” di sản vĩnh cửu “một thời ngây thơ đáng trân trọng số học” Thậm chí nhiều nhà bác học lớn kỉ XVIII chất đại số chất hình học đại lượng ảo khơng hình dung cách rõ ràng mà cịn đầy bí ẩn Chẳng hạn, lịch sử ghi lại I Newton không thừa nhận đại lượng ảo không xem đại lượng ảo thuộc vào khái niệm số, Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy G Leibniz lên rằng: “Các đại lượng ảo – nơi ẩn náu đẹp đẽ huyền diệu tinh thần đấng tối cao, dường giống lưỡng cư sống chốn có thật khơng có thật” Người nhìn thấy lợi ích đưa số phức vào tốn học mang lại nhà tốn học Italy R Bombelli Trong “Đại số” (1572) ông định nghĩa phép tính số học đại lượng ảo ơng sáng tạo nên lí thuyết số “ảo” Thuật ngữ số phức dùng K Gauss (năm 1831) Vào kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác nghiên cứu tính chất đại lượng ảo (số phức) khảo sát ứng dụng chúng Chẳng hạn L Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức (1738), cịn A Moivre (1667 – 1754) nhà tốn học Anh nghiên cứu giải toán bậc tự nhiên số phức (1736) Sự nghi ngờ số ảo (số phức) tiêu tan nhà toán học người Nauy C.Wessel đưa minh họa hình học số phức phép tốn chúng cơng trình cơng bố năm 1799 Đơi phép biểu diễn minh họa số phức gọi “sơ đố Argand” để ghi nhận công lao nhà toán học Thụy Sỹ R Argand – người thu kết Wessel cách độc lập Lí thuyết túy số học số phức với tư cách cặp số thực có thứ tự (a,b), a  R, b  R xây dựng nhà toán học Ailen W.Hamilton (1837) Ở đơn vị “ảo” i đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức đơn vị “ảo” lí giải cách thực Cho đến kỉ thứ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với phép Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Cho hình thang ABCD , gọi: Q  AC  BD , O  AD  BC , M , N trung điểm AB, CD Gọi a, b, c, d , q, m, n tọa vị A, B, C, D, Q, M , N Chọn gốc tọa độ O Vì AB / /CD nên d  a, c  b (   R ) Khi đó, O, M , N nằm đường thẳng Vì, m  q ab cd ab ,n   Ta có, Q nằm đoạn AC nên: 2  1  a c (1) 1  Vì Q  BD thay d  a, c  b từ (1), ta có: q  Từ (1),(2) suy ra: q   1   1  b d (2) 1  (a  b) Vậy Q nằm đường thẳng OM , tức O,M,N,Q nằm đường thẳng 2.4.Định lý Newton: Trung điểm đường chéo tứ giác ngoại tiếp đường trịn tâm đường trịn thẳng hàng Chứng minh: Ta chọn đường tròn nội tiếp tứ giác làm đơn vị, gốc tâm đường tròn Gọi T1,T2 ,T3 ,T4 điểm tiếp xúc cạnh AB, BC, CD, DA Gọi M , N trung điểm BD, AC Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 35 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Vì A giao điểm hai đường tiếp tuyến qua T1 , T4 nên a  2t1t4 t1  t4 Tương tự: b 2t1t2 2t t 2t t , c 23 , d  34 t1  t2 t2  t3 t3  t4 2t1t4 2t t  23 t t t t tt tt N trung điểm AC nên: n    t1  t4 t2  t3 Tương tự, m  tỉ số đơn: t1t2 tt  Để chứng minh ba điểm O, M , N thẳng hàng ta xét t1  t2 t3  t4 t1t2 tt  34 o  m t1  t2 t3  t4  t1  t4  (t2  t3 ) V  o, m, n     t1t4 t2t3 on (t1  t2 )(t3  t4 )  t1  t4 t2  t3 Đây số thực T1,T2 ,T3 ,T4 thuộc đường tròn đơn vị Vậy O, M , N thẳng hàng Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 36 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy CHƯƠNG 2: SO SÁNH PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN HÌNH HỌC BẰNG SỐ PHỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP SƠ CẤP Bài tốn 1: Về phía ngồi tam giác ABC vẽ hình vng ABEF ACGH , N trung điểm FH , M giao điểm đường thẳng BG, CE Chứng minh điểm M , N , A thẳng hàng Chứng minh: Phương pháp 1: Trên đường thẳng AN lấy điểm K cho AHKF hình bình hành Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 37 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy ̂ = 180𝑂 Mặc khác, ta có: 𝐹𝐴𝐻 ̂ + 𝐴𝐻𝐾 ̂ = 180𝑂 nên Ta có: ̂ 𝐵𝐴𝐶 + 𝐹𝐴𝐻 ̂ ̂ , ta có AC  AH , AB  AF=HK nên ABC  HKA 𝐵𝐴𝐶 = 𝐴𝐻𝐾  ABC  FAK Gọi O1  OE  FB Ta thực phép quay: F  A  QO190  A  B K  C   KA  BC(1) Mặt khác, ta có: EB  BA BC  AK FAK  ABC ̂ = 𝐴𝐵𝐶 ̂ FAK  ABC → 𝐸𝐵𝐶 ̂ = 𝐵𝐴𝐾 ̂ Vậy EBC  BAK 𝐹𝐴𝐾 Ta thực phép quay: B  E  QO190  A  B K  C   KB  CE (2) ̂ = 𝐴𝐶𝐵 ̂ Tương tự, ta có AC  CG, BC  AK , 𝐾𝐴𝐻  AKC  CBG Thực tiếp phép quay: A  C  QO902 C  G K  B   KC  BG (3) Từ (1),(2),(3) ta thấy: BG  KC, EC  KB nên M trực tâm KBC  KM  BC Từ (1) suy đường thẳng KM  đường thẳng KA Vậy N , A, M thẳng hàng Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 38 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Phương pháp 2: Chọn trục tọa độ có gốc A Các điểm A,H,G,F,E,N có tọa vị là: a=0, h=ic, g=c+ic, f=-ib,e=b-ib, n= ic  ib M  EC , EC : (c  b(1  i))m  (c  b(1  i))m  (c(b(1  i))  cb(1  i))  0(1) M  BG, BG : (b  c(1  i))m  (b  c(1  i))m  (b(c(1  i))  bc(1  i))  0(2) Từ(1) (2) suy ra: m m m m    i (b  c) i (b  c) n n 2 V (m, n, a)  ma m m   a  na n n  M , A, N thẳng hàng Bài toán 2: Cho A1, B2 , C1 trung điểm cạnh BC, CA, AB tam giác ABC , M điểm tam giác ABC , lấy M1, M , M điểm đối xứng M qua điểm A1, B1 , C1 Chứng minh đường thẳng AM1, BM , CM cắt điểm Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 39 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Chứng minh: Phương pháp 1: Trong ABC có A1B1 / / AB và: A1B1  AB Trong MM1M có: A1B1 / / M1M A1B1  M1M 2  ABM1M hình bình hành  AM1, BM cắt trung điểm đường Tương tự, BCM M hình bình hành Do: B1C1 / / BC , B1C1  BC B1C1 / / M M , B1C1  M M Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 40 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy nên CM qua giao điểm AM1 BM Vậy AM1, BM , CM đồng quy Phương pháp 2: Xét hệ tọa độ vng góc ta có: a1  bc ac ab , b1  , c1  2 m1  b  c  m; m2  a  c  m; m3  a  b  m Do đó, a  m2  m  c  b  m1 và: m2  m1  a  b Suy ra: AM / / BM1, M1M / / AB Vậy ABM1M hình bình hành Gọi: M '  AM1  BM  m '  abcm Vì a, b, c có vai trị nhau, nên M ' giao ba đường thẳng  AM1, BM , CM đồng quy Bài toán 3: Cho tam giác A1 A2 A3 , H trực tâm tam giác, D trung điểm cạnh A1 A2 Đường thẳng HD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 A2 A3 K Chứng minh D điểm đoạn HK ? Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 41 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Chứng minh: Phương pháp 1: Gọi K ' điểm đối xứng H qua D Lúc đó, A1HA2 K ' hình bình hành ′̂ ′ ̂ ̂  𝐴̂ 𝐻𝐴2 = 𝐴1 𝐾′𝐴2 Mặt khác, ta có: 𝐴1 𝐻𝐴2 + 𝐴′2 𝐴3 𝐴′1 = 180 ′ ′ 𝑂 ̂ ̂ ̂ 𝐴̂ 𝐻𝐴2 = 𝐴1 𝐻𝐴2  𝐴′2 𝐴3 𝐴′1 +𝐴′2 𝐴3 𝐴′1 = 180  K ' nằm đường tròn  K '  K  DH  DK Phương pháp 2: Chọn đường tròn ngoại tiếp làm đường tròn đơn vị lí thuyết phần trước h  a1  a2  a3 , d  Do đó, a1  a2 Ta lấy điểm đối xứng K ' H qua D k ' h a a  d   a1  a2  a3  k '  a1  a2 2 Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 42 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy  k '  a3 nên k '  a3  Vậy K ' nằm đường tròn đường HD K '  K Bài toán 4: Cho hình vng ABCD , điểm M , N tương ứng nằm cạnh BD, BC ̂? cho: BM  BD BN  BC Chứng minh rằng, 𝐴𝑀𝑁 3 Phương pháp 1: Từ M hạ MM  BC MM  AB ta có: MM1 BM 2    MM1  CD  M1C  CD CD BD 3 Tương tự, MM  DA, AM  AB 3 ̂2 =𝑁𝑀𝑀 ̂1  AMM  NMM1  𝐴𝑀𝑀 Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 43 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Mà M MM1B hình vng nên: ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ 𝑀̂ 𝑀𝑀1 = 𝑀2 𝑀𝑁 + 𝑁𝑀𝑀1 = 𝑀2 𝑀𝑁 + 𝐴𝑀𝑀2 = 𝐴𝑀𝑁 Hay : AMM  NMM1 tồn phép quay tâm M góc  biến AMM thành NMM1 Mà M M  MM1 nên   90o , QM90 : AM  NM o Phương pháp 2: Gọi B tọa độ điểm gốc Và: a  1, c  i, d  i  1  n  i, b  0, m  (i  1) 3 Xét V (a, n, m) 1  (i  1) am 2i  2i   i 4i    i       i Có V (a, n, m) = n  m i  (i  1) i  2i 2i 1 3 ̂ = 90𝑂 Là số ảo  AM  MN , tức là: 𝐴𝑀𝑁 Bài toán 5: Về phía ngồi tứ giác ABCD , cạnh AB, BC, CD, DA dựng hình vng, tâm hình vng E, F , G, H Chứng minh rằng: EG  FH EG  FH Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 44 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Phương pháp 1: Kí hiệu hình vng cạnh tương ứng AB, BC, CD, DA ABMN , BCPQ, CDRS, ADUT o B  N -Xét phép quay: QA90 :  T  D Theo tính chất phép quay : QA90 : BT  ND o Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 45 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy  BT  ND BT  ND (1) o B  P -Xét phép quay: QC90 :  S  D QC90 : BS  PD Do vậy, BS  PD BS  PD (2) o Gọi O trung điểm đường chéo BD , đó, EO, OH , OG, OF tương ứng đường trung bình tam giác NBD, BDT , BDS BDP OE / / ND, OE= ND (3) OH / / BT , OH= BT (4) Vì thế, OG//BS , OG= BS (5) OF//DP, OF  DP (6) Từ (1),(3),(4)  OE  OH , OE  OH (7) Từ (2), (5),(6)  OG  OF , OG  OF (8) o -Xét phép quay: QO90 từ (7),(8) ta suy ra: o o E  H QO90 :  Vì vậy, QO90 : EG  HF (9) G  F Theo định nghĩa phép quay thì: EG  HF EG  HF Phương pháp 2: Gọi a, b, c, d tọa vị đỉnh ABCD e, f , g , h tọa vị tâm hình vng Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 46 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy a  e  i b  e Ta có: b  f  i c  f  a  ib b  ci c  id d  ia ,f  ,g  ,h  c  g  i d  g   e  1 i 1 i 1 i 1 i d  h  i a  h Ta lại có: i ( f  h)  = i ((b  ci )  (d  ai)) 1 i 1 (bi  c  di  a)  ((c  di )  (a  bi ))  g  e 1 i 1 i Vậy g  e  i( f  h)  GH  FH và: GH  FH Một số nhận xét: Thông qua số toán ta thấy: Trong số toán cụ thể, so với phương pháp sơ cấp thơng thường phương pháp số phức đơn giản, thuận tiện để giải Ví dụ 1,5, sử dụng phương pháp sơ cấp lời giải dài, rắc rối phải vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh tốn Nhưng, khơng phải lúc dùng phương pháp số phức đơn giản phương pháp sơ cấp (bài tốn 3) Vì vậy, tùy toán cụ thể mà ta chọn phương pháp giải cho đơn giản, hợp lý, dễ hiểu Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 47 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Kết luận: Qua tìm hiểu nghiên cứu đề tài, giới thiệu cách tổng quát số phức ứng dụng hình học phẳng Tơi đưa số tốn hình học phẳng cụ thể nhằm so sánh cách giải sơ cấp thông thường với cách giải số phức Giúp học sinh biết phương pháp mới, đơn giản, ưu việt giải tốn hình học phẳng Về hướng mở rộng đề tài, thấy việc vận dụng số phức vào giải tốn hình học phẳng vấn đề hay, cần nghiên cứu sâu rộng Phần trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong q thầy bạn góp ý, bổ sung để luận văn hoàn thiện Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 48 Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Ngơ Thị Bích Thủy Tài liệu tham khảo: [1] Nguyễn Hữu Điển(2000), Phương pháp số phức hình học phẳng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu-chủ biên(2009), Chuyên đề số phức áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [3] Đoàn Quỳnh[1997], Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục [4] Võ Thanh Vân-chủ biên(2009), Lê Hiển Dương, Nguyễn Ngọc Giang, Chuyên đề ứng dụng số phức giải toán THPT, NXB Đại Học Sư Phạm [5] Sách giải tích 12 [6] http://123doc.org/document/193013-so-phuc-va-ung-dung-so-phuc-vao-giaitoan-hinh-hoc-phang.htm [7] http://tailieu.vn/doc/de-tai-ung-dung-so-phuc-vao-giai-toan-hinh-hoc-phang850141.html [8] http://diendantoanhoc.net Sinh viên: Lê Thị Ngọc Trinh Page 49 ... rèn kỹ giải toán số phức, biết vận dụng số phức vào giải số tốn hình học phẳng 3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: Đưa tính chất dạng tốn vận dụng số phức vào tìm lời giải cho tốn hình học phẳng 4.PHƯƠNG PHÁP... không nhiều, học sinh biết kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt ứng dụng số phức vào giải tốn hình học phẳng Phương pháp giải tốn hình học phẳng số phức phương... pháp dễ hiểu, ưu việt việc giải số toán định tính hình học phẳng, cụ thể số toán đưa nghiên cứu Các tốn hình học phẳng tốn tương đối phức tạp Để giải tốn hình học phẳng, ta phải vẽ thêm yếu tố