MOT SO BT KHAO SAT HAM SO

c/ Tìm tất cả các ñiểm thuộc ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại ñó lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.. b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận..[r]

(1)

http://ebook.here.vn – Thư viện sách miễn phí

Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ

Bài 1/ Cho hàm số

1 2

− + − =

x m x

y

a Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ; b Tìm quỹ tích điểm cực đại

HDGiải: a/ Hàm số có cực trị m >

b/ Ta có: xCD m yCD 2xCD 2m 2xCD 2(1 xCD) 4xCD m

= − < ⇒ = − + = − − − = −

− Vậy quĩ tích

ñiểm cực ñại

là phần ñường thẳng y = 4x – ứng với x < Bài 2/ Cho hàm số:

1

2

+ − − − =

x x x

y (C)

a Tìm m để (Dm): y=mx−1 cắt (C) hai ñiểm phân biệt mà hai ñiểm ñó thuộc

nhánh

b Tìm quỹ tích trung điểm I MN

HDGiải: a/ Phương trình: ( )

2

1

1 x x

mx m x m x

x − − −

= − ⇔ + +  =

+ có nghiệm x = nên ñể hai

giao ñiểm nhánh thì: −m m/( + > − ⇔1) 1/(m+ > ⇒1) m> −1 b/ Ta có:

2

/ 2( 1) 1/ /(2 1) /(2 1) ( 1) /(2 1)

I I I I I I I I I I

x = −m m+ > − ⇒m= −x x + ⇒ y =mx − = −x x + − = − x + x + x +

Vậy quỹ tích trung điểm I MN nhánh bên phải ñths

2

x x

y

x − − − =

+ Bài 3/ Cho hàm số: y= x3 −3x2 +m2x+m ( )Cm

Tìm m để hàm số có cực ñại, cực tiểu ñối xứng qua ñường thẳng (D) có phương trình

5

− = x

y

HDGiải: Ta có: y'=3x2−6x+m2 ðể hs có cực trị ∆ = −' 3m2 > ⇒ −0 3<m< Gọi I trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị xI =1 Do pt đt qua hai ñiểm cực trị

2

( 3)

3 I

m

y= m − x+ + ⇒m y =m + −m ðể ñiểm cực trị ñths ñx qua (D) thì:

2

1

( 3)

0

0; 1.1/ /

m m

 − = − =



 ⇔ ⇒ =

  = −



 + − = −



1

2

− + − + =

x m mx x

y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía ñường thẳng 9x−7y−1=0

HDGiải: ðặt F(x,y)= 9x-7y-1 Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – ) B( 4; m + ) ðể hai điểm cực trị nằm hai phía ñt thì: F(A).F(B)<0 ⇔( - 7m – 21 )( – 7m ) <

3 m / ⇒ − < <

(2)

Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896 a) Chứng minh m thay ñổi, ñường thẳng (D): y=m(x+1)+2 ln cắt đồ thị (1) điểm A cố định

b) Tìm m để ñường thẳng ñó cắt (1) ñiểm A, B, C khác cho tiếp tuyến B C vng góc với

HDGiải: a/ Xét pt: x3−3x=m x( + + ⇔1) (x+1)(x2− − −x m)=0 Như m thay đổi (D) ln cắt ñths(1) ñiểm A( - 1; ) cố ñịnh

b/ ðể (D) cắt ñths(1) ñiểm phân biệt pt x2− − − =x m (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; m > - 9/4 m≠0 Khi x xB, C hồnh độ B,C nghiệm (*) Ta có:

1&

B C B C

x +x = x x = − −m

ðể tiếp tuyến B C vng góc với

2 2 2

'( B) '( C) 9( B 1)( C 1) ( B C) ( B C) B C ( 2) 2( 2) 9( ) y x y x = x − x − =  x x − x +x + x x + =  m+ − + − −m + = m + m = −

1 2 /

m

⇒ = − ổ (thỏa mãn ựk) chắnh gt m cần tìm

x x x

y

2 − +

= (C) tìm ñường thẳng x =1 Những ñiểm M cho từ M kẻ ñược hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến vng góc với

HDGiải: Giả sử M(1;b) pt ñt (D) ñi qua M là: y = k(x – 1) + b ðể (D) tiếp tuyến (C) pt sau phải có nghiệm kép:

2

3

( 1) ( 1) ( )

x x

k x b k x b k x

x − +

= − + ⇔ − + + − − = ( pt khơng có nghiệm với x = )

( ) 2 2

1& 8( 1) 2( 1) ( 3) 0(*)

k k b k k b k b k b

⇔ ≠ ∆ = − +  + − = − − + + − = ≠ ⇔ ≠ − ðể qua M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) vng góc với pt (*) phải có hai nghiệm có tích -1

2

(b 3) b

⇔ + − = − ⇒ = − ± (TMðK) Vậy ñt x = có điểm TMYCBT M(1; 3− ± )

Bài7/ Cho hàm số: y=x4 −x2 +1 ( )C

Tìm điểm thuộc Oy mà từ kẻ ba tiếp tuyến tới (C)

HDGiải: Gọi M(0; )b ∈Oy ptñt (D) qua M y = kx + b ðể (D) tt (C) hpt sau phải có nghiệm:

Bài 8/ Cho hàm số:

m x

mx x y

− − +

=

2

a Tìm m để hàm số có cực trị Khi viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm cực ñại, cực tiểu

b Xác ñịnh m ñể ñồ thị cắt trục hồnh hai điểm phân biệt tiếp tuyến hai điểm vng góc với

HDGiải: a/ Ta có: y'=(x2−2mx m− 2+8) /(x m− )2 ðể hs có cực trị pt y’ = phải có hai nghiệm phân biệt khác m

x −∞ 1/ 6− 1/ +∞ f’(x) + - + -

f(x)

−∞ −∞

4

1 & ( ); '( ) 12 2 (6 1)

(3)

Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896

2

' 2m m

⇔ ∆ = − > ⇔ > (vì ñó pt y’ = có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm

pt y’ =

, ; ,

CD CT CD CD CT CT

x x y = x +m y = x +m Vậy pt ñt ñi qua ñiểm Cð ñiểm CT y = 2x + m b/ Với m≠ ±2 đths ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt ( ac = - < ) Gọi hồnh độ hai giao điểm x x1, 2 ⇒x1+x2 = −m x x; 1 2 = −8 ðể tt với đths hai giao điểm vng góc với thì:

2 2 2 2

1 2 2 2 2

1

8 (8 )(5 16) (8 ) 16

'( ) '( ) 1 2 10

( ) ( ) (2 8) (2 8)

m m m m m m

y x y x m

x m x m m m m

 −   −  − + − +

= +   + = + + = − = − ⇒ = ±

− − − − −

   

Bài 9/ Cho hàm số y= − +x3 3x2−4 (C)

Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C)

HDGiải: Gọi M a( ; 0)∈Ox; đt (D) qua M có pt là: y = k(x - a) ðể (D) tt (C) hpt sau phải có nghiệm:

3 2

3 ( ) &

x x k x a k x x

− + − = − = − + ðể qua M kẻ tt tới (C) pt sau phải có nghiệm phân biệt

3

( ) 3( 1)

f x = x − a+ x + ax− = Do f x'( )=6x2−6(a+1)x+6a=0 x = x = a nên để pt f(x) = có nghiệm phân biệt thì:

2

( 2) ( 1)(3 5) ( ; 1) (5 / 3; 2) (2; ) CD CT

f f = − −a a+ a− < ⇒ ∈ −∞ − ∪a ∪ +∞

Bài10/ Cho hàm số:

1 − + =

x x

y

a/ Chứng minh tiếp tuyến ñths ñều tạo với hai ñường tiệm cận ñoạn thẳng mà tiếp điểm trung

điểm

b/ Chứng minh tiếp tuyến ñồ thị ñều lập với hai ñường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi

c/ Tìm tất điểm thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ

HDGiải: a/Do ' 2

( 1) y

x − =

− nên pttt với ñths ñiểm

1 ;

1 a M a

a +

 

 − 

  là:

2( )

( 1)

x a a y

a a

− − +

= +

− − Tt cắt tiệm cận

x = y = ñiểm: (1; (A a+3) /(a−1)), (2B a−1;1) suy M trung điểm AB ( tọa độ trung ñiểm AB tọa ñộ M )

b/ Gọi I giao hai tiệm cận Ta có IA= (a+3) /(a− − =1) /a−1 ;IB= (2a− − =1) a−1

/ IAB

S IA IB

⇒ = = khơng đổi ( đpcm ) c/ Ta có chu vi tam giác IAB:

2

2 16 4( 1)

IAB

C =IA IA+ + IA +IB ≥ IA IB+ IA IB = + = + Vậy chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ 4( 1)+ IA = IB tức

(a−1) = ⇒ = ±2 a Như đths có hai điểm TMYCBT là: M1(1+ 2;1+ 2),M2(1− 2;1− 2)

Bài 11/ Cho hàm số: ( )

5

2

H x

x x y

+ + +

=

(4)

Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896

HDGiải: Giả sử

( )

( ; 1/( 2)), ( 2) ( ; ( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ / 10

M a a+ + a+ a≠ − ⇒d M D = a+ + a+ = a+ + a+ ≥

4 / 10=2 10 / Vậy GTNN k/c từ M tới (D) 10 /

4a+ =2 1/ a+ ⇒ = −2 a 1, 5; 2, 5− ứng với hai ñiểm M1( 1, 5; 2, 5),− M2( 2, 5; 2, 5)− − Bài 12/ Cho hàm số:

1 3

2

+ + + =

x x x

y (C)

Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác (C) cho ñộ dài ñoạn AB ngắn

HDGiải: Gọi A x y( ;1 1), ( ;B x y2 2)∈( )(C x1< − <1 x2) ðặt

2 2

1

1 x a x, b a b, 0;AB (a b) (a b 1/a 1/ )b − − = + = ⇒ > = + + + + +

2 2 2

(a b+ ) (1 1/ + + ab) ≥4ab a b(2 +2ab+1) /a b =4(2ab+1/ab+2)≥4(2 2+2)=8( 1)+ Dấu

bằng xảy 4

1

1/ 1/ 2; 1/

a= =b ⇒x = − − x = −

Bài 13/ Cho hàm số:

1

y= x − +x (C) hai ñiểm A(0;1), B(3;7) (C) Tìm M thuộc cung AB (C) cho diện tích ∆MAB lớn

HDGiải: -Cách 1: pt ñt AB là: 2x – y + = Gọi

3

( ;1 / 3) ( ; ) (9 ) / ( ) / 5(0 3) M x − +x x ⇒d M AB = x−x = f x ≤ ≤x Ta có f x'( )= −9 3x2 = ⇒ =0 x 3(0≤ ≤x 3) nên BBT

của hs bên

Do đó: 13 5.2 / 3

MAB

MaxS = = ứng với

( 3;1)

M

-Cách 2: Diện tích ∆MAB lớn M tiếp ñiểm tiếp tuyến với (C) song song với AB Gọi

0

( ; )

M x y Tiếp tuyến (C) M song song với AB

2

0 0

'( ) AB 3(0 3) ( 3;1)

y x =x − =k = ⇒x = ≤ ≤x ⇒M

( ; ) / d M AB

⇒ = ⇒ 13 5.2 / 3

2 MAB

MaxS = =

- o0o -

x 0

f’(x) + - f(x) /