Lạc Hồng tích phân hữu tỉ và vô tỉ

Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT 1 ) I. Khái niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong . • Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong • Từ đó suy ra công thức : ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x S x S x f x x x → − = − 2. Định nghĩa tích phân • Cho hàm f liên túc trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số : F(b)-F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b , ký hiệu là : ( ) b a f x dx ∫ • Có nghĩa là : ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a= − ∫ • Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và ( ) ( ) ( ) b F x F b F a a = − thì : ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = − ∫ • Trong đó : - a : là cận trên , b là cận dưới - f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân - dx : gọi là vi phân của đối số -f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân II. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số bất kỳ thuộc K . Khi đó ta có : 1. ( ) 0 a a f x dx = ∫ 2. ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ . ( Gọi là tích chất đổi cận ) 3. ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ 4. [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ . ( Tích phân củ một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) . 5. ( ) . ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được ) Ngoài 5 tính chất trên , người ta còn chứng minh được một số tính chất khác như : 6 . Nếu f(x) [ ] 0 ;x a b≥ ∀ ∈ thì : [ ] ( ) 0 ; b a f x dx x a b≥ ∀ ∈ ∫ Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) 7. Nếu : [ ] ; : ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a x a b f x g x f x dx g x dx∀ ∈ ≥ ⇒ ≥ ∫ ∫ . ( Bất đẳng thức trong tích phân ) 8. Nếu : [ ] ;x a b∀ ∈ và với hai số M,N ta luôn có : ( )M f x N≤ ≤ . Thì : ( ) ( ) ( ) b a M b a f x dx N b a− ≤ ≤ − ∫ . ( Tính chất giá trị trung bình của tích phân ) III. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN A. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 1.Trong phương pháp này , chúng ta cẩn : • Kỹ năng : Cần biết phân tích f(x) thành tổng , hiệu , tích , thương của nhiều hàm số khác , mà ta có thể sử dụng được trực tiếp bảng nguyên hàm cơ bản tìm nguyên hàm của chúng . • Kiến thức : Như đã trình bày trong phần " Nguyên hàm " , cần phải nắm trắc các kiến thức về Vi phân , các công thức về phép toán lũy thừa , phép toán căn bậc n của một số và biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ . 2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Tính các tích phân sau a/ ( ) 4 2 2 1 2 1 1 1 x x dx x − + + ∫ b/ ( ) 1 2 3 0 1 x dx x + ∫ c/ ( ) ( ) 3 1 2 2 ln 1 2 1 x x x x dx x x − + + + ∫ d/ 2 3 2 4 2 2 1 2 1 x x x dx x x + − + − + ∫ Giải a/ ( ) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 x x x x x x x dx dx x x dx x x x x − +     − + = + = − +  ÷  ÷  ÷ + + + +     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 3 1 1 1 1 1 5 2 1 1 2 2 x d x d x x x⇒ − − + + = − + + = + − ∫ ∫ b/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 2 3 3 3 3 3 2 3 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x dx dx dx dx x x x x x x x x     + − + + = = − + = − +     + + + + + + + +         ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 ln 1 2 ln 2 0 0 0 1 1 2 8 1 1 1 d x d x d x I x x x x x x + + + ⇒ = − + = + + − = + + + + + + ∫ ∫ ∫ c/ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 1 2 2 ln 1 ln 1 ln 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 x x x x x x x dx dx x dx x x x x x x x     − + + + + −     = + = − +     + + + +     ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 1 1 ln 1 3 3 2 1 1 ln 1 1 1 3 1 x I x dx d x x x x x +   ⇒ = − + + = − + + =   +   ∫ ∫ ( ) 2 2 2 3 4 ln 1 3 ln 2= − + + − Trang 2 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) d/ ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 2 3 2 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 2 2 1 4 2 1 1 1 x x dx x x x dx dx dx x x x x x x   − + − +   = + + − + − + −   −   ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ( ) 4 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 2 1 1 4 1 1 2 1 d x x dx dx x x x x x x − +     = + − + −  ÷  ÷ − + − + − +     ∫ ∫ ∫ = ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln ln 4 2 1 2 1 1 1 2 2 2 x x x x x x x −  −  − + + − − − =   + − + +   Ví dụ 2. Tính các tích phân sau a/ ( ) 2 2 0 2sin sin 1 1 osx x x dx c π − + ∫ b/ 3 2 2 0 sin 2 2sin 3cos x dx x x π + ∫ c/ 1 2 1 1 2 ln 4 2 x dx x x − +    ÷ − −   ∫ d/ 4 2 0 sinx+ 1+tanx os dx c x π ∫ Ví dụ 3. Tính các tích phân sau a/ 2 3 3 ln 1 ln e e x dx x x + ∫ b/ ( ) 2 2 2 1 1 2 1 x dx x x − + ∫ c/ 3 4 2 6 4 sin 2 sin 2 x dx x π π + ∫ d/ 3 0 sin 3 . osxdxx c π ∫ B. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ I. Phương pháp đổi biến số dạng 1. Để tính tích phân dạng này , ta cần thực hiện theo các bước sau 1/ Quy tắc : • Bước 1: Đặt x=v(t) • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận • Bước 3: Phân tích f(x)dx=f(v(t))v'(t)dt • Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) v b b a v a v b f x dx g t dt G t v a = = ∫ ∫ • Bước 5: Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) v b G t v a 2/ Nhận dạng : ( Xem lại phần nguyên hàm ) * Chú ý : a. Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là : Dấu hiệu Cách chọn 2 2 a x− sin 2 2 ost 0 t x a t t x a c π π π  = ↔ − ≤ ≤   = ↔ ≤ ≤   Trang 3 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) 2 2 x a− [ ] ; sin 2 2 0; \ ost 2 a x t t a x t c π π π π    = ↔ ∈ −          = ↔ ∈       2 2 a x+ ( ) tan ; 2 2 cot 0; x a t t x a t t π π π    = ↔ ∈ −  ÷      = ↔ ∈  a x a x a x a x + − ∨ − + x=a.cos2t ( ) ( ) x a b x− − x=a+ ( ) 2 sinb a t− b. Quan trọng nhất là các em phải nhận ra dạng : - Ví dụ : Trong dạng phân thức hữu tỷ : * ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 0 ax b a x+ 2a 2 dx dx du bx c a u k a β β β α α α ∆ < = = + + +     −∆     +  ÷  ÷         ∫ ∫ ∫ Với : b x+ , , 2a 2 u k du dx a   −∆ = = =  ÷  ÷   . * áp dụng để giải bài toán tổng quát : ( ) ( ) 2 1 2 2 k dx k Z a x β α + ∈ + ∫ . * ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 3 1 dx dx x x x β β α α = + − − − ∫ ∫ . Từ đó suy ra cách đặt : 1 3 sinx t− = 3/ Một số ví dụ áp dụng : Ví dụ 1: Tính các tích phân sau a/ 1 2 0 1 x dx− ∫ b/ 1 2 2 0 1 1 2 dx x− ∫ c/ 2 2 1 1 3 2 dx x x+ − ∫ Giải a/ Đặt x=sint với : ; 2 2 t π π   ∈ −     • Suy ra : dx=costdt và : 0 sin 0 0 1 sin 1 2 x t t x t t π = ↔ = → =    = ↔ = → =   • Do đó : f(x)dx= ( ) 2 2 2 1 1 1 sin ostdt=cos 1 os2t 2 x dx tc tdt c dt− = − = + • Vậy : ( ) 1 2 0 0 1 os2t 1 1 1 1 1 ( ) sin 2 2 2 2 2 2 2 2 4 0 c dt f x dx t t π π π π + −     = = + = − =  ÷  ÷     ∫ ∫ b/ Đặt : x = 1 sin ; 2 2 2 t t π π   ∈ −     Trang 4 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) • Suy ra : dx = x=0 sint=0 t=0 1 ostdt 1 1 1 x= sin 2 2 2 2 2 c t t π ↔ →   ⇒  ↔ = → =   • Do đó : 1 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ostdt 2 1 2 2 2 2 2 2 2 11 2 1 sin 0 2 2 dx dx c dt t x t x π π π π = = = = = −   − −  ÷   ∫ ∫ ∫ ∫ c/ Vì : ( ) 2 2 3 2 4 1x x x+ − = − − . Cho nên : • Đặt : ( ) 1 1 2sin ; sin * 2 2 2 x x t t t π π −   − = ∈ − ↔ =     • Suy ra : dx= 2 costdt và : 1 1 1 sin 0 0 2 0; ost>0 2 1 1 6 2 sin 2 2 6 x t t t c x t t π π −  = ↔ = = → =     ⇒ ∈ →    −    = ↔ = = → =   • Do đó : f(x)dx= ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2cos 3 2 4 1 sin 4 1 dx dx tdt dt x x t x = = = + − − − − • Vậy : 2 6 1 0 ( ) 6 6 0 f x dx dt t π π π = = = ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính các tích phân sau a/ 2 2 1 12 4 5x x dx− − ∫ b/ 1 2 0 1 1 dx x x+ + ∫ c/ 5 2 2 1 4 7 dx x x− + ∫ d/ ( ) 2 2 2 0 b a x dx a x − + ∫ * Chú ý : Để tính tích phân dạng có chứa ( ) 2 2 2 ,x a a x+ − , ta còn sử dụng phương pháp đổi biến số : u(x)=g(x,t) Ví dụ 1 : Tính tích phân sau 1 2 0 1 1 dx x + ∫ Giải : • Đặt : 2 2 1 1 2 t x x t x t − + = − ⇒ = • Khi đó : 2 2 0 1; 1 1 2 1 2 x t x t t dx t  = → = − = → = −   + =   • Do vậy : ( ) 1 1 2 1 2 2 2 2 2 0 1 1 1 2 1 1 2 . ln ln 2 1 1 2 1 1 t t dt dx dt t t t t x − − − − − + − = = = = − − + − + ∫ ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân : 1 2 2 0 1I x x dx= − ∫ Giải Trang 5 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) • Đặt : t=sinx , suy ra dt=cosxdx và khi x=0,t=0 ; Khi x=1 , t= 2 π • Do đó : f(x)dx= 2 2 2 2 2 2 1 1 os4t 1 sin . 1 sin ostdt=sin cos 4 2 c x x dx t tc t tdt dt −   − = − =  ÷   • Vậy : I= ( ) 1 2 0 0 1 1 1 1 ( ) 1 os4t sin 4 2 8 8 4 8 2 16 0 f x dx c dt t t π π π π   = − = − = =  ÷   ∫ ∫ II. Đổi biến số dạng 2 1. Quy tắc : ( Ta tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số dạng 2 theo các bước sau : ) • Bước 1: Khéo léo chọn một hàm số u(x) và đặt nó bằng t : t=u(x) . • Bước 2: Tính vi phân hai vế và đổi cận : dt=u'(x)dx • Bước 3: Ta phân tích f(x)dx = g[u(x)]u'(x)dx = g(t)dt . • Bước 4: Tính ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) u b b a u a u b f x dx g t dt G t u a = = ∫ ∫ • Kết luận : I= ( ) ( ) ( ) u b G t u a 2. Nhận dạng : TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ A. DẠNG : I= ( ) ( ) 0 ax+b P x dx a β α ≠ ∫ * Chú ý đến công thức : ln ax+b ax+b m m dx a β α β α = ∫ . Và nếu bậc của P(x) cao hơn hoắc bằng 2 thì ta chia tử cho mẫu dẫn đến ( ) 1 ( ) ( ) ax+b ax+b ax+b P x m dx Q x dx Q x dx m dx β β β β α α α α = + = + ∫ ∫ ∫ ∫ Ví dụ 1 : Tính tích phân : I= 2 3 1 2 3 x dx x + ∫ Giải Ta có : 3 2 1 3 9 27 1 ( ) 2 3 2 4 8 8 2 3 x f x x x x x = = − + − + + Do đó : 2 2 3 2 3 2 1 1 2 1 3 9 27 1 1 3 9 27 13 27 ln 2 3 ln35 1 2 3 2 4 8 8 2 3 3 8 8 16 6 16 x dx x x dx x x x x x x     = − + − = − + − + = − −  ÷  ÷ + +     ∫ ∫ Ví dụ 2: Tính tích phân : I= 3 2 5 5 1 x dx x − + ∫ Giải Ta có : f(x)= 2 5 4 1 1 1 x x x x − = − − + + . Trang 6 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) Do đó : 3 3 2 2 5 5 3 5 4 1 5 1 1 4ln 1 5 1 4ln 1 1 2 4 5 x dx x dx x x x x x   − +     = − − = − − + = − +  ÷  ÷  ÷  ÷ + +       ∫ ∫ B. DẠNG : 2 ( ) ax P x dx bx c β α + + ∫ 1. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm phân biệt Công thức cần lưu ý : '( ) ln ( ) ( ) u x dx u x u x β α β α = ∫ Ta có hai cách Cách 1: ( Hệ số bất định ) Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ví dụ 3: Tính tích phân : I= 1 2 0 4 11 5 6 x dx x x + + + ∫ . Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) Ta có : f(x)= ( ) ( ) 2 3 2 4 11 4 11 5 6 ( 2)( 3) 2 3 ( 2)( 3) A x B x x x A B x x x x x x x x + + + + + = = + = + + + + + + + + Thay x=-2 vào hai tử số : 3=A và thay x=-3 vào hai tử số : -1= -B suy ra B=1 Do đó : f(x)= 3 1 2 3x x + + + Vậy : ( ) 1 1 2 0 0 1 4 11 3 1 3ln 2 ln 3 2ln 3 ln 2 0 5 6 2 3 x dx dx x x x x x x +   = + = + + + = −  ÷ + + + +   ∫ ∫ Cách 2: ( Nhẩy tầng lầu ) Ta có : f(x)= ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 1 2 5 1 2 5 1 1 2. 2. 5 6 5 6 2 3 5 6 2 3 x x x x x x x x x x x x x + + + + = + = + − + + + + + + + + + + Do đó : I= 1 1 2 2 0 0 1 2 5 1 1 2 ( ) 2. 2ln 5 6 ln 2ln3 ln 2 0 5 6 2 3 3 x x f x dx dx x x x x x x x +  +    = + − = + + + = −  ÷  ÷ + + + + +     ∫ ∫ 2. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + có hai nghiệm kép Công thức cần chú ý : ( ) '( ) ln ( ) ( ) u x dx u x u x β α β α = ∫ Thông thừơng ta đặt (x+b/2a)=t . Ví dụ 4 : Tính tích phân sau : I= 3 3 2 0 2 1 x dx x x+ + ∫ Giải Ta có : ( ) 3 3 3 3 2 2 0 0 2 1 1 x x dx dx x x x = + + + ∫ ∫ Đặt : t=x+1 suy ra : dx=dt ; x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=3 thì t=4 . Do đó : ( ) ( ) 3 3 4 4 3 2 2 2 2 0 1 1 4 1 3 1 1 1 3 3 3 ln 2ln 2 1 2 2 1 t x dx dt t dt t t t t t t t x −     = = − + − = − + + = −  ÷  ÷     + ∫ ∫ ∫ Trang 7 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) Ví dụ 5: Tính tích phân sau : I= 1 2 0 4 4 4 1 x dx x x− + ∫ Giải Ta có : ( ) 2 2 4 4 4 4 1 2 1 x x x x x = − + − Đặt : t= 2x-1 suy ra : 0 1 1 2 ; 1 1 2 x t dt dx dx dt x t = ↔ = −  = → =  = ↔ =  Do đó : ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 1 1 1 4. 1 1 4 4 1 1 1 1 2 ln 2 1 4 4 1 2 2 1 t x x dx dx dt dt t x x t t t t x − − +     = = = + = − = −  ÷  ÷ − − +     − ∫ ∫ ∫ ∫ 3. Tam thức : 2 ( ) axf x bx c= + + vô nghiệm : Ta viết : f(x)= ( ) 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ; 2 2 2 b u x P x P x a a u k b k a x a a a  = +   =    + −∆    −∆   =   + +  ÷  ÷           Khi đó : Đặt u= ktant Ví dụ 6: Tính tích phân : I= 2 2 0 4 5 x dx x x+ + ∫ Giải • Ta có : ( ) 2 2 2 2 0 0 4 5 2 1 x x dx dx x x x = + + + + ∫ ∫ • Đặt : x+2=tant , suy ra : dx= 2 0 tan 2 1 ; 2 tan 4 os x t dt x t c t = ↔ =  ⇒  = ↔ =  • Do đó : ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 0 tan 2 sin 2 ln ost 2 1 1 tan os ost 2 1 t t t t t x t dt t dx dt c t t t c t c x −   = = − = − −  ÷ +   + + ∫ ∫ ∫ Từ : 2 2 1 2 2 2 1 1 tan 2 1 tan 5 os ost 5 5 1 1 tan 4 1 tan 17 os ost 17 17 t t c t c t t c t c  = ↔ + = ↔ = → =    = ↔ + = ↔ = → =   • Vậy : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 ost ln ost 2 ln ost 2 ln cos 2 ln 2 cost t c c t c t t t t t t   − − = − − − − = − + −   • ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ost 1 1 5 ln 2 2 arctan4-arctan2 ln . 5 2 arctan4-arctan2 ln cost 2 17 17 c t t⇔ − + − = − = − Ví dụ 7: Tính tích phân sau : I= 2 3 2 2 0 2 4 9 4 x x x dx x + + + + ∫ Giải • Ta có : 3 2 2 2 2 4 9 1 2 4 4 x x x x x x + + + = + + + + • Do đó : 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 4 9 1 1 2 2 6 0 4 4 2 4 x x x dx dx x dx x x J x x x + + +     = + + = + + = +  ÷  ÷ + + +     ∫ ∫ ∫ (1) Trang 8 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) Tính tích phân J= 2 2 0 1 4 dx x + ∫ • Đặt : x=2tant suy ra : dx = 2 0 0 2 ; 0; ost>0 os 4 2 4 x t dt t c c t x t π π = → =     ↔ ∈ →    = → =     • Khi đó : 2 4 4 2 2 2 0 0 0 1 1 1 2 1 1 4 4 4 1 tan os 2 2 8 0 dx dt dt t x t c t π π π π = = = = + + ∫ ∫ ∫ • Thay vào (1) : 6 8 I π = + C. DẠNG : 3 2 ( ) ax P x dx bx cx d β α + + + ∫ 1. Đa thức : f(x)= ( ) 3 2 ax 0bx cx d a+ + + ≠ có một nghiệm bội ba Công thức cần chú ý : 1 1 1 1 . 1 m m dx x m x β α β α − = − ∫ Ví dụ 8: Tính tích phân : I= ( ) 1 3 0 1 x dx x + ∫ Giải Cách 1: • Đặt : x+1=t , suy ra x=t-1 và : khi x=0 thì t=1 ; khi x=1 thì t=2 • Do đó : ( ) 1 2 2 3 3 2 3 2 0 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 8 1 x t dx dt dt t t t t t x −     = = − = − + =  ÷  ÷     + ∫ ∫ ∫ Cách 2: • Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x + − = = − + + + + • Do đó : ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 3 2 3 2 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 2 8 1 1 1 1 x dx dx x x x x x     = − = − + =     + + + + +         ∫ ∫ Ví dụ 9 : Tính tích phân : I= ( ) 0 4 3 1 1 x dx x − − ∫ . Giải • Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 và : khi x=-1 thì t=-2 và khi x=0 thì t=-1 . • Do đó : ( ) ( ) 4 0 1 1 1 4 4 3 2 3 3 3 2 3 1 2 2 2 1 4 6 4 1 6 4 1 4 1 t x t t t t dx dt dt t dt t t t t t x − − − − − − − + + + + +   = = = + + + +  ÷   − ∫ ∫ ∫ ∫ • 1 2 2 3 2 2 1 6 4 1 1 4 1 1 33 4 4 6ln 6ln 2 2 2 2 8 t dt t t t t t t t t − − −     ⇔ + + + + = + + − − = −  ÷  ÷ −     ∫ 2. Đa thức : f(x)= ( ) 3 2 ax 0bx cx d a+ + + ≠ có hai nghiệm : Có hai cách giải : Hệ số bất định và phương pháp nhẩy tầng lầu Ví dụ 10 : Tính tích phân sau : I= ( ) ( ) 3 3 2 1 1 1 dx x x− + ∫ Trang 9 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) Giải Cách 1. ( Phương pháp hệ số bất định ) • Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A x B x x C x A B C x x x x x x x + + − + + − = + + = − + − + + − + • Thay hai nghiệm mẫu số vào hai tử số : 1 1 4 4 1 2 1 2 A A C C  =  =   ⇔   = −   = −   . Khi đó (1) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 4 1 1 A B x A C x A B C A B C B A C x x + + + + − − ⇔ ⇒ − − = ⇔ = − − = + − = − − + • Do đó : ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 . . 4 1 4 1 2 1 1 1 dx dx x x x x x   = + −  ÷  ÷ − + − + +   ∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 3 1 1 1 1 3 ln 1 1 . ln8 ln 2 2 4 2 1 4 4 I x x x   ⇔ = − + + = =   +   Cách 2: • Đặt : t=x+1, suy ra : x=t-1 và khi x=2 thì t=3 ; khi x=3 thì t=4 . • Khi đó : I= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 4 4 2 2 2 2 3 3 2 3 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 t t dt dx dt dt dt t t t t t t t x x   − − = = = −  ÷  ÷ − − − − +   ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4 4 2 3 4 1 1 1 1 1 1 2 1 3 ln ln ln 2 3 2 2 2 4 2 4 t I dt dt t t t t t    −    ⇔ = − − = − =  ÷  ÷  ÷ −       ∫ ∫ Hoặc : ( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 2 3 4 3 2 1 1 3 4 4 3 4 1 3 4 1 3 2 2 2 4 2 2 4 2 4 t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t − +    − − − −   = − = − = − +  ÷    ÷ − − − − −       • Do đó : I= 4 2 3 2 3 2 2 3 4 3 4 1 3 2 1 2 3 ln 2 3ln ln 2 3 2 4 4 4 t t dt t t t t t t t t   −       − + = − − − =  ÷  ÷  ÷  ÷ −         ∫ Hoặc : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 4 2 4 2 4 2 t t t t t t t t t t t t   − − +      ÷ = = − = − −  ÷  ÷  ÷ − − − −       • Do đó : I= 4 2 3 4 1 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 ln ln ln ln3 ln 2 3 4 2 4 4 2 2 3 3 4 6 t dt t t t t t  −        − − = + = + − − = − −  ÷  ÷  ÷  ÷ −         ∫ Ví dụ 11: Tính tích phân sau : I= ( ) ( ) 3 2 2 2 1 2 x dx x x− + ∫ Giải Đặt : x-1=t , suy ra : x=t+1 , dx=dt và : khi x=2 thì t=1 ; x=3 thì t=2 . Do đó : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 3 3 1 2 t x t t dx dt dt t t t t x x + + + = = + + − + ∫ ∫ ∫ Cách 1; ( Hệ số bất định ) Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 1 3 3 3 3 At B t Ct A C t A B t B t t At B C t t t t t t t t + + + + + + + + + + = + = = + + + + Trang 10 [...]... bậc cao hơn 4 ) α Ở đây tôi chỉ lưu ý : Đối với hàm phân thức hữu tỷ có bậc tử thấp hơn bậc mẫu tới hai bậc hoặc tinh ý nhận ra tính chất đặc biệt của hàm số dưới dấu tích phân mà có cách giải ngắn gọn hơn Phương pháp chung là như vậy , nhưng chúng ta khéo léo hơn thì cách giải sẽ hay hơn Sau đay tôi minh họa bằng một số ví dụ Ví dụ 1 Tính các tích phân sau 2 dx a ∫ x x 4 + 1 ( ) 1 b 1 2 x2 + 1 ∫... ) ( 1 − x + x2 ) 1 ⇔ f ( x) = 1 x 1 2x   1 + ⇒ ∫ + dx ÷ 3 1+ x 1+ x 2 1 + x3  1  x +1 2 Ví dụ 2 Tính các tích phân sau 3 a ∫ 1 1 x2 −1 dx x4 − x2 + 1 x4 + 1 b ∫ x 6 + 1 dx 0 Giải Trang 13 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) 3 a ∫ 1 x2 −1 dx Chia tử và mẫu cho x 2 ≠ 0 , ta có : 4 2 x − x +1 1 x2 ⇒ f ( x) = 1 x2 + 2 −1 x 1− 3 ∫ 3 f ( x)dx = 1 ∫ 1 1   1 − 2... ≠ 0 ) có ba nghiệm : 3 Đa thức : f(x)= 2 3 1 Ví dụ 12: Tính tích phân sau : I= ∫ x x 2 − 1 dx ( ) 2 Cách 1: ( Hệ số bất định ) • Ta có : f(x)= A ( x 2 − 1) + Bx ( x + 1) + Cx ( x − 1) 1 1 A B C = = + + = x ( x − 1) ( x + 1) x ( x 2 − 1) x ( x − 1) ( x + 1) x x − 1 x + 1 • Đồng nhất hệ số hai tử số bằng cách thay các nghiệm : x=0;x=1 và x=-1 vào   A = −1 x = 0 → 1 = − A  1 1 1 1  1 1    hai... 1 = = 2 − = − Ta có : 2 2 2 x −1 x 2 x −1 x x ( x − 1) x ( x − 1) Trang 11 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) 3 3 3 1 1 2 xdx 1 3 1 3 5 2 Do đó : ∫ x x 2 − 1 dx = 2 ∫ x 2 − 1 − ∫ x dx =  2 ln ( x − 1) − ln x ÷ 2 = 2 ln 2 − 2 ln 3   ( ) 2 2 2 4 x +1 Ví dụ 13: Tính tích phân sau : I= ∫ x x 2 − 4 dx ( ) 3 Cách 1: A ( x 2 − 4 ) + Bx ( x + 2 ) + Cx ( x − 2 ) x +1... 0, D = 0, A =1 E = 0   4 3 2 Nhưng nếu ta tinh ý thì cách làm sau sẽ hay hơn Vì x và x3 cách nhau 3 bậc , mặt khác x ∈ [ 1; 2] ⇒ x ≠ 0 Cho nên ta nhân tử và mẫu với x ≠ 0 Khi đó f ( x ) = 3 Trang 16 x3 4 3 3 Mặt khác d ( x ) = 4 x dx ⇔ dt = 4 x dx 4 4 x ( x + 1) ( t = x ) , cho nên : 4 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) f ( x) dx = 1 3 x 3dx 1 dt 1 1 1 ...  = a 3   t + sin 2t ÷ 2 − cos3t 2  = a 3   + ÷ = a 3 π 2 2  2  −π 3  2  2 2  −   2 2  π 2 Ví dụ 4 Tính các tích phân sau 1 3 dx a ∫ 5 2 x −x 2 1 c ∫ 0 b x3 − 2 x (x 2 + 1) 2 ∫ 0 2 dx d ∫ 1 x 7 dx (1+ x ) 4 2 1 + x3 dx x4 Giải Trang 21 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu nội bộ- Soạn : năm 2013 ) 3 3 dx 1 a ∫ x5 − x 2 = ∫ x 2 x − 1 x 2 + x + 1 dx ( )( ) 2 2 1 ( 1) A B Cx... = cos 2t dt , x = 0 → t = 0; x = 1 → t = 4  1 Đặt : x = tan t ⇒  Tính tích phân này không đơn tan 2 t dt 2  tan 2 t cos t = dt  f ( x)dx = cost 1 + tan 2 t  giản , vì vậy ta phải có cách khác x2 - Từ : g ( x) = x2 + 1 = x2 + 1 −1 x2 + 1 = x2 + 1 − 1 1 x2 + 1 1 1 ⇒ ∫ g ( x)dx = ∫ x 2 + 1dx − ∫ 0 0 0 1 x2 + 1 - Hai tích phân này đều tính được 1 1 2  1 1 x2 1 +/ Tính : E = ∫ x + 1dx =x x + 1... thay lần lượt các nghiệm vào hai tử số ta có : - Với x=0 : -9A=1 → A = − 1 9 1 9 1 - Với x=3 : 9B=1 → B = 9 5 5 1 t 2 − 9 5 1 144 1  1 1 1   1 I = ∫  − + + dt  =  ln ( t 2 − 9 ) − ln t  = ln = ln Vậy : ÷ 4 9 9 4  t t −3 t +3  9  t 4 9 35 - Với x=-3 : 9C=1 → C = * Chú ý : Nếu theo phương pháp chung thì đặt : x = 3sin t → dx = 3cos tdt Trang 23 Bài giảng số 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ( Tài liệu... + 2 ln ( x − 4 ) − ln x  3  ( )   3 3 3 x2 Ví dụ 14: Tính tích phân sau : ∫ x 2 − 1 x + 2 dx )( ) 2 ( Giải Cách 1: ( Hệ số bất định ) A ( x + 1) ( x + 2 ) + B ( x − 1) ( x + 2 ) + C ( x 2 − 1) x2 x2 A B C = = + + = ( x 2 − 1) ( x + 2 ) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 2 ) x − 1 x + 1 x + 2 ( x 2 − 1) ( x + 2 ) Thay lần lượt các nghiệm mẫu số vào hai tử số : Thay : x=1 Ta cớ : 1=2A , suy ra : A=1/2 Thay... 2 1 1 b ∫ 4 dx Ta có : F ( x) = 4 = x +1 x +1 1 1  1 + x2 + 1 − x2   ÷= 2 x4 +1  1  x2 + 1 x2 −1  1 −  ÷ = ( f ( x) − g ( x) ) 2  x4 +1 x4 +1  2 Đã tính ở trên ( phần a) Ví dụ 4 Tính các tích phân sau 2 a ∫(x 2 1 c 1− 5 2 ∫ 1 5 2 x −1 dx − 5 x + 1) ( x 2 − 3 x + 1) 2 b ∫x 4 3 2 dx − 4x2 + 3 x7 dx d I = ∫ 1 + x 8 − 2x 4 2 3 x2 + 1 dx x4 − x2 + 1 Giải 2 a ∫(x 1 x −1 dx Ta có : 2 − 5 x + 1) . hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân ) . 5. ( ) . ( ) b b a a kf x dx k f x dx= ∫ ∫ . ( Hằng số k trong dấu tích phân , có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được ) Ngoài 5. dưới dấu tích phân - dx : gọi là vi phân của đối số -f(x)dx : Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân II. Tính chất của tích phân Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K , a,b,c là ba số. Bài số 5: TÍCH PHÂN ( TIẾT 1 ) I. Khái niệm tích phân 1. Diện tích hình thang cong . • Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong • Từ đó