[r]
(1)ứng dụng định lý Lagrăng 1. Cho m > 0
m c 1 m b 2 m a
Chøng minh r»ng ax
2 + bx + c = cã nghiÖm thuéc (0 ; 1)
HD: XÐt hµm sè
m x c 1 m x b 2 m x a x f m 1 m 2
m . .
) (
2. Chøng minh r»ng: PT: aSin7x + bCos5x + c.Sin3x + d.Cosx = lu«n cã nghiƯm a,b,c,d R.
HD: XÐt hµm sè Cos3x dSinx
3 c x 5 Sin 5 b x 7 Cos 7 a x
F( )
áp dụng ĐL Lagrăng
3. Giải PT: 2000x + 2002x = 2.2001
HD: XÐt hµm sè f(t) = (t + 1)x - tx Theo §L Lagrăng (2000; 2001) cho
f() =
4. Cho a - b + c = Chøng minh r»ng: a.Sinx + 9b.Sin3x +25c.Sin5x = cã Ýt nhÊt 4 nghiÖm thuéc 0; .
HD: áp dụng “Cho F(x) có đạo hàm f(x) (a;b) Chứng minh F(x) = có hai nghiệm f(x) = có nghiệm thuộc (a; b).”
CM: Gäi , lµ hai nghiƯm cña PT F(x) = Ta cã F() =F() =
Theo ĐL Lagrăng x0 (; ) cho f(x0) = F’(x0) = 0
F F ) ( ) (
Giải: Xét hàm số:F(x)a.Sinx b.Sin3x c.Sin5x
C/M: F(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; .Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0; Ta c/m F’(x) = cã Ýt nhÊt nghiÖm thuéc 0;
5. Cho a,b,c tho¶ m·n 0 3 c 5 b 7 a
Chứng minh đồ thị hàm số y = a.x4 + bx2 + c ln cắt trục hồnh điểm có hồnh độ thuộc (0 ; 1). 6. CMR: a,b,c tuỳ ý PT sau ln có nghiệm (0; 2) a.Cos3x + b.Cos2x +
c.Cosx + Sinx =
7. CMR: a,b,c,d không đồng thời khơng PT sau ln có nghiệm a.Cos4x + b.Sin3x + c.Cos2x +d.Sinx = 0.
8. Cho f(x) = Sinx.(2x-1 - 1)(x - 2) Chøng minh r»ng PT: f (x) = lu«n cã nghiƯm.’’ 9. GPT: (1 + Cosx)(2 + 4Cosx) = 3.4Cosx
10.Cho ®a thøc P(x) cã n nghiƯm ph©n biƯt x1;x2; xn CMR
a, 0
x P x P x P x P x P x P n n 2 2 1
1
) ( ) ( '' ) ( ) ( '' ) ( ) ( ''
b, 0
x P 1 x P 1 x P 1 n 2 1 ) ( ' ) ( ' ) ( '
11.Cho hµm sè f(x) = (x2 - 4)(x + 1)(x - 3) CMR phơng trình f (x) = có nghiệm phân biệt.
12.Cho hàm sè f(x) = (x - a)(x - b)(x - c)(x - d)(x - e).Víi a<b<c<d<e Chøng minh PT f (x) = cã nghiƯm ph©n biƯt.’’
13.Cho m>0; n> vµ f(x) = + xm(x - 1)m CMR PT f (x) = cã nghiÖm x ’ (0; 1) 14.Cho 2b + 3c = CMR phơng trình: aCos2x + b.Cosx + c = lu«n cã nghiƯm
thc (0; 2
).
15.Cho tam thøc bËc hai: f(x) = ax2 + bx + c (a 0) BiÕt r»ng f(x) = x v« nghiƯm CMR: a.f(x)2 + b.f(x) + c = v« nghiƯm.
16.Cho < b < a CMR
(2)17.Cho f(x) xác định R f (x) ’’ x R Chứng minh a,b R(a < b) f(a) f(b) f(ab)
2 2
18.Chøng minh r»ng: ln(1 + x) < x; x > 0 19.CMR: a b tga tgb a b
cos b cos a
2 2 0 < b < a <
2.
20.Cho a < b < c CMR:
a a b c a2b2c2 ab bc ca a b c a2b2c2 ab bc ca c
3 3
HD: f(x) = (x- a)(x- b)(x - c) => x1; x2 cho a< x1 < b < x2 <c =>?
21.Cho n Z; CMR: x n x ; x ( ; )
ne
1
1 01
2
HD: §Ỉt f(x) = lnx
22.CMR
a) |sin a - sin b| |a - b| a,b R b) sin x < x x > 0
c) ex > x + x > 0 d) tg x > x x ( 0; /2)
e) x x
( ) ( )
x x
1
1 1
1 1
1
f) (x )Cos xCos ; x
x x
1 1 2
1
23.Cho f(x) liên tục a ; b f (x) = ’ x (a; b) CMR: f(x) 0.
24.Cho f(x) khả vi a ; b f (x) = có nghiệm x’ 0 a; b CMR: f(x)= 0 khơng thể có q hai nghiệm phân biệt.
25.Cho x> vµ a> CMR: xa - 1> a(x - 1)
26.Cho < a< b; n> 1.CMR: n.an-1(b - a) < bn - an < n bn-1(b - a)
27.Cho x, y, z tho¶ m·n x + y + z > T×m GTLN, GTNN cđa P x y z (x y z)
3 3 3
3
16
HD: Do P(ax; ay; az) = P(x;y;z) => Gi¶ sö x + y + z =
GTLN: x y (xy) ( z) f(z)( z) .z 3
3 3 11 3 1 3 64 3
4 4
GTNN: x3y3z3(x y z)315.z316 28.C
29.C 30.C 31.C 32.C 33.C
Sử dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức
1. CMR: x x sin x x x x ; x
! ! !
3 3 5
0
3 3 5
HD: Chuyển vế đặt f(x) tính f’(x); f’’(x)
2. CMR: Sinx x; x ( ; )
2
(3)HD: §Ỉt f(x) = Sinx x
3. CMR: 2Sinx 2tgx 2x1; x ( ; )0
2
HD: Đặt f(x) = Sin x + tgx - 2x vµ c/m Sin x + tgx > 2x
4. CMR: x Cosx x x ; x
! ! !
2 2 4
1 1 0
2 2 4
5. CMR: ; x ( ; )
Sin x x
2 2 2
1 1 4
1 0
2
6. CMR: x
e 1 x; x 0 7. CMR:
n
x x x
e x ; x ;n Z
! n!
2
1 0
2
8. CMR:
2
1 1
2
x x
x e x ; x ;
9. CMR:
2 4
1 1
1
x
e x
x x ; x ;
x (x )
10.CMR: ln(1x)x; x 0
11.CMR: 1
1
(x )
ln x ; x
x
12.CMR: 1 1 0
ln( x ) ln x; x
x
13.CMR:
2
1
2
x
ln( x) x ; x
14.CMR: p q p q 1
x (pq)(x x ); x ;p q , p q 15.CMR: log (xx 1)log(x1)(x2); x 1
16 Cho a, b > CMR: 1ln(a b ) 1ln(ab ); 0;
17.CMR: 1
1
y x
ln ln ; x ; y ;x y
y x y x
18.CMR:
2
x y x y
ln x ln y
x> y> 0 19.CMR: ln x x 1; x
x
20.CMR: 2 22
2
n n
tg xcot g x n Cos x; x ( ; );n N
21.CMR:
3 1
2 2
2 2
2 x
.Sinx tgx
; x ( ; )
22.CMR: SinASinBSinCtgAtgBtgC 2 ; VABC
23.CMR: 2
(4)24.CMR: tg550 1 4,
25.CMR: 4 50 90 3 60 100
.tg tg tg tg
26.CMR: 1 200 3Sin 20
27.CMR: 1
2
1
n n ; ( ; );n Z
Sinx Sinx
28.Cho
3 2
1
1
1
0
3
x x
Sinx !
x x CMR :
x Sinx
x !
29.CMR:
3
0
Sinx
Cosx; x ( ; ) x
30.CMR: e x e x
(ex) (e x) ; e x
31.CMR:
b x b
a x a
; a, b,x ;a b
b x b
32.CMR: 1 1 2
ln n ln(n ).ln(n ); n N
33.CMR:
4
y.Sinx
Cos(x y) ; x, y ;x y
x.Siny
34.CMR:
2
a b a b
ab ; a, b ;a b
ln a ln b
35.CMR: 20062007 20072006
36.CMR: n 1n 3
n (n ) ; n Z
37.CMR: x.Sin x + Cos x > 1; x(0; /2)
38.CMR: a.Sin a - b.Sin b > 2(Cos b - Cos a); 0 < a < b < /2
39.CMR: 1 2 2 2 3 3
A B C
Cos Cos Cos
; ABC
A B C
V
40.CMR: Nếu x > x 1.x Từ c/m
3 3
3 3
a b c a b c
b c a b c a