chuyên đề khối đa diện và khối tròn xoay

TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 – LUYỆN THI ĐẠI HỌC NĂM 2021 NẮM TRỌN CHUYÊN ĐỀ KHỐI ĐA DIỆN VÀ KHỐI TRÒN XOAY (Dùng cho học sinh 11,12 luyện thi Đại học năm 2021) ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… ……………………………………………………………… TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ THÁNG 10/2020 LỜI NÓI ĐẦU Các em học sinh, quý thầy cô bạn đọc thân mến ! Kỳ thi THPT Quốc Gia kỳ thi quan trọng Để tham dự đạt kết cao việc trang bị đầy đủ kiến thức kĩ cần thiết điều vơ quan trọng Thấu hiểu điều đó, cúng tiến hành biên soạn sách “ Nắm trọn chun đề mơn Tốn 2021 ” giúp em học sinh ơn luyện hồn thiện kiến thức trọng tâm phục vụ kỳ thi, làm tài liệu giảng dạy tham khảo cho quý thầy cô trước thay đổi phương pháp dạy học kiểm tra Bộ Giáo dục Đào tạo Bộ sách biên soạn gồm quyển:  Quyển 1: Nắm chọn chuyên đề Hàm số  Quyển 2: Nắm trọn chuyên đề Mũ – Logarit Tích phân  Quyển 3: Hình học khơng gian  Quyển 4: Hình học Oxyz Số phức Trong sách, chúng tơi trình bày cách rõ ràng khoa học – tạo thuận lợi cho em học tập tham khảo Đầu tiên tóm tắt tồn lý thuyết phương pháp giải dạng tốn Tiếp theo hệ thống ví dụ minh họa đa dạng, tiếp cận xu hướng đề kỳ thi THPT Quốc Gia năm gần bao gồm mức độ: Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng Vận dụng cao Cuối phần tập rèn luyện từ đến nâng cao để em hoàn thiện kiến thức, rèn tư rèn luyện tốc độ làm Tất tập sách tiến hành giải chi tiết 100% để em tiện lợi cho việc so sánh đáp án tra cứu thông tin Để biên soạn đầy đủ hồn thiện sách này, nhóm tác giả có sưu tầm, tham khảo số tốn trích từ đề thi Sở, trường Chuyên nước số tốn thầy/cơ tồn quốc Chân thành cảm ơn quý thầy cô sáng tạo toán hay phương pháp giải toán hiệu Mặc dù nhóm tác giả tiến hành biên soạn phản biện kĩ lưỡng không tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến phản hồi đóng góp từ quý thầy cô, em học sinh bạn đọc để sách trở nên hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp, q vị vui lịng gửi địa chỉ:  Gmail: Blearningtuduytoanhoc4.0@gmail.com  Fanpage: 2003 – ÔN THI THPT QUỐC GIA Cuối cùng, nhóm tác giả xin gửi lời chúc sức khỏe đến quý thầy cô, em học sinh quý bạn đọc Chúc quý vị khai thác hiệu kiến thức cầm tay sách ! Trân trọng./ NHÓM TÁC GIẢ MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN…… ……………………… ………………… Dạng 1: Mở đầu khối đa diện………………………………………………………………… 11 Dạng 2: Thể tích khối lăng trụ…… ………… ………………………………………………… 21 Dạng 3: Thể tích khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy……… ………………………… 55 Dạng 4: Thể tích khối chóp có mặt bên vng góc với đáy…… …………………………… 83 Dạng 5: Thể tích khối chóp đều……………… ………………………………………………… 115 Dạng 6: Thể tích khối tứ diện đặc biệt………… ……………………………………… …… 146 Dạng 7: Tỉ số thể tích……………………………… ………………………………………… … 191 Dạng 8: Các tốn thể tích chọn lọc………………… …………………………………… 236 Dạng 9: Bài tốn góc – khoảng cách………………………………………………………… 279 Dạng 10: Cực trị khối đa diện……………… …………………………………………………… 321 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRÒN XOAY NÓN – TRỤ - CẦU……………… ….…… 341 CHỦ ĐỀ: KHỐI NĨN, KHỐI TRỤ……………………… ………………………………… 341 Dạng 1: Tìm yếu tố liên quan đến khối nón, khối trụ…………………………………… 346 Dạng 2: Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện…… …………………………………… 370 Dạng 3: Cực trị toán thực tế khối tròn xoay …………………………… ………… … 382 CHỦ ĐỀ: KHỐI CẦU…………………… …….……………………………………………… 409 Dạng 1: Khối cầu ngoại tiếp tứ diện……………………………………………………………… 409 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CHỦ ĐỀ : THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN LÍ THUYẾT I Một số định nghĩa cần nhớ  Hình lăng trụ hình có hai đáy hai đa giác nằm hai mặt phẳng song song với mặt bên hình bình hành  Hình lăng trụ đứng Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất: Các mặt bên hình lăng trụ đứng hình chữ nhật vng góc với mặt đáy  Hình lăng trụ Định nghĩa Hình lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác Tính chất Các mặt bên hình lăng trụ hình chữ nhật vng góc với mặt đáy   Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành Hình hộp đứng Định nghĩa Hình hộp đứng hình hộp có cạnh bên vng góc với mặt đáy Tính chất Hình hộp đứng có đáy hình bình hành, mặt xung quanh hình chữ nhật  Hình hộp chữ nhật Định nghĩa Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Tính chất Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật  Hình lập phương Định nghĩa Hình lập phương hình hộp chữ nhật đáy mặt bên hình vng Tính chất Hình lập phương có mặt hình vng  Hình chóp hình có đáy đa giác mặt bên tam giác có chung đỉnh II Thể tích khối đa diện Cơng thức tính thể tích khối chóp V  S.h Trong đó: S diện tích đáy, h chiều cao khối chóp  Chú ý: Nếu khối chóp cần tính thể tích chưa biết chiều cao ta phải xác định vị trí chân đường cao đáy Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN      Chóp có cạnh bên vng góc chiều cao cạnh bên Chóp có hai mặt bên vng góc đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên vuông góc đáy Chóp có mặt bên vng góc đáy chiều cao mặt bên vng góc đáy Chóp chiều cao hạ từ đỉnh đến tâm đa giác đáy Chóp có hình chiếu vng góc đỉnh lên xuống mặt đáy thuộc cạnh mặt đáy đường cao từ đỉnh tới hình chiếu Cơng thức tính thể tích khối lăng trụ V  B.h Trong đó: B diện tích đáy, h hiều cao khối lăng trụ  Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong đó: a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật  Thể tích khối lập phương: V  a3 Trong a độ dài cạnh hình lập phương III Tỉ số thể tích Cho khối chóp S.ABC A, B,C điểm tùy ý thuộc SA,SB,SC , ta có: Cơng thức tỉ số thể tích: VS A ' B'C ' SA ' SB ' SC ' (hay gọi công thức Simson)  VS ABC SA SB SC Phương pháp áp dụng khối chóp khơng xác đinh chiều cao cách dễ dàng khối chóp cần tính phần nhỏ khối chóp lớn cần ý đến số điều kiện sau:    Hai khối chóp phải chung đỉnh Đáy hai khối chóp phải tam giác Các điểm tương ứng nằm cạnh tương ứng Định lý Menelaus: Cho ba điểm thẳng hàng FA DB EC  với DEF đường thẳng FB DC EA cắt ba đường thẳng BC ,CA, AB D, E, F Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN IV Một số cơng thức tính nhanh thể tích tỷ số tích khối chóp khối lăng trụ a3 12  Công thức : Với tứ diện ABCD có AB  a, AC  b, AD  c đơi vng góc thể tích  Cơng thức : Thể tích tứ diện cạnh a : VS ABC  VABCD  abc  Công thức : Với tứ diện ABCD có AB  CD  a, BC  AD  b, AC  BD  c thể tích VABCD  12 a     b2  c b2  c  a2 a2  c  b2  Công thức : Cho khối chóp S.ABC có SA  a , SB  b , SC  c , BSC   , CSA   , ASB   thể tích VS ABC  abc  2cos  cos  cos   cos   cos   cos   Công thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối lăng trụ tam giác ABC.ABC M , N , P cho AM BN CP xyz  x,  y,  z ta có VABC MNP  VABC ABC AA BB CC   Công thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối hộp ABCD.ABCD M , N , P,Q cho x yzt AM BN CP DQ  x,  y,  z,  t ta có VABCD MNPQ  VABCD ABCD AA BB CC DD x z  y t  Công thức : Mặt phẳng cắt cạnh khối chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình bình hành M , N , P,Q cho VS MNPQ  SM SN SP SQ  x,  y,  z,  t ta có cơng thức sau SA SB SC SD xyzt  1 1  1 1      VS ABCD     x z y t x y z t Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0” CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , có BC  a Mặt phẳng SAC  vng góc với mặt đáy, mặt bên lại tạo với mặt đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 12 B a3 a3 C D a3 Lời giải Chọn A Kẻ SH  BC  SAC    ABC  nên SH   ABC  Gọi I , J hình chiếu H AB BC  SJ  AB,SJ  BC Theo giả thiết SIH  SJH  45 Ta có: SHI  SHJ  HI  HJ nên BH đường phân giác ABC từ suy H trung điểm AC HI  HJ  SH  a a3  VSABC  SABC SH  12 VÍ DỤ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang vng A D , đáy nhỏ hình thang CD , cạnh bên SC  a 15 Tam giác SAD tam giác cạnh 2a nằm mặt phẳng vng góc với đáy hình chóp Gọi H trung điểm cạnh AD , khoảng cách từ B tới mặt phẳng SHC  6a Tính thể tích V khối chóp S.ABCD ? A V  24 a D V  a3 C V  12 a B V  a Lời giải Chọn D  SAD    ABCD   AD  SH   ABCD    SH  AD ,SH  SAD  S Ta có SH  SD  DH  a , HC  SC  SH  15a  3a  3a CD  HC  HD  12a  a  a 11  BF  BC  BF   SHC  nên Ta có   BF  SH  2 A B H D  d B,  SHC   BF  6a C F 1 BF.HC  3a.2 6a  2a 2 a2 11 a Đặt AB  x nên SAHB  AH.AB  x ; SCDH  DH.DC  2 2 SABCD   CD  AB  AD  a 11  x a SHBC    Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN     a a2 11  2a  x  12  11 a SAHB  SABCD  SCDH  SBHC  x  a 11  x a  2    SABCD  a 11  12  11 a a  12 2a 1 Vậy VS ABCD  SH.SABCD  a 3.12 2a2  a3 3 VÍ DỤ 3: Cho khối chóp S.ABC có góc ASB  BSC  CSA  60 SA  , SB  , SC  Thể tích khối chóp S.ABC A D C 2 B Lời giải Chọn C Gọi B SB cho SB  SB C  SC cho SC   SC Khi SA  SB  SC   S.ABC khối tứ diện Ta có: AM  2 3   AO  AM  3 Nên SO  SA  AO  SABC   V 2 SA SB SC Khi VS ABC  SABC  SO  mà S ABC    VS ABC  3VS ABC  2 3 VS ABC SA SB SC  Cách khác: áp dụng công thức VS ABC  SA.SB.SC  cos ASB  cos2 BSC  cos2 CSB  2cos ASB.cos.BSC.cosCSB  2 VÍ DỤ 4: Cho hình chóp S.ABC có AB  cm , BC  cm , CA  cm Hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC Các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA  tạo với đáy góc 60 Gọi AD , BE , CF đường phân giác tam giác ABC với D  BC , E  AC F  AB Thể tích S.DEF gần với số sau đây? A 3,7 cm3 B 3,4 cm3 D 4,1 cm3 C 2,9 cm3 S Lời giải Chọn B Vì mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCA  tạo với đáy góc 60 hình chiếu vng góc S xuống mặt phẳng  ABC  nằm bên tam giác ABC nên ta có hình chiếu S tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi p nửa chu vi tam giác ABC p  AB  BC  CA 9 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” E A F H I 60° C D B CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Ta có : SABC  p  p  AB  p  BC  p  AC   6 r  S  p Suy chiều cao hình chóp : h  r.tan60  2 Vì BE phân giác góc B nên ta có : Tương tự : Khi : EA BA  EC BC E F FA CA DB AB   , FB CB DC AC I SAEF AE AF AB AC   SABC AC AB AB  BC AC  BC Tương tự : A B C D SCED S CA BC BA CB , BFD   SABC CA  AB CB  AB SABC BC  CA BA  CA Do đó,   ab bc ac SDEF  SABC      , với BC  a , AC  b , AB  c   a  c  b  c   b  a  c  a   a  b  c  b      280 210 210 2abc 2  SABC   VS DEF  143 143 143  a  b  b  c  c  a   cm   3,4  cm  3 VÍ DỤ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABCD  trung điểm cạnh OC Góc mặt phẳng  SAB  mặt phẳng  ABCD  60 Tính theo a thể tích V hình chóp S.ABCD 3a 3 A V  a3 B V  3a 3 C V  D V  a3 Lời giải Chọn D Gọi H trung điểm cạnh OC  SH   ABCD  Kẻ HP  AB  P  AB   AB  HP  AB   SHP   AB  SP Ta có   AB  SH Do SAB ;  ABCD   SPH  60  tan 600  SH   SH  HP HP  HP  AB HP AH 3 3a 3a Trên  ABCD  ,   HP / / BC     HP  BC   SH  BC AC 4 4  BC  AB 1 3a a 3  V  SH.SABCD  a  3 4 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Bán kính mặt cầu R  SO  SN.SA SA 2   a SH 2SH 32 3 a Thể tích khối cầu tâm O V   R3  27 Câu 31: Chọn B Gọi E trung điểm ID , F trung điểm SB Trong mặt phẳng  SBD  , vẽ IT song song với SE cắt EF T Ta có SE   ABCD  , suy SBE  SB;  ABCD    45 Suy SBE vuông cân E Suy EF trung trực SB Suy TS  TB Ta có IT SE , suy IT   ABCD  Suy IT trục đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Suy TA  TB  TC  TD Từ suy T tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Do ABCD hình chữ nhật nên BD  AB2  BC  5a , suy IB  ID  a Do E trung điểm ID nên IE  ID  a BEF vng F có EBF  45 nên BEF vng cân F EIT vng I có IET  45 nên EIT vuông cân I Suy IT  IE  Do BIT vuông I nên TB  IB2  IT  a 5 a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 TB2  125 a Câu 32: Chọn C Gọi M , N , I trung điểm AB , CD MN Ta có ACD  BCD  AN  BN  ABN cân N , mà AM đường trung tuyến AM đường trung trực AB  MN  IA  IB  MN Chứng minh tương tự ta có  IC  ID  Từ suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACD ta 36  25  Error! Not a valid embedded object có AN  Xét tam giác vuông Error! Not a valid embedded object có: Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 429 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Vậy thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện Error! Not a valid embedded object.là: Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Câu 33: Chọn C Gọi Error! Not a valid embedded object đường kính S đường trịn ngoại tiếp Error! Not a valid embedded object Ta có Error! Not a valid embedded object K Từ suy Error! Not a valid embedded object Chứng minh tương tự ta Error! Not a valid embedded object H Từ,, ta suy điểm Error! Not a valid embedded object C nằm mặt cầu đường kính Error! Not a valid A embedded object Gọi Error! Not a valid embedded object trung điểm O D Error! Not a valid embedded object., ta có Error! Not a valid embedded object B Vậy diện tích mặt cầu qua điểm Error! Not a valid embedded object là: Error! Not a valid embedded object Câu 34: Chọn D Tứ diện Error! Not a valid embedded object đều, có độ dài cạnh Gọi H trọng tâm tam giác Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Gọi E trung điểm Error! Not a valid embedded object., suy Error! Not a valid embedded object Từ E hạ EN vng góc xuống AC, Error! Not a valid embedded object., suy Error! Not a valid embedded object Gọi Error! Not a valid embedded object tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Ta tính Error! Not a valid embedded object Dựng đường thẳng Error! Not a valid embedded object qua Error! Not a valid embedded object., vng góc với Error! Not a valid embedded object Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object suy Error! Not a valid embedded object hình chữ nhật Ta tính được: Error! Not a valid embedded object.; Error! Not a valid embedded object.; Error! Not a valid embedded object Đặt Error! Not a valid embedded object ta có Error! Not a valid embedded object 430 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Mà Error! Not a valid embedded object nên Error! Not a valid embedded object suy Error! Not a valid embedded object Vậy Error! Not a valid embedded object Câu 35: Chọn C Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Nên ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Error! Not a valid embedded object là: Error! Not a valid embedded object., với Error! Not a valid embedded object bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Error! Not a valid embedded object.,Error! Not a valid embedded object bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Error! Not a valid embedded object Ta có: Do Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object nên Error! Not a valid embedded object Trong Error! Not a valid embedded object vuông Error! Not a valid embedded object ta có Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object , Error! Not a valid embedded object Vậy Error! Not a valid embedded object Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là: Error! Not a valid embedded object Câu 36: Chọn B Dễ thấy góc Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object nên mặt cầu ngoại tiếp khối chóp Error! Not a valid embedded object có tâm trung điểm Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object có bán kính Error! Not a valid embedded object nên diện tích mặt cầu là: Error! Not a valid embedded object Câu 37: Chọn B Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 431 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NÓN – TRỤ - CẦU Gọi Error! Not a valid embedded object tâm hình vng Error! Not a valid embedded object Vì Error! Not a valid embedded object hình chóp tứ giác nên Error! Not a valid embedded object giao điểm Error! Not a valid embedded object mặt phẳng trung trực cạnh bên Error! Not a valid embedded object Khi Error! Not a valid embedded object qua Error! Not a valid embedded object song song với Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object Gọi Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object trung điểm Error! Not a valid embedded object., Error! Not a valid embedded object Ta có Error! Not a valid embedded object Suy Error! Not a valid embedded object Mà: Error! Not a valid embedded object Xét hình vng Error! Not a valid embedded object có cạnh Error! Not a valid embedded object.Error! Not a valid embedded object bán kính đáy hình vng Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Xét tam giác vuông SAI , ta có SA  AI  SI    Do cạnh bên hình chóp Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là: R  SA2 9   2.SI  AB  162 130 Khi OM  ON  R   , MN  BC      64   Từ suy cos MON  OM  ON  MN  2.OM.ON 2 130 2 33 64  130 65 64 Vậy cosin góc hai mặt phẳng  OAB  Error! Not a valid embedded object Error! Not a valid embedded object Câu 38: Chọn B 432 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Gọi H  hình chiếu vng góc A BC  AH   BCC B    AC ,  BCC B   HC A  30 ABC tam giác vuông A , AB  a , BC  2a suy AC  a AB.AC a  AC   AH  a  AA  AC 2  AC  a  BC Gọi I , I  trung điểm BC , BC Dễ thấy I , Error! Not a valid embedded object tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ABC Gọi O trung điểm II  suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho Ta có: AH  a  BC   BB  Bán kính mặt cầu : R  OB           2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho bằng: S  4 R2  6 a2 Câu 39: Chọn D Cách 1: Vì SBA  SCA  90 suy trung điểm I cạnh SA tâm mặt cầu ngoại tiếp hình SA chóp S ABC với bán kính R  5 5 5  SA    R3  R 6 Gọi O trung điểm BC , điểm D đối xứng với A qua O nên tứ giác ABDC hình chữ nhật Thể tích khối cầu V  Dễ thấy CD  SB , CD  DB  CD  SD 1 SC  DB , CD  DB  DB  SD   Từ  SD   ABDC   SD  SA2  AD    Gọi H chân đường vng góc D lên cạnh SB d  C ,  SAB    d  D,  SAB    DH Thật AB  BD ; AB  SD  AB   SDB   AB  DH ; DH  SB  DH   SAB  1 1 1        DH  2 2 DH SD DB DH 3 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 433 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  cm Cách 2: Vì SBA  SCA  90 suy trung điểm I cạnh SA tâm mặt cầu ngoại tiếp hình SA chóp S ABC với bán kính R  Thể tích khối cầu V  5 5  SA    R3  R 6 Mà O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  OI   ABC   d  C ,  SAB    2d  O,  ABI   Gọi O trung điểm BC , BIC cân nên OI  BC ; OI  IC  OC  Gọi N trung điểm AB nên ON  AB , OI  AB  AB   ONI    ABI    ONI  theo giao tuyến IN Kẻ OH  IN  OH   ABI   d  C ,  SAB    2d  O,  ABI    2OH 1 16       OH  2 OH ON OI 3 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  cm Câu 40: Chọn A S K H A C B Ta có: SA  BC ( Vì SA  ( ABC ) ) AB  BC  BC  (SAB) Ta lại có: AH  (SAB)  AH  BC Và AH  SB Từ suy AH  (SBC ) Khi AHC vng H Lại có AKC vng K ABC vuông B Suy B, H , K dều nhìn AC góc vng Vậy bốn điểm A, B, H , K thuộc mặt cầu đường kính AC Trong tam giác vng ABC có: AC  AB  BC  4a  R  434 AC  2a Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Câu 41: Chọn D Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BAC  450  BC  a suy tam giác ABC tam giác vuông cân B Vậy điểm B nhìn AC góc vng BC   SAB   BC  AB '   AB '  SB    AB '   BCC ' B '  AB '  B ' C SB  BC  B  SB   BCC ' B ' , BC   BCC ' B '  Suy B ' nhìn AC góc vng Do AC '  SC nên C ' nhìn AC góc vng Từ,, suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B ' mặt cầu đường kính AC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B ' là: R  AC a  2  a3 Suy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B ' là: V   R3  3 Câu 42: Chọn D Cách 1: S N I O C A F E M B Gọi M , N trung điểm BC AD Ta có: ABC SBC tam giác cạnh a  AM  SM   SAM tam giác cạnh a a Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 435 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Gọi F trung điểm AM  SF  AM 1 Mặt khác ABC  AM  BC SBC  SM  BC  BC   SAM   BC  SF   Từ 1    SF   ABC  Gọi E trọng tâm ABC , ABC  E tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Qua E kẻ đường thẳng  d  vng góc với mp  ABC    d  trục đường trịn ngoại tiếp ABC Vì SF   ABC    d  // SF Mặt khác SAM nên đường thẳng MN đường trung trực đoạn SA Trong mp  SAM  , gọi O   d   MN ; O   d   OA  OB  OC O  MN  OS  OA Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R  OA  OE  EA2 Trong ABC : AE  2 a a a , EM  AM  AM   3 3 SAM  MN đường phân giác góc SMA  OME  30 Xét OME vuông E : tan 30  Vậy R  OE  EA2  a a OE  OE   EM a a a 13   36 Cách 2: C M O S B H E A Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , E trung điểm SA SAB cân B nên H  BE Vì CA  CB  CS  a nên CH  (SAB)  Đường thẳng CH trục đường tròn ngoại tiếp SAB Gọi M trung điểm CB , qua M dựng đường thẳng  d  vng góc với BC  d   CH  O ; O   d   OB  OC + O  CH  OS  OA  OB Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC , bán kính R  OC CM CB CB CM CO  CO    Ta có CMO CHB  CH 2.CH CH CB 436 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Xét SBE ta có: BE  SB  SE  a  Ta có: SSAB 3a a 13  16 1 a 13 a a 39  BE.SA   2 16 a3 SA.SB AB 2a Bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB là: BH    4.S SAB a 39 13 16 Xét CHB ta có: CH  CB  BH  a  Vậy R  CO  4a 3a  13 13 CB a2 a 13   2.CH 3a 13 Câu 43: Chọn D Gọi M trung điểm BC ABC vuông cân B  MB  MA  MC  KAC vuông K  MK  AC AC BC  AB     BC   SAB   BC  AH  BC  SA    AH   SBC   AH  HC  AH  SB   AHC vuông H  MH  AC Từ 1   3  M tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB Bán kính khối cầu cần tìm: R  1 AC  AB  BC  a 2 2 a Thể tích khối cầu: V   R  3 Câu 44: Chọn D Gọi O tâm đáy, cạnh bên tạo với đáy góc 60 nên SO   ABCD  Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 437 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Mặt phẳng trung trực cạnh SD qua trung điểm M SD cắt SO I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu R  IS BD   OD  OD SM  SD    SM  ; IS    R cos 60 sin 60 500 Thể tích khối cầu tương ứng ngoại tiếp hình chóp V   R3   27 Câu 45: Chọn B A E 6a I B D F 8a C Gọi E, F thứ tự trung điểm AB, CD Coi a  , từ giả thiết ta có AC  AD  BC  BD  74 nên AF  CD, BF  CD   ABF   CD  EF  CD Chứng minh tương tự EF  AB Khi EF đường trung trực CD AB Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có IA IB IC ID R nên I thuộc đoạn thẳng EF EF  AF  AE  AD  DF  AE  74  16    IA  EA2  EI  x   Đặt EI  x  FI   x ;  2 2  ID  FI  FD  16    x   x  14 x  65 Ta có IA ID x2 x2 14 x 65 14x 65 x Khi IA  x   Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S Câu 46: Chọn C 4πR 4π.25a 5a 100πa Xét AOB nên cạnh AB  a Xét BOC vuông O nên BC  a 438 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Xét AOC có AC  AO  CO  AO.CO.cos1200  a Xét ABC có AB2  BC  AC nên tam giác ABC vng B  tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm H cạnh AC Lại có hình chóp O ABC có OA  OB  OC  a nên OH  ( ABC ) Xét hình chóp S ABC có OH trục đường tròn ngoại tiếp đáy, tam giác OHB kẻ trung trực cạnh SB cắt OH I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R  IS Xét OHB có HOB  60 ,cạnh OB  a  OE  3a 3a  IE  OE.tan 60  4  3a   a 2 a Xét IES vuông E: IS  IE  ES           2 Câu 47: Chọn B  P    Q      CA   Q   CA  AD nên A nhìn DC góc vng Có  P    Q   CA  , CA   P   P    Q      DB   P   DB  BC nên B nhìn DC góc vng Có  P    Q    DB  , DB   Q  Do đó, đường kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD DC Có BC  AB  AC  a  a  a ; DC  BC  DB  2a  a  a Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: R  a DC  2 Câu 48: Chọn B Mặt phẳng   mặt phẳng  AMNP  SC      Do   AM  SC , AN  SC , AP  SC   AM , AN , AP    Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 439 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU  BC  AB  BC  SA  Có   BC   SAB   BC  AM AB , SA  SAB     AB  SA  A  AM  BC  AM  SC  Từ ta có   AM   SBC   AM  MC  BC , SC   SBC   BC  SC  C  CD  AD  CD  SA  Tương tự ta có   CD   SAD   CD  AP AD , SA  SAD     AD  SA  A  AP  CD  AP  SC  Khi   AP   SCD   AP  PC CD , SC  SCD     CD  SC  C Nhận xét: AMC, ANC, APC tam giác vng có cạnh huyền AC Nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP trung điểm O AC  R  OA  32 AC AB   Vậy V   R3  3 2 Câu 49: Chọn B Trong mp  ABC  , gọi   ' trung trực đoạn thẳng AB AC Gọi I giao điểm   '   AB Vì  nên    AMB  , mà tam giác AMB vuông M suy  trục đường tròn   SA ngoại tiếp tam giác AMB Có I   IA  IB  IM Chứng minh tương tự ta  ' trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ANC Do IA  IN  IC Từ suy IA  IB  IM  IN  IC  I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM với bán kính R  IA Mặt khác tam giác ABC , I giao điểm hai đường trung trực nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Áp dụng định lý sin tam giác ABC R  IA  BC 2sin BAC  AB  AC  AB AC.cos BAC 2sin BAC   7a 2sin1500 28 7 a Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM : V   R  3 Cách 440 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Dựng AD đường kính đường trịn ngoại tiếp ABC Khi ABD  ACD  900  AB  BD ; AC  CD Ta có: AB  BD    BD   SAB  , AM   SAB  nên BD  AM SA  BD  Mặt khác AM  MB  AM   MBD   AM  MD hay AMD  900 Chứng minh tương tự: AND  900 Hình chóp A.BCNM có đỉnh nhìn đoạn AD góc vng nên khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM có đường kính AD Vì vậy, bán kính khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABC Áp dụng định lý sin tam giác ABC BC R  AB  AC  AB AC.cos BAC 2sin BAC 2sin BAC   7a 2sin1500 28 7 a Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCNM : V   R  3 Câu 50: Chọn C Gọi H trung điểm cạnh AB , ta có: CH  AB Ta có: d  S ,  ABC    2d  M ,  ABC    VSABC  2VMABC 1 Mà VMABC  VCMAB  SMAB d  C ,  MAB    16 3.d  C ,  MAB    16 3.CH 3 Do đó, VS ABC lớn d  C ;  MAB    CH hay CH   MAB  Gọi J , O tâm hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB tam giác ABC Dựng hai trục hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác MAB tam giác ABC cắt I Khi I tâm mặt cầu ngoại qua điểm A , B , C , M bán kính mặt cầu qua bốn 8  điểm A , B , C , M R  OC  OI      JH   2 Do S MAB  16 , AB   d  M , AB     Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ, ta có H  0;0;0  , A  4;0  , B  4;0  , M a ; a4  Đường trung trực đoạn thẳng AM qua điểm N  ;  có véc tơ pháp tuyến   a4  AM  a  4; nên có phương trình  a    x  4 y2        8  4  a  32  a  32  15  JH    J  0; Do Rmin         3 3 8       Câu 51: Chọn A Mặt cầu  S  có tâm I  2017; 2018; 2019  bán kính R  2020 Gọi S đỉnh hình nón Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TOÁN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 441 CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Gọi H tâm đường trịn đáy hình nón AB đường kính đáy Trường hợp 1: Xét trường hợp SH  R Khi thể tích hình nón đạt GTLN SH  R Lúc V    2020  3 Trường hợp 2:  SH  R  I nằm tam giác SAB hình vẽ 1 Đặt IH  x   x  R  Ta có V   HA2 SH    R  x   R  x  3    R  x  R  x  R  x   Dấu "  " xảy x    4R     6  32  2020  81 R 2020  3 Câu 52: Chọn B Gọi I, J tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD tam giác SAB M trung điểm AB O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có: JM  AB IM  AB mp  SAB   mp  ABCD  nên IM  JM , O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp nên OI   ABCD   OI  IM ; OJ   SAB   OJ  JM Do O, J , M , I đồng phẳng tứ giác OJMI hình chữ nhật Gọi R, Rb bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có: R  SO  SJ  OJ  Rb2  IM  Rb2  IA2  AM  Rb2  IA2  AB BD AB  AD a  3a    a  IA  a Áp dụng định lý Pytago: IA  4 AB a a   Áp dụng định lý sin tam giác SAB : Rb  2sin ASB 2.sin 60 Do đó: R  13 a2 a2 13  a2   a  S  4 R   a 12 Nhận xét: Xét hình chóp đỉnh S , có mặt bên  SAB  vng góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng đáy nội tiếp đường trịn bán kính Rd , bán kính mặt cầu ngoại tiếp tam giác SAB Rb Khi hình chóp nội tiếp mặt cầu có bán kính R  Rd2  Rb2  AB Câu 53: Chọn D Ta ghép hình chóp S ABC vào hình hộp đứng SRQP.DABC Khi tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đứng tâm hình chóp S ABC Từ giả thiết ABC tam giác vng cân B nên đáy hình hộp đứng hình vng d  A,  SBC    2d  O,  SBC    2a  OH  a 442 Thực sưu tầm biên soạn: nhóm admin luyện thi Đại học Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” CHUN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU Xét tam giác vng OIK có: 1 1   2 2 OH OI OK a    1   OI  3a OI  3a      Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC R  IB  OI  OB    OI  9a   3a   a 18    4 Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC V   R3   a 18 3 Câu 54: Chọn A   24 18 a3 Gọi H trung điểm AC  SH   ABC  ; I trung điểm AB  HI  BC a  a a 21 ; SH  SI  HI  a 15 AC  AH  SA2  SH  Gọi rb , rd bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAC, ABC Gọi R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tam giác SAB cạnh a  SI  SSAC a 35 SA.SC AC a 21  SH AC   rb   12 4SSAC Theo công thức Hê-rông: SABC  a2 AB AC.BC a 15  rd   4SABC  a 21  12 a AC a 21 R  rb  rd   Vậy: Smc  4    7   2 Sưu tầm biên soạn bởi: nhóm admin TƯ DUY TỐN HỌC 4.0 Một sản phẩm nhóm “TƯ DUY TỐN HỌC 4.0” 443 ... MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ: KHỐI ĐA DIỆN – HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Trang CHỦ ĐỀ: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN…… ……………………… ………………… Dạng 1: Mở đầu khối đa diện? ??……………………………………………………………… 11 Dạng 2: Thể tích khối lăng... trị khối đa diện? ??…………… …………………………………………………… 321 CHUYÊN ĐỀ: KHỐI TRỊN XOAY NĨN – TRỤ - CẦU……………… ….…… 341 CHỦ ĐỀ: KHỐI NĨN, KHỐI TRỤ……………………… ………………………………… 341 Dạng 1: Tìm yếu tố liên quan đến khối. .. khối nón, khối trụ…………………………………… 346 Dạng 2: Khối tròn xoay nội, ngoại tiếp khối đa diện? ??… …………………………………… 370 Dạng 3: Cực trị tốn thực tế khối trịn xoay …………………………… ………… … 382 CHỦ ĐỀ: KHỐI CẦU……………………