Lí thuyết xấp xỉ đều tốt nhất và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH THẢO LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THANH THẢO LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp cách tiếp cận nghiên cứu Tính sáng tạo Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn 1 1 2 2 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÔNG GIAN METRIC 1.2 KHƠNG GIAN TUYẾN TÍNH 1.3 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN VÀ KHƠNG GIAN BANACH 10 CHƯƠNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT 12 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 12 2.2 LÍ THUYẾT XẤP XỈ TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN BANACH 12 2.3 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN C[a;b] 14 2.4 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 23 CHƯƠNG ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀO GIẢI TOÁN CỰC TRỊ 28 3.1 ỨNG DỤNG XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC BẬC KHƠNG CHO BÀI TỐN CỰC TRỊ 28 3.2 ỨNG DỤNG XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC BẬC NHẤT CHO BÀI TOÁN CỰC TRỊ 30 3.3 MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG 33 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI 94 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phát triển khoa học kỹ thuật, lí thuyết xấp xỉ tốt lĩnh vực nhận quan tâm tốn học đại, có vai trị đặc biệt quan trọng tốn lí thuyết toán ứng dụng Đối với toán sơ cấp, việc ứng dụng lí thuyết xấp xỉ tốt cho ta lời giải tốn tìm cực trị số dạng toán khác Nhằm đem lại hướng giải giải số dạng Toán bậc trung học phổ thông (THPT), xây dựng tài liệu tham khảo việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi, xử lý số dạng toán nội dung thi đại học, cao đẳng năm gần đây, mong muốn tìm hiểu lí thuyết xấp xỉ ứng dụng việc giải số dạng toán sơ cấp gợi ý người hướng dẫn khoa học, thầy giáo – TS Lê Hải Trung, tác giả chọn đề tài “Lí thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng" cho luận văn thạc sĩ khoa học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết xấp xỉ tốt không gian Banach, không gian C[a;b] , xấp xỉ đa thức bậc không, xấp xỉ đa thức bậc ứng dụng lí thuyết xấp xỉ tốt vào giải toán cực trị Mục đích nghiên cứu Từ việc nghiên cứu tốn trình bày cách cụ thể, xây dựng lời giải tổng qt cho tốn dựa lí thuyết xấp xỉ tốt đa thức bậc không bậc lời giải sơ cấp tương ứng Đây yếu tố góp phần ảnh hưởng đến hình thành phát triển lực giải toán học sinh, đồng thời góp phần bồi dưỡng lực giải tốn cho học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài, số khái niệm kết giải tích hàm, nghiên cứu cách giải toán cực trị dựa vào lí thuyết xấp xỉ tốt lời giải sơ cấp Phương pháp cách tiếp cận nghiên cứu Trong phạm vi đề tài có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực: Giải tích hàm, Lí thuyết Phương trình vi phân, Giải tích Phương pháp giới thiệu đề tài đưa việc vận dụng số ứng dụng lí thuyết xấp xỉ tốt để giải tốn sơ cấp có chất xấp xỉ hàm nhằm bồi dưỡng lực giải toán cho học sinh giỏi trung học phổ thơng Tính sáng tạo Bên cạnh lời giải sơ cấp tương ứng, tác giả xây dựng lời giải tổng quát cho toán cực trị thường gặp dựa lí thuyêt xấp xỉ tốt đa thức bậc không bậc Giúp giáo viên có định hướng tốn tương tự cho học sinh giỏi cách lựa chọn hàm số f (x) đoạn [a; b] cho trình tính tốn khơng q cồng kềnh Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lí thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo để góp phần dạy tốt mơn Giải tích trường THPT, làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành tốn đối tượng quan tâm đến lí thuyết xấp xỉ tốt Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm ba chương, đó: Chương 1: Tác giả hệ thống lại kiến thức sở: nhằm mục đích phục vụ cho chương chương Chương 2: Lí thuyết xấp xỉ tốt nhất: Là nội dung luận văn Chương tác giả trình bày số định lý, định nghĩa lí thuyết xấp xỉ tốt nhất, xấp xỉ đa thức bậc không, xấp xỉ đa thức bậc nhất, Chương 3: Ứng dụng lí thuyết xấp xỉ tốt vào giải toán cực trị Luận văn soạn thảo phần mềm VieTex với dung lượng 92 trang, máy tính Sony Vaio Vpc - Eb33FM/BJ, hệ điều hành Windows Ultimate, 2.67 Hz, Ram 4.0GB CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương tác giả trình bày số kiến thức khơng gian metric, khơng gian tuyến tính, không gian định chuẩn không gian Banach Các kiến thức chuyên sâu chương xem tài liệu [2], [6], [9] tài liệu phổ biến dành cho bậc đại học cao 1.1 KHÔNG GIAN METRIC Định nghĩa 1.1.1.([1]) Cho X với ánh xạ d: X × X −→ R thỏa mãn điều kiện sau: d(x, y) ≥ ∀x, y ∈ X d(x, y) = ⇔ x = y ∀x, y ∈ X d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X Tập X với ánh xạ d gọi không gian metric ánh xạ d gọi hàm khoảng cách Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử x, y ∈ R, đặt d(x, y) = |ex − ey | Khi d metric R Thật vậy: ∀x, y ∈ R ta có d(x, y) = |ex − ey | ≥ d(x, y) = ⇔ |ex − ey | = ⇔ ex − ey = ⇔ ex = ey ⇔ x = y d(x, y) = |ex − ey | = |ey − ex | = d(y, x) ∀x, y ∈ R d(x, z) = |ex − ez | = |ex − ey + ey − ez | ≤ |ex − ey | + |ey − ez | = d(x, y) + d(y, z) Định nghĩa 1.1.2.([1], [5]) Cho dãy phần tử xn ∈ X, ∀n ∈ N ∗ phần tử x∗ ∈ X Khi x∗ gọi giới hạn dãy {xn }n∈N ∗ nếu: lim d (xn , x∗ ) = kí hiệu lim xn = x∗ n−→∞ n−→∞ Định nghĩa 1.1.3.([1], [5]) Một dãy điểm {xn } , n = 1, 2, 3, không gian metric (X, d) gọi dãy (hay dãy Cauchy) nếu: lim m,n−→∞ d (xm , xn ) = ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 cho ∀n, m > N0 d (xn , xm ) < ε Định nghĩa 1.1.4.([1]) Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy X hội tụ tới phần tử thuộc X Ví dụ 1.1.2 Cho X = {x = {xn } |xn ∈ R, ∀n ∈ N ∗ , xn → 0} ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ X Đặt d(x, y) = max∗ |xn − yn | n∈N Chứng minh d metric đầy đủ X Chứng minh tồn max∗ |xn − yn | n∈N ∀x = (xn ), y = (yn ) ∈ X ⇒ xn → 0, yn → Trường hợp xn = yn ∀n ∈ N ∗ ⇒ |xn − yn | = ∀n ∈ N ∗ ⇒ max∗ |xn − yn | = n∈N x −y Trường hợp ∃n0 ∈ N ∗ : xn0 = yn0 Đặt ε = n0 n0 ⇒ ε > ∃n1 ∈ N ∗ : ∀n > n1 , | xn |< ε, ∃n2 ∈ N ∗ : ∀n > n2 , | yn |< ε Chọn n∗ = max {n1 , n2 } ⇒ n∗ ∈ N ∗ Xét {|x1 − y1 | , |x2 − y2 | , |xn∗ − yn∗ |} hữu hạn ⇒ ∃i0 ∈ {1, n∗ } : |xi0 − yi0 | = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 | , |xn∗ − yn∗ |} Phải chứng minh |xi0 − yi0 | = max∗ |xn − yn | n∈N ∗ ∗ + ∀n ∈ N , n > n ⇒ |xn | < ε, |yn | < ε ⇒ |xn − yn | = |xn + (−yn )| ≤ |xn | + |−yn | = |xn | + |yn | < 2ε |xn −yn | |xn −yn | = 04 = 02 ⇒ n0 ≤ n∗ ⇒ |xn0 − yn0 | ≤ |xi0 − yi0 | |xi −yi | ⇒ |xn − yn | ≤ ≤ |xi0 − yi0 | + Nếu n ≤ n∗ , ⇒ ∀n ∈ N ∗ , |xn − yn | ≤ |xi0 − yi0 | ⇒ ∃ max∗ |xn − yn | n∈N 80 1 n m(n−1) n−1 ( ) n n ⇒ m − m.( n1 ) n−1 + [ mn ( n1 ) n−1 − mn ]a > 1 n−1 ⇒ M > m(n−1) 2n ( n ) Trường hợp 3: với a = mn−1 n Ta có: g(0) = −b = g(mn ), g( mn ( n1 ) n−1 ) = 1 n−1 Nếu b > m(n−1) ( ) 2n n 1 n−1 ⇒ −b < − m(n−1) ( ) 2n n 1 n−1 n−1 ⇒ m(n−1) ( ) − b < m(n−1) n n 2n ( n ) ⇒ m(n−1) n−1 ( ) n n −b > n Vậy M ≥ g( mn ( n1 ) n−1 ) m(n−1) n−1 ( ) 2n n 1 n−1 ( ) = m(n−1) n n m(n−1) n−1 ( ) n n −b > −b m(n−1) n−1 ( ) 2n n 1 n−1 ⇒ M > m(n−1) 2n ( n ) 1 m(n−1) n−1 m(n−1) n−1 n−1 ( ) ⇒ −b > − ( ) ⇒ |−b| > ( ) Nếu b < m(n−1) 2n n 2n n 2n n 1 n−1 Vậy M ≥ |g(0)| = |−b| > m(n−1) 2n ( n ) 1 n−1 ⇒ M > m(n−1) 2n ( n ) √ 1 m(n−1) n−1 1 n−1 Nếu b = 2n ( n ) ⇒ g(x) = n x − mn−1 x − m(n−1) 2n ( n ) Ta có: g (x) = n1 g (x) = ⇔ n1 ⇔x n−1 n = mn−1 n x n−1 n − ⇔x= x n−1 n mn−1 − mn−1 = ⇔ n1 n−1 n mn−1 n x n−1 n ⇔x= = mn−1 mn n−1 ( ) n n 1 n−1 Lại có: g(0) = − m(n−1) 2n ( n ) n 1 n−1 g(mn ) = − m(n−1) , g( mn ( n1 ) n−1 ) = 2n ( n ) Bảng biến thiên m(n−1) n−1 2n ( n ) 81 Dựa vào bảng biến thiên, ta maxn |g(x)| = Kết luận: với a = mn−1 , b = x∈[0;m ] m(n−1) n−1 2n ( n ) m(n−1) n−1 ( ) 2n n √ maxn | n x − ax − b| đạt x∈[0;m ] m(n−1) n−1 ( ) 2n n GTNN Nhận xét Qua ví dụ 3.3.19, ta đưa toán tương tự đơn giản cách chọn cặp (m; n) sau: (1; 2), (1; 3), (4; 2), (8; 3), (16; 4), (32, 5) √ Bài Tìm a b để max | x − ax − b| đạt x∈[0;32] Áp dụng kết ví dụ 3.3.19 với m = 2, n = ta a = 4 √ b = 5√ Khi GTNN đạt 5 √ Bài Tìm a b để max | x − ax − b| đạt 16 x∈[0;8] Áp dụng kết ví dụ 3.3.19 với m = 2, n = ta a = b = 3√2 Khi GTNN đạt 3√2 Bài Tìm a b để max ax5 + x + b đạt x∈[0;3] √ 5 Đặt t = x ⇒ x = t Đổi biến: với x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = 243 Khi yêu cầu tốn tương đương với: √ Tìm a b để max t + at + b đạt t∈[0;243] Áp dụng kết ví dụ 3.3.19 với m = n = ta a = − 16 4 √ b = −5√ Khi GTNN đạt 545 Ví dụ 3.3.20 Tìm a b để maxπ 51−cos |x|≤ x + a sin x − b đạt Lời giải 2 Ta có: 51−cos x + a sin x − b = 5sin x + a sin x − b = 5sin x − (−a sin x − b) Đặt t = sin x, t ∈ [−1; 1] 2 Khi maxπ 51−cos x + a sin x − b = max 5t − (−at + b) |t|≤1 |x|≤ t2 Đặt f (t) = (C), ta có: 2 f (t) = 2t.5t ln 5, f (t) = 2.5t ln 5(1 + 2t2 ) > 82 Suy hàm số f (t) lõm [−1; 1] Cách 1: vận dụng lí thuyết xấp xỉ tốt Cách 1: Yêu cầu toán tương đương với: Tìm a b để max 5t − (−at + b) đạt |t|≤1 Tức ta tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc q(t) = −at + b hàm số f (t) = 5t [−1; 1] Ta có: f (−1) = = f (1) ⇒ A(−1; 5), B(1; 5) ∈ (C) −→ → ⇒ AB = (2; 0) ⇒ VTPT AB là:− n− AB = (0; 2) → Phương trình đường thẳng AB qua A nhận − n− AB = (0; 2) làm VTPT có dạng: 2(y − 5) = ⇔ y = ⇒ hệ số góc đường thẳng AB k = Gọi M (t0 ; 5t0 ) ∈ (C), gọi ( ) phương trình tiếp tuyến (P ) M song song với AB Ta có: 2 f (t) = 2t.5t ln ⇒ f (t0 ) = 2t0 5t0 ln Vì ( ) song song với AB nên f (t0 ) = k ⇔ 2t0 5t0 ln = ⇔ t0 = ⇒ f (0) = ⇒ phương trình tiếp tuyến ( ) là: y = Khi đường thẳng cần tìm đường song song, cách AB ( ) có phương trình là: y = 12 (5 + 1) = Suy đa thức xấp xỉ tốt bậc hàm số f (t) = 5t [−1; 1] là: q(t) = Do a=0 b=3 Vậy a = 0, b = max 5t − (−at + b) đạt |t|≤1 83 Hay a = 0, b = maxπ 51−cos x |x|≤ + a sin x − b đạt Khi GTNN đạt là: max 5t − = |t|≤1 Hay ta trình bày lời giải sau: Ta có: f (t) = 5t hàm số chẵn [−1; 1] nên đa thức xấp xỉ tốt [−1; 1] hàm chẵn Suy a = Do đa thức xấp xỉ tốt bậc hàm số f (t) = 5t [−1; 1] đa thức xấp xỉ tốt bậc không hàm số f (t) = 5t [−1; 1] Trước tiên ta tìm GTLN - GTNN hàm số f (t) = 5t [−1; 1] Ta thấy hàm số f (t) = 5t xác định liên tục [−1; 1] Ta có: f (t) = 2t.5t ln f (t) = ⇔ 2t.5t ln = ⇔ t = Lại có: f (0) = 1, f (−1) = = f (1) So sánh giá trị trên, ta được: max f (t) = 5, f (t) = t∈[−1;1] t∈[−1;1] Suy đa thức xấp xỉ tốt bậc không hàm số f (t) = 5t [−1; 1] là: p(t) = 5+1 =3 ⇒b=3 Vậy a = 0, b = max 5t − (−at + b) đạt |t|≤1 Hay a = 0, b = maxπ 51−cos x |x|≤ + a sin x − b đạt Khi GTNN đạt là: max 5t − = |t|≤1 Cách 2: Giải toán sơ cấp Đặt g(t) = 5t + at − b, M = max |g(t)| t∈[−1;1] 84 Ta có: g(−1) = − a − b, g(1) = + a − b, g(0) = − b Trường hợp 1: với a > Ta có 2M ≥ |g(0) − g(−1)| = |1 − b − + a + b| = |a − 4| a > ⇒ a − > −4 ⇒ |a − 4| > ⇒ M > Trường hợp 2: với a < Ta có 2M ≥ |g(1) − g(0)| = |5 + a − b − + b| = |a + 4| a < ⇒ a + < ⇒ |a + 4| > ⇒ M > Trường hợp 3: với a = Ta có g(−1) = − b = g(1), g(0) = − b Nếu b > ⇒ −b < −3 ⇒ − b < ⇒ |5 − b| > Vậy M ≥ |g(1)| = |5 − b| > ⇒ M > Nếu b < ⇒ −b > −3 ⇒ − b > −2 ⇒ |1 − b| > Vậy M ≥ |g(1)| = |1 − b| > ⇒ M > 2 Nếu b = ⇒ g(t) = 5t − 2 Ta có: g (t) = 2t.5t ln 5, g (t) = ⇔ 2t.5t ln = ⇔ t = Lại có: g(−1) = 2, g(0) = −2, g(1) = Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta max |g(t)| = |t|≤1 Vậy a = 0, b = max 5t − (−at + b) đạt |t|≤1 Hay a = 0, b = maxπ 51−cos x |x|≤ + a sin x − b đạt Khi GTNN đạt là: max 5t − = |t|≤1 85 Nhận xét Căn vào lời giải toán cao cấp ví dụ 3.3.20, ta đưa toán tương tự với cách đặt câu hỏi khác sau: Bài Cho hàm số y = f (x) = 5x − ax + b , x ∈ [−1; 1] Tìm a b để max f (x) đạt x∈[−1;1] Bài Tìm a b để max 5x − ax + b ≥ x∈[−1;1] Bài Với giá trị a b GTLN hàm số y = 5x − ax + b [−1; 1] đạt GTNN 2 Bài Cho hàm số y = f (x) = 5x − ax + b Tìm a b để |f (x)| ≤ 2, ∀x ∈ [−1; 1] Bài Cho hàm số y = f (x) = 51−cos x + a sin x − b Tìm a b để |f (x)| ≤ 2, ∀x ∈ [− π2 ; π2 ] Bài Với giá trị a b GTLN hàm số y = 51−cos x + a sin x − b [− π2 ; π2 ] đạt GTNN e−2 Ví dụ 3.3.21 Tìm p q để |ln x − px − q| ≤ 2(1−e) + 12 ln(e − 1), ∀x ∈ [1; e] e−2 Lời giải Đặt f (x) = ln x − px − q, M0 = 2(1−e) + 12 ln(e − 1) Ta có: f (x) = x1 − p, f (x) = − x12 < 0, ∀x ∈ [1; e], suy hàm số f (x) lồi [1; e] Ta xét điểm: x = 1, x = e − 1, x = e Ta có: f (1) = −p−q, f (e) = 1−pe−q, f (e−1) = ln(e−1)−p(e−1)−q Từ suy |−p − q| ≤ M0 , |1 − pe − q| ≤ M0 |ln(e − 1) − p(e − 1) − q| ≤ M0 Từ |−p − q| ≤ M0 ⇒ |−p − q| ≤ M0 ⇔ −M0 ≤ −p − q ≤ M0 Từ |ln(e − 1) − p(e − 1) − q| ≤ M0 (3.29) 86 ta có: ⇔ −M0 ≤ ln(e − 1) − p(e − 1) − q ≤ M0 (3.30) Cộng (3.29) (3.30) vế theo vế ta được: −2M0 ≤ ln(e − 1) + p(2 − e) ≤ 2M0 ⇔ −2M0 − ln(e − 1) ≤ p(2 − e) ≤ 2M0 − ln(e − 1) ⇔ 1 ln(e − 1) ≤p≤ + e−1 e−1 e−2 (3.31) Mặt khác: −M0 ≤ − pe − q ≤ M0 (3.32) −M0 ≤ − ln(e − 1) + p(e − 1) + q ≤ M0 (3.33) Từ (3.31) suy Cộng(3.32) (3.33) vế theo vế ta được: −2M0 ≤ − ln(e − 1) − p ≤ 2M0 ⇔ −2M0 − + ln(e − 1) ≤ −p ≤ 2M0 − + ln(e − 1) − 2e − ln(e − 1) ≤ p ≤ 1−e e−1 Từ (3.31) (3.34) cho ta p = e−1 Khi ta có: − e−1 − q ≤ M0 |ln(e − 1) − q − 1| ≤ M0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − q ≤ M0 −M0 ≤ − e−1 −M0 ≤ ln(e − 1) − q − ≤ M0 1 −M0 + e−1 ≤ −q ≤ M0 + e−1 −M0 − ln(e − 1) + ≤ −q ≤ M0 − ln(e − 1) + 4−e 1 e 2(e−1) + ln(e − 1) ≤ q ≤ ln(e − 1) − 2(e−1) e 3e−4 ln(e − 1) − 2(e−1) ≤ q ≤ ln(e − 1) + 2(e−1) ⇔ q = 21 ln(e − 1) − Việc lại chứng minh: e 2(e−1) (3.34) 87 ln x − e−1 x Đặt g(x) = Ta có: g (x) Lại có: e 1 e−2 2(e−1) − ln(e − 1) ≤ 2(1−e) + ln(e − 1), ∀x ∈ [1; e] e ln x − e−1 x + 2(e−1) − 12 ln(e − 1), ∀x ∈ [1; e] 1 , g (x) = ⇔ x1 − e−1 = ⇔ x1 = e−1 ⇔ x = e−1 = x1 − e−1 + e−2 g(1) = −( 2(1−e) + 12 ln(e − 1)) = −M0 e−2 + 12 ln(e − 1)) = −M0 g(e) = −( 2(1−e) g(e − 1) = e−2 2(1−e) + 12 ln(e − 1) = M0 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta được: ln x − e−1 x Vậy p = e−1 + e 2(e−1) − 12 ln(e − 1) ≤ q = 12 ln(e − 1) − |ln x − px − q| ≤ e−2 2(1−e) e−2 2(1−e) e 2(e−1) + 12 ln(e − 1), ∀x ∈ [1; e] + 12 ln(e − 1), ∀x ∈ [1; e] Nhận xét Ngoài điểm xét x = 1, x = e lại xét x = e−1 mà giá trị khác? Số x = e − kết lấy từ phần ý nghĩa hình học đa thức xấp xỉ tốt bậc trình bày cuối chương Kỹ thuật xét toán thực chất ta xét hiệu sau: f (e − 1) − f (1) f (e) − f (e − 1) Ví dụ 3.3.22 Tìm a b để max |cos x − ax − b| đạt π x∈[− ;0] Lời giải Ta có: cos x − ax − b = cos x − (ax + b) 88 Đặt f (x) = cos x (c) Ta có: π f (x) = − sin x, f (x) = − cos x ≤ ∀x ∈ [− ; 0], suy hàm số f (x) lồi [− π2 ; 0] Cách 1: vận dụng lí thuyết xấp xỉ tốt Yêu cầu toán tương đương với: Tìm a b để max |cos x − (ax + b)| đạt π x∈[− ;0] Tức ta tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc q(x) = ax + b hàm số f (x) = cos x [− π2 ; 0] Ta có: f (0) = 1, f (− π2 ) = ⇒ A(0; 1), B(− π2 ; 0) ∈ (C) Do phương trình đường thẳng qua điểm A B là: x − π2 = y−1 −1 ⇔ y = π2 x + Suy hệ số góc đường thẳng AB k = π2 Gọi M (x0 ; cos x0 ) ∈ (C), gọi ( ) phương trình tiếp tuyến (C) M song song với AB Ta có: f (x) = − sin x ⇒ f (x0 ) = − sin x0 Vì ( ) song song với AB nên f (x0 ) = k ⇔ − sin x0 = π ⇔ x0 = − arcsin π2 ⇒ f (− arcsin π2 ) = cos arcsin π2 ⇒ phương trình tiếp tuyến ( ) là: y = π2 (x + arcsin π2 ) + cos arcsin π2 ⇔ y = π2 x + π2 arcsin π2 + cos arcsin π2 Khi đường thẳng cần tìm đường song song, cách AB ( ) có phương trình là: y = π2 x + 12 ( π2 arcsin π2 + cos arcsin π2 + 1) 89 ⇔ y = π2 x + π1 arcsin π2 + 21 cos arcsin π2 + Suy đa thức xấp xỉ tốt bậc hàm số f (x) = cos x [− π2 ; 0] là: q(x) = π2 x + π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 12 Vậy a = π2 , b = π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 21 max |cos x − (ax + b)| π x∈[− ;0] đạt Khi GTNN đạt là: M0 = max cos x − π2 x − π1 arcsin π2 − 12 cos arcsin π2 − π x∈[− ;0] = π arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 2 Cách 2: Giải toán sơ cấp Đặt g(x) = cos x − ax − b, M = max |g(x)| π x∈[− ;0] Ta có: g(− π2 ) = π 2a − b, g(0) = − b 2 g(− arcsin ) = cos arcsin + a arcsin − b π π π Trường hợp 1: với a > π2 Ta có 2M ≥ g(0) − g(− arcsin π2 ) = − cos arcsin π2 − a arcsin π2 a > π2 ⇒ −a arcsin π2 < − π2 arcsin π2 ⇒ − cos arcsin π2 − a arcsin π2 < − π2 arcsin π2 − cos arcsin π2 + ⇒ − cos arcsin π2 − a arcsin π2 > π2 arcsin π2 + cos arcsin π2 − ⇒ M > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Trường hợp 2: với a < π2 Ta có 2M ≥ g(− arcsin π2 ) − g(− π2 ) = cos arcsin π2 + a(arcsin π2 − π2 ) a < π2 ⇒ a(arcsin π2 − π2 ) > π2 arcsin π2 − ⇒ − cos arcsin π2 + a(arcsin π2 − π2 ) > π2 arcsin π2 + cos arcsin π2 − ⇒ cos arcsin π2 + a(arcsin π2 − π2 ) > π2 arcsin π2 + cos arcsin π2 − ⇒ M > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Trường hợp 3: với a = π2 Ta có g(0) = 1−b = g(− π2 ), g(− arcsin π2 ) = cos arcsin π2 + π2 arcsin π2 −b Nếu b > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 12 ⇒ −b < − π1 arcsin π2 − 12 cos arcsin π2 − 21 ⇒ − b < − π1 arcsin π2 − 12 cos arcsin π2 + 21 90 ⇒ |1 − b| > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Vậy M ≥ g(− π2 ) = |1 − b| > π1 arcsin π2 + 21 cos arcsin π2 − 12 ⇒ M > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Nếu b < π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 12 ⇒ −b > − π1 arcsin π2 − 12 cos arcsin π2 − 21 ⇒ cos arcsin π2 + π2 arcsin π2 − b > π1 arcsin π2 + 21 cos arcsin π2 − 12 ⇒ cos arcsin π2 + π2 arcsin π2 − b > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Vậy M ≥ g(− arcsin π2 ) = cos arcsin π2 + π2 arcsin π2 − b > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 21 ⇒ M > π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 12 Nếu b = π1 arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 12 ⇒ g(x) = cos x − π2 x − π1 arcsin π2 − 12 cos arcsin π2 − 21 Ta có: g (x) = − sin x − π2 , g (x) = ⇔ x = − arcsin π2 Lại có: 2 g(0) = − arcsin − cos arcsin + = −M0 π π π π 2 g(− ) = − arcsin − cos arcsin + π π π 2 2 g(− arcsin ) = arcsin + cos arcsin − π π π π Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta được: max |g(x)| = π x∈[− ;0] π arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 − 21 91 Vậy a = π2 , b = π |cos x − (ax + b)| arcsin π2 + 12 cos arcsin π2 + 21 max π π π x∈[− ;0] π − 2 đạt GTNN arcsin + cos arcsin Nhận xét Căn vào lời giải toán cao cấp ví dụ 3.3.22, ta đưa toán tương tự với cách đặt câu hỏi khác sau: Bài Tìm a b để maxπ |sin x − (ax + b)| đạt x∈[0; ] Bài Tìm a b để maxπ |sin x − (ax + b)| ≥ x∈[0; ] π arccos π2 − 12 sin arccos π2 Bài Tìm a b để maxπ |tan x + ax + b| đạt x∈[0; ] Bài Tìm a b để max |cot x + ax + b| đạt π π x∈[ ; ] 92 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tác giả trình bày số vấn đề "Lí thuyết xấp xỉ tốt ứng dụng" Các kết thu cụ thể sau: Hệ thống lại số định nghĩa, định lý đưa số ví dụ giải tích khơng gian metric, khơng gian tuyến tính, khơng gian định chuẩn không gian Banach Đưa số khái niệm, định lý "Lí thuyết xấp xỉ tốt nhất" không gian Banach, không gian C[a;b] , xấp xỉ đa thức bậc không, xấp xỉ đa thức bậc Nêu ý nghĩa hình học xấp xỉ đa thức bậc Sử dụng " Lí thuyết xấp xỉ tốt nhất" để giải toán cực trị hàm số thường gặp bên cạnh lời giải sơ cấp Trên sở tập làm, tác giả đưa số dạng tập tương tự với cách đặt câu hỏi khác nhằm phục vụ cho q trình ơn tập HSG THPT Các tập luận văn tự tác giả sáng tác với đầy đủ hàm số sau: hàm đa thức, hàm phân thức hữa tỉ, hàm logarit, hàm mũ, hàm lượng giác Trong luận văn, ngồi việc tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc không bậc tác giả chưa xét đến việc tìm đa thức xấp xỉ tốt bậc cao cho hàm số phức tạp Đó tốn tương đối phức tạp địi hỏi nhiều kiến thức sâu rộng kĩ tính tốn tỉ mỉ Tác giả mong muốn nhận góp ý từ quý thầy bạn để hồn thiện mở rộng luận văn thời gian tới 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (1999), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Tơ Văn Ban (2005), Giải tích - Những tập nâng cao, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Nguyễn Phụ Hy (2005), Ứng dụng giải tích để giải tốn trung học phổ thơng, tập 1, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu ( 2005), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [6] Phan Huy Khải ( 2002), Các phương pháp tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, NXB Hà Nội [7] Phan Huy Khải (2011), Các phương pháp giải toán giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, NXB Đại học Sư Phạm, Hà Nội [8] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Vũ Quốc Chung - Nguyễn Văn Hùng - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh (2006), Lí thuyết xấp xỉ tốt số ứng dụng Toán sơ cấp, NXB Đại học Sư phạm Tiếng Anh [10] S.M Nikolskii (1975), Approximation of Functions of Several Variables and Imbedding Theorems, Springer, Berlin-Heidelberg [11] D Hong, J Wang, R Garner (2005), Real Analysis with an Introduction to Wavelets and Applications, Elsevier [12] G.G Lorentz, M.V.Golitschek, Yu.Makovoz (1996), Contructive Approximation, Advance Problems, Springer, Berlin-Heidelberg [13] E Hernandez, G.Weiss (1996), A First Course on Wavelets, CRC Press 94 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI ... 2: Lí thuyết xấp xỉ tốt nhất: Là nội dung luận văn Chương tác giả trình bày số định lý, định nghĩa lí thuyết xấp xỉ tốt nhất, xấp xỉ đa thức bậc không, xấp xỉ đa thức bậc nhất, Chương 3: Ứng dụng. .. C[a;b] t∈[a,b] 12 CHƯƠNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT Trong chương tác giả trình bày kết quan trọng lí thuyết xấp xỉ tốt như: tồn xấp xỉ tốt không gian Banach, xấp xỉ tốt không gian C[a;b] ,... 12 2.3 LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN C[a;b] 14 2.4 MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT 23 CHƯƠNG ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT XẤP XỈ ĐỀU TỐT NHẤT VÀO GIẢI