Trong mục này, trước tiên chúng tôi trình bày khái niệm về metric TVS-nón, không gian metric TVS-nón, hình cầu TVS-mở và tập hợp TVS-mở. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu topo của không gian metric TVS-nón và chứng minh rằng mỗi không gian metric TVS-nón là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
2.2.1 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng, E là không gian vector topo với TVS-nón P và ánh xạ
d:X×X →E (x, y)7→d(x, y) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈X.
(1) d(x, y)≥θ;
d(x, y) =θ ⇐⇒ x=y; (2) d(x, y) =d(y, x);
(3) d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z). Khi đó,
• d được gọi là một metric TVS-nón trên X;
• Cặp (X, d) được gọi là không gian metric TVS-nón.
2.2.2 Định nghĩa. Giả sử (X, d) là một không gian metric TVS-nón, x ∈ X và c∈E sao cho c≫0. Khi đó,
(1) Tập hợp
B(x, c) ={y∈X :d(x, y)≪c}
được gọi là hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c.
(2) Tập con U ⊂ X được gọi là TVS-mở nếu với mọi x ∈ U, tồn tại c ∈E sao cho c≫0 và B(x, c)⊂U.
(3) Tập con U ⊂ X được gọi là TVS-lân cận của x nếu tồn tại c ∈ E sao cho c≫0 và B(x, c)⊂U.
2.2.3 Nhận xét. Giả sử (X, d) là một không gian metric TVS-nón. Khi đó, từ Định nghĩa 2.2.2 ta suy ra rằng U là tập TVS-mở khi và chỉ khi U là TVS-lân cận tại mọi điểm thuộc nó.
2.2.4 Bổ đề. Hình cầu TVS-mở là một tập hợp TVS-mở.
Chứng minh. Giả sử x∈E, c≫0 và B(x, c) là một hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c. Ta chứng minh rằng B(x, c) là tập TVS-mở.
Giả sử y ∈B(x, c). Khi đó, d(x, y)≪c, kéo theo c−d(x, y)∈IntP.
Bây giờ, ta đặt
e=c−d(x, y).
Khi đó, e≫0. Hơn nữa, ta có B(y, e)⊂B(x, c).
Thật vậy, giả sử z ∈ B(y, e), khi đó d(y, z) ≪ e. Theo Bổ đề 2.1.7, ta suy ra d(x, y)≤d(x, y). Do đó, nhờ Định lí 2.1.9 (2), ta có
d(z, y) +d(y, x)≪e+d(x, y) = c.
Tiếp tục áp dụng Định lí 2.1.9 (4), ta thu được d(z, x) ≪ c. Suy ra z ∈ B(x, c). Như vậy, B(y, e)⊂B(x, c), và B(x, c) là tập TVS-mở.
2.2.5 Định lí. Giả sử X là một không gian metric TVS-nón. Khi đó, (1) ∅, X là các tập TVS-mở;
(2) Hợp tùy ý các tập TVS-mở là tập TVS-mở;
(3) Giao hai tập TVS-mở là tập TVS-mở.
Chứng minh. (1) Suy trực tiếp từ định nghĩa tập TVS-mở.
(2) Giả sử {Uα}α∈Λ là họ tùy ý gồm các tập TVS-mở. Ta chứng minh rằng S
α∈Λ
Uα là tập TVS-mở.
Thật vậy, giả sử x ∈ S
α∈Λ
Uα. Khi đó, tồn tại α∈ Λ sao cho x∈Uα. Mặt khác, vì Uα là tập TVS-mở nên tồn tại c∈E mà c≫0 sao cho
B(x, c)⊂Uα ⊂ S
α∈Λ
Uα. Như vậy, S
α∈Λ
Uα là tập TVS-mở.
(3) Giả sử U, V là hai tập TVS-mở. Ta chứng minh rằng U ∩V là tập TVS-mở.
Thật vậy, giả sử x∈U∩V. Khi đó, vì U, V là các tập TVS-mở nên theo Định nghĩa 2.2.2, tồn tại c1, c2 ∈E mà c1 ≫0, c2 ≫0 sao cho
B(x, c1)⊂U và B(x, c2)⊂V. Sử dụng Định lí 2.1.9 (3), tồn tạic∈E mà c≫0 sao cho
c≪c1 và c≪c2. Ta chứng tỏ rằng
B(x, c)⊂B(x, c1)∩B(x, c2).
Giả sử y∈B(x, c), khi đó d(x, y)≪c. Bởi vì c≪c1 và c≪c2
nên theo Định lí 2.1.9 (4) ta suy ra
d(x, y)≪c1 và d(x, y)≪c2. Do đó,
B(x, c)⊂B(x, c1)∩B(x, c2)⊂U ∩V.
Như vậy, U ∩V là tập con TVS-mở.
2.2.6 Định nghĩa. Giả sử (x, τ) là một không gian topo, B ⊂τ. Khi đó, B được gọi là cơ sở của (X, τ) nếu với mọi U ∈τ, mọi x∈U, tồn tại B ∈ B sao cho
x∈B ⊂U.
2.2.7 Định lí. Giả sử (X, d) là không gian metric TVS-nón, x∈X. Ta đặt Bx ={B(x, c) :c≫0}; B=S
{Bx:x∈X}.
τd={U ⊂X :U là tập TVS-mở}.
(1) τd là một topo trên X; (2) B là cơ sở của τd.
Chứng minh. (1) Được suy trực tiếp từ Định lí 2.2.5.
(2) Giả sử U ∈τd vàx ∈U. Khi đó, vì U là tập TVS-mở nên tồn tại c∈E mà c≫0 sao cho B(x, c)⊂U. Rõ ràng rằng B(x, c)∈ B và
x∈B(x, c)⊂U.
Như vậy, B là cơ sở của τd.
2.2.8 Định nghĩa. Giả sử (X, τ) là một không gian topo, x∈X. Khi đó,
(1) Giả sử Ux là họ gồm tất cả các lân cận của X. Ta nói rằng họ Bx ⊂ Ux là cơ sở lân cận tại x nếu với mọi U ∈ Ux, tồn tại B ∈ Bx sao cho
x∈B ⊂U.
(2) (X, τ) được gọi là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhấtnếu tại mỗi điểm của X có cơ sở lân cận đếm được.
2.2.9 Nhận xét. Giả sử (X, ρ) là một không gian metric. Khi đó, rõ ràng rằng Bx =n
B x, 1
n
:n∈N∗o
là cơ sở lân cận đếm được tại x với mọi x∈ X. Như vậy, mỗi không gian metric là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
2.2.10 Định lí. (X, τd) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. Giả sử x∈X. Theo Định nghĩa 2.1.1 (1) và Bổ đề 2.1.5, ta có
IntP 6=∅, 0∈/ IntP.
Do đó, tồn tại c0 ∈E sao cho c0 ∈ IntP, nghĩa là c0 ≫ 0. Để hoàn thành chứng minh, ta chỉ cần chứng tỏ rằng họ
nB x,c0
n
:n ∈N∗o
là cơ sở lân cận tạix với mọi x∈X.
Thật vậy, giả sử x ∈ X và U là một TVS-lân cận của x. Khi đó, theo Định nghĩa 2.2.2, tồn tại c≫0 sao cho B(x, c)⊂U. Mặt khác, vì
1
n →0 khi n→ ∞
và phép nhân ngoài (α, x)7→αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy ra
−c0
n →θ khi n→ ∞
Hơn nữa, vì −c+IntP là lân cận của θ nên tồn tại n0 ∈N∗ sao cho
−c0
n ∈ −c+IntP với mọi n ≥n0, kéo theo c− c0
n0 ∈IntP, nghĩa là c0 n0 ≪c. Bây giờ, giả sử y∈B
x, c0
n0
, khi đó d(x, y)≪ c0 n0
. Như vậy, ta có d(x, y)≪ c0
n0, c0 n0 ≪c. Theo Bổ đề 2.1.8 (4) và Định lí 2.1.9 (4), ta suy ra rằng
d(x, y)≪c.
Do đó, y∈B(x, c), kéo theo B
x, c0
n0
⊂U. Điều này chứng tỏ rằng nB
x,c0
n
:n ∈N∗o
là cơ sở lân cận tạix.
Như vậy, (X, τd) là không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày và đạt được một số kết quả sau.
(1) Hệ thống lại một số kiến thức thuộc lĩnh vực tôpô đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh các kết quả liên quan.
(2) Trình bày và chứng minh chi tiết một số tính chất cơ bản của không gian vector topo.
(3) Tìm hiểu khái niệm và một số tính chất của TVS-nón trong không gian vector topo.
(4) Tìm hiểu khái niệm metric TVS-nón, không gian metric TVS-nón và chứng minh chi tiết một số kết quả trong [3, 4].
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] A. Amini-Harandi and M. Fakhar (2010), “Fixed point theory in cone metric spaces obtained via the scalarization method”, Computers and Mathematics with Applications, 59, 3529-3534.
[2] W. -S. Du (2010), “A note on cone metric fixed point theory and its equiv- alence”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 72, 2259- 2261.
[3] X. Ge and S. Lin (2014), “Topologies on superspaces of TVS-cone metric spaces”, The Scientific World Journal, 27, 1-5.
[4] X. Ge, Y. Ge (2017), “Some properties of the Hausdorff TVS-cone pseudo- metric spaces. Topology and Its Applications, 230 , 578-585.
[5] L. G. Huang and X. Zhang (2007), “Conemetric spaces and fixed point the- orems of contractive mappings”, Journal of Mathematical Analysis and Ap- plications, 332, 1468-1476.
[6] M. Khani and M. Pourmahdian (2011), “On the metrizability of cone metric spaces”, Topology and Its Applications, 158, 190-193.
[7] A. Sonmez (2010), “On paracompactness in cone metric spaces”, Applied Mathematics Letters, 23, 494-497.
[8] D. Turkoglu and M. Abuloha (2010), “Cone metric spaces and fixed point theorems in diametrically contractive mappings”, Acta Mathematica Sinica, 26, 489-496.