Đang tải... (xem toàn văn)
Học sinh thử giải xem ( theo cách đã hướng dãn ) * Ta có thể sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1... Tích phân này chúng ta đã biết cách tính.[r]
(1)Bài ( Tiết 3)
TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ I KIẾN THỨC
1 Cần nhớ số cơng thức tìm ngun hàm sau : - 2f x'( )f x( )dx f x( )C
- 2
1
ln
dx x x b C
x b
- Mở rộng : 2
'( )
ln ( ) ( ) ( )
u x
du u x u x b C
u x b
2 Rèn luyện tốt kỹ phân tích hàm số dấu tích phân , kiến thức thức
II MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP 1 Tích phân dạng : 2 0
ax
I dx a
bx c
a Lý thuyết :
Từ :
2
2
2 f(x)=ax
2
2
b
x u
b a
bx c a x du dx
a a
K a
Khi ta có :
- Nếu 2 2
0,a f x( ) a u k f x( ) a u k
(1)
- Nếu :
2
0 ( )
( )
2
2
a b
f x a x b
f x a x a u
a
a
(2) - Nếu : 0
+/ Với a>0 : f x( )a x x 1 x x 2 f x( ) a x x 1 x x 2 (3)
+/ Với a<0 : f x( )a x 1 x x 2 x f x( ) a x1 x x 2 x (4)
Căn vào phân tích , ta có số cách giải sau :
b Cách giải
* Trường hợp : 0,a 0 f x( ) a u k2 f x( ) a u. k2
Khi đặt :
2
2
2
0
2 ;
2
2
ax
,
2
t c
x dx tdt
b a b a
bx c t ax
bx c t a x
x t t x t t t c
t a x t a
b a
* Trường hợp :
2
0 ( )
( )
2
2
a b
f x a x b
f x a x a u
a
a
(2)Khi :
1
ln :
2
1 1
1
ln :
2 2 2
b b
x x
a a
a
I dx dx
b a b b b
a x x x x
a a a a a
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
1
1
2
ax bx c a x x x x x x t
x x t
* Trường hợp : 0,a0
- Đặt :
1
1
2
ax bx c a x x x x x x t
x x t
3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính tích phân sau :
1
1
dx I
x x
( a>0 ) Giải
-Ta có : ' 0, a 1
- Đặt : x2 2x 5 t x t x x2 2x 5 t 1 x 1 x2 2x 5
2 2
1
1
2 5
x t dt dx
dt dx dx
t
x x x x x x
- Khi : x=-1,t= 1 ,x=1,t=3 Do đó:
1
2
1 2 1
dx dt
I
t
x x
Vậy
3 2
ln ln ln
2 2 2 1
I t
Ví dụ 2 Tính tích phân sau
2
1
I dx
x x
( a<0 )
Giải
Ta có : 2
1 1
( ) (*)
1 2 2
f x
x x x x x
* Nếu theo phương pháp chung :
- Đặt : 2 1 x 2 1 x 2 1 x t 2 1 x 2 1 x t2 2 1 x2
2
2
2
2
1
t
x x t x
t
- Nói chung cách giải dài Học sinh thử giải xem ( theo cách hướng dãn ) * Ta sử dụng phương pháp đổi biến số dạng
- Đặt :
2 ostdt.x=0 t=- ;
4
1 sin 1
( ) ostdt=dt
2 sin
dx c x t
x t
f x dx c
t
Vì : ; ost>0 4
t c
(3)- Vậy :
4
4
4
4
I dt t
2 Tích phân dạng : 2 0
ax
mx n
I dx a
bx c
Phương pháp :
b.1 : Phân tích
2
2 2
ax
( )
ax ax ax
A d bx c
mx n B
f x
bx c bx c bx c
b.2 Quy đồng mẫu số , sau đồng hệ số hai tử số để suy hệ hai ẩn số A,B b.3 Giải hệ tìm A,B thay vào (1)
b.4 Tính I =
2
1
2 ax
ax
A bx c B dx
bx c
(2)
Trong 2 0
ax bx cdx a
biết cách tính
VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Tính tích phân sau
1
2
2
x
I dx
x x
(a>0)
Giải
- Ta có : ( ) 2 22 2 2 2 1
2 5 5
A x
x B Ax B A
f x
x x x x x x x x
- Đồng hệ số hai tử số ta có hệ :
2
1
1 2 2
2 2
( )
2
2 3 2 5 2 5
x
A A
f x
B A B x x x x
- Vậy :
1 1
2
1 1
1
( )
2 5
x dx
I f x dx dx
x x x x
Theo kết , ta có kết :
2 5 3ln 2 1 2 2 3ln 2 1
I x x
Ví dụ 2 Tính tích phân sau
2
2
1
x
I dx
x x
Giải
- Ta có : 2 2 2 2 2 2
1 2 2
A x Ax A B
x B
x x x x x x x x
- Đồng hệ số hai tử số ta có : 2
2
A A
A B B
- Vậy :
2 2
2
2 2
0 0
2
1 1
2 2
0
1 2
x dx
I dx x x dx
x x x x x x
(4)Theo kết tính ví dụ ta có :
2
I
Ví dụ 3 Tính tích phân sau
2
4
4
x dx
I
x x
Giải
- Học sinh tự giải theo hướng dẫn - Sau cách giải nhanh
+/ Ta có : ( ) 2 4 2 2 2
4 5
x x
f x
x x x x x x
+/ Vậy :
1 1
2
2 2
0 0
1
4 2 1
2 ln
0
2
4 5 2 1
x dx x dx
I dx x x J
x x x x x
(1)
+/ Tính J : Đặt
2
2
2
2 1
2
x t
t x x dt dx dx
x x
Hay :
22
dt dx
t x Khi x=0, t=2+ 5; x=1, t=3+ 10
+/ Do :
3 10
2
3 10 10
ln ln
2
2
dt
J t
t
Thay vào (1) ta tìm I
3 10 10 2ln
2
I
3 Tích phân dạng :
1
0 ax
I dx a
mx n bx c
Phương pháp :
b.1 Phân tích : 2
1
ax n ax
mx n bx c m x bx c
m
(1)
b.2 Đặt :
2
1
1
1 1
ax
n
y t dy dx
x t m x t
n x
y m
x t bx c a t b t c
y y y
b.3 Thay tất vào (1) I có dạng : '
2 '
dy I
Ly My N
Tích phân biết cách tính
VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Tính tích phân sau
3
2
2
dx
x x x
(5)- Đặt :
2
1
1 ;
1
1
2 1;
2
x dx
y y
x
y
x y x y
- Khi :
2 2 2
2
2
4
1 1
2 3 y y
x x x x
y y y y y
- Vậy :
1
1
2
1
1
2
1
1 1
ln 1 ln
2
4
2
dy dy
I y y
y y
Ví dụ 2. Tính tích phân sau
1
2
3
1 3
x dx
x x x
Giải
- Trước hết ta phân tích :
2 2 2
3 1
1 3 3 3 3 3
x x
x x x x x x x x x x x x x x
* Học sinh tự tính hai tích phân Đáp số : 3ln5 ln
3 3
I
4 Tích phân dạng : I R x y dx ; R x;m x dx x
( Trong : R(x;y) hàm số hữu tỷ hai biến số x,y , , , số biết )
Phương pháp : b.1 Đặt : t=m x
x
(1)
b.2 Tính x theo t : Bằng cách nâng lũy thừa bậc m hai vế (1) ta có dạng x t
b.3 Tính vi phân hai vế : dx=' t dt đổi cận
b.4 Cuối ta tính :
' '
;m x ; '
R x dx R t t t dt
x
VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1 Tính tích phân sau
2
11
x dx x
Giải
- Đặt :
2
2
2
1; ; 0,
1 1 2
( ) 2
1 1
x t dx tdt x t x t
x t t t t
f x dx tdt dt t t dt
t t t
- Vậy :
2
2
1
2 11
2 4ln
1
1
x
dx t t dt
t x
(6)Ví dụ 2. Tính tích phân sau :
1
1
x
a dx
x x
3
3
0
b x x dx
9
c x xdx
3
2
2
1
x x
d dx
x
4
2
5
dx e
x
2
5
1
x
f dx
x
GIẢI
2
1
x
a dx
x x
Đặt :
1
2
2
0
2 1
1 2
1 0, 1
dx tdt t
t x x t I tdt t dt
x t x t t t
Vậy : I 221t2 lnt 011
3
3 2
0
1
b x x dxx x xdx
Đặt :
2
2 2 2
1
1 1
0 1,
xdx tdt
t x x t I t t dt
x t x t
Vậy :
2
4
1
2
1 58
1
5 15
I t t dt t t
9
c x xdx
Đặt :
2
2
0
2
1 1
1 0,
dx tdt
t x x t I t t tdt
x t x t
Vậy :
0
2
2
0
1 112
2
2
3 15
I t t dt t t
2
3 3
2
0
2
1
x x xdx
x x
d dx
x x
Đặt :
2
2 2
2
1
1
1;
1
0 1,
t t t tdt
x t xdx tdt
t x I t tdt
t
x t x t
Vậy : 2 59
5
I t t
4
2
5
dx e
x
Đặt :
3
2
2
5, 2.2
5
4
1 2,
x t dx tdt tdt
t x I dt
t t
x t x t
Vậy : 4 ln 4 4 ln ln 7 4ln6
2
(7)
5
2
5
5
0
1
1 2
33
0
5 5
1
d x x
f dx x
x x
Ví dụ 3. Tính tích phân sau :
5
0
a x x dx
3
2
0
b x x dx
2
2
0
c x x dx
2
2
xdx d
x x
0
e x xdx
1
3
0
f x x dx
GIẢI
1
5
0
1
a x x dxx x xdx
Đặt :
0
2
2
2 2
1
1 ;
1
0 1,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t t dt
x t x t
Vậy :
7 105
I t t t
3
2 2
0
b x x dxx x xdx
Đặt :
2 2
2
1
1;
1
0 1,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
Vậy : I 15t5 13t3 125815
2
2
0
c x x dx
Đặt :
2
2
2
0
2 ost ; ost
2sin 4sin 2cos 2cos 4sin
x=0 t=0.x=2 t=
dx c dt x c
x t I t t tdt tdt
Vậy :
2
1
1 os4t sin
4
0
I c dt t t
2 2 1 1
2
1 1
1
2 2
2
2
xdx
d x x dx x x dx
x x
- Vậy : 22 32 22 32 22
1
2 3
I x x
(8)0
e x xdx
Đặt :
1
2
2
0
1;
1 2
1 0,
x t dx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
Vậy : 10 1
5 15
I t t
1
3 2
0
3
f x x dxx x xdx
Đặt :
2 2
2
3
3;
3
0 3,
x t xdx tdt
t x I t t tdt t t dt
x t x t
Vậy : 15 13 56 12 315
I t t
Ví dụ 4. Tính tích phân sau :
1
3
3
x
a dx
x x
10
2
dx b
x x
1
2
0
1
x x
c dx
x
3
5
0
d x x dx
1
3
0
e x x dx
GIẢI
3
3
3
x
a dx
x x
Đặt : t x 1 x t 2 1 dxx 21tdt t 0;x 3 t 2
Vậy :
2 2
2
0 0
2
2
4
2 2 3 3ln
0
3 2 2
t t t
t
I tdt dt t dt t t t
t t t t t
Do : I6ln 8
10 10 10
2
5 5
2 1 1 1 1
dx dx dx
b
x x x x x
- Đặt :
2
2 2
1; 2; 10
2 1
1
( )
1
1
1
x t dx tdt x t x t
dx tdt
t x
f x dx dt
t
t t
x
- Vậy :
10
2
5
3
1 1
( ) 2 ln 2ln
2
1 1
I f x dx dt t
t t t
3
1 1
3
2 2
3 3
0 0
1
1 1
x x dx
x x dx
x x
c dx x x dx
x x x
(9)- Đặt :
3
3
3
3
1, 1;
1
( ) 1 3
x t dx t dt x t x t
t x
f x dx x x dx t t t dt t t dt
- Vậy :
3
1 3
6
0
3 3
( ) 3
7 14 28
I f x dx t t dt t t
3
5
0
1
d x x dxx x xdx
- Đặt :
2 2
2
4 2
1,
1
( ) 1
xdx tdt x t x t
t x x t
f x dx x x xdx t tdt t t t dt
- Vậy :
3
4
0
2
1 1
1
1
6 2
I x x xdx t t t dt t t t
1
3 2
0
1
e x x dxx x xdx
- Đặt :
2
2
2 2
1 ; 1,
1
( ) 1
x t xdx tdt x t x t
t x
f x dx x x xdx t t tdt t t dt
- Vậy :
1
2 2 4
0
1
1
1
0
3 15
I x x xdx t t dt t t dt t t
Ví dụ 5. Tính tích phân sau
1
0
1
x
dx x
( ĐHXD-96)
2 2
3
1
dx
x x
( BK-95)
3
3
1
x
dx x
(GTVT-98 )
2
2
1
x
dx x x
( HVBCVT-97 )
Giải
1
1
0
1
x
dx x
Ta có : ( ) 1 1 1 1 1 1
1
x x x
x
f x x x x x x x
x x
Vậy :
1
2
0
1
2 1
( )
0
5 15
I f x dx x x x x dx x x x x x x
2
2
2 2
2
3
1
1
dx xdx
x x x x
- Đặt :
2
2
2
2
2
1, ,
3
1
( )
1
1
x t xdx tdt x t x t
t x
xdx tdt dt
f x dx
t
t t
x x
-Vậy :
2
2
2
3
1 tan
1 12
1
3
dx dt
I acr t
t x x
(10)3 3
1
3
x
dx x
Đặt :
3
2
3
2
3
1
, , 1;
3
3
1
( )
3
3
t
x dx t dt x t x t
t x
x t
f x dx dx t dt t t dt
t x
- Vậy :
7
2
4
3
0
2
1 1 46
2
1
3 15
3
x
I dx t t dt t t
x
4
2 2
2
2
1
1
x x
dx xdx
x x x
- Đặt :
2
2 2
2 2
1 5,
1 1 1 1 1 1
( ) 1
1 1
x t xdx tdt x t x t
t x x t
f x dx xdx tdt dt dt
x t t t t
- Vậy :
2
2
3
1 1 1
( ) ln ln
2 1 5 3 1 5 1
t
f x dx dt t
t t t
Ví dụ 6 Tính tích phân sau 1 32
0
x
dx x x 1
( HVNHTPHCM-2000)
7
3
0
x
I dx
1 x
(ĐHTM-97)
3
3
3
0
x 2x xdx
(ĐHTL-2000)
2 / 2
x
dx x
(HVTCKT-97)
Giải
3
1 1
2
2
2
0 0
x x x
x
I dx dx x x 1xdx x dx
x x
x x
Vậy : Đặt
2
2
2
1, ; 1;
1
( )
x t xdx tdt x t x t
t x
f x dx t t tdt t t dt
Suy :
1
2
0
1
1
5 15
x x xdx t t dt t t
;
1
4
0
1
1
0
5
x dx x
- Do : 1
15 15
I
2 3
2
x
I dx
1 x
=
4
3
0
x xdx
x
- Đặt :
2 2
3
4
4
2 12
3
1, 1;
2
3 3 3
( )
2 2
x t xdx t dt xdx t dt x t x t
t x
t
f x dx t dt t t dt t t t t t dt
t
- Vậy :
2
13 10 14 11
1
2
3
4
1
2 14 11
I t t t t dt t t t t
( Học sinh tự tìm kết
(11)3
3
3
0
x 2x xdx
=
3
0
1 1
x xdx x xdx x xdx
1
2
0
1
2 2
0
3 5
I x x x dx x x x dx x x x x x x x x
4
2 / 2
x
dx x
Đặt :
2 ostdt.x=0 t=0;x=
2
sin
sin 1-cos2t
( ) ostdt=
ost
dx c t
x t
t
f x dx c dt
c
- Vậy :
4
1 1
1 os2t sin
2 2 0
I c dt t t
Ví dụ 7 Tính tích phân sau :
1
2
dx
1 x x
(HVQS-98)
1/
2
0
dx
(2x 1) x 1
(HVQS-99)
3
a
2 2
x x a dx ,a 0
(AN-96)
4
2
dx x x 9
(AN-99)
Giải
1
1
2
dx
1 x x
* Chú ý :
a Một học sinh giải cách , em tham khảo Nhân liên hợp ta :
- f(x)=
2 2
2
1 1 1 1
1
2 2
x x x x
x
x x x x x
- Vậy :
1 1
2
1 1
1
1 1 1
( ) ln
1
2 2
x
I f x dx dx xdx x x J
x x
* Tính J : Đặt
2
2 2
2
1 ; 2;
1 1
( )
1 1
x t xdx tdt x t x t
t x t t
f x dx tdt dt dt
t t t t
* Học sinh thử tính thử xem có khơng ? Nếu khơng giải thích xem ? ( Theo điều kiện tồn tích phân )
b Một học sinh giải theo cách khác : - Đặt :
2
2
1
, ;
os 4
tan
( )
1 os sin ost+1 ost tan
ost
dx dt x t x t
c t
x t dt dt
f x dx
c t t c c
t c
(12)* Đây cách giải :
- Đặt:
2
2 2 2 1
1 ,
2
t
t x x t x x t tx x x x t
t t
- Suy :
1
2
dx dt
t
- Đổi cận : x=-1, t= 1 ;x=1 t= 1 -Do :
2 2 2
2
21 2
1
2
1 1 1 1
2
ln
1 2 2 1
dt
dt t
I dt t dt
t t t t t t t
Hay : 1ln 1 2 1ln 1 ln 1 2 1ln 12 1 2
2 2 1 2 1 2
t I
t t
2 1/ 2 2
0
dx
(2x 1) x 1
* Chú ý :
-Cách Đặt
1
t ant dx= ; 0;
cos
x dt x t x t
t
- Suy : 2 2
2
2
1 ost
( )
1 os 2sin os 1+sin
2 tan ost
ost os
dt dt c du
f x dx dt
c t t c t t u
t c
c c t
- Vậy :
2
1
1 arctanu arctan
1 0
du I
u
* Học sinh tự tìm hiểu : Tại lại không đặt
t x để giải
3
a
2 2
x x a dx ,a 0
2
0
a
x x a xdx
* Học sinh thử làm theo cách có khơng ? - Đặt :
3
2
3 2
0
1
1
1 0
3
1
3
a du dx
u x a
I x x x dx
v x
dv x x
- Do : 1 23 1
3
a
I a J Tính tích phân J :
3
1
a
J x dx
* Cách khác : - Đặt :
2
4
2 2
2
0;
os
.tan
( ) tan sin
ost os os
a
dx dt x t x a t
c t
x a t
a a a
f x dx a t dt tdt
c c t c t
- Nếu lại đặt
2
4
3
2
2 ostdt.t=0 u=0;t=
4
sin sin
( ) ostdt=a
1 sin
du c t
u t t u
f t dt a c du
t u
(13)- Ta lại có :
3
2
1- 1-u 1 1
f(u)=
1 1
1-u u u u u
* Với :
3 3
3
1 1 1 1 1
( )
1 1 1 1 1
g u
u u u u u u u u u u
2
3 3 2
1 1 1 1 1 1
8 1 u 1 u u u 1 u 1 u 1 u 1 u u u
3 3 2 2
1 1 1 1
8 u u 16 u u u u
(1) -
2
2
1 1 1
( )
1 1 1 1
h u
u u u u u u
(2) Vậy :
2
2
0
( ) ( )
I g u du h u du (3)
2
2
3 2
0
1 1 1 1
( )
8 1 16 1 1
g u du du
u u
u u u u
2 2
2
1 1 1 2 11 85 2
ln 2 2ln 2ln
8 1 1 16 1 2 64 64
0
u
u u u
u u
2
2
2
0
2
1 1 1 1 1 2
( ) ln 2 2ln
4 1 1 1 1
0
u
h u du du
u u u u u
u u
Thay kết tìm vào (3) Vậy : 149
64
I
4
2
dx
x x 9
4
2
7
xdx
x x
- Đặt :
2
2
2
9 ; 4;
9 1
( )
3 3
9
x t xdx tdt x t x t
t x tdt dt
f x dx dt
t t t t
t t
- Vậy :
5
5
1 1 1 1
ln ln ln ln
4
6 3 6
t
I dt
t t t
Ví dụ 8. Tính tích phân sau
1
2
x
dx x x 1
(HVNGTPHCM-2000)
2 / 2
x
dx x
(HVTCKT-97)
3
2
x 1dx
(YHN-2001)
1
2
(1 x ) dx
(14)Giải
1
1
2
x
dx x x 1
=
3
1
3
2
0
1
1
x x x
dx x x x dx
x x
(1)
- Với :
1
3 2
0
1
x x dx x x xdx
Đặt :
2
2
2 2
1 1;
1
( ) 1
x t xdx tdt x t x
t x
g x dx x x xdx t t tdt t t dt
- Cho nên :
1
2
0
1 2
1
5 15
x x xdx t t dt t t
(2)
-1
4
0
1
1
0
5
x dx x
(3) Thay (2) (3) vào (1) ta có : I 6 2 115 56 115
2
2 / 2
x
dx x
Đặt :
2 ostdt.x=0 t=0;x= t=
2
sin
sin 1-cos2t
( ) ostdt=
ost
dx c
x t
t
f x dx c dt
c
- Do :
0
1 os2t 1 1
sin
2 2 0
c
I dt t t
3.I=
2
2
x 1dx
=
3 3
2
2
2 2
3 1
2 1
x
x x dx x dx dx
x x
Vậy :
3
2
2
3
1
5 2 ln ln ln
2
2
I I dx I x x I
x
4
1
2
(1 x ) dx
Đặt : 2
6
ostdt.x=0 t=0;x=1 t= sin
1 os2t ( ) os ostdt=cos
4
dx c
x t
c
f x dx c tc tdt dt
Vậy :
2
0
1 os4t 1
1 2cos cos os4t 2sin sin
4 8 16
0
c
I t dt t c dt t t t
Ví dụ 9. Tính tích phân sau
a
2 2
x a x dx (a 0)
(SPIHN-2000)
1
dx x 1 x
(QG-97)
3
0
dx
x x
(CĐSPHN-2000)
4
dx x(1 x )
(CĐSPKT-2000)
(15)1
a
2 2
x a x dx (a 0)
- Đặt :
2 2
ostdt.x=0 t=0;x=a t=
.sin
( ) sin ost.a.costdt=a sin cos
dx a c
x a t
f x dx a t a c t tdt
- Vậy :
4 4
2
4
0
1
sin os4t sin
4 8 0 16
a a a
I a tdt c dt t t
2
1
dx x 1 x
1
3
0
1 2 1 2
1 2
0
1 3
x x
dx x x dx x x
x x
3
0
dx
x x
0
1
4 1
4
4 2
x x
dx x x dx
x x
Vậy : 43 23 18 2 3 1 2 3
2 3
I x x
4
4
dx x(1 x )
Đặt :
2
2
1 ; 2;
1 2 1 2 1 1
( )
1
1
x t dx t dt x t x t
t x t dt
f x dx dt dt
t t t t
t t
- Vậy :
3
3
1 1
2 2ln ln ln 2ln
2
1 3
t
I dt
t t t
Ví dụ 10. Tính tích phân sau
1 2
(x x)dx
x
(ĐHHĐ-99)
2
dx x 1
(ĐHĐN-97)
3
2
2
0
x
x x 1dx dx
x
(ĐHCT)
4 2
/
2
x
0
x 2x
(x 1)sin xdx dx
( ĐHTSNT-2000)
Giải
1
1 2
(x x)dx
x
1
2
2 2
0
1
1
0
1 1
x x
dx x dx x
x x x
1
1
1 arctanx 2 1
0
x dx J
- Tính J ( Sử dụng phương pháp tích phân phần )
1
2 2
2
0 0
1 1
1 2 arctanx
0 1 1
x
x dx x x dx x dx I
x x
(16)- Do : 2
4
I I
2
2
dx x 1
Đặt :
2
2 3; 2
2 2 1
( )
1
x t dx tdt x t x t
t x tdt
f x dx dt
t t
- Do :
2
2
1
2 ln 2 ln 3 ln ln
3
1
I dt t t
t
3
2
2
0
x
x x 1dx dx
x
a
2 8 8
2
0 0 0
8
1 1
1 1 24
0
3 3
u du
x x dx udu u u du udu
u u
8
0
8
1 1 26 52
24 8
0
3 6 3
du du
I I u I
u u
b
2
3
0
1 2
1
1
1
x x
x
dx dx
x x
- Đặt :
2
2
1 ; 1;
1 2 2
( ) 2 4
x t dx tdt x t x t
t x t t
f x dx tdt t t dt
t
- Vậy :
2
2
1
2
2
2 4
1
3
I t t dt t t t
4 2
/
2
x
0
x 2x
(x 1)sin xdx dx
a
2 2
2 2
0 0
1 sinxdx sinxdx sinxdx osx osx 1
0
x x x d c c J
- Tính J:
2 2
2
0 0
osx osx.x 2 osxdx s inx sinx sin xdx
0
J x d c c x c x d x
2 osx 2
2 c 0 I
b
2
3 3
2
0
2
1
x x
x x
I dx xdx
x x
- Đặt :
2
2 2 2
4
1; ; 1;
1 1 1
( )
x t xdx tdt x t x t
t x t t
f x dx tdt t dt
t
- Vậy :
2
4
1
2
1 26
1
1
5
I t dt t t
(17)BÀI TẬP TỰ LUYỆN
1
1
x xdx
(ydtphcm-2000)
1
3
0
x x dx
(ĐHNGT-2000)
3
0
x dx x
2
2
dx
x x 4
(KA-2003)
5
3
0
x x dx
(DB-2003)
2
1
x
dx
1 x 1
(KA-2004)
7 e
1
1 3ln x.ln x dx x
(KB-2004)
7
3
x
dx x
(DB-2005)
9
2
dx
2x 1 4x 1
(DB-2006) 10
10
5
dx x x 1
(DB-06)
11 e
1
3 ln x dx x ln x
(DB-06) 12
5 3
2
x 2x
dx
x
(CĐSPHN-04)
13
4
5
x
dx
x 1
(CĐSPKT-04) 14
3
e
1
ln x dx x ln x 1
(DB-05)
15
2
5
2
x
dx
x x
16
4
3
6
x
dx
x x
17 2
a
x a x dx
18
1
2
0
dx
x x
19*
3
1
3
1 x dx x
20*
3
3
1
x dx x
21 2
a
x a
dx x
22*
3
0
1 x dx x
23*+
2
4
1
x
dx x
24
8
0 1
dx
x x