Bài tập Tiếp tuyến của đồ thị hàm số – Toán 12

cho số nghiệm thực nhỏ hơn số bậc của phương trình là 1 thì ta chọn đáp án đó.... Chọn đáp án C...[r]

(1)

CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A. KỸ NĂNG CƠ BẢN

Bài tốn 1: Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp. Cho hàm số yf x , gọi đồ thị hàm số  C .

Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C : yf x  M x y o; o.

Phương pháp

o Bước Tính yf x  suy hệ số góc phương trình tiếp tuyến k y x 0

o Bước 2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C điểm  0; 0

M x y có dạng

   

/

0 0

y y f x x x . Chú ý:

o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x0 ta tìm y0bằng cách vào hàm số ban

đầu, tức y0 f x 0 Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải

x .

o Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị  C :yf x  đường thẳng d y ax b:   Khi đó hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d  C

 Sử dụng máy tính:

Phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng d y ax b:  

o Bước 1: Tìm hệ số góc tiếp tuyến ky x 0 Nhập

 

0

x x

d f x

dx 

bằng cách nhấn SHIFT  

 sau nhấn  ta a

o Bước 2: Sau nhân với  X tiếp tục nhấn phím  f x  CALC o

(2)

Ví dụ 1. Cho hàm số  C : y x 33x2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị  C điểm M1;4

A y9x5 B y9x5 C y9x D y9x

Hướng dẫn giải

Ta có y' 3 x26x ky 1 9 Phương trình tiếp tuyến M 1; 4 là   0 0  

: 9

d yy x x x y  x   x Chọn đáp án D.

o Nhập  

3

x

d

X X

dx  

nhấn dấu  ta

o Sau nhân với   X  nhấn dấu  X33X2 CALC X 1  ta 5.

Vậy phương trình tiếp tuyến Mlà y9x 5.

Ví dụ 2. Cho hàm số y2x36x2 5 Phương trình tiếp tuyến của  C điểm M thuộc  C có hồnh độ 3.

A. y18x49 B y18x 49 C y18x49 D y18x 49

Ta có y 6x212x Với x0 3 y0  5 M3; 5  hệ số góc

 3 18

ky  Vậy phương trình tiếp tuyến M là  

18 18 49

y x   x Chọn đáp án A.

o Nhập  

3

2

x

d

X X

dx    

nhấn dấu  ta được18.

o Sau nhân với   X  nhấn dấu  2X36X2 CALC X 3

nhấn dấu  ta 49 Vậy phương trình tiếp tuyến M

18 49

y x

Ví dụ 3. Cho hàm số  

4

1

:

4

C y x  x

Phương trình tiếp tuyến  C điểm M có hồnh độ x0 0, biết y x 0 1

A y3x B. y3x1 C.

5

4

y x

D.

1

4

y x

Ta có y x3 4x, y 3x2 4 Mà

 0

(3)

Vậy

7

y 

, suy k y 1 3 Vậy phương trình tiếp tuyến M

 

: 3

4

d y x   y x 

Chọn đáp án C

o Nhập

4

1

2

4 x

d

X X

dx 

 



 

 

nhấn dấu  ta 3

o Sau nhân với   X  nhấn dấu 

4

1

2

4 X  X CALC X 1  ta

được

5 4.

Vậy phương trình tiếp tuyến

5 :

4

d y x 

Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C : yf x  có hệ số góc kcho trước.

o Bước 1.Gọi M x y 0; 0là tiếp điểm tính yf x 

o Bước 2 Hệ số góc tiếp tuyến kf x' 0 Giải phương trình

này tìm x0, thay vào hàm số y0

o Bước 3 Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng

   

0 0

:

d y y f x x x

Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau:

 Tiếp tuyến d // : y ax b   hệ số góc tiếp tuyến ka

 Tiếp tuyến d  :y ax b  , a0  hệ số góc tiếp tuyến

1

k a  

(4)

 Sử dụng máy tính:

Nhập kX f x  CALC X x0 nhấn dấu  ta b Phương trình tiếp tuyến d y kx b:  

Ví dụ minh họa

Ví dụ Cho hàm số  C :yx3 3x2 Phương trình tiếp tuyến  C biết hệ số góc tiếp tuyến là:

A.

9 14 18

y x y x

  

  

 B

9 15 11

y x y x

  

  

 C

9

y x y x

  

  

 D

9

y x y x

  

   

Ta có y 3x2 3 Vậy ky x 0 93x02 9

0 2

x x x

      .

+ Với x0  2 y0 4 ta có tiếp điểm M2;4

Phương trình tiếp tuyến M là y9x 2 4 y9x14.

+ Với x0  2 y0 0 ta có tiếp điểm N2;0

Phương trình tiếp tuyến N là y9x2 0 y9x18. Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y9x14

y9x18 Chọn đáp án A

+ Với x0 2 ta nhập  

3

9  X X  3X 2 CALC X 2 nhấn dấu  ta

được 14  y9x14

+ Với x0 2 ta nhập  

3

9  X X  3X 2 CALC X 2 nhấn dấu  ta

được 18 y9x18

Ví dụ 2. Cho hàm số  

2 :

2

x C y

x 

 

 Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình : 3x y  2 0.

A. y3x B. y3x14 C y3x5 D y3x

Ta có  2

3 '

2

y x



 , : 3x y  2 0 y3x2 Do tiếp tuyến song song

với đường thẳng  nên  

 2 0

2

0

2 1

3

2

x x

k x

x x

x

  

 

        

  

(5)

+ Với x0 1 nhập  

2

3

2

X

X CALC X

X 

  

 nhấn dấu  ta 2, suy d y: 3x2 (loại trùng với ).

+ Với x0 3 CALC X 3 nhấn dấu  ta 14  d y: 3x14 Vậy phương trình tiếp tuyến d y: 3x14 Chọn đáp án B.

Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C : yf x  biết tiếp tuyến qua điểm A x y A; A.

Phương pháp Cách 1.

o Bước 1: Phương trình tiếp tuyến qua A x y A; A hệ số góc k có dạng

 

: A A

d y k x x  y ( )

o Bước 2: d tiếp tuyến  C

hệ sau có nghiệm:

     

A A

f x k x x y f x k

   

 

  

 .

o Bước 3: Giải hệ tìm x suy k vào phương

trình ( ) , ta tiếp tuyến cần tìm. Cách 2.

o Bước Gọi M x f x 0;  0  tiếp điểm tính hệ số góc tiếp

tuyến k y x 0 f x 0

theo x0

o Bước 2 Phương trình tiếp tuyến có dạng: d y: y x  0 x x 0y0

( ) Do điểm A x y A; Ad nên yA y x  0 xA x0y0

giải phương trình ta tìm x0.

o Bước 3 Thế x0 vào ( ) ta tiếp tuyến cần tìm

Chú ý: Đối với dạng viết phương trình tiếp tuyến qua điểm việc tính tốn tương đối thời gian Ta sử dụng máy tính thay đáp án: Cho f x  kết đáp án Vào

5

MODE  

nhập hệ số phương trình Thơng thường máy tính

(6)

Ví dụ Cho hàm số  C :y4x33x1 Viết phương trình tiếp tuyến  C biết tiếp tuyến qua điểm A1; 

A

9

y x y

  

 

 B

4

y x y x

  



 

 C

7

y x y x

   

 

 D

5 2

y x y x   



  

Ta có y'12x23.

+ Tiếp tuyến  C qua A1; 2 với hệ số góc k có phương

trình d y k x:   12

+ d tiếp tuyến  C

hệ sau có nghiệm:    

 

3

4

3 1

12 k

x x k x x

      



  

 

Thay k từ  2 vào  1 ta 4x33x  1  12x23x12

 2

3

1

8 12 1

2

x

x x x x

x  

  

            

 

 .

+ Với x 1 k 9 Phương trình tiếp tuyến y9x

+ Với

1

0

x  k

Phương trình tiếp tuyến y2. Chọn đáp án A.

Dạng Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đồ thị hàm số C1:yf x  C2 :yg x .

o Bước Gọi d tiếp tuyến chung   C1 , C2 x0

hoành độ tiếp điểm d  C1 phương trình d có

dạng yf x  0 x x 0 f x 0 ***

o Bước 2 Dùng điều kiện tiếp xúc d C2, tìm x0

o Bước 3 Thế x0 vào *** ta tiếp tuyến cần tìm

Ví dụ. Cho hai hàm số:

 C1 :yf x 2 x, x0      

2

1

: , 2 2

2

(7)

A

1

y x

B

1

y x

C.

1 2

y x

D

3

y x

+ Gọi d phương trình tiếp tuyến chung   C1 , C2

x0 a (

a 2 2a2 2) hoành độ tiếp điểm d với  C1

phương trình d là

     

2

y f x x a y x a a

a



     

+ d tiếp xúc với C2 hệ sau có nghiệm:

   

2

1

8

2

1

2

x

x a

a x



  

  



 

  

Thay  2 vào  1 ta phương trình hồnh độ tiếp điểm

d C2

   

2

2 2

1

8

2 2 8

8

x

x x

x x x x

   

 

     

 

    



2 2

0

2

x

x x

   

    



   

Thay x2 vào  2 ta 1

4

2 a x

a      Vậy phương trình

tiếp tuyến chung cần tìm

1 2

y x

(8)

Bài toán 2: Một số cơng thức nhanh tính chất cần biết. Bài tốn 2.1: Cho hàm số 0,

ax b d

y c x

cx d c

  

    

   có đồ thị  C . Phương trình tiếp tuyến  M thuộc  C I giao điểm đường tiệm cận Ta ln có:

 Nếu  IM tồn điểm M thuộc nhánh

đồ thị  C đối xứng qua I và M

ad bc d x

c

  



Cách nhớ:

M

cx d  ad bc        

mẫu số hàm số tử số đạo hàm.

(I) M trung điểm AB(với A B, giao điểm  với tiệm cận)

(II) Diện tích tam giác IAB khơng đổi với điểm M và

2

2 IAB

bc ad S

c 

 

(III).Nếu E F, thuộc nhánh đồ thị  C E F, đối xứng

qua I thì tiếp tuyến tại

,

E F song song với (suy đường thẳng d đi

qua E F, qua tâm I ).

Chứng minh:

 Ta có  

2

ad bc y

cx d   

 ; ;

d a I

c c

 



 

  giao điểm tiệm cận

 Gọi

; M ( ) ;

M M

M

a x b d

M x C x

cx d c

    

 

   

  

  Phương trình tiếp tuyến M có dạng

2

: ( )

( )

M M

ax b ad bc

y x x

cx d cx d

 

   

  .

Chứng minh (I).

  

;

M

M d bc ad IM x

c c cx d

  



 

  

 



;  

2

1;

M ad bc u

cx d



  

 

  

 



    

2

M

M M

d bc ad ad bc IM IM u x

c c cx d cx d



 

       

 

 

   

 

4

3

M

M M

ad bc d cx d ad bc

x

c c cx d

     

   

(9)

Chứng minh (II).

 Giao điểm  với tiệm cận ngang

2 M ;

d a A x

c c

 



 

 .

 Giao điểm  với tiệm cận đứng  

2 ; M

M

ac x bc ad d

B

c c c x d

   



 

  

 .

 Xét  

2

A B M M

M M

A B M

M M

d d

x x x x

c c

ac x bc ad ax b a

y y y

c c c x d cx d



     



   

     

 



 .

Vậy M trung điểm AB.

Chứng minh (III).



 

2

; M

cx d

IA c

c



 

 

 



 

2 0;

M bc ad IB

c c x d

  

 

  

 



 IAB vuông I

   

 

2

1

2

M IAB

M

bc ad cx d bc ad

S IA IB

c c c x d c





 

    

  

hằng số Vậy diện tích IAB khơng đổi với điểm M .

Chứng minh (IV):

 Gọi

2

; E ( ) ; E

E E E

E E

a x b d d a ax b

E x C x F x

cx d c c c cx d

       

     

     

   

   

(E F, đối xứng qua I ).

 Phương trình tiếp tuyến E có hệ số góc  

2 (1)

E

E ad bc k

cx d  

 .

 Phương trình tiếp tuyến F có hệ số góc

     

2 2 (2)

2

F

E E E

E

ad bc ad bc ad bc ad bc

k

d cx d d cx cx d

d

c x d

c

   

   

     

   

  

 

 

 

  .

 Từ (1) (2) suy kE kF

Bài toán 2.2: Cho hàm số

ax b y

cx d

 

 có đồ thị  C , c0, ad bc 0 Gọi điểm M x y 0; 0  C , biết tiếp tuyến  C

điểm M cắt trục Ox Oy, A B, sao cho OA n OB Khi x0 thoả

0

cx d  n ad bc

(10)

 Xét hàm số

ax b y

cx d

 

 , c0, ad bc 0 Ta có  

2

' ad bc

y

cx d

 



 Gọi

 

0

;ax b

M x C

cx d

  



 



  là điểm cần tìm Gọi  tiếp tuyến với  C tại

M ta có phương trình :    

0

' ax b

y f x x x

cx d



  



   

0

ax b ad bc

y x x

cx d cx d

 

   



 .

 Gọi A Ox 

2

0 ;0

acx bcx bd A

ad bc

   



 



 .

B Oy   

2

0

2

0;acx bcx bd

B

cx d

   

 

  

 .

 Ta có

2

0

0 acx 2bcx bd

acx bcx bd OA

ad bc ad bc

 

 

 

   

2

0

2

0

2

2 acx bcx bd

acx bcx bd OB

cx d cx d

 

 

 

(vì A B, khơng trùng O nên acx02 2bcx0 bd 0)

 Ta có  

2

0 0

2

acx bcx bd acx bcx bd

OA n OB n

ad bc cx d

   

  

 

   

2

0

2

1

n cx d n ad bc cx d n ad bc ad bc cx d

         

 

B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm sốy x3  3x2 1 điểm A3;1

A. y 9x 26. B. y9x 26. C. y9x 3. D. y 9x 2.

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yx4  4x2 1 điểm B1; 2 

là

A. y 4x6. B. y4x2. C.y4x6. D. y4x2.

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

1

x y

x  

 điểm C2;3 là

A y2x1. B. y2x7. C. y2x7. D. y 2x 1.

Câu 4. Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x33x điểm D có hồnh độ

2 có phương trình

(11)

Câu 5. Tiếp tuyến đồ thị hàm số yx4 8x2 điểm E có hồnh độ –3 có phương trình

A y60x171. B y60x171.

C y60x189 D y60x189.

Câu 6. Tiếp tuyến đồ thị hàm số

2 1

x y

x  

 điểm F có hồnh độ có

phương trình

A. y x5. B y  x 5. C.y x 1. D. y x 1.

Câu 7. Tiếp tuyến đồ thị hàm số y2x3 3x2 điểm G có tung độ có

phương trình

A. y 12x 7. B. y12x 7. C. y12x17. D. y 12x17.

Câu 8. Tiếp tuyến đồ thị hàm số yx4 2x2  điểm H có tung độ

21 có phương trình A.

40 101 40 59

y x

  

  

 . B.

40 59 40 101

y x

  

  

 .

C.

40 59 40 101

y x

  

  

 . D.

40 59 40 101

y x

  

  

 .

2

x y

x  

 điểm I có tung độ có

phương trình A.

1 5

y  x

B.

1 5

y x

C.

1 5

y x

D.

1 5

y  x

Câu 10. Tiếp tuyến đồ thị hàm sốyx3 3x2  có hệ số góc k3 có

phương trình

A. y 3x 7. B. y3x7. C.y3x1. D. y3x 1.

4

1

y x  x

có hệ số góc k 48

có phương trình

A. y 48x192. B. y48x160. C.y48x 160. D. y48x 192.

Câu 12. Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

3

x y

x  

 biết tiếp tuyến

có hệ số góc A.

4 13

y x y x

  

  

 B.

4 13

y x y x

  

  

 C.

4 13

y x y x

  

  

 D.

4 13

y x y x

  

  



Câu 13. Có tiếp tuyến đồ thị hàm số yx3 2x2 song song với

đường thẳng y x?

(12)

Câu 14. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y36x5 đồ thị hàm số

4 2

yx x  có phương trình là

A. y 36x 54. B. y36x54. C.y36x 90. D. y36x90.

Câu 15. Cho hàm

5 x y x   

 có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của

( )C cho tiếp tuyến song song với đường thẳng

1 :

7

d y x

A 7 23 7 y x y x        

 . B.

1 7 23 7 y x y x         

 . C.

1 23 7

y  x

D.

1 23 7

y  x

Câu 16. Cho hàm y 2x3 3x có đồ thị ( )C Tiếp tuyến đồ thị ( )C

vng góc với đường thẳng x21y 0 có phương trình là:

A. 33 21 31 21 y x y x        

 . B.

21 33 21 31 y x y x      

 . C.

21 33 21 31 y x y x      

 . D.

1 33 21 31 21 y x y x            .

Câu 17. Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x4  2x2 3 vng góc với đường

thẳng x 8y2017 0 có phương trình A.

1 8

y x

B. y8x8. C. y8x8. D.

1 8

y  x

Câu 18. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

2 2 x y x  

 biết tiếp tuyến

vng góc với đường thẳng y6x1

A.

1

y  x

B.

1

y x

C. 1 1 y x y x        

 . D.

1 13 y x y x          .

Câu 19. Có tiếp tuyến đồ thị hàm số yx4  4x2 giao điểm

của đồ thị với trục Ox ?

A. B. C. D.

Câu 20. Cho hàm số y x33x có đồ thị (C). Tiếp tuyến đồ thị (C)

giao điểm ( )C với trục hồnh có phương trình A. y 9x 18. B.

0 18 y y x     

 C. y9x18 D.

(13)

Câu 21. Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C):

5

x y

x  

  giao điểm A

của (C) trục hoành Khi đó, phương trình đường thẳng d A.

1 4

y  x

B.

1 4

y x

C.

1 4

y x

D.

1 4

y x

Câu 22. Tại giao điểm đồ thị hàm số (C): y2x3 6x1 trục Oy ta lập

được tiếp tuyến có phương trình

A. y 6x 1. B. y 6x 1. C. y 6x1. D. y6x1.

Câu 23. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C):

4

1

3

y x  x 

giao điểm M (C) với trục tung

A.

2

y y

   

 B.y 2 C. y2 D.

2

y y

   



Câu 24. Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số (C):

2

x y

x  

 giao điểm A

của ( )C trục tung Khi đó, phương trình đường thẳng d A

7

y x

B.

7

y x

C.

7

y x

D.

7

y  x

3

( ) : 3

x

C y  x  x

song song với đường thẳng y 3x2016 có phương trình

A.

2

3

y x y x 

  



 

 . B.

2

3

y x y x 

  



 

 . C.

3

y x y x   



  

 . D.

2

3

y x y x 

  



 

 .

Câu 26. Tiếp tuyến điểm cực tiểu đồ thị hàm số

3

2

x

y  x  x

A. song song với đường thẳng x1. B. song song với trục hồnh

C. có hệ số góc dương D. có hệ số góc 1

Câu 27. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số

2

x y

x 

 điểm có tung độ

bằng

A. x 2y 0 . B. xy 0 .

C. 2x y 0 . D. x2y 0 .

Câu 28. Cho đường cong ( ) :C yx3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến ( )C

tại điểm thuộc ( )C có hồnh độ x0 1

(14)

Câu 29. Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y3x3  x2  7x1 điểm 0;1

A

A. y x 1 B. y7x1 C. y1 D. y0

Câu 30. Cho hàm số y x3  3x2 1 có đồ thị ( )C Khi phương trình tiếp tuyến của đờ thị ( )C điểm có hồnh độ

A. y 45x276. B y45x174.

C. y 45x276. D. y 45x 174.

Câu 31. Cho hàm số y x3 3x2 6x1 có đồ thị (C). Trong tiếp tuyến

(C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ có phương trình

A. y 3x2. B. y3x2. C. y3x8. D. y 3x8.

Câu 32. Cho hàm số y x3 6x2 3x có đồ thị (C). Trong tiếp tuyến

(C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn có phương trình

A y15x55. B. y15x 5. C. y15x 5. D. y 15x55.

Câu 33. Cho hàm số y x3 x1 có đồ thị (C). Khẳng định sau

khẳng định sai?

A. Hàm số đồng biến 

B. Trên (C) tồn hai điểm A x y( ; ), ( ; )1 B x y2 cho hai tiếp

tuyến (C) A B vng góc

C. Tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ có phương trình y 4x 1.

D. Đồ thị (C) cắt trục hoành điểm

Câu 34. Đường thẳng y ax b tiếp xúc với đồ thị hàm số yx32x2  x2

điểm M1;0 Khi ta có

A ab36. B. ab6. C. ab36. D. ab5.

Câu 35. Cho hàm số yx3 x2 2x5 có đồ thị (C) Trong tiếp tuyến

(C), tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất, hệ số góc tiếp tuyến A.

1

3. B

2

3. C.

4

3. D

5 3.

Câu 36. Cho hàm số

3

x y

x 

 có đồ thị (C) Tiếp tuyến (C) tạo với trục

hồnh góc 600 có phương trình A.

3 3

y x

   



 . B.

3 3

y x

   



 .

C.

3 3

y x

   



 . D.

3 3

y x

   



(15)

Câu 37. Cho hàm số y x3  3mx2 3(m1)x1(1), m tham số Kí hiệu (Cm)

đồ thị hàm số (1) K là điểm thuộc (Cm), có hồnh độ 1 Tập tất

cả giá trị tham số m để tiếp tuyến (Cm) điểm K song song

với đường thẳng d: 3x y 0

A. 1 . B. . C.  

1 ;  

D.  

1 

4 1

2

y x  mx m

có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ –1 vng góc với đường thẳng có phương trình

3

x y  Khi giá trị m là

A. m1. B. m0. C.

13

m

D.

11

m

Câu 39. Cho hàm số y 2x1 có đồ thị (C) Biết tiếp tuyến d đồ thị (C)

vng góc với đường thẳng y3x2017 Hỏi hồnh độ tiếp điểm d (C) bao nhiêu?

A.



B. C. D. –

Câu 40. Cho hàm số y3x 4x3 có đồ thị (C) Từ điểm M 1;3 kẻ

bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị hàm số (C) ?

A. B. C. D.

Câu 41. Cho hàm số yx3x2 có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N1; 4

(C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M Khi tọa độ điểm Mlà A. M1;0 B. M 2; 8  C. M0; 2 D. M2;12

Câu 42. Cho hàm số yx3 x2 x1 có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N

(C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M 1; 2  Khi tọa độ điểm N A. 1; 4  B. 2;5 C. 1;2 D. 0;1

Câu 43. Cho hàm số yx33mx2 m1 x1 có đồ thị (C) Với giá trị

m tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ bằng –1 qua A1;3 ?

A.

7

m

B.

1

m

C.

1

m

D.

7

m

x m y

x  

 có đồ thị (Cm) Với giá trị m tiếp

tuyến (C) điểm có hồnh độ song song với đường thẳng

3

(16)

A m3 B. m1 C. m2 D. m2

x y

x 

 có đồ thị (C) gốc tọa độ O Gọi  tiếp tuyến

của (C), biết  cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A,

B và tam giác OAB cân Phương trình  là

A. y  x 1. B. y x 4 C. y x 4. D. yx.

Câu 46. Cho hàm số y x4  x2 6 có đồ thị (C). Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt

các trục Ox, Oy lần lượt hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình là:

A

36 36

x y

   

   

 B

36 86 36 86

y x

  

  



C

36 58 36 58

y x

  

  

 D.

36 14 36 14

x y

   

   



Câu 47. Cho hàm số  

1

x y

x

 

 có đồ thị  C Gọi điểm M x y 0; 0 với x0  1

là điểm thuộc  C ,biết tiếp tuyến  C điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A B, tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d : 4xy 0 Hỏi giá trị x0 2y0 bao

nhiêu?

A.

7



B.

7

2. C.

5

2. D.

5



Câu 48. Cho hàm số y x 4 2mx2m (1) , m tham số thực Kí hiệu Cm là

đồ thị hàm số (1); d tiếp tuyến Cm điểm có hồnh độ 1.

Tìm m để khoảng cách từ điểm

3 ;

B 

  đến đường thẳng d đạt giá trị lớn

nhất?

A. m1. B. m1. C. m2. D. m2.

2

x y

x  

 có đồ thị  C Có tiếp tuyến đồ

thị  C điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng

1:

d x y  2.

(17)

2 1

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm hai tiệm cận

của  C Tìm điểm M thuộc  C có hồnh độ lớn cho tiếp tuyến  C Mvng góc với đường thẳng MI ?

A.

7 4;

3

M 

 . B.

5 3;

2

M 

 . C.M2;3 . D.M5;3.

1

x y

x   

 có đồ thị  C , đường thẳng d y:  x m Với

mọi m ta ln có d cắt  C điểm phân biệt A B, Gọi k k1,

hệ số góc tiếp tuyến với  C A B, Tìm m để tổng k1 k2 đạt giá

trị lớn

A. m1. B. m2. C. m3. D. m5

Câu 52. Cho hàm số  

2

x y

x  

 .Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm

số  1 , biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A B, tam giác OAB cân gốc tọa độ O

A. y  x 2. B. yx C. yx2 D. y x1

2 1

x y

x  

 có đồ thị  C Lập phương trình tiếp tuyến của

đồ thị  C cho tiếp tuyến cắt trục Ox Oy, điểm

A B thoả mãn OA4OB.

A.

1 4 13 4

y x



  



  

 . B.

1 4 13

y x



  



  

 .

C.

1 13

y x



  



  

 . D.

1 13 4

y x



  



  

 .

x y

x 

 có đồ thị  C Gọi  tiếp tuyến điểm

 0; 0

M x y (với x0 0) thuộc đồ thị  C Để khoảng cách từ tâm đối xứng I

của đồ thị  C đến tiếp tuyến  lớn tung độ điểm M gần

giá trị nhất? A.

7



B.

3



C.

5



D.

(18)

2 1

x y

x

 

 có đồ thị  C Biết khoảng cách từ I1; 2 đến

tiếp tuyến  C M lớn nhất thì tung độ điểm M nằm góc

phần tư thứ hai, gần giá trị nhất?

A. 3e. B. 2e. C. e. D. 4e.

2

x y

x  

 có đồ thị  C Biết tiếp tuyến M  C cắt

hai tiệm cận  C A, B cho AB ngắn Khi đó, độ dài lớn

nhất vectơ OM gần giá trị ?

A. B. C. D.

2

x y

x  

 có đồ thị  C Phương trình tiếp tuyến  đồ

thị hàm số  C tạo với hai đường tiệm cận tam giác có bán kính

đường trịn nội tiếp lớn Khi đó, khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị  C đến  bằng?

A. 3. B. 6. C. 3. D. 6.

2 1

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi I giao điểm hai tiệm

cận Tiếp tuyến   C cắt tiệm cận A B cho chu vi tam

giác IAB đạt giá trị nhỏ Khoảng cách lớn từ gốc tọa độ đến

tiếp tuyến  gần giá trị nhất?

A. B. C. D.

2

x y

x  

 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm hai đường

tiệm cận Tiếp tuyến   C M cắt đường tiệm cận A B

sao cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Khi đó

tiếp tuyến   C tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích lớn

nhất thuộc khoảng nào?

A. 27; 28 B. 28; 29 C 26; 27 D. 29; 30

C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN

(19)

2

3

4 D D C C A B D B B D B A B A D C B A C C

4

5

5 B C B D B C A B C C A A A D C D D D A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Chọn B

Tính y' 3 x2 6x y' 3   9 phương trình tiếp tuyến y9x 26.

Câu 2. Chọn D

Tính y' 4 x38x y' 1   4 phương trình tiếp tuyến y4x2.

Câu 3. Chọn C

Tính  

 

2

' ' 2

1

y y

x

    

 phương trình tiếp tuyến y2x7.

Câu 4. Chọn A

Tính y0 y(2)4  

' 3 '

y  x   y  Vậy phương trình tiếp tuyến y9x14.

Tính y0 y( 3) 9  

' 16 ' 60

y  x  x y   Vậy phương trình tiếp tuyến y60x171.

Tính y0 y(2) 3  

 

2

1

' '

1

y y

x 

  

 Vậy phương trình tiếp tuyến yx5.

Giải phương trình 2x033x02  5 x0 1,  

' 6 ' 12

y  x  x y  Vậy phương trình tiếp tuyến y12x 7.

Giải phương trình

0

4

0

2 21

2

x

x x

x

      



 Đồng thời y' 4 x34x,

suy     ' 40 ' 40

y y

 



 

 Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm y40x 59 và 40 101

y x .

(20)

0

2

1

2

x

x x



  

  2  

5

' '

5

y y

x

 

  

 .

Phương trình tiếp tuyến

1 5

y x

Giải phương trình y x' 0  3 3x02 6x0  3 x0 1 Đồng thời

 1

y  nên phương trình tiếp tuyến y3x1

Giải phương trình y x' 0 48  x034x048 0  x0 4 Đồng thời

 4 32

y  nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y48x160.

Giải phương trình  

 

   

0

0 :

4

' 4

2 : 13

1

x y pttt y x

y x

x y pttt y x

x

     



    

     

  .

 

0

0 0

0

1 1 : (trùng)

' 1 1 5 4

:

3 27 27

x y pttt y x

y x x x

x y pttt y x

    

 

         

      

  

 .

Giải phương trình y x' 0 36 4x032x0 36 0  x0 2 Đồng thời

 2 18

y   nên phương trình tiếp tuyến cần tìm y36x 54.

 

   

0

1

5 : ( trùng )

1 7

'

1 23

7 2

9 :

7

x y pttt y x

y x

x x y pttt y x



     



 

    

        

 .

   

 

0

2 : 21 33

' 21

2 11 : 21 31

x y pttt y x

y x

x y pttt y x

     

   

      

 .

Giải phương trình y x' 0  8 x0 1 Đồng thời y 1 0 nên phương

trình tiếp tuyến cần tìm y8x8

(21)

   

0

1

4 :

1

'

1 13

8 :

6

x y pttt y x

y x

x y pttt y x



     

   

       

 .

4

0 '(0) : '(2) 16 : 16 32

2 '( 2) 16 : 16 32

x y pttt y

x x x y pttt y x

x y pttt y x

    

 

        



       

 .

Ta giải phương trình

3 3 2 0 '(1) :

2 '( 2) : 18

x y pttt y

x x

x y pttt y x

    

      

      

 .

5

0

1

x

x x



  

  Đồng thời

1 '(5)

4

y 

nên phương trình tiếp tuyến cần tìm

1 4

y x

Giao điểm ( )C Oy A0;1  y'(0)6 nên phương trình tiếp tuyến y6x1

Giao điểm ( )C Oy M0; 2   y'(0) 0 nên phương trình tiếp tuyến y2.

Giao điểm ( )C Oy

1

0; '(0)

3

A    y 

  nên phương trình tiếp tuyến

7

y x

   

 

0

7

1 :

3

'

3 :

x y pttt y x

y x

x y pttt y x



     

  



     

 .

Ta có

 

   

0

11 1

3 '

3 5, '

x y

y

x y y

 

   

  

   

 Vậy tiếp tuyến song song

trục hoành

(22)

Theo giả thiết ta có y0  3 x0 3

1 '(3)

2

y 

Vậy phương trình tiếp tuyến x2y 0 .

Theo giả thiết ta có x0  1 y0 4 y'( 1) 9  Vậy phương trình tiếp tuyến y9x5.

Theo giả thiết ta có x0  0 y0 1 y'(0)7 Vậy phương trình

tiếp tuyến y7x1.

Theo giả thiết ta có x0  5 y0 51 y'(5) 45 Vậy phương trình

tiếp tuyến y45x174.

Ta có y' 3 x2 6x 6 3(x1)2  3 ' 3y  xx0  1 y0 y(1) 5

Khi phương trình tiếp tuyến y 3(x1) 3  x2.

Ta có y'3x212x 3 3(x2)215 15  max ' 15y  x x 2 Lúc ( 2) 25

y y   .

Khi phương trình tiếp tuyến y 15(x2) 25 15  x55

[Phương pháp tự luận]

Ta có

2

1

2 ,

1

2

'( )

' ( ) ( )

'( )

y x x

y x y x y x

y x x

   



      

   



hay y x y x'( ) '( )1 1 Suy tiếp tuyến A B khơng vng góc

[Phương pháp trắc nghiệm] Ta có y' 3 x2 1 0,  x

Suy hàm số đồng biến  cắt trục hoành điểm nhất

 A, D đúng.

Với x0  1 y'(1) 4, y0 3 Vậy phương trình tiếp tuyến

4( 1)

y x   x  C đúng.

Ta có y' 3 x24x 1 y'(1) 6 Khi phương trình tiếp tuyến tại

(1;0)

M y6(x1) 6 x 6, nên

6

36

a

ab b

 

  





(23)

Ta có

2

2 2 5 5

' 2 3 '

3 3 3

y  x  x  x  x   x     y 

    khi

0

1

x x 

Ta có

3

' 0,

( 1)

y x

x



   

 Tiếp tuyến điểm M x y( ; ) ( )0  C tạo với

Ox góc600 '

0

'( ) tan 60 y '( )

y x  y x

     

2

0

3

3 ( 1)

(x 1) x



    



0

2

0

x y

     

  

 Các tiếp tuyến tương

ứng có phương trình

3 3

y x

   



 .

Ta có y' 3 x2  6mx 3(m1) Do K(Cm) có hồnh độ 1, suy K1; 6 m 3

Khi tiếp tuyến K có phương trình

:y y'( 1)(x 1) 6m (9m 6)x 3m

          .

Đường thẳng  song song với đường thẳng d

9

3

m m

x y y x

m m

  

 

        

  

  .

Vậy không tồn m, ta chọn .

Ta có y' 4 x3 mx đường thẳng x 3y 1 0 viết thành

1 3

y x Theo u cầu tốn, phải có y' 1  3 4 m3 m1

Ta có

1 '

2

y

x



 Gọi x0 hoành độ tiếp điểm d (C)

Theo u cầu tốn, ta có

 0 0

0

1 1

'

3

y x x x

x

       



(24)

d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:

     

3

2

3 3 12

x x k x x k

     



 



 Thay (2) vào (1) ta

  

3

0

3

3 12 12 3

24

x

k

x x x x x x

k x

 

  

          

    

Vậy có tiếp tuyến

Phương pháp tự luận

Ta có y' 3 x2  1 y' 1  4, suy tiếp tuyến N1; 4 :y4x. Phương trình hoành độ giao điểm  (C)

3 2 4 3 2 0

2

x

x x x x x

x y

          

  

 .

Phương pháp trắc nghiệm N M

b x x

a  

(Với y ax3 bx2 cx d là hàm số ban đầu)  

2 xM xM M 2;         .

Đường thẳng  qua điểm M 1; 2  có hệ số góc k có dạng

 

:y k x     .

 tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm:    

 

3

2

1

x x x k x

x x k

       



   

 .

Thay (2) vào (1) ta

     2   

3 1 3 2 1 1 2 1 1 0 1;

1

x

x x x x x x x x N

x y

 

              

  

 P

hương pháp trắc nghiệm N M

b x x

a  

(Với y ax3 bx2 cx d hàm số ban đầu)  

2xN ( 1) xN N 1;        .

Ta có y' 3 x2 6mx m 1 Gọi M x y 0; 0 tiếp điểm tiếp tuyến

(25)

Khi

 

0

'

2

y m

x

y m     

  

  

 , suy phương trình tiếp tuyến là    

: y 5m x 2m       .

Do      

1 1;3 1

2

A      m   m  m

Ta có  2

1 '

1

m y

x  

 y' 0    3 m 3 m2.

Ta có  2

1

' 0,

1

y x

x

   

 Gọi M x y 0; 0 tiếp điểm ( )C với tiếp tuyến cần lập Tam giác OAB cân O nên OA = OB, suy

   

 

0 '

0

' ' 1

2

y x

y x y x

x x

  

         

  .

 Với x0  0 y0 0 (loại, M0;0 O)

 Với x0 2 y0 2, suy phương trình tiếp tuyến : y x

Do 36 '( )0 36 OB

y x

OA    .

 Với y x'( )0 36 4x3 2x0 36 4x032x0 36 0  x0 2

Vậy y0 y(2)14 Suy phương trình tiếp tuyến y36x58

 Với

3

0 0

'( ) 36 36 36

y x    x  x   x  x    x0 2.

Vậy y0 y( 2) 14 Suy phương trình tiếp tuyến y36x58

 Gọi  

 

0

1 ;

2

x

M x C

x

  



 

  

  với x0 1 điểm cần tìm

 Gọi  tiếp tuyến  C M ta có phương trình  

0

0 0

1 1

: '( )( ) ( )

2( 1) 1 2( 1)

x x

y f x x x x x

x x x

 

      

   .

 Gọi A Ox 

2

0 1;0

2

x x

A   

  B Oy 

2

0

2

2 0;

2( 1)

x x

B

x

   

 



 .

(26)

2

0 0

2

;

6 6( 1)

x x x x

G

x

     



 



 .

 Do G thuộc đường thẳng 4xy0

2

0 0

2

4

6 6( 1)

x x x x

x

   

  



  

2

1

x 

 (vì A B, khơng trùng O nên

2

0

x  x   )

0

1

2

1

2

x x

 

  

 

   

    

 

  .

 Vì x0  1 nên chọn 0

1

;

2 2

x   M   x  y 

  .

 ACm nên A1;1 m Ngoài  

3

' 4 ' 4

y  x  mx y   m.

 Phương trình tiếp tuyến Cm A y 1my  1 x 1, hay

4 4 m x y   1  m 0

 Khi

 

 2

1

;

16 1

d B

m 

  

 

, Dấu ‘=’ xảy  m1  Do d B ; lớn m1

 Giả sử M x y 0; 0   C 

0

2

x y

x  

 .

 Ta có

 1 2 02 0

0

3 12

, 2

3

x y

d M d

x y

  

  

    

  

  .

 Với

 

0

0 0

0

0 0;3

3 12 12 1 1 11

1 ;

3

x M

x

x y x

x x M

  

   

           

  

    

  

 Với

0

0 0

0

7

5 5;

2

3 8

1 4

;

3

x M

x

x y x

x

x M

  

    

    

         

   

     

 

  

 .

Suy có tiếp tuyến

(27)

Phương pháp tự luận.

 Giao điểm hai tiệm cận I1; 2 Gọi M a b ;    C   

2

1

a

b a

a 

 



 Phương trình tiếp tuyến  C M 2 

1

( 1)

a

y x a

a a



  

  .

 Phương trình đường thẳng MI

( 1) ( 1)

y x

a

  

 .

 Tiếp tuyến M vng góc với MI nên ta có   2 2

1

a a

 

 



0

2

a b

   

   



Vì yêu cầu hồnh độ lớn nên điểm cần tìm M2;3

Phương pháp trắc nghiệm

Gọi M x y 0; 0   C , điểm M thoả u cầu tốn có hồnh độ

được tính sau:

    0

0

2

1 1 1

0 ( )

x y

x x

x L

  

          





Vậy M2;3

 Phương trình hồnh độ giao điểm d  C

1

x

x m x

 

 

   

1

2 (*)

x

g x x mx m

   

     

 .

 Theo định lí Viet ta có 2

1 ;

2

m x x m x x  

Giả sử  1; 1,  2; 2

A x y B x y .

 Ta có  

2

1

y x

  

 , nên tiếp tuyến  C A B có hệ số

góc  

1

k

x 

  2 2

1

k

x 

 Vậy

 

   

2

1 2

1 2 2

1 2

2

4( ) 4( )

1

(2 1) (2 1) 4 2( ) 1 2

x x x x

k k

x x x x x x

m m m

   

   

    

(28)

Vậy k1k2 đạt giá trị lớn 2 m1.

 Gọi M x y 0; 0 toạ độ tiếp điểm   

0

1

'( )

2

y x

x 

 

 .

 OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng yx (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là

 

0

1

y x

x 

  





0

1

2

x y

   



  

 .

 Với x0 1; y0 1  : y 1 x1  y x (loại)

 Với x0 2; y0 0  : y 0 x2  yx (nhận)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  x 2.

 Tam giác OAB cân gốc tọa độ O nên ta có OA OB  n1

2

0 0 0 1;

acx  bcx bd   x  x    x  x     

0

1

2

x L

cx d n ad bc x

x N

          



 .

 Với x0 2; y0 0  : y 0 x2  yx (nhận)

 Giả sử tiếp tuyến d  C M x y( ; ) ( )0  C cắt Ox A, Oy

tại B cho OA4OB

 Do OAB vuông A nên

1 tan

4

OB A

OA

 

 Hệ số góc d

1

4

  Vì

 

0

1

'

1

y x

x

 

 nên hệ số góc d

1



, suy

 

0

2

0

3

1 2

5

1 3

2

x y

x x y



   

   

    

(29)

 Khi có tiếp tuyến thoả mãn là:  

 

1

4 4

1 13

3

4 4

y x y x

                      

 Ta có  

2 1 y x   

 ; I1;1.

 Gọi

   

0

; ,

1

x

M x C x

x

 

 

 



  Phương trình tiếp tuyến M có dạng 0 0 : ( )

( 1)

x

y x x

x x

   

   x(x01)2y x 02 0.

         2 0

2 2

,

1

1 1

1 x d I x x x            .

 Dấu " " xảy    

   

2 0

0 0 2

1 1

0

x y N

x x x L x               .

Tung độ gần với giá trị



đáp án

Ta có IM   

    0 0 2

1

0

x y N

cx d ad bc x

x L

             



 .

 Ta có  

2 y x    .  Gọi     0 0

; ,

1

x

M x C x

x

  

 

 



  Phương trình tiếp tuyến M là

0 0 ( )

( 1)

x

y x x

x x



  

   3x (x01)2y2x02 2x01 0

 

4

2

0

6 6

,

9

9 ( 1) ( 1)

(30)

 Dấu " " xảy

   

 

2 0

2

0

2

0 0 0

1 3

9

( 1)

( 1) 1 3 2 3

x y L

x x

x x y N

      

     

      

Tung độ gần với giá trị e đáp án.

Ta có IM    cx0d  ad bc  x0 1 1

   

0

1 3

x y L

x y N

      



     

 .

 Gọi

   

0

2

; ,

2

x

M x C x

x

  

 

 



0

1

: ( )

( 2)

y x x

x x

    

  .

 Giao điểm  với tiệm cận đứng

2 2;2

2

A

x

 



 



 .

 Giao điểm  với tiệm cận ngang B x2 0 2;2

 Ta có

 

2

0

1

4

2

AB x

x

 

      

 

  Dấu " " xảy  

 

2

0

1

2

x

 



   

0

3 3;3

1 1;1

x y OM OM N

x y OM OM L

      

 

      



 

 AB ngắn suy khoảng cách từ I đến tiếp tuyến 

M ngắn  IM   

3

2

1

M M

x y

cx d ad bc x

x y

   

         

  

  OM 3



(31)

 Gọi

     

0

2

; , , 1;1

1

x

M x C x I

x

  

  

 



  Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng

 

0

2

: ( )

1

x

y x x

x x



   



 .

0

5 1;

1

x A

x

   

 

  .  Giao điểm  với tiệm cận ngang B x2 01;1

 Ta có

0

6

, 12

1

IA IB x IA IB

x

    

 Bán kính đường trịn ngoại

tiếp IABlà SIAB pr, suy

2

IAB

S IA IB IA IB IA IB

r

p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB

     

      .

 Suy

2

max

0

1 3

2

1 3

M M

x y

r IA IB x

x y

     

        

    

 .

 IM 3; 3 IM 

 

 IA IB  IAB vuông cân I IM  



1 3

1

1 3

M M

x y

cx d ad bc x

x y

              

     

6

IM

  

 Gọi

   

0

3

;2 ,

1

M x C x

x

 

  

 



 2 0

3

: ( )

1

y x x

x x



    



 .

6 1;

1

A

x

 



 



 .

(32)

 Ta có

0

1

2.3

2

IAB

S IA IB x

x

       

 .

 IABvuông I có diện tích khơng đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ

IA IB

0

0 0

1

2

1 1 3

x x

  

    

   

 Với x0  1 phương trình tiếp tuyến :y x 3 Suy

ra

 ,  3

d O   

 Với x0  1 phương trình tiếp tuyến :y x 3 Suy

ra

 ,  3

d O    Vậy khoảng cách lớn

3 

gần với giá trị 5 đáp án

 IA IB 

1 3

1

1 3

M

M M

M

x y

cx d ad bc x

x y

               

     

 ,  3 

d O  N

  

 Gọi

   

0

2

; ,

2

x

M x C x

x

  

 

 



0

2

: ( )

( 2)

x

y x x

x x



   

  .

0

2 2;

2

x A

x

  

 



 .

(33)

 Xét

0

2 2

2

A B

x x x x

x x

y y y

x x

     





 



    

  

 M trung điểm AB.

 IAB vuông I nên M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB

2

2 2

0

2

( 2) ( 2)

2 ( 2)

x

S R IM x x

x x

    

      

 

             

 

     

 

 Dấu " " xảy

0

2

0

0 0 0

3

9 ( 2)

( 2) 3 2 3 2

x y

x

x x y

     

   

        Với x0  2  :y x 4 cắt trục tọa độ E0; 4 

và F 4; 0 , suy

1

14 27,8564

OEF

S  OE OF   

 Với x0  2  :y x 4 cắt trục tọa độ E0; 4  

và F  4; 0 , suy

1

14 0,1435

OEF

S  OE OF   

 IM lớn  IM    cx0d  ad bc  x0 2  4

0

3

x y

       

    

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	1,67 MB