Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và tính chất của TVS-nón trong không gian vector topo nhằm phục vụ cho việc trình bày không gian metric TVS-nón trong mục sau.
2.1.1 Định nghĩa. Giả sử E là không gian vector topo trên trường Φ với phần tử không được ký hiệu là θ ∈ E và P ⊂ E. Khi đó, P được gọi là một TVS-nón trong E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau.
(1) P là một tập con đóng trong E và IntP 6=∅; (2) αx+βy ∈P với mọi x, y ∈P và α, β ≥0; (3) P ∩(−P) = {θ}.
2.1.2 Ví dụ. Cho E = R2 với các phép toán thông thường. Rõ ràng rằng R2 là không gian vector thực. Nếu trên E ta xét topo thông thường, thì R2 là không gian vector topo thực. Bây giờ, ta xét các tập con của R2 như sau.
• P1 ={(x, y) :x≥0, y ≥0};
• P2 ={(0,0)};
• P3 ={(x, y) :x >0, y ≥0};
• P4 ={(x, y)∈R2 :x≥0, y ≥0} \ {(1,1)};
• P5 =R2; Khi đó,
(1) P1 là một TVS-nón;
(2) P2, P3, P4 và P5 không là các TVS-nón.
Chứng minh. (1) Ta có
• Bởi vì trên R2 ta xét topo thông thường nên
IntP1 ={(x, y)∈R2 :x >0, y >0} 6=∅.
• Giả sử α, β >0, (x1, y1),(x2, y2)∈P1. Khi đó, x1, x2, y1, y2 ≥0, kéo theo αx1+βx2 ≥0, αy1+βy2 ≥0.
Điều này suy ra rằng
α(x1, y1) +β(x2, y2) = (αx1+βx2, αy1+βy2)∈P1.
• Giả sử(x, y)∈P1∩(−P1). Khi đó, vì (x, y)∈P1 nên x≥0, y≥0. Mặt khác, vì (x, y)∈ −P1 nên x≤0, y≤0. Suy ra (x, y) = (0,0).
Như vậy, P1 là một TVS-nón trên E. (2) Ta có
• Bởi vì IntP2 =∅ nên P2 không thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1 (1).
• P3 không đóng. Thật vậy, ta có n1 n,1
n
o⊂P3 nhưng 1
n,1 n
→(0,0) khi n → ∞
và (0,0)∈/ P3. Do đó, P3 không thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1 (1).
• Ta lấy (0,0),(2,2)∈P4 và α= 0, β = 1
2. Khi đó, α(0,0) +β(2,2) = (1,1)∈/P4. Do vậy, P4 không thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1 (2).
• Bởi vì −P5 =R2 nên
P5∩(−P5) =R2 6={(0,0)}.
Suy ra P5 không thỏa mãn Định nghĩa 2.1.1 (3).
Như vậy, ví dụ được chứng minh.
2.1.3 Định nghĩa. Giả sử (X, τ) là một không gian topo. Ta nói dãy {xn} hội tụ đếnx trong X nếu với mọi lân cận U của x, tồn tại N ∈N∗ sao cho
xn ∈U với mọi n ≥N.
2.1.4 Bổ đề. Giả sử X, Y là hai không gian topo, f :X →Y là ánh xạ liên tục, {xn} ⊂X hội tụ đến x∈X. Khi đó,
(1) Nếu X là T2-không gian, thì x duy nhất;
(2) {f(xn)} hội tụ đến f(x) trong Y.
Chứng minh. (1) Giả sử ngược lại rằng {xn} cũng hội tụ đến y với y 6= x. Khi đó, vì X là T2-không gian nên tồn tại các lân cận U củax và V của y sao cho
U∩V =∅.
Mặt khác, vì xn→x trong X nên tồn tại n1 ∈N∗ sao cho
xn∈U với mọi n≥n1. Hơn nữa, vì xn →y trong X nên tồn tại n1 ∈N∗ sao cho
xn ∈V với mọi n≥n2.
Nếu ta lấy n >max{n1, n2}, thì xn∈U ∩V, đây là một mâu thuẫn.
(2) Giả sử W là lân cận của f(x). Khi đó, vì f liên tục nên tồn tại lân cận V của x trong X sao cho f(V)⊂ W. Mặt khác, vì V là lân cận của x, xn → x nên tồn tại N ∈N∗ sao cho
xn ∈V với mọi n≥N. Điều này suy ra rằng
f(xn)∈f(V)⊂W với mọi n≥N.
Như vậy, f(xn)→f(x) trong Y.
2.1.5 Bổ đề. Giả sử E là không gian vector topo và P là một TVS-nón trong E. Khi đó,
(1) θ ∈P; (2) θ /∈IntP.
Chứng minh. (1) Theo Định nghĩa 2.1.1 (1), ta suy ra IntP 6=∅. Mặt khác, vì IntP ⊂P nên P 6=∅, kéo theo tồn tại z ∈P. Bây giờ, nếu ta lấy
x=y=z, α=β = 0, thì ta suy ra rằng θ =αx+βy ∈P.
(2) Lấy x∈E\ {0}, khi đó vì 1
n →0 khi n→ ∞
và phép nhân ngoài (α, x)7→αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy ra rằng x
n →θ và − x
n →θ khi n → ∞. (2.1)
Bây giờ, giả sử ngược lại rằng θ ∈IntP. Khi đó, IntP là một lân cận mở của θ trong E. Nhờ (2.1) ta suy ra tồn tại n ∈N∗ sao cho
nx n,−x
n
o∈IntP ⊂P.
Do đó, nhờ Định nghĩa 2.1.1 (3), ta suy ra x
n =θ, kéo theo x =θ. Điều này dẫn
đến mâu thuẫn với x6=θ.
2.1.6 Định nghĩa. Giả sử E là một không gian vector topo và P là mộtTVS-nón trênE. Ta xét một số quan hệ trên E được định nghĩa như sau: Giả sử x, y ∈E, khi đó
(1) x≤y hayy ≥x nếu y−x∈P; (2) x < y hay y > x nếu x≤y và x6=y; (3) x≪y hayy ≫x nếu y−x∈IntP. 2.1.7 Bổ đề. “≤” là một quan hệ thứ tự trên E. Chứng minh. Giả sử x, y, z ∈E, ta có
• Theo Bổ đề 2.1.5 ta suy ra x−x= 0 ∈P. Do đó, x≤x.
• Giả sử x≤y và y≤x. Khi đó,
{x−y,−(x−y)} ⊂P.
Theo Định nghĩa 2.1.1 (3), x−y= 0, kéo theo x=y.
• Giả sử x≤y và y≤z. Khi đó,
x−y∈P; y−z ∈P.
Ta lấy α=β= 1, theo Định nghĩa 2.1.1 (2) ta thu được x−z = (x−y) + (y−z)∈P.
Điều này chứng tỏ rằng x≤z.
Như vậy, “≤” là một quan hệ thứ tự trên E. 2.1.8 Bổ đề. Giả sử E là không gian vector topo và P là một TVS-nón trên E. Khi đó, với mọi x, y ∈E ta có
(1) x≥y⇐⇒x−y∈P ⇐⇒x−y≥θ; (2) x > y ⇐⇒x−y∈P \ {θ} ⇐⇒x−y > θ; (3) x≫y⇐⇒x−y∈IntP ⇐⇒x−y≫θ; (4) x≫y=⇒x > y =⇒x≥y.
Chứng minh. (1) Ta có
x≥y⇐⇒x−y∈P,
⇐⇒(x−y)−θ =x−y∈P,
⇐⇒x−y≥0.
(2) Theo Định nghĩa 2.1.6 và khẳng định (1), ta có x > y ⇐⇒
x≥y x6=y
⇐⇒
x−y ≥θ x6=y
⇐⇒
x−y∈P x−y6=θ
⇐⇒x−y∈P \ {θ} ⇐⇒x−y > θ.
(3) Theo Định nghĩa 2.1.6, ta có
x≫y⇐⇒x−y∈IntP,
⇐⇒(x−y)−θ∈IntP,
⇐⇒x−y≫θ.
(4) Theo Bổ đề 2.1.5, ta có θ /∈ IntP. Do đó, nhờ khẳng định (2) và Định nghĩa 2.1.6, ta suy ra rằng
x≫y⇐⇒x−y∈IntP ⊂P,
⇐⇒x−y∈P \ {θ},
=⇒x > y.
Như vậy, bổ đề được chứng minh.
2.1.9 Định lí. Giả sử E là không gian vector topo và P là một TVS-nón trong E. Khi đó,
(1) Nếu x≫θ, thì rx ≫θ với mọi r >0;
(2) Nếu x1 ≫y1 và x2 ≥y2, thì x1+x2 ≫y1 +y2;
(3) Nếu x≫θ và y≫θ, thì tồn tại z ≫θ sao cho z ≪x và z≪y;
(4) Nếu x ∈ P, y ∈ IntP, thì x+y ∈ IntP. Do đó, nếu x≤ y và y ≪ z hoặc x≪y và y≤z, thì x≪z;
(5) Nếu x, y ∈IntP, thì tồn tại α, β >0 sao cho αy≪x và βx≪y. Chứng minh. (1) Giả sử x≫θ, nghĩa là
x=x−θ ∈IntP.
Bởi vì IntP là tập hợp mở nên IntP là lân cận mở của x. Do đó, tồn tại lân cận mở V của x trong E sao cho V ⊂ P. Bây giờ, với mọi r > 0 và v ∈ V, áp dụng Định nghĩa 2.1.1 (2) cho trường hợp α =r, β = 0, a=v và b =θ ta suy ra
rv =αa+βb ∈P.
Do đó, ta có
rV ={rv:v ∈V} ⊂P với mọi r≥0.
Bởi vì x∈ V nên rx ∈rV. Mặt khác, theo Định lí 1.5.2, ánh xạ x 7→rx là phép đồng phôi nên rV là tập con mở trongE. Hơn nữa, IntP là tập con mở lớn nhất nằm trong P vàrV là một tập con mở nằm trong P nên
rx ∈rV ⊂IntP, kéo theo rx≫θ.
(2) Giả sử x1 ≫y1 và x2 ≥y2. Khi đó,
x1−y1 ≫θ và x2−y2 ≥θ,
kéo theo
x1−y1 ∈IntP và x2−y2 ∈P.
Bởi vì x1−y1 ∈IntP nên tồn tại lân cận mở V của x1−y1 trong E sao cho x1−y1 ∈V ⊂P.
Mặt khác, theo Định lí 1.5.2, phép tịnh tiến x7→a+x là đồng phôi nên tập hợp (x2−y2) +V ={(x2−y2) +z :z ∈V}
là tập con mở trong E. Hơn nữa, vì x1−y1 ∈V nên
(x2 −y2) + (x1−y1)∈(x2−y2) +V ⊂P. Như vậy, ta có
(x2−y2) + (x1−y1)∈IntP, kéo theo
(x2−y2) + (x1−y1)≫θ.
Do đó,
(x1+x2)−(y1+y2)≫θ.
Theo Định nghĩa 2.1.6 ta suy ra rằng
x1 +x2 ≫y1+y2.
(3) Giả sử x≫ θ và y ≫θ, nghĩa là x, y ∈IntP. Khi đó, vì phép nhân ngoài (α, x)7→αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy ra
x+y
n →θ khi n → ∞. (2.2)
Mặt khác, theo Định lí 1.5.2, phép tịnh tiến x7→a+x là đồng phôi nên từ (2.2) ta suy ra
x−x+y
n →x khi n → ∞
vàIntP là lân cận của x trong E nên tồn tại n1 ∈N∗ sao cho x− x+y
n ∈IntP với mọi n≥n1. (2.3) Tương tự, vì
y−x+y
n →y khi n→ ∞
vàIntP là lân cận của y trong E nên tồn tại n2 ∈N∗ sao cho y−x+y
n ∈IntP với mọi n ≥n2. (2.4) Bây giờ, ta đặt
n0 = max{n1, n2} và z = x+y n0
. Theo (2.3) và(2.4) ta suy ra rằng
x−z ∈IntP và y−z ∈IntP, nghĩa là
x−z ≫θ và y−z ≫θ. Do đó, theo Định nghĩa 2.1.6 ta suy ra x≫z và y≫z.
(4) Giả sử x∈P, y∈IntP. Khi đó, vì y∈IntP nên theo Hệ quả 1.5.5 ta suy ra tồn tại lân cận mở V của θ trong E sao cho
y+V ⊂P.
Sử dụng điều kiện (2) của Định nghĩa 2.1.1 và Bổ đề 2.1.5, ta có P +P =P,
kéo theo
x+y+V ⊂P +P =P. (2.5)
Mặt khác, theo Định lí 1.5.2, phép tịnh tiến x7→x+a là đồng phôi nên x+y+V
là lân cận mở của x+y. Kết hợp (2.5) ta suy ra x+y∈x+y+V ⊂IntP.
Ngoài ra, ta có
• Nếu x≤y và y≪z, thì
y−x∈P và z−y∈IntP. Do đó, theo điều vừa chứng minh ta suy ra
z−x= (z−y) + (y−x)∈IntP.
Như vậy, ta có x≪z.
• Nếu x≪y và y≤z, thì
y−x∈IntP và z−y ∈P. Do đó, ta có
z−x= (z−y) + (y−x)∈IntP.
Theo Định nghĩa 2.1.6 ta suy ra rằng x≪z. (5) Trước tiên ta chứng minh rằng
x−IntP ={z ∈E :z ≪x}.
Thật vậy,
• Giả sử z ∈ x−IntP. Khi đó, tồn tại y ∈ IntP sao cho z =x−y, kéo theo x−z ∈IntP. Do vậy, z ≪x, nghĩa là
z∈ {z ∈E :z ≪x}.
Như vậy,
x−IntP ⊂ {z∈E :z ≪x}.
• Giả sử z ≪x, khi đó x−z ∈IntP, kéo theo x−z =y∈IntP.
Như vậy, z =x−y∈IntP, nghĩa là
{z ∈E :z ≪x} ⊂x−IntP.
Tiếp theo, bởi vì x∈IntP nên ta có
θ∈x−IntP.
Do đó, tồn tại lân cận mở V của θ∈E sao cho θ∈V ⊂x−IntP.
Mặt khác, bởi vì
1
n →0 khi n→ ∞
và phép nhân ngoài (α, x)7→αx liên tục nên theo Bổ đề 2.1.4 ta suy ra y
n →θ khi n→ ∞. Do đó, tồn tại N ∈N∗ sao cho
y
n ∈V với mọi n ≥N. Như vậy, nếu ta lấy n ≥N và α= 1
n, thì ta thu được α >0 và αy∈V ⊂x−IntP.
Do đó, x−αy∈IntP, kéo theo αy ≪x.
Bởi vì vai trò x, y bình đẳng nên tồn tại β >0 sao cho βx≪y.