Không gian metric tvs nón

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNGăĐẠIăHỌC SƯăPHẠM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ PHANăTHỊăHÂN KHÔNG GIAN METRIC TVS - NĨN LUẬNăV NăTHẠC SĨăTỐNăHỌC ĐàăNẵngă- N mă2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HÂN KHƠNG GIAN METRIC TVS-NĨN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 84 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Phan Thị Hân LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Tốn giải tích Khóa 34 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối cùng, tơi xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè ủng hộ, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tác giả Phan Thị Hân MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 2007, Huang Zhang giới thiệu khơng gian metric nón thu nhiều kết thú vị (xem [5]) Một vấn đề đặt tự nhiên rằng, số kết khơng gian metric cịn cho khơng gian metric nón hay khơng, thực câu hỏi thú vị thu hút nhiều nhà toán học giới quan tâm Nhờ đó, số tác giả thu nhiều kết liên quan (xem [1, 5, 7, 8]) Sau đó, Khani Pourmahdian [6] chứng minh khơng gian metric nón metric hóa Qua cho thấy mở rộng khơng gian metric thành khơng gian metric nón tầm thường Gần đây, Du [2] giới thiệu khơng gian metric TVS-nón cách thay khơng gian Banach không gian vector topo định nghĩa không gian metric nón Huang Zhang Từ đến nay, khơng gian metric TVS-nón dấy lên mối quan tâm nhiều học giả tốn học qua thu kết thú vị không gian metric TVS-nón (xem [4]) Trong [3], tác giả nghiên cứu topo khơng gian metric TVS-nón khơng gian khơng gian metric TVS-nón thu vài kết tương tự kết không gian metric Nhằm hiểu rõ vấn đề trên, với định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài: “Khơng gian metric TVS-nón” Chúng tơi hy vọng tài liệu tham khảo tốt cho học giả quan tâm đến không gian metric TVS-nón Mục tiêu nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm vài tính chất khơng gian metric TVS-nón Phương pháp nghiên cứu Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài • Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức • Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Khơng gian metric TVS-nón” • Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài • Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đối tượng nghiên cứu Khơng gian metric TVS-nón Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm vài tính chất khơng gian metric TVS-nón Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo cho học giả quan tâm đến mảng MỤC LỤC Không gian vector topo 1.1 Không gian topo 1.2 T1 -không gian T2 -không gian 10 1.3 Không gian compact 11 1.4 Ánh xạ liên tục 11 1.5 Không gian vector topo 13 1.6 Tính tách khơng gian vector topo 18 Khơng gian metric TVS-nón 23 2.1 TVS-nón không gian vector topo 23 2.2 Khơng gian metric TVS-nón 34 Kết luận 39 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTOR TOPO Trong chương này, trước tiên dành cho việc trình bày số khái niệm tính chất khơng gian topo Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số kết không gian vector topo nhằm phục vụ hiểu thấu đáo việc chứng minh Chương 1.1 Không gian topo 1.1.1 Định nghĩa Cho X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau (a) ∅, X ∈ τ ; (b) Nếu U , V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ ; Uα ∈ τ (c) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ , α∈Λ Khi đó, (1) τ gọi topo X (2) Cặp (X, τ ) gọi không gian topo (3) Mỗi phần tử τ gọi tập hợp mở 33 • Giả sử z ≪ x, x − z ∈ IntP , kéo theo x − z = y ∈ IntP Như vậy, z = x − y ∈ IntP , nghĩa {z ∈ E : z ≪ x} ⊂ x − IntP Tiếp theo, x ∈ IntP nên ta có θ ∈ x − IntP Do đó, tồn lân cận mở V θ ∈ E cho θ ∈ V ⊂ x − IntP Mặt khác, → n → ∞ n phép nhân (α, x) → αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy y → θ n → ∞ n Do đó, tồn N ∈ N∗ cho y ∈ V với n ≥ N n n Như vậy, ta lấy n ≥ N α = , ta thu α > αy ∈ V ⊂ x − IntP Do đó, x − αy ∈ IntP , kéo theo αy ≪ x Bởi vai trị x, y bình đẳng nên tồn β > cho βx ≪ y 34 2.2 Khơng gian metric TVS-nón Trong mục này, trước tiên chúng tơi trình bày khái niệm metric TVS-nón, khơng gian metric TVS-nón, hình cầu TVS-mở tập hợp TVS-mở Sau đó, chúng tơi nghiên cứu topo khơng gian metric TVS-nón chứng minh khơng gian metric TVS-nón khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 2.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng, E không gian vector topo với TVS-nón P ánh xạ d:X ×X →E (x, y) → d(x, y) thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X (1) d(x, y) ≥ θ; d(x, y) = θ ⇐⇒ x = y ; (2) d(x, y) = d(y, x); (3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, • d gọi metric TVS-nón X ; • Cặp (X, d) gọi khơng gian metric TVS-nón 2.2.2 Định nghĩa Giả sử (X, d) khơng gian metric TVS-nón, x ∈ X c ∈ E cho c ≫ Khi đó, (1) Tập hợp B(x, c) = {y ∈ X : d(x, y) ≪ c} gọi hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c (2) Tập U ⊂ X gọi TVS-mở với x ∈ U , tồn c ∈ E cho c ≫ B(x, c) ⊂ U 35 (3) Tập U ⊂ X gọi TVS-lân cận x tồn c ∈ E cho c ≫ B(x, c) ⊂ U 2.2.3 Nhận xét Giả sử (X, d) không gian metric TVS-nón Khi đó, từ Định nghĩa 2.2.2 ta suy U tập TVS-mở U TVS-lân cận điểm thuộc 2.2.4 Bổ đề Hình cầu TVS-mở tập hợp TVS-mở Chứng minh Giả sử x ∈ E , c ≫ B(x, c) hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c Ta chứng minh B(x, c) tập TVS-mở Giả sử y ∈ B(x, c) Khi đó, d(x, y) ≪ c, kéo theo c − d(x, y) ∈ IntP Bây giờ, ta đặt e = c − d(x, y) Khi đó, e ≫ Hơn nữa, ta có B(y, e) ⊂ B(x, c) Thật vậy, giả sử z ∈ B(y, e), d(y, z) ≪ e Theo Bổ đề 2.1.7, ta suy d(x, y) ≤ d(x, y) Do đó, nhờ Định lí 2.1.9 (2), ta có d(z, y) + d(y, x) ≪ e + d(x, y) = c Tiếp tục áp dụng Định lí 2.1.9 (4), ta thu d(z, x) ≪ c Suy z ∈ B(x, c) Như vậy, B(y, e) ⊂ B(x, c), B(x, c) tập TVS-mở 2.2.5 Định lí Giả sử X khơng gian metric TVS-nón Khi đó, (1) ∅, X tập TVS-mở; (2) Hợp tùy ý tập TVS-mở tập TVS-mở; (3) Giao hai tập TVS-mở tập TVS-mở Chứng minh (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa tập TVS-mở (2) Giả sử {Uα }α∈Λ họ tùy ý gồm tập TVS-mở Ta chứng minh Uα tập TVS-mở α∈Λ 36 Uα Khi đó, tồn α ∈ Λ cho x ∈ Uα Mặt khác, Thật vậy, giả sử x ∈ α∈Λ Uα tập TVS-mở nên tồn c ∈ E mà c ≫ cho Uα B(x, c) ⊂ Uα ⊂ α∈Λ Như vậy, Uα tập TVS-mở α∈Λ (3) Giả sử U , V hai tập TVS-mở Ta chứng minh U ∩ V tập TVS-mở Thật vậy, giả sử x ∈ U ∩ V Khi đó, U , V tập TVS-mở nên theo Định nghĩa 2.2.2, tồn c1 , c2 ∈ E mà c1 ≫ 0, c2 ≫ cho B(x, c1 ) ⊂ U B(x, c2 ) ⊂ V Sử dụng Định lí 2.1.9 (3), tồn c ∈ E mà c ≫ cho c ≪ c1 c ≪ c2 Ta chứng tỏ B(x, c) ⊂ B(x, c1 ) ∩ B(x, c2 ) Giả sử y ∈ B(x, c), d(x, y) ≪ c Bởi c ≪ c1 c ≪ c2 nên theo Định lí 2.1.9 (4) ta suy d(x, y) ≪ c1 d(x, y) ≪ c2 Do đó, B(x, c) ⊂ B(x, c1 ) ∩ B(x, c2 ) ⊂ U ∩ V Như vậy, U ∩ V tập TVS-mở 2.2.6 Định nghĩa Giả sử (x, τ ) không gian topo, B ⊂ τ Khi đó, B gọi sở (X, τ ) với U ∈ τ , x ∈ U , tồn B ∈ B cho x ∈ B ⊂ U 37 2.2.7 Định lí Giả sử (X, d) khơng gian metric TVS-nón, x ∈ X Ta đặt Bx = {B(x, c) : c ≫ 0}; B = {Bx : x ∈ X} τd = {U ⊂ X : U tập TVS-mở} (1) τd topo X ; (2) B sở τd Chứng minh (1) Được suy trực tiếp từ Định lí 2.2.5 (2) Giả sử U ∈ τd x ∈ U Khi đó, U tập TVS-mở nên tồn c ∈ E mà c ≫ cho B(x, c) ⊂ U Rõ ràng B(x, c) ∈ B x ∈ B(x, c) ⊂ U Như vậy, B sở τd 2.2.8 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian topo, x ∈ X Khi đó, (1) Giả sử Ux họ gồm tất lân cận X Ta nói họ Bx ⊂ Ux sở lân cận x với U ∈ Ux , tồn B ∈ Bx cho x ∈ B ⊂ U (2) (X, τ ) gọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ điểm X có sở lân cận đếm 2.2.9 Nhận xét Giả sử (X, ρ) khơng gian metric Khi đó, rõ ràng Bx = B x, : n ∈ N∗ n sở lân cận đếm x với x ∈ X Như vậy, không gian metric không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 2.2.10 Định lí (X, τd ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ Chứng minh Giả sử x ∈ X Theo Định nghĩa 2.1.1 (1) Bổ đề 2.1.5, ta có 38 IntP = ∅, ∈ / IntP Do đó, tồn c0 ∈ E cho c0 ∈ IntP , nghĩa c0 ≫ Để hoàn thành chứng minh, ta cần chứng tỏ họ B x, c0 n : n ∈ N∗ sở lân cận x với x ∈ X Thật vậy, giả sử x ∈ X U TVS-lân cận x Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.2, tồn c ≫ cho B(x, c) ⊂ U Mặt khác, → n → ∞ n phép nhân (α, x) → αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy − c0 → θ n → ∞ n Hơn nữa, −c + IntP lân cận θ nên tồn n0 ∈ N∗ cho c0 ∈ −c + IntP với n ≥ n0 , n c c kéo theo c − ∈ IntP, nghĩa ≪ c n0 n0 c c Bây giờ, giả sử y ∈ B x, , d(x, y) ≪ Như vậy, ta có n0 n0 − d(x, y) ≪ c0 , n0 c0 ≪ c n0 Theo Bổ đề 2.1.8 (4) Định lí 2.1.9 (4), ta suy d(x, y) ≪ c Do đó, y ∈ B(x, c), kéo theo B x, c0 n0 B x, ⊂ U Điều chứng tỏ c0 n : n ∈ N∗ sở lân cận x Như vậy, (X, τd ) không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ 39 KẾT LUẬN Luận văn trình bày đạt số kết sau (1) Hệ thống lại số kiến thức thuộc lĩnh vực tôpô đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết liên quan (2) Trình bày chứng minh chi tiết số tính chất khơng gian vector topo (3) Tìm hiểu khái niệm số tính chất TVS-nón khơng gian vector topo (4) Tìm hiểu khái niệm metric TVS-nón, khơng gian metric TVS-nón chứng minh chi tiết số kết [3, 4] 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Amini-Harandi and M Fakhar (2010), “Fixed point theory in cone metric spaces obtained via the scalarization method”, Computers and Mathematics with Applications, 59, 3529-3534 [2] W -S Du (2010), “A note on cone metric fixed point theory and its equivalence”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 72, 22592261 [3] X Ge and S Lin (2014), “Topologies on superspaces of TVS-cone metric spaces”, The Scientific World Journal, 27, 1-5 [4] X Ge, Y Ge (2017), “Some properties of the Hausdorff TVS-cone pseudometric spaces Topology and Its Applications, 230 , 578-585 [5] L G Huang and X Zhang (2007), “Conemetric spaces and fixed point theorems of contractive mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 332, 1468-1476 [6] M Khani and M Pourmahdian (2011), “On the metrizability of cone metric spaces”, Topology and Its Applications, 158, 190-193 [7] A Sonmez (2010), “On paracompactness in cone metric spaces”, Applied Mathematics Letters, 23, 494-497 [8] D Turkoglu and M Abuloha (2010), “Cone metric spaces and fixed point theorems in diametrically contractive mappings”, Acta Mathematica Sinica, 26, 489-496 ... khơng gian metric nón metric hóa Qua cho thấy mở rộng khơng gian metric thành khơng gian metric nón tầm thường Gần đây, Du [2] giới thiệu không gian metric TVS- nón cách thay khơng gian Banach không. .. không gian vector topo định nghĩa không gian metric nón Huang Zhang Từ đến nay, khơng gian metric TVS- nón dấy lên mối quan tâm nhiều học giả tốn học qua thu kết thú vị không gian metric TVS- nón. .. > cho βx ≪ y 34 2.2 Không gian metric TVS- nón Trong mục này, trước tiên chúng tơi trình bày khái niệm metric TVS- nón, khơng gian metric TVS- nón, hình cầu TVS- mở tập hợp TVS- mở Sau đó, chúng