Mối liên hệ giữa một số không gian metric suy rộng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNGăĐẠIăHỌC SƯăPHẠM ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ NGUYỄNăTHỊăLINH MỐIăLIÊNăHỆăGIỮAăMỘTăSỐ KHÔNGăGIANăMETRICăSUYăRỘNG LUẬNăV NăTHẠC SĨăTOÁNăHỌC ĐàăNẵngă- N mă2019 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LINH MỐI LIÊN HỆ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 84 01 02 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn trực tiếp thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển Trong q trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tác giả Nguyễn Thị Linh LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp Tốn giải tích Khóa 34 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Cuối cùng, xin cảm ơn đến gia đình, bạn bè ln ủng hộ, quan tâm giúp đỡ suốt thời gian học tập vừa qua Tác giả Nguyễn Thị Linh TANG THONG TIN LUAN VAN Ten d� tai: M6i lien M gira m)t s6 khong gian metric SQY r)ng Nganh: Toan giai tich Hq va ten hqc vien: Nguy�n Thi Linh Ngroi hmg din hoa hqc: TS Luong Qu6c TuyBn C' S' dao t�o: Truong Dii h9c Su ph�m - )�i hQC Da Ning Tom tit: Nhng kSt qua chinh : H� th6ng l�i m)t s6 kiSn thuc ve topo d�i cung Tim hiBu va nghien cuu m)t s6 kiSn thuc ve C' S' ySu, sn-m�ng va m6i quan M gira chung Nghien cuu m6i lien M gira khong gian thoa man tien de dSm duqc hr hAt, khong gian thoa man tien de dSm durc thu hai, khong gian thoa man tien de dSi durc thu nhAt ySu, khong gian Frechet minh, khong gian Frechet, khong gian day va k-khong gian Y ngha khoa h9c : De tai c6 gia tri ve m�t ly thuySt C6 thB sr dvng lu�n van lam tai li�u tham khao danh cho nhng nguri dang quan tam dSn mang Ly thuySt khong gian metric suy r)ng Nguri thµc hi�n de tai Luung Qu6c Tuy€n Nguy€n Thi Linh MỤC LỤC Không gian topo 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Các tiên đề tách 11 1.3 Không gian compact 12 1.4 Ánh xạ liên tục 13 1.5 Không gian 16 1.6 Tổng không gian topo 17 1.7 Ánh xạ thương, không gian thương 20 Mối quan hệ số không gian metric suy rộng 24 2.1 Một số suy rộng sở 24 2.2 Một số không gian metric suy rộng 28 2.3 Cái lược dãy quạt dãy 34 Kết luận 43 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năm 1966 Arhangelskii suy rộng khái niệm sở, đưa khái niệm sở yếu thu nhiều kết thú vị (xem [1, 4]) Bằng cách thay sở sở yếu , K B Lee suy rộng khái niệm không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai thành không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai yếu (xem [2]) Sau đó, cách sử dụng số tính chất sở tính chất dãy hội tụ không gian metric, người ta đưa khái niệm không gian xác định phủ đếm theo điểm, k -không gian, không gian dãy, không gian Fréchet, khơng gian Fréchet mạnh (xem [4]) Ngồi ra, [1, 3, 4], tác giả chứng minh • Mỗi khơng gian metric khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất; • Mỗi khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu; • Mỗi khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ khơng gian Fréchet mạnh; • Mỗi khơng gian Fréchet mạnh khơng gian Fréchet; • Mỗi khơng gian Fréchet khơng gian dãy; • Mỗi khơng gian dãy k -không gian Hơn nữa, tác giả cho ví dụ nhằm chứng tỏ không gian đưa không tầm thường Nhằm hiểu rõ vấn đề nêu trên, định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài: “Mối liên hệ số không gian metric suy rộng” làm đề tài luận văn thạc sỹ Mục tiêu nghiên cứu • Hệ thống lại số kiến thức topo đại cương • Tìm hiểu nghiên cứu số kiến thức sở yếu, sn-mạng mối quan hệ chúng • Nghiên cứu mối liên hệ khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu, không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, không gian dãy k -không gian Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài • Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức • Thu thập báo khoa học liên quan đến đề tài • Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài • Trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Đối tượng nghiên cứu Không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu, không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, không gian dãy k -không gian Phạm vi nghiên cứu Mối liên hệ không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ nhất, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ hai, không gian thỏa mãn tiên đề đếm thứ yếu, không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, không gian dãy k -không gian Đóng góp đề tài Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo dành cho người quan tâm đến mảng Lý thuyết khơng gian metric suy rộng 37 Do đó, {anm } mở Ln , σ Mặt khác, n∈ω π −1 (anm ) = {anm } ∈ σ nên ta suy {anm } ∈ τ ∗ (2) Với k ∈ ω, ta có     {xn } ∈ τk    {xn , an } ∪ {ani : i ≥ in } ∩ Lk = {an } ∪ {ani : i ≥ in } ∈ τk       ∅ ∈ τk Do đó, {xn , an } {ani : i ≥ in } mở k = k = n k = n Ln , σ Hơn nữa, n∈ω π −1 {an } ∪ {ani : i ≥ in } = {xn , an } ∪ {ani : i ≥ in } ∈ σ nên ta suy {an } ∪ {ani : i ≥ in } ∈ τ ∗ (3) Với k ∈ ω, ta có {x0 , xn , an } ∪ {ani : i ≥ in } n≥m Do đó,     {x0 } ∪ {xn : n ≥ m} ∈ τk    ∩ Lk = {ak } ∪ {aki : i ≥ ik } ∈ τk       ∅ ∈ τk {x0 , xn , an } ∪ {ani : i ≥ in } mở ( k ≥ m k < m Ln , σ) Hơn nữa, n∈ω n≥m π −1 k = {x0 , an } ∪ {ani : i ≥ in } {x0 , xn , an } ∪ {ani : i ≥ in } ∈ σ = n≥m n≥m nên ta suy {x0 , an } ∪ {ani : i ≥ in } ∈ τ ∗ n≥m 2.3.6 Định nghĩa Giả sử (X, τ ) không gian topo, ♣ L0 = {an : n ∈ N} → x0 , ♣ Ln = {anm : m ∈ N} → an ∈ Ln , ♣ τn = {Ln ∩ V : V ∈ τ } topo Ln với n ∈ ω, 38 ♣ L= Ln n∈ω Khi đó, (1) L gọi lược X Hơn nữa, L = {x0 }, L gọi quạt X (2) Tập S ⊂ L gọi đường chéo • S giao với vơ hạn Ln \ {an } • S → x0 ∈ L 2.3.7 Nhận xét (1) Cái quạt dãy =⇒ quạt; (2) Cái lược dãy =⇒ lược 2.3.8 Mệnh đề (1) Cái quạt dãy quạt đường chéo; (2) Cái lược dãy lược khơng có đường chéo Chứng minh (1) Giả sử Sω quạt dãy Ta chứng minh Sω đường chéo Thật vậy, giả sử ngược lại Sω có đường chéo F hội tụ đến x ∈ Sω Khi đó, ♣ Nếu x = {anm }, F \ {anm } hữu hạn Điều chứng tỏ F giao với hữu hạn Ln , mâu thuẫn ♣ Nếu x = x0 , ta đặt n : F ∩ Ln = ∅ = {ni : i ∈ N} Bây giờ, với i ∈ N, ta lấy zi ∈ F ∩ Lni , kéo theo zi = ani mi Đặt Ln ∪ V = n=ni ({x0 } ∪ {ani m : m > mi }) i∈N Rõ ràng V lân cận mở x0 zi ∈ / V với i ∈ N Đây mâu thuẫn (2) Giả sử S2 lược dãy Ta chứng minh S2 khơng có đường chéo Thật vậy, giả sử ngược lại S2 có đường chéo F hội tụ đến x ∈ S2 Khi đó, 39 ♣ Nếu x = {anm }, F \ {anm } hữu hạn Điều chứng tỏ F giao với hữu hạn Ln , mâu thuẫn ♣ Nếu x = an , ta lấy lân cận mở Ln x Khi đó, F \ Ln hữu hạn, kéo theo F giao với hữu hạn Ln Điều dẫn đến mâu thuẫn ♣ Nếu x = x0 , ta đặt n : F ∩ Ln = ∅ = {ni : i ∈ N} Bây giờ, với i ∈ N, ta lấy zi ∈ F ∩ Lni , kéo theo zi = ani mi Ta đặt Ln ∪ V = ({ani } ∪ {ani m : m > mi }) i∈N n=ni Rõ ràng V lân cận mở x0 zi ∈ / V với i ∈ N Điều dẫn đến mâu thuẫn 2.3.9 Định lí (1) Sω khơng gian Fréchet khơng không gian Fréchet mạnh (2) S2 không gian dãy khơng khơng gian Fréchet Chứng minh (1) Trước tiên ta chứng minh Sω không gian Fréchet Thật vậy, giả sử A ⊂ Sω x ∈ A Khi đó, ♣ Nếu x = {anm }, {anm } lân cận mở x nên {anm } ∩ A = ∅, kéo theo x ∈ A Như vậy, ta lấy xn = x với n ∈ N, {xn } dãy A hội tụ đến x ♣ Nếu x = a0 , Vk = {x0 } ∪ {ani : i ≥ k} n∈N 40 lân cận x với k ∈ N nên với k ∈ N, tồn xk ∈ A ∩ Vk Bởi Sω khơng có đường chéo nên n : {xk } ∩ Ln = ∅ = {n1 , n2 , , nm } Bây giờ, giả sử W lân cận x Khi đó, với n ∈ N, tồn in ∈ N cho {x0 } ∪ {ani : i ≥ in } ⊂ W n∈N Tiếp theo, ta chứng minh Sω không không gian Fréchet mạnh Thật vậy, với n ∈ N, ta lấy An = Li Khi đó, {An } dãy giảm Sω Hơn i≥n nữa, ta có ♣ x0 ∈ An với n ∈ N Giả sử W lân cận mở x0 Khi đó, π −1 (W ) ∩ Ln ∈ τn với n ∈ N Như vậy, với n ∈ N, tồn in ∈ N cho {an } ∪ {ani : i ≥ in } ⊂ π −1 (W ) ∩ Ln , kéo theo V = {x0 } ∪ {ani : i ≥ in } lân cận mở x, V ⊂ W V ∩ An = ∅ n∈N ♣ Giả sử với n ∈ N, tồn xn ∈ An cho xn → x0 Khi đó, x1 ∈ A1 nên tồn n1 ∈ N cho x1 ∈ Ln1 Mặt khác, xn1 +1 ∈ An1 +1 nên tồn n2 > n1 cho xn1 +1 ∈ Ln2 Hơn nữa, xn2 +1 ∈ An2 +1 nên tồn n3 > n2 cho xn2 +1 ∈ Ln3 Tiếp tục trình ta tìm dãy {xni +1 } ⊂ {xn } cho xni +1 ∈ Lni Bởi xn → x0 nên xni +1 → x0 Như vậy, Sω tồn đường chéo, mâu thuẫn (2) S2 không gian dãy Giả sử A tập mở dãy Sω Ta cần chứng minh A mở Thật vậy, giả sử x ∈ A Khi đó, ♣ Nếu x = an m, {anm } lân cận x {anm } ⊂ A ♣ Nếu x = an , A mở dãy anm → an nên tồn in cho {an } ∪ {ani : i ≥ in } ⊂ A 41 Do vậy, ta suy V = {an } ∪ {ani : i ≥ in } lân cận x V ⊂ A ♣ Nếu x = x0 , an → x0 nên tồn m ∈ N cho {an : n ≥ m} ⊂ A Mặt khác, anm → an nên với n ∈ N, tồn in ∈ N cho {an } ∪ {ani : i ≥ im } ⊂ A Như vậy, {x0 , an } ∪ {ani : i ≥ in } V = n≥m lân cận x V ⊂ A Giả sử P họ gồm tập compact khả metric S2 A ⊂ S2 cho A ∩ P mở P với P ∈ P Khi đó, với x ∈ A, ta có ♣ Nếu x = am,n , {am,n } ∈ τ {am,n } ⊂ A ♣ Nếu x = an với n ∈ N, Ln → bn T π ánh xạ liên tục nên Ln → an S2 Mặt khác, U mở dãy nên tồn m ∈ N cho {an } ∪ {ani : i ≥ m} ⊂ U Như vậy, tồn V ∈ An cho an ∈ V ⊂ U ♣ Nếu x = a0 , an → a0 U lân cận dãy a0 nên tồn m ∈ N cho {a0 } ∪ {an : n ≥ m} ⊂ U Mặt khác, Ln → an với n ≥ m nên với n ≥ m, tồn mn ∈ N cho {an } ∪ {ani : i ≥ mn } ⊂ U Như vậy, 42 {a0 } ∪ {an } ∪ {ani : i ≥ mn } ⊂ U n≥m Như vậy, U mở S2 , S2 không gian dãy Bây giờ, ta chứng minh S2 không không gian Fréchet Thật vậy, ta lấy A = {ann : n ∈ N} Khi đó, • x0 ∈ A • Khơng có dãy A hội tụ đến x0 Như vậy, S2 không không gian Fréchet 43 KẾT LUẬN Luận văn trình bày đạt số kết sau (1) Hệ thống lại số kiến thức thuộc lĩnh vực topo đại cương nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết liên quan (2) Trình bày số khái niệm không gian con, không gian thương Chứng minh chi tiết số kết không gian con, không gian thương (3) Nghiên cứu chứng minh số kết sở, sở yếu, sn-mạng Chứng minh số mối liên hệ chúng (4) Chứng minh chi tiết mối liên hệ không gian f -đếm được, không gian gf -đếm được, không gian Fréchet mạnh, không gian Fréchet, không gian dãy k -không gian 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] R Engelking (1989), General Topology, Sigma series in pure mathematics, 6, Heldermann Verlag, Berlin [2] G Gruenhage (1984), Generalized Metric Spaces, Handbook of set-theoretic topology, North-Holland, Amsterdam, 423–501 [3] G Gruenhage (2002), Metrizable Spaces and Generalizations, Recent progress in general topology, II, North-Holland, Amsterdam, 201–225 [4] S Lin, Z Yun (2016), Generalized Metric Spaces and Mappings, Atlantis Press ... suy f −1 (U ) ∈ τ ∗ 24 CHƯƠNG MỐI QUAN HỆ GIỮA MỘT SỐ KHÔNG GIAN METRIC SUY RỘNG Chương dành cho việc chứng minh chi tiết tính chất vài không gian metric suy rộng mối quan hệ số không gian metric. .. (1) Không gian f -đếm =⇒ không gian Fréchet mạnh (2) Không gian Fréchet mạnh =⇒ không gian Fréchet (3) Không gian Fréchet =⇒ không gian dãy (4) Không gian dãy =⇒ k -không gian (5) Không gian. .. tiết số kết không gian con, không gian thương (3) Nghiên cứu chứng minh số kết sở, sở yếu, sn-mạng Chứng minh số mối liên hệ chúng (4) Chứng minh chi tiết mối liên hệ không gian f -đếm được, không