Trước khi chưa áp dụng đề tài này tôi thấy nhiều học sinh còn lúng túng trong lúc giải các dạng bài tập như: Giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối; bất phương trình chứa dấu trị tuyệt[r]
(1)PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ
I- Lí chọn đề tài:
Tốn học mơn khoa học có từ lâu đời, mơn Tốn tảng môn khoa học tự nhiên khác
Ngày phát triển ngành khoa học ngành công nghiệp then chốt thiếu toán học, ứng dụng toán học mang lại hiệu to lớn cho đời sống xã hội Tốn học khơng cung cấp cho học sinh kĩ tính tốn cần thiết mà cịn rèn luyện cho học sinh tư lô-gic, phương pháp luận khoa học
Trong việc dạy Toán học Toán việc tìm phương pháp dạy học giải tập đòi hỏi giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập giúp học sinh khắc sâu kiến thức, góp phần phát triển tư em
Một mảng kiến thức quan vấn đề giá trị tuyệt đối Hiện trường phổ thơng học sinh thường ngại học tốn giá trị tuyệt đối kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải toán hạn chế, việc vận dụng giá trị tuyệt đối để tìm cực trị, vận dụng việc vẽ đồ thị hàm số v.v… lại hạn chế
Vì việc phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc nghiên cứu vấn đề giá trị tuyệt đối cần thiết, năm thực tế giảng dạy trường phổ thông,đặc biệt giúp đỡ GS-TS Tống Trần Hoàn, giảng viên trường Đại học sư phạm I Hà Nội, tơi xin trình bày góc độ nhỏ đề tài : “Một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trường THCS”
II- Mục đích nghiên cứu:
- Đề tài nhằm giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung giải tập giá trị tuyệt đối nói riêng, trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học toán, giúp em tiếp thu chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến giá trị tuyệt đối
- Gây hưng thú cho học sinh giải tập SGK, Sách tham khảo, giúp học sinh tự giải có hiệu số tập tương tự khác
- Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán giá trị tuyệt đối trình dạy học
- Giúp học sinh nắm vững cách hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để làm tập
III- Nhiệm vụ đề tài:
(2)- Trang bị cho học sinh dạng toán phương pháp giải loại toán liên quan đến giá trị tuyệt đối
- Rút số nhận xét ý làm dạng toán
- Chọn lọc hệ thống số tập hay gặp cho phù hợp với dạng toán
IV- Đối tượng nghiên cứu:
- Đối tượng khảo sát: Đề tài áp dụng học sinh lớp 8,9 (trường THCS Thụy An – Thái Thụy – Thái Bình), phân loại theo học lực (vì đa số em có ý thức học tốn bước đầu thể lực tiếp thu cách ổn định) áp dụng luyện tập, ôn tập học kì,ơn tập cuối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ơn luyện thi tuyển sinh cấp
- Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức đưa phương pháp giải, tập áp dụng, sai lầm hay gặp, tập tự giải (học sinh nhà làm tập)
V- Phương pháp nghiên cứu:
- Tham khảo, thu thập tài liệu - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm
- Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học Toán
VI- Dự kiến kết đạt đề tài:
- Khi chưa thực đề tài, học sinh giải số tập đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn dẫn đến ngại làm tập liên quan đến giá trị tuyệt đối - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán liên quan đến giá
(3)PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI
A- NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.
I) Các định nghĩa: 1) Định nghĩa 1:
Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ
f: R R+
a a
Với giá trị a R có giá trị f(a) = a R+
2) Định nghĩa 2:
Giá trị tuyệt đối số thực a, kí hiệu a là:
a a
- a a <
* Mở rộng khái niệm ta có giá trị tuyệt đối biểu thức A(x) : A(x) A(x)
- A(x) A(x) < Ví dụ:
2x - 2x -
- (2x -1) 2x -1 < 2x - x ½
- (2x -1) x < ½
3) Định nghĩa 3:
a) Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu a số đo (theo đơn vị dài
dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm a đến gốc O trục số
Ví dụ: a = a =
3
Do đẳng thức cho nghiệm số tương ứng với hai điểm trục số
Tổng quát:
a
=
A(x) =
2x-1 = 2x-1 =
a
-a
-a a
3 a
(4)
b b a 0 b
b a
b b a b a
b) Tổng quát :
a b -b a b
Ví dụ :
a a
-a a <
a
-3 a <
-3 a
c)Tổng quát:
a b a b
a -b
Ví dụ : a a a
- a a
a a
a -3 a <
a a -3
II) Một số tính chất giá trị tuyệt đối:
1) Tính chất 1: a > với a
2) Tính chất 2: a = a =
3) Tính chất 3: -a a a
4) Tính chất 4: a = -a
5) Tính chất 5: a+ba +b Dấu “=” xảy a.b
Thật : -a a a
-b b b a
3 a O
-3
(5) -(a + b) a+b a+b a+b a +b (đpcm)
6) Tính chất 6: a - ba- b a+b
Dấu “=” xảy a.b 0
Thật :
a = a – b + b a- b + b a - ba- b (1)
a- b = a + (-b) a+-b= a+b a- b a+b (2)
Từ (1) (2) suy : a - ba- ba+b (đpcm)
7) Tính chất 7: a-ba b
Thật :
a - ba- b (1)
b - ab- a =-(a- b) = a- b -(a - b)a- b (2)
a-b = a - b
-(a - b) (3)
Từ (1),(2),(3) suy
a-ba - b (4)
a-b = a--b a – (-b) = a + b a-ba + b (5)
Từ (4),(5) suy :
a-ba b (đpcm)
8) Tính chất 8: a.b = a.b
Thật vậy:
* a = 0; b = a = 0; b a 0; b = a.b = a.b
* Nếu a>0; b>0
a= a; b= b a.b >
a.b = a.b = a.b a.b = a.b
* Nếu a <0; b<
a= -a; b= -b a.b > a.b = a.b = (-a).(-b) = a.b
(6)* Nếu a> 0; b<0
a= a; b= -b a.b < a.b = -(a.b) = a.(-b) = a.b
a.b = a.b
* Nếu a< 0; b<0
a= -a; b= b a.b < a.b = -(a.b) = (-a).b = a.b
a.b = a.b
Vậy a.b = a.b
9) Tính chất 9: (b 0) b a b a Thật vậy:
* Nếu a = 0
b a b a b a
* Nếu a>0; b> a= a; b= b ba 0 b a b a b a
* Nếu a< 0; b< a= -a; b= -b ba 0 b a b a b a b a
* Nếu a> 0; b< a= a; b= -b ba 0 b a b a b a b a
* Nếu a< 0; b> a= -a; b= b ba 0 b a b a b a b a
Vậy : (b 0) b
a b a
(đpcm)
B- MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TRỊ TUYỆT ĐỐI: Chủ đề 1:
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
(7)1) A(x) A(x)
- A(x) A(x) < A(x) biểu thức đại số
2) Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a 0)
Nhị thức bậc ax + b (a0) :
+ Cùng dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Giả sử x0 nghiệm ax + b = Khi đó:
- Nhị thức dấu với a với giá trị x > x0
- Nhị thức trái dấu với a với giá trị x < x0
3) Định lí dấu tam thức bậc Xét tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a
0)
- Nếu < f(x) dấu với a với x
- Nếu thì:
+ f(x) dấu với a với x nằm khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a với x nằm khoảng hai nghiệm Hay :
- Nếu < a.f(x)> với x
- Nếu f(x) có hai nghiệm x1< x2
Với x1 <x< x2 a.f(x) <
Với x x1 x x2 a.f(x) >0
* Chú ý: Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối cần khử dấu giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối biểu thức (nếu giá trị biểu thức khơng âm), biểu thức đối (nếu giá trị biểu thức âm) Vì khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho giá trị biểu thức không âm hay âm (dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc 2) Dấu biểu thức thường viết bảng xét dấu
II) Một số phương pháp thường dùng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1) Phương pháp 1: Xét giá trị biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối
a Cơ sở toán học:
A(x) A(x)
- A(x) A(x) <
b Ví dụ minh họa
A(x) =
(8)Ví dụ : Giải phương trình 2x -1+ x = (1)
Giải:
+ Xét 2x -1 hay x ½ (2)
Ta có:2x -1= 2x -1
phương trình (1) có dạng: 2x – + x =
3x =
x = (thỏa mãn 2)
+ Xét 2x – <0 hay x < ½ (3) Ta có:2x -1= -(2x -1)
phương trình (1) có dạng: -(2x – 1) + x =
- x =
x = - (thỏa mãn 3)
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = -1
Ví dụ2: Giải phương trình 2x2- 5x - 1 -2x + = (1)
Giải:
+ Xét 2x2- 5x - 1 (2) 2x2- 5x - 1 = 2x2- 5x –
Phương trình (1) có dạng: 2x2- 5x – -2x + =
2x2- 7x + = x1 = (thỏa mãn 2)
x2 = ½ (khơng thỏa mãn 2)
+ Xét 2x2- 5x - 1 < (3) 2x2- 5x - 1 = - 2x2 + 5x +
Phương trình (1) có dạng: - 2x2 + 5x + -2x + =
- 2x2- +3x + =
x3 = -1 (không thỏa mãn )
x4 = 5/2 (thỏa mãn 3)
Vậy phương trình (1) có tập nghiệm {3; 5/2}
2) Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị ẩn
Nếu ẩn nằm nhiều dấu giá trị tuyệt đối với phương pháp ta phải xét nhiểu trường hợp, có trường hợp khơng xảy Do gọn, người ta thường xét khoảng giá trị ẩn
a Cơ sở tốn học: Sử dụng định lí dấu định lí bậc ax + b (a 0)
b Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Giải phương trình 2.x -5+4-x =11 (1)
(9)Lập bảng xét dấu nhị thức x- –x
X
x -5 - - +
4 -x + -
-+ Xét khoảng x <
Phương trình (1) có dạng
2(5 – x) + – x = 11
10 – 2x + – x = 11
x = ( thuộc khoảng xét)
+ Xét khoảng x
Phương trình (1) có dạng
2(5 – x) + x - = 11
10 – 2x + x – = 11
x = -5 ( không thuộc khoảng xét)
+ Xét khoảng x >
Phương trình (1) có dạng
2(x -5) + x - = 11
2x- 10 + x - = 11
x = 813 ( thuộc khoảng xét)
Vậy phương trình cho có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 3
1
3) Phương pháp 3:Bình phương hai vế
a Cơ sở toán học:
Với A 0, B A = B A2 = B2
b Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x - 1=2x -3 (1)
Giải:
Hai vế phương trình khơng âm, bình phương hai vế ta có:
2x - 12 =2x -32
4x2 – 4x + = 4x2 – 12x + x =
* Chú ý: Trong trường hợp có dạng f(x)=g(x), ta cịn biến đổi phương trình
thành dạng tương đương f(x) = g(x) f(x) = -g(x)
4
0
(10)Ví dụ 2: Giải phương trình x - 1=3x -2 (1)
Giải:
Xét hai trường hợp:
x -1 = 3x – x = ½
x -1 = -(3x – 2) x = 43
Vậy phương trình có hai nghiệm x1 =
2
; x2 =
4
4) Phương pháp 4: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ: Giải phương trình 3x2 + 2
x-1 = (1)
Giải:
Đặt y = x; y
Ta có (1) 3y2 + 2y – = y1 = -1 (loại)
y2 = 3
1
x= 31 x1 = 3
1
x2 = 3
1
Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 3
1
; x2 = 3
1
5) Phương pháp 5: Đưa giải bất phương trình
a Cơ sở tốn học : Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối
b Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình 1 – 2x = 2x -1 (1)
Giải:
Ta có A = - A A
Do (1) 1 – 2x = - (1-2x) – 2x
x ½
Vậy nghiệm phương trình cho : x ½
Ví dụ 2: Giải phương trình x -2+ 3- x = (1)
Giải:
Ta có : A+ BA+B
(11)Với nhận xét ta thấy:
Phương trình (1) x -2+ 3- x =1 = x -2+ 3- x (x-2)(3-x) =
x 3
Vậy nghiệm phương trình (1) là: x 3
III- Một số tập áp dụng:
Bài 1: Giải phương trình sau: 1) 5x-1= 5+3x
2) x-3= (x-3)2
3) x +2+ x-3=7
Bài 2: Giải phương trình:
1) x2 + 2x +3+ x-1=6
2) x(x-1)= x2 + x
3) x -1+ x-4=3
Bài 3: Giải hệ phương trình sau: 1) x -1+ y = -2
5x – 2y = 2) x -y=
x -y+ y-2=
Chủ đề 2:
GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I- Cơ sở lý thuyết:
1) Các phép biến đổi bất đẳng thức
a b a + c b + c
a b, c d a + c b + d
a b, c d a – c b – d
a b, c > a.c b.c
a b, c < a.c b.c
a b 0, c d a.c b.d
2) Các dạng bất phương trình a) Dạng 1:
+ f(x) a ( a số dương)
a
(12) -a f(x) a
+ f(x) g(x)
-g(x) f(x) g(x)
b) Dạng 2:
+ f(x)> a ( a số dương) a < f(x) f(x) < -a
a ) x ( f a ) x ( f
+ f(x)> g(x)
) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f
c) Dạng 3:
+ f(x)g(x) f(x)2 g(x)2
+ f(x)< g(x)f(x)2 < g(x)2
II- Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải.
Chú ý: Để giải bất phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối ta phải khử dấu giá trị tuyệt đối giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
1) Dạng 1:
a Với a số dương ta có:
f(x) a -a f(x) a
b f(x) g(x) -g(x) f(x) g(x)
Ví dụ: Giải bất phương trình x – x +2 2x-4
Giải:
Lập bảng xét dấu biểu thức x x-4
x
x - + +
x-4 - - +
a) Xét khoảng x <
Phương trình (1) có dạng -x – x +2 2(4-x) 0x
Vậy nghiệm với x thuộc khoảng xét x < b) Xét khoảng x <
Phương trình (1) có dạng x – x +2 2(4-x) x
(13)Vậy nghiệm với x thuộc khoảng xét x
c) Xét khoảng x
Phương trình (1) có dạng x – x +2 2(x-4) x
Vậy nghiệm với x thuộc khoảng xét x
Kết luận: Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x 3; x
Nhận xét: Trong cách giải ta khử dấu giá trị tuyệt đối cách xét từng khoảng giá trị biến Trong số trường hợp giải nhanh cách dùng phương pháp chung nói phép biến đổi tương đương
Ví dụ 1: Giải bất phương trình x – 1 <
Giải:
Ta có: x – 1 <
- < x-1 <
- < x <
Ví dụ : Giải bất phương trình 2x – 1 < x
Giải:
Ta có : 2x – 1 < x
- x < 2x-1 < x
x 1 x2
1 x2 x
1 x
3 1 x
31x1
Vậy nghiệm bất phương trình cho là: x
1
Ví dụ : Giải phương trình 32x -1 < 2x+1
Giải:
(14) 1 x 4 1 x 1 x2 )1 x2 (3 )1 x2 ( )1 x2 (3
41x1
2) Dạng 2:
a Với a số dương ta có:
f(x)> a ( a số dương)
a ) x ( f a ) x ( f
b f(x)> g(x)
) x ( g ) x ( f ) x ( g ) x ( f
Ví dụ : Giải bất phương trình : 3x -5 > 10
Giải:
Ta có : 3x -5 > 10
x x 10 x 10 x
Vậy nghiệm bất phương trình cho x5hoặc
3 x
Ví dụ 2: Giải bất phương trình x2 -2x- 2
Giải:
Ta có x2 -2x- 2 -1 x2 -2x-
a a
(15) 1 2 x2 x 1 2 x2 x 2
+) Từ x2 -2x-
x2 -2x- -1 x
+) Từ x2 -2x- -1
x2 -2x-
x x
Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho là:
3 x ; x
1
3) Dạng 3
+ f(x)g(x) f(x)2 g(x)2
+ f(x)< g(x) f(x)2 < g(x)2
Ví dụ : Giải bất phương trình: 2x -1>2x+3
Giải:
2x -1>2x+3 2x -12 >2x+32
4x2 – 4x + > 4x2 +12x +9 -16x >
x < - ½
Vậy bất phương trình cho có nghiệm x < - ½
III- Một số tập áp dụng:
Bài 1: Giải bất phương trình a) 2x -1
b) 2x -3-4x <9
c) 2x -3
d) 3x-2+5x >10
Bài : Giải bất phương trình sau: a) 3x-2<
b) 3-2x< x+1
(16)d) x3 + 1 x +1
Bài 3: Giải bất phương trình sau a) x +1> x-3
b) x-1>x+2-3
c) x+1+x-5>8
d) x-3+x+1<8
e) x-2-x
f) 2x+5-3x-7
g) x2 +2x-5 +1<8
h) 2x2 -5x -3< x+3
Chủ đề 3:
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I- Cơ sở lí thuyết:
Khi giải b tồn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cần lưu ý đến bất đẳng thức sau:
a) A Đẳng thức xảy A =
b) A+BA +B Đẳng thức xảy A.B0
c) A-BA+B Đẳng thức xảy A.B0
d) A-BA-B Đẳng thức xảy A.B0
e) A-BA+B Đẳng thức xảy A.B0
f) A-B A-B Đẳng thức xảy A.B0
1) a) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng: A k (k số) với giá trị biến thuộc khoảng (a,b)
- Chỉ trường hợp xảy đẳng thức
b) Để tìm giá trị lớn biểu thức A khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ rằng: A k (k số) với giá trị biến thuộc khoảng (a,b)
- Chỉ trường hợp xảy đẳng thức
* Lưu ý: Khi làm tốn tìm Min, Max khơng thiếu bước hai bước
(17)1) Khi giải toán cực trị, nhiều ta cần xét khoảng giá trị biến, sau đó so sánh giá trị biểu thức khoảng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất.
Ví dụ1:Tìm giá trị nhỏ A = x-2 + x-3
Giải:
+ Xét x < ta có A = 2-x +3-x = 5-2x Do x<2 nên -2x > -4
A>1 (1)
+ Xét khoảng 2x3 ta có A = x-2+3-x = (2)
+ Xét khoảng x>3 ta có A = x-2+x-3 Do x>3 nên 2x>6
A> (3)
So sánh (1),(2),(3) ta có giá trị nhỏ A = 2x3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x+x-1
Giải:
Xét khoảng giá trị biến x
x - + +
x-1 - - +
+Xét khoảng x< ta có B= -x-(x-1) = -2x+1
Do x < -2x>0 B> (1)
+ Xét khoảng 0x1 ta có
B = x-(x-1) = (2)
+ Xét khoảng x>1 ta có B = x+x-1 = 2x-1 Do x>1 nên 2x>2
B>1 (3)
So sánh (1),(2),(3) ta thấy MinB = 0x1
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức M x6 3
với x Z
Giải
+ Xét x> M>0 với x >3
+ Xét x<3, x Z x = {0;1;2}
0
0
(18)o Với x =0 M = -2
o Với x =1 M = -3
o Với x =2 M = -6 x =2 x = 2
2) Khi giải toán cực trị, nhiều ta nên đổi biến cách đặt ẩn phụ Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ A = (3x-1)2 -43x-1+5
Giải
Đặt 3x-1 = y với y 0
Ta có A = y2 - 4y +5
= (y-2)2 +11
MinA= y=
3x-1 = x1 = 1; x2 = 3
1
3) Khi giải toán cực trị, nhiều cần sử dụng bất đẳng thức Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ M = 2x+2x-5
Giải
Ta thấy rằng: AA ; A= A A=0
Do : M = 2x+2x-5= 2x+5-2x 2x+5-2x = Min M = 5-2x =
x = 25
Vậy MinM = x =
2
Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức B =x+x-1
Giải
Áp dụng bất đẳng thức a+ba+b dấu “=” xảy a.b0
Ta có:
B = x+x-1=x+1-xx+1-x =1
B1 Dấu “=” xảy x(x-1) 0 0x1
Vậy MinB= 0x1
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x-2+x-3
Giải
(19)Ta có:
A = x-2+x-3= x-2+3-xx-2+3-x=1
A1 Dấu “=” xảy (x-2)(3-x) 0 2x3
Vậy MinA= 2x3
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x-1+x-7+x-9
Giải
Ta có x-1+x-9=x-1+9-xx-1+9-x=8
Ta lại có x-70
A = x-1+x-7+x-98
MinA =
7 x
0 x 9
0 1 x
x =
Vậy MinA= x =7
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn biểu thức C = x-1-x-5
Giải
Ta có C = x-1-x-5(x-1)-(x-5)=
Do Max C = (x-5)(x-1)0
x x
Vậy MaxC =
5 x
1 x
4) Khi giải toán tìm cực trị, nhiều ta cịn dùng đồ thị để tìm cực trị Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ y = x-1+x-3
Giải
Ta có bảng giá trị
x
x-1 - + +
x-3 - - +
-2x +4 với x<1 y = với 1x3
2x-4 với x>3
1
0
(20)4
2
-2
0 1
x y
Vẽ đồ thị hàm số y = x-1+x-3 trường hợp
Nhìn vào đồ thị ta thấy Miny= 1x3
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ y = x-1+x-3-2x+2 với -2x4
Giải
Xét giá trị y với khoảng giá trị x ta có : + Với -2x-1 y = (1-x) + (3-x) – (-2x-2) =
+ Với -1< x1 y = (1-x)+(3-x) –(2x+2) = - 4x +
+ Với <x <3 y = (x-1)+(3-x) –(2x+2) = - 2x
+ Với 3 x 4 y = (x-1)+(x-3) –(2x+2) = -6
(21)Từ đồ thị ta thấy :
Maxy = -2 x -1
Miny = -6 3 x4 III- Một số tập áp dụng
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = x-3+x-7
b) B = 2x-3+2x-1
c) C = x2 – x+1+x2 –x-2
d) D = x2 + x+ 3+x2 +x-6
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức A = x- 2+y-1 x+y=
HD:
a) Áp dụng a+ba+b A x+ 2+y+1= 2+6 MaxA = 2+6
b) Áp dụng a-ba-b Ax- 2+y-1= 4- MinA = 4-
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ a) A = x2 2x x2 6x
3
6
4
2
-2
-4
-6
0
-2 -1 x
(22)b) B = x x1 x2 x1
c) C =x-2+2x-3+4x-1+5x-10 HD: Xem kĩ ví dụ để áp dụng.
a) Biến đổi: A = x-1+3-x sau áp dụng M M A
b) Đặt y = x1với y0
Ta có B = y-1 +y+1 = 1-y +y+1
Sau áp dụng MM B2
c) Biến đổi C = 2-x+2x-3+4x-1+10-5x,sau áp dụng M M C
8
Chủ đề 4:
ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I- Đồ thị hàm số y = f(x)
1) Cơ sở lí thuyết
Ta thấy f(x) = f(-x) Do hàm số y = f(x) hàm số chẵn nê đồ thị
hàm số đối xứng qua trục Oy Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y f(x) x >0
- Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần đồ thị bên phải qua trục Oy
2) Ví dụ minh họa
Ví dụ:Dựng đồ thị hàm số y = 2x -2
Giải
Ta có y =2x -2=
2 x 2
2 x 2
Với x0
Xét đồ thị hàm y1 = 2x-2
Tập xác định xR
Với x= y = -2 A(0;-2) đồ thị hàm số
Với y= x = B(1;0) đồ thị hàm số
Đồ thị hàm số đường thẳng qa điểm A,B với x>
Với x< hàm số dạng y2 = 2x-2 có đồ thị đối xứng với y1 qua
Oy
Đồ thị hàm số y = 2x -2 phần in đậm
II- Đồ thị hàm số y = f(x)
với x0
với x<0
2
-2
-4
0
-1
y
(23)1) Cơ sở lý thuyết
+ Ta có y = f(x) =
(f )x )x (f
+ Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm trục Ox (nghĩa f(x) <0
Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị qua trục Ox
* Chú ý:
Đồ thị hàm số y = f(x)+k xem đồ thị hàm số y = f(x) tịnh tiến theo
đường thẳng đứng đoạn k (k số thực)
2) Ví dụ minh họa
Vẽ đồ thị hàm số y = x-2
Giải
+ Ta thấy y = x-2=
2
y x 2
y 2 x
+ Vẽ đồ thị hàm số y1 = x-2
Với x= y = -2 A(0;-2) đồ thị hàm số
Với y= x = B(2;0) đồ thị hàm số y1 phần nét đậm (x2)
y2 phần đối xứng với phần nét thiếu qua Ox
Đồ thị hàm số y = x-2 phần nét đậm hình vẽ
III- Đồ thị hàm số y =f(x)
1) Cơ sở tốn học:
+ Ta có
Ta có y = f(x) =
(fx)
) x ( f + Cách dựng :
a) Dựng đồ thị hàn số y = f(x)
nếu f(x)0
nếu f(x)<0
nếu x2
nếu x<2
-5
2
-2
-4
y
0
-1
y
x
(24)- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x 0
- Dựng đồ thị bên trái đối xứng với phần đồ thị bên phải qua Oy
b) Phần đồ thị nằm phần mặt phẳng Ox, nghĩa f(x) <
Ta dựng phần đồ thị đối xứng với đồ thị qua trục Ox (Hay biến đổi phần
của đồ thị nằm nửa mặt phẳng lên nửa mặt phẳng đối xứng với trục Ox)
2) Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = 1-x
Giải
Dựng đồ thị hàm số y = 1- x với x 0
Với x= y = A(0;1) đồ thị hàm số
Với y= x = B(1;0) đồ thị hàm số
a) b) c)
Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số
y = 1-x (x0) y = -x y = 1-x
Phần đồ thị in đậm hình c) đồ thị hàm số y = 1-x
IV- Đồ thị hàm số y = f(x)
1) Cơ sở lí thuyết:
+) Ta có y = f(x) y = f(x) với f(x)0
+) Cách dựng
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x)0 (phần đổ thị hàm số y =f(x) phía
dưới trục hồnh)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị dựng qua trục Ox
2) Ví dụ minh họa:
Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y= x
Giải 24
2
0 y
x -1
1
2
0 y
x -1
1
2
0 y
x -1
1
2
0 -2
1
-1 y
(25)Vẽ đồ thị hàm số y = x
Với x= y = A(0;1) đồ thị hàm số
Với y= x = -2 B(-2;0) đồ thị hàm số
Phần in đậm đồ thị hàm số y= x
V- Đồ thị hàm số y= f(x)
1) Cơ sở lí thuyết:
+) Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có y = f(x)
+) Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y= f(x)
- Dựng đối xứng y = f(x) qua trục Ox
2) Ví dụ minh họa:
Ví dụ: vẽ đồ thị hàm số y = x-3
Giải
Vẽ đồ thị hàm số y = x-3
Với x= y = -3 A(0;-3) đồ thị hàm số
Với y= x = B(3;0) đồ thị hàm số
Vẽ đối xứng đồ thị y – x-3 qua trục Ox ta đồ thị hàm số y=x-3
VI Nhận xét:
Đối với dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối có cách dựng riêng tương ứng với Tuy nhiên thực tế có hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối không dạng nêu mà kết hợp nhiều dạng khác Đối với trường hợp dựng đồ thị hàm số cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên, ta dựng hàm số cách dựng chung, cách dựng áp dụng cho tất dạng đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cách dựng chung:
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối cách xét khoảng biến (xem chủ
đề 1)
- Mỗi khoảng ta thu hàm tương ứng - Dựng đồ thị theo khoảng xét
Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = x-1+x-3
Giải
Xét khoảng giá trị biến 4-2x = y1 x1
: 25
4
2
-2
-4
0
3
-3 y
x
4
2
(26)y = = y2 1x1
2x-4 = y3 x3
Đồ thị hàm số y đồ thị hàm số y1 ; y2 ; y3 với khoảng giá trị biến (là
phần nét đậm)
VII.Một số tập áp dụng:
Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 13 x -2
b) y = 3-5x
c) y = 1- x
Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x-3
b) y = x+2 +1
c) y = -x- 1
Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x- 2
b) y 2x- 3
c) y = - x1
Bài : Vẽ đồ thị hàm số sau a) y = 1- x
b) y -1 = x
c) y = x2 +1
Bài 5: Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = x
b) y- 2 = x
c) y-1 = x- 2
C- THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM:
BÀI DẠY THỰC NGHIỆM
Tuần: 14 Ngày soạn: 01/ 12 /2009
Tiết: 42 Ngày dạy: 09/ 12/ 2009
(27)- Học sinh hiểu biết so sánh hai số nguyên, tìm giá trị tuyệt đối số
nguyên
- Rèn kĩ so sánh hai số nguyên tìm giá trị tuyệt đối số nguyên - Rèn tính cẩn thận so sánh hai số nguyên tìm giá trị tuyệt đối số
nguyên
B- Chuẩn bị:
GV: Bảng phụ, thước thẳng
HS: Ôn tập kiến thức số nguyên học
C- Tiến trình lớp:
1) Ổn định tổ chức Kiểm tra sĩ số (1phút) 2) Kiểm tra cũ (8’):
HS1: Viết tập hợp số nguyên Làm tập – SGK
HS2: Thế hai số đối nhau? Làm tập 10 – SGK
3) Bài mới:
HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ GHI BẢNG
? So sánh
? So sánh vị trí hai đỉêm biểu diễn hai số trục số
GV đưa tính chất tương tự số nguyên
? Nhìn trục số so sánh
- GV treo bảng phụ ghi ?1 - Cho HS trao đổi theo nhóm gọi lên bảng điền - Yêu cầu HS nhận xét bổ sung
- Cho HS tìm hiểu ý SGK? Tìm số liền trước (sau) 1;-1;-3;0;-4? - Yêu cầu HS tìm hiểu ?2 - Cho HS trao đổi thảo luận
-HS so sánh: 3<
- Điểm nằm bên trái điểm tia số
- HS theo dõi GV hướng dẫn
- HS làm theo yêu cầu GV
- HS trao đổi theo bàn lên bảng điền vào bảng phụ - HS nhận xét bổ sung
- HS tìm hiểu phần ý SGK
- HS dựa vào trục số để trả lời
- HS đọc tìm hiểu ?2 - HS trao đổi theo nhóm
1) So sánh số nguyên (15’)
+ Ta có: 3<
trên tia số điểm nằm bên trái điểm
+ Với hai số a,bZ: Khi
điểm a bên trái điểm b trục số a < b ( hay b>a)
* Tổng quát (SGK)
0 n
m a b
+ m < n ; a<b; m<a; n<a + m<0; n<0; a>0; b>0 ?1
a) …bên trái ….nhỏ hơn… < …
b) … bên phải ….lớn …> …
c) … bên trái ….nhỏ … …< …
* Chú ý: (SGK) ?2
(28)HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRỊ GHI BẢNG
theo nhóm
- Gọi HS lên bảng thực
? So sánh số nguyên dương (nguyên âm) với số ? So sánh số nguyên âm với số nguyên dương - GV treo bảng phụ vẽ trục số
? Tìm điểm cách khoảng đơn vị GV yêu cầu HS tìm hiểu ?3 - Gọi HS lên bảng thực GV giúp HS lớp
- GV yêu cầu HS nhận xét bổ sung
- GV chốt Nêu định nghĩa giá trị tuyệt đối số nguyên
GV yêu cầu HS tìm hiểu ?4 - Cho HS trao đổi
? Em có nhận xét giá trị tuyệt đối số nguyên dương (âm) số ? So sánh hai số nguyên âm so sánh hai giá trị tuyệt đối chúng
? Nhận xét giá trị tuyệt đối hai số đối
bàn đại diện lên bảng làm
- HS so sánh theo yêu cầu GV
- HS đọc tìm hiểu ?3 HS lên bảng trình bày - HS lớp làm vào
- HS nhận xét bổ sung
- HS theo dõi tìm hiểu thêm SGK
- HS đọc tìm hiểu ?4 - HS trao đổi theo nhóm cử đại diện lên bảng trình bày
- Học sinh nhận xét bổ sung
- HS rút nhận xét SGK
b) -2>-7 e) 4>-2 c) -4<2 g) 0<3 * Nhận xét: (SGK)
2) Giá trị tuyệt đối của
một số nguyên (11’)
+ Điểm -2 cách khoảng đơn vị
?3
+ Khoảng cách từ đến đơn vị
+ Khoảng cách từ-1 đến đơn vị
+ Khoảng cách từ -5 đến đơn vị
+ Khoảng cách từ đến đơn vị
+ Khoảng cách từ -3 đến đơn vị
+ Khoảng cách từ đến đơn vị
+ Khoảng cách từ đến đơn vị
* Định nghĩa (SGK)
- Giá trị tuyệt đối a, kí hiệu a
?4
2 = -2= -1 = 1 = 0 = 5 = 3= -5 =
* Nhận xét (SGK)
2
0
-1 -2 -3
(29)HOẠT ĐỘNG CỦA THẦY HOẠT ĐỘNG CỦA TRÒ GHI BẢNG
nhau
IV- Củng cố (9’)
-GV treo bảng phụ ghi tập 11 (SGK)
- Gọi HS lên bảng thực - Yêu cầu HS nhận xét bổ sung
- Yêu cầu HS tìm hiểu tập 12- SGK
- Chia lớp thành nửa thi làm nhanh
- Yêu cầu HS tìm hiểu tập 14 - SGK
- Cho HS trao đổi theo nhóm
- GV quan sát sửa chữa cho nhóm
- Yêu cầu HS nhận xét bổ sung
- GV chốt Nhắc lại nội dung học
2 HS lên bảng làm
- HS lớp thực - HS nhận xét bổ sung - HS hai nửa lớp làm nhanh đại diện lên bảng trình bày
- Học sinh đọc tìm hiểu tập
- HS trao đổi theo nhóm cử đại diện lên bảng trình bày
- HS nhận xét bổ sung
Bài tập 11 (SGK) < -3 > -5 > -6 10 > -10 Bài tập 12 (SGK) a) -17; -2 ; 0; ; ; b) 2001; 15; 7; 0; -8; -101 Bài tập 14 (SGK)
2000 = 2000 -3011 = 3011 -10 = 10
V- Hướng dẫn nhà (1’)
- Học làm tập đầy đủ.Xem kĩ ví dụ tập chữa - Làm tập sau : 13; 15; 16; 17 – SGK
22; 23; 24 - SBT
PHẦN III - KẾT LUẬN
Trong đề tài “Một số vấn đề giá trị tuyệt đối trường THCS” hệ thống hóa lý thuyết gía trị tuyệt đối, trình bày chủ đề dạng tốn liên quan đến giá trị tuyệt đối Nội dung trình bày đề tài cịn hạn hẹp, chưa bao qt hết loại tốn có liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối bậc THCS Nhưng chọn lọc đưa vấn đề lý thuyết liên quan với sở toán học thực tiễn ví dụ minh họa cách khoa học
(30)Tuy nhiên để kết mong muốn, đòi hỏi người giáo viên cần hệ thống lý thuyết, phân loại tập thành dạng, giáo viên xây dựng từ kiểm tra kiến thức cũ đến kiến thức mới, từ cụ thể đến tông quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh Người giáo viên cần phát huy tính chủ động, tích cực sáng tạo học sinh, từ giúp em có nhìn nhận bao qt, tồn diện định hướng học tốn đắn, làm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường ngành học
Do thời gian thực cịn , tài liệu chưa nhiều, nên đề tài chắn không tránh khỏi hạn chế , tối mong giúp đỡ, góp ý thầy giáo, cô giáo bạn bè đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy, với tơi việc hồn thành đề tài học hỏi, trình nghiên cứu chắt lọc, chắn việc hoàn thành đề tài tích lũy tư liệu giúp tơi sâu sắc hơn, làm tốt cơng việc giảng dạy
Để hoàn thành đề tài này, việc tự nghiên cứu học hỏi tài liệu, qua thực tế giảng dạy tơi cịn giúp đỡ đồng nghiệp nơi công tác, thầy giáo Khoa Toán – tin Trường đại học sư phạm Hà Nội Đặc biệt GS -TS Tống Trần Hoàn, giảng viên trường Đại Học sư phạm I Hà Nội
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Bình,tháng năm 2007
Người thực
Phạm Anh Nghĩa
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
(31)
MỤC LỤC
PhầnI - Đặt vấn đề Trang1
I Lý Trang1
II Mục đích nghiên cứu Trang1
III Nhiệm vụ đề tài Trang1
IV Đối tượng nghiên cứu Trang2
V Phương pháp nghiên cứu Trang2
IV Dự kiến kết đạt đề tài Trang2
Phần II- Nội dung đề tài Trang3
A- Những kiến thức giá trị tuyệt đối Trang3
I Các định nghĩa giá trị tuyệt đối Trang3
II Một số tính chất giá trị tuyệt đối Trang4
B- Một số dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối Trang7
Chủ đề 1: Giải phương trình hệ phương trình chứa dấu giá trị
(32)I Cơ sở lí thuyết Trang7
II Một số phương pháp thường dùng giải phương trình,
hệ phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang8
III Một số tập áp dụng Trang11
Chủ đề 2: Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang12
` I Cơ sở lí thuyết Trang12
II Một số dạng bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp
phương pháp giải Trang12
III Một số tập áp dụng Trang16
Chủ đề 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang16
I Cơ sở lí thuyết Trang16
II Một số ý tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức
chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang17
III Một số tập áp dụng Trang21
Chủ đề 4: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối Trang22
I Đồ thị hàm số y = f(x) Trang22
II Đồ thị hàm số y = f(x) Trang23
III Đồ thị hàm số y = f(x) Trang24 IV Đồ thị hàm số y = f(x) Trang25
V Đồ thị hàm số y = f(x) Trang25
VI Nhận xét Trang25
VII Một số tập áp dụng Trang26
C- Thực nghiệm sư phạm Trang27
Phần III - Kết luận Trang30
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa đại số (Nhà xuất GD) 2) Sách giáo khoa đại số (Nhà xuất GD) 3) Sách giáo khoa đại số (Nhà xuất GD)
4) Một số vấn đề phát triển đại số – Vũ Hữu Bình (Nhà xuất GD)
5) Tốn nâng cao chuyên đề Đại số – Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm (Nhà xuất GD)
6) Toán nâng cao đại số 7- Vũ Hữu Bình (Nhà xuất GD) 7) Một số vấn đề phát triển Đại số – Vũ Hữu Bình (Nhà xuất GD) 8) Toán nâng cao Đại số – Vũ Hữu Bình (Nhà xuất GD)
(33)10) Các dạng tốn ơn thi vào lớp 10- Vũ Hữu Bình (Nhà xuất Hà Nội)