chuyên đề Toán 12 đầy đủ các chủ đề phân dạng, phương pháp giải, bài tập trắc nghiệm có đáp án cực hay tài liệu dùng để dạy thêm rất hay) ( mua trọn bộ chuyên đề Toán 12 file word liên hệ: 0982.573.962)
CHUYÊN ĐỀ BÀI TIẾP TUYẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp xúc hai đồ thị + Hiểu ý nghĩa đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến điểm + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc tiếp tuyến qua điểm cho trước Kĩ + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước + Giải toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f ( x) g( x) có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong ( C ) :y = f ( x) ( C′ ) : y = g( x) tiếp xúc với điểm M ( x0;y0 ) M tiếp điểm chung chúng (C) ( C′ ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y = f ( x) ( C′ ) : y = g( x) tiếp xúc với ⇔ hệ phương trình f ( x) = g( x) có nghiệm f ′ ( x) = g′ ( x) Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung hai đồ thị hàm Hai đường cong (C): số: tiếp xúc với Cho hai hàm số có đạo hệ phương trình hàm điểm Ta nói có nghiệm hai đường cong (C): Nghiệm hệ phương TIẾP trình hoành độ tiếp điểm TUYẾN tiếp xúc với điểm M tiếp điểm chung chúng hai đường cong Hai đường cong có tiếp tuyến chung M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y = f ( x) ( C′ ) : y = g( x) Điều kiện để hai đường cong tiếp xúc với hệ phương trình f ( x) = g( x) có nghiệm f ′ ( x) = g′ ( x) - Nghiệm x = x0 hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai Ví dụ: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = −x + 3x + Hoành độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục Ox −x + 3x + = nghiệm hệ −3x + = x = 2;x = −1 ⇔ ⇒ x = −1 x = ±1 Vậy tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục hoành A ( −1;0) đường cong (C) ( C′ ) tiếp xúc với nhiêu điểm Trang Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y = x3 + x + tiếp xúc với đường thẳng đây? A y = x + B y = −2x + C y = −x + D y = 2x + Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong ( C ) : y = f ( x) ( C′ ) : y = g( x) hệ phương trình f ( x) = g( x) có nghiệm f ′ ( x) = g′ ( x) Ta có y′ = 3x2 + 1> 0, ∀x ∈ ¡ nên phương án B, C bị loại x3 + x + 1= x + y = x + ⇔ x = Xét phương án A Ta có hệ 3x + 1= Vậy đường thẳng y = x + tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Chọn A Ví dụ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y = −2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x+1 x −1 A { 7;−1} B { −1} C { 6} D { 6;−1} Hướng dẫn giải: Đường thẳng y = −2x + m tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x+1 hệ phương trình sau có x −1 nghiệm x = x+ = − x + m x + x + x−1 = −2x + m m= −1 x − = −2x + m ⇔ ⇔ x−1 ⇔ −2 x = 2 = − x − 2x = x − 1) = ( ( x − 1) m= Vậy m∈ { −1;7} đường thẳng d tiếp xúc với (C) Chọn A Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y = x3 − 4mx2 + 7mx − 3m tiếp xúc với parabol ( P ) : y = x − x + Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C D −4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x − 4mx + 7mx − 3m= x − x + 3x − 8mx + 7m= 2x − Trang x3 − ( 4m+ 1) x2 + ( 7m+ 1) x − 3m− 1= ( 1) ⇔ 3x − 2( 4m+ 1) x + 7m+ = ( 2) ( ) Giải (1), ta có (1) ⇔ ( x − 1) x − 4mx + 3m+ = x = ⇔ x − 4mx + 3m+ 1= + Với x = thay vào (2) m= x2 − 4mx + 3m+ 1= ( 3) ⇒ ( 2m− 1) x = m+ 1( 4) + Xét hệ 3x − 2( 4m+ 1) x + 7m+ 1= • Nếu m= (4) vơ nghiệm • Nếu m≠ m+ (4) ⇔ x = 2m− Thay x = m+ m+ m+ vào (3) ta − 4m ÷ ÷+ 3m+ 1= 2m− 2m− 1 2m− 1 m= ⇔ 4m3 − 11m2 + 5m+ = ⇔ m= − (thỏa mãn điều kiện) m= 11 Vậy S = 2;− ;1 nên tổng phần tử S Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y= x3 − ( m+ 2) x2 + 2mx + tiếp xúc với đường thẳng y = Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải x3 − ( m+ 2) x + 2mx + 1= 1( 1) Xét hệ phương trình x2 − ( m+ 2) x + 2m= 0( 2) x = m Giải phương trình (2) ta x = + Với x = m, thay vào (1) ta − m= m3 + m2 = ⇔ m= + Với x = 2, thay vào (1), ta m= Trang Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y = 2 20 S = 0;6; nên tổng phần tử S 3 Chọn B Ví dụ Biết đồ thị hàm số ( C ) : y = x + ax + bx + c( a, b,c ∈ ¡ ) , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x = điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C D Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x = nghiệm hệ phương trình x3 + ax2 + bx + c = b = ⇒ c = 3x + 2ax + b = Mặt khác (C) qua điểm A( 1;3) nên a + b + c + 1= 3⇒ a = Vậy a + 2b + 3c = Chọn B Ví dụ Họ parabol ( Pm ) : y = mx − 2( m− 3) x + m− 2( m≠ 0) tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A( 1;−8) B B( 0;−2) C C ( 0;2) D D ( 1;8) Hướng dẫn giải ( ) 2 Ta có: y = mx − 2( m− 3) x + m− = m x − 2x + + 6x − ⇔ y = m( x − 1) + 6x − Xét đường thẳng d : y = 6x − hệ phương trình m( x − 1) + 6x − = 6x − ln có nghiệm x = với m≠ 2m( x − 1) + = Vậy ( Pm ) tiếp xúc với đường thẳng d : y = 6x − Đường thẳng d qua điểm B( 0;−2) Chọn B Nhận xét: Nếu viết lại hàm số ( Pm ) theo dạng y = m( ax + b) + cx + d ( Pm ) tiếp xúc với đường y = cx + d Bài toán Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0; y0 ) Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y′ = f ′ ( x) f ′ ( x0 ) y = − x3 + x + điểm M ( −2;8) Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần A –11 B C 11 D –12 Trang tìm y = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) + y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực yêu cầu lại Ta có y′ = −3x + 1⇒ y′ ( −2) = −11 tốn Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Chú ý: M ( −2;8) y = −11( x + 2) + - Nếu toán cho x0 ta cần tìm y0 = f ( x0 ) f ′ ( x0 ) Suy hệ số góc tiếp tuyến k = −11 Chọn A - Nếu tốn cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f ( x) = y0 - Giá trị f ′ ( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm M ( x0; y0 ) Ví dụ mẫu Ví dụ Tiếp tuyến đường cong ( C ) : y = x x + điểm M ( 3;6) có hệ số góc A − 11 B C D − 11 Hướng dẫn giải Ta có y′ = x + 1+ x x+ = Hệ số góc cần tìm y′ ( 3) = 3x + 2 x+ 3.3+ 11 3+ = Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 2x + điểm M ( 1;2) A y = − x B y = x + C y = 3x − D y = 2x + Hướng dẫn giải: Ta có y′ = 3x − ⇒ y′ ( 1) = Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm M ( 1;2) y = ( x − 1) + = x + Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ( C ) : y = x điểm có hồnh độ A y = 3x − B y = 3x + C y = 3x − D y = 3x Hướng dẫn giải Ta có y′ = 3x ⇒ y′ ( 1) = Do x0 = 1⇒ y0 = y( 1) = Trang Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ y = 3( x − 1) + 1⇔ y = 3x − Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x4 + x2 + điểm có tung độ A y = B y = C y = D y = Hướng dẫn giải Gọi M ( x0; y0 ) tiếp điểm Ta có y0 = 1⇔ x0 + x0 = ⇔ x0 = ⇒ M ( 0;1) Lại có y′ = 4x + 2x ⇒ y′ ( 0) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A y = 2x − B y = 3x + 2x − giao điểm đồ thị với trục hoành x− C y = −2x + D y = 2x Hướng dẫn giải Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành nghiệm phương trình 2x − = ⇔ x = ⇒ đồ x− thị hàm số cắt trục hoành điểm (2; 0) Ta có y′ = −2 ( x − 3) ⇒ y′ ( 2) = −2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −2( x − 2) hay y = −2x + Chọn C Ví dụ Cho hàm số y = − x3 + 3x − có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y = 3x − B y = 2x + C y = −2x + D y = −3x − Hướng dẫn giải Ta có ( C ) ∩ Oy = A( 0;−2) ; y′ ( 0) = Phương trình tiếp tuyến A( 0;−2) y = 3x − Chọn A Ví dụ Gọi đường thẳng y = ax + b phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 2x − điểm có x+ hồnh độ x = Giá trị a − b Trang A B –1 C D Hướng dẫn giải Ta có x0 = 1⇒ y0 = 2x − ⇒ Tọa độ tiếp điểm đường thẳng y = ax + b đồ thị hàm số y = x+ 1 M 1; ÷ 2 Vì y′ = ( x + 1) nên y′ ( 1) = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 3 ( x − 1) + ⇒ y = x − 4 a = ⇒ ⇒ a− b = b = − Chọn C π π Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = tan − 3x÷ điểm có hồnh độ x0 = 4 A y = − x − π + 6 B y = − x + π + 6 C y = − x − π − 6 D y = −6x + π − Hướng dẫn giải Ta có y′ = −3 π π ⇒ y′ ÷ = −6; x0 = ⇒ y0 = −1 π 6 cos2 − 3x÷ 4 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −6x + π − Chọn D Ví dụ Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = 2x + có tung độ Tiếp tuyến đồ thị (C) x−1 M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125 ( ®vdt) B 117 ( ®vdt) C 121 ( ®vdt) D 119 ( ®vdt) Hướng dẫn giải Ta có M ( 2;5) ∈ ( C ) ; y′ = −3 ( x − 1) ; y′ ( 2) = −3 Phương trình tiếp tuyến M ( 2;5) d : y = −3x + 11 11 11 Khi d cắt Ox, Oy A ;0÷ B( 0;11) ⇒ OA = ; OB = 11 3 Trang 1 11 121 = 11= Vậy S∆OAB = OAOB ( ®vdt) 2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y = x+ b ( ab ≠ −2,a ≠ 0) Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax − đồ thị hàm số điểm A( 1;−2) song song với đường thẳng d :3x + y − = Khi giá trị a − 3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Ta có: y′ = −2 − ab ( ax − 2) ⇒ y′ ( 1) = −2 − ab ( a − 2) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d :3x + y − = ⇔ y = −3x + nên y′ ( 1) = −3 ⇔ −2 − ab ( a − 2) = −3 Mặt khác A( 1;−2) thuộc đồ thị hàm số nên −2 = 1+ b ⇔ b = −2a + a− −2 − ab = −3 a = 2 ⇒ 5a2 − 15a + 10 = ⇔ Khi ta có hệ ( a − 2) a = b = −2a + + Với a = ⇒ b = −1⇒ ab = −2 (loại) + Với a = 1⇒ b = ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y = y′ = −3 ( x − 2) x+ x− ⇒ y′ ( 1) = −3 nên phương trình tiếp tuyến y = −3x + song song với đường thẳng y = −3x + Vậy a − 3b = −2 Chọn D Ví dụ 11 Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y = − x3 − 3x2 + 3x + đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y = 6x + B y = 2x + C y = D y = 3x + Hướng dẫn giải Ta có y′ = −3x2 − 6x + Trang 10 ⇔ f′ ( 1) ( ( 1) + f ′ ( 1) ) = −1 ⇔ f( 1) = − 1 − ′ ( 1) ⇒ f( 1) = + ′ ( 1) ≥ ⇔ f ( 1) ≥ f ′ ( 1) f ′ ( 1) Chọn C ( ) Ví dụ 5: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm f ′ ( x) ¡ thỏa mãn f x + 3x + = 2x − với x∈ ¡ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x = −3 A y = x B y = x − C y = x − 3 D y = x + Hướng dẫn giải Để viết phương trình tiếp tuyến điểm x = −3, ta cần tính f ( −3) f ′ ( −3) Với x = −1 suy f ( −3) = −3 ( ) ( ) ( ) 3 Do f x + 3x + = 2x − 1⇒ 3x + f ′ x + 3x + = Với x = −1⇒ f′ ( −3) = ⇒ ′ ( −3) = Do phương trình tiếp tuyến cần tìm y = f ′ ( −3) ( x + 3) + f ( −3) ⇔ y = 1 ( x + 3) − ⇔ y = x − 3 Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Gọi ( C1 ) ,( C2 ) ( C3 ) đồ thị ( ) ( ) hàm số f ( x) , g( x) = f x h( x) = f x Biết f ( 1) = tổng hệ số góc hai tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = ( C1 ) ,( C2 ) –3 Phương trình tiếp tuyến ( C3 ) điểm có hoành độ x = A y = − x + B y = −3x − C y = − x − D y = −3x + Hướng dẫn giải Ta cần tính h( 1) , h′ ( 1) ( ) ( ) 2 Ta có g′ ( x) = 2xf ′ x , h′ ( x) = 3x f ′ x Theo giả thiết, ta có f ′ ( 1) + g′ ( 1) = −3 ⇔ f′ ( 1) + ′ ( 1) = −3 ⇔ f ′ ( 1) = −1 Do h′ ( 1) = 3f ′ ( 1) = −3 h( 1) = f ( 1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = −3( x − 1) + 1= −3x + Chọn D Trang 45 Ví dụ 7: Cho hai hàm số f ( x) , g( x) có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ( − x) − f ( + 3x) + x2g( x) + 36x = 0, với x∈ ¡ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ x = A y = − x B y = 2x − C y = −2x + D y = x Hướng dẫn giải 2 Ta có f ( − x) − f ( + 3x) + x g( x) + 36x = 0,∀x∈ ¡ ( 1) Thay x = vào (1) ta có f ( 2) − 2 f ( 2) = ( 2) = ⇔ f ( 2) = Lấy đạo hàm hai vế (1) ta −3f ( − x) f ′ ( − x) − 12 f ( + 3x) f ′ ( + 3x) + 2x.g( x) + x2.g′ ( x) + 36 = ( 2) Thay x = vào (2) ta có −3f ( 2) ′ ( 2) − 12 f( 2) ′ ( 2) + 36 = ( 3) + Với f ( 2) = thay vào (3) 36 = (vơ lý) + Với f ( 2) = thay vào (3) f ′ ( 2) = nên phương trình tiếp tuyến y = x Chọn D Ví dụ 8: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( x) + f ( x) = −3x + 10 với x∈ ¡ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ x = A y = − x + 2 C y = x + 3 B y = x D y = − x + 3 Hướng dẫn giải Ta cần tính f( 1) , ′ ( 1) Thay x = vào đẳng thức f ( x) + f ( x) = −3x + 10 , ta có f( 1) + ( 1) = −3+ 10 ⇔ f( 1) + ( 1) − = ⇔ f ( 1) = 3 Theo ta có f ( x) + f ( x) = −3x + 10 với x nên đạo hàm hai vế ta 3 f ( x) f ′ ( x) + f ′ ( x) = −3,∀x∈ ¡ Thay x = vào ta có 3 f( 1) ′ ( 1) + f ′ ( 1) = −3 Vì f ( 1) = nên f ′ ( 1) = − Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = − x + 3 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Trang 46 Câu 1: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục ¡ thỏa mãn f ( 2x) + f ( 1− 2x) = 4x3 − x2,∀x∈ ¡ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hồnh độ có dạng y = ax + b y = a1x + b1 Giá trị biểu thức A 46 B 46 C 46 Câu 2: Biết đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g( x) y = D f ( x) 2a − 5b 3b1 + 2a1 46 có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = g( x) có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f ( 0) < B f ( 0) ≤ C f ( 0) > D f ( 0) ≥ Câu 3: Cho hàm số y = f ( x) , y = g( x) y = f ( x) g( x) Biết tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm x = có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f ( 0) − g( 0) = B f ( 0) − g( 0) = −1 C f ( 0) + g( 0) = D f ( 0) + g( 0) = −1 Câu 4: Hệ số góc tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số y = f ( x) ; y = g( x) y = A f ( 1) ≤ − 11 f ( x) + g( x) + khác Mệnh đề sau đúng? B f ( 1) < − 11 C f ( 1) ≥ 11 D f ( 1) > 11 Câu 5: Cho hai hàm số y = f ( x) y = g( x) có đạo hàm ¡ g( 0) ≠ −1 Biết tiếp tuyến điểm x0 = ba đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g( x) , y = f ( x) + g( x) + có hệ số góc khác Mệnh đề sau đúng? A f( 0) ≤ − , C f( 0) ≤ , B f( 0) ≥ − , ( 0) ≠ −1 D f( 0) ≥ , ( 0) ≠ −1 Câu 6: Cho hàm số y = f ( x) , y = f ( x) , y = f ( x4 + 2) ( 0) ≠ ( 0) ≠ có đồ thị ( C1 ) ,( C2 ) ,( C3 ) Biết tiếp tuyến ( C1 ) ,( C2 ) điểm có hồnh độ x0 = có phương trình y = 2x + 1, y = 6x + Phương trình tiếp tuyến ( C3 ) điểm có hồnh độ x0 = A y = 12x − B y = 6x − C y = 24x − 21 D y = 12x − Câu 7: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm ¡ Gọi ( C1 ) ,( C2 ) ,( C3 ) đồ thị hàm số y = f ( x) , y = f( ( x) ) , y = f ( x2 + 1) Các tiếp tuyến ( C1 ) ,( C2 ) điểm x0 = có phương trình y = 2x + 1, y = 4x + Hỏi tiếp tuyến ( C3 ) điểm x0 = qua điểm đây? A Q ( 2; −11) B M ( −2;11) C N ( −2;−21) D P ( 2;−21) Trang 47 ( ) Câu 8: Cho hàm số y = f ( x) , y = f x , y = ( C1 ) ,( C2 ) ,( C3 ) k1 + 2k2 = 3k3 ≠ Giá trị f ( 1) tiếp tuyến A − f ( x) ( ) f x2 có đồ thị ( C1 ) ,( C2 ) ,( C3 ) Hệ số góc điểm có hồnh độ x0 = k1, k2, k3 thỏa mãn B − Câu 9: Cho hàm số y = f ( x) ; y = f( C − ( x) ) ; y = f ( x2 + 4) D − có đồ thị ( C1 ) ,( C2 ) ,( C3 ) Đường thẳng x = cắt ( C1 ) ;( C2 ) ;( C3 ) M, N, P Biết phương trình tiếp tuyến ( C1 ) M ( C2 ) N y = 3x + y = 12x − phương trình tiếp tuyến ( C3 ) P có dạng y = ax + b Giá trị a + b A B C D Câu 10: Cho hàm số y = f ( x) xác định có đạo hàm ¡ thỏa mãn f ( 2x + 1) + f ( 1− x) = x Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) điểm có hoành độ A y = − x + 7 B y = x− 7 C y = − x + 7 D y = x− 7 Câu 11: Gọi k1;k2;k3 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) ;y = g( x) ; y = f ( x) g( x) x = thỏa mãn k1 = k2 = 2k3 ≠ Mệnh đề đúng? A f ( 2) < B f ( 2) ≤ C f ( 2) ≥ D f ( 2) > Câu 12: Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm x = Gọi d1, d2 tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f ( x) y = g( x) = xf ( 2x − 1) điểm có hồnh độ x = Biết hai đường thẳng d1, d2 vng góc với nhau, mệnh đề sau đúng? A f ( 1) ≤ B f ( 1) ≥ 2 C ≤ f ( 1) < 2 D < f ( 1) < Dạng 5: Một số toán tiếp tuyến khác Bài tốn Tìm điểm đồ thị hàm số y = f ( x) mà tiếp tuyến điểm song song với có hệ số góc k Phương pháp giải Giả sử hai điểm A( xA; f ( xA ) ) , B( xB; f ( xB ) ) ( xA ≠ xB ) thuộc đồ thị hàm số y = f ( x) mà tiếp tuyến hai điểm song song với có hệ số góc k xA , xB hai nghiệm phương Ví dụ: Cho hàm số y = x+ có đồ thị (H) Gọi 2x − A( x1; y1 ) , B(x2; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc (H) cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Tổng x1 + x2 A B –1 Trang 48 trình f ′ ( x) = k Khi ta có biểu thức liên hệ xA , xB Từ giải yêu cầu toán đưa Đối với hàm số y= ax + b ( c ≠ 0;ad − bc ≠ 0) có tâm đối xứng cx + d d a I − ; ÷ Nếu A, B hai điểm thuộc đồ c c thị có tiếp tuyến A, B song song với I trung điểm AB C D Hướng dẫn giải −3 x + ′ = Ta có y′ = ÷ 2x − 1 ( 2x − 1) Do tiếp tuyến (H) A, B song song với nhau, nên ta có −3 ( 2x1 − 1) = −3 ( 2x2 − 1) ⇔ ( 2x1 − 1) = ( 2x2 − 1) 2 2x − 1= 2x2 − x = x2 ⇔ ⇔ 2x1 − 1= −2x2 + x1 + x2 = Vì A ≠ B nên x1 + x2 = Chọn D Nhận xét: Hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y= ax + b với c ≠ 0;ad − bc ≠ mà tiếp tuyến cx + d A, B song song với hai điểm A, B đối d a xứng với qua điểm I − ; ÷ nên c c xA + xB = 2xI = − 2d c Ví dụ mẫu x+ có đồ thị (H) Gọi A( x1; y1 ) , B( x2; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x − cho tiếp tuyến (H) A, B song song với Độ dài nhỏ đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho hàm số y = A B C D Hướng dẫn giải Ta có y′ = −3 ( 2x − 1) y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔ Do tiếp tuyến (H) A, B song song với nên −3 ( 2x1 − 1) = x = x2 ⇔ ( 2x2 − 1) x1 + x2 = −3 Vì x1 ≠ x2 nên x1 + x2 = Trang 49 Khi vai trị A, B nên ta giả sử x1 = 1 a + , a > 2 a + 3 1 a − 3 1 A a + ; , B − a + ; ÷ 2a 2 2a ÷ 2 1 Gọi I ; ÷ giao điểm hai đường tiệm cận 2 x1 + x2 = 1= 2xI Ta thấy nên I trung điểm AB y1 + y2 = 1= 2yI 2 uur Ta có IA = a ; ÷⇒ IA = a + 92 ≥ a 92 = 4a 4a 2a Vì I trung điểm AB nên AB = 2IA ≥ Vậy ABmin = = a2 = ⇒ a2 = 3⇒ a = 4a Chọn C Ví dụ 2: Cho hàm số y = x+ có đồ thị (H) Gọi A( x1; y1 ) , B( x2; y2 ) hai điểm phân biệt thuộc (H) 2x − cho tiếp tuyến (H) A , B có hệ số góc k Biết diện tích tam giác OAB Mệnh đề đúng? A k < −9 B −9 ≤ k < −6 C −6 ≤ k < −3 D −3 ≤ k < Hướng dẫn giải Ta có: y′ = − ( 2x − 1) Tiếp tuyến A, B (H) có hệ số góc k nên x1, x2 hai nghiệm phân biệt phương trình − ( 2x − 1) = k ⇒ k < x1 + x2 = Suy 4kx − 4kx + k + = 0( * ) nên k+ x1.x2 = 4k Khi vai trị A, B nên ta giả sử x1 = 1 a + , a > 2 a + 3 1 a − 3 1 A a + ; , B − a + ; ÷ 2a 2 2a ÷ 2 Trang 50 uuu r uuur Áp dụng cơng thức tính diện tích tam giác ABC có AB = ( a;b) , AC = ( c;d) S∆ABC = ad − bc uuu r 1 r 1 a + 3 uuu a − 3 , OB = − a + ; Ta có OA = a + ; ÷ 2a 2a ÷ 2 ⇒ S∆OAB = a + 1 a − −a + 1 a + a2 − − = = ÷ ÷ a 2a 2a a2 − 2a − = a = a2 − ⇔ = 2⇔ ⇒ ( a > 0) a a + 2a − = a = 1 + Với a = 3⇒ x1 = 2; x2 = −1⇒ k = − + Với a = 1⇒ x1 = 1; x2 = ⇒ k = −3 Vậy giá trị k k = −3; k = − Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3x + có đồ thị (C) Gọi A( xA ; yA ) , B( xB ; yB ) với xA > xB điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B song song với AB = 37 Giá trị 2xA − 3xB A 15 B 90 C – 15 D – 90 Hướng dẫn giải Ta có y′ = 3x2 − Do tiếp tuyến (C) A, B song song với nên y′ ( xA ) = y′ ( xB ) ⇔ 3xA2 − = 3xB2 − ⇔ xA + xB = (do xA > xB ) ( ) ( ) 3 Giả sử A a, a − 3a + , B − a, −a + 3a + với a > thuộc (C) ( ) Khi AB2 = 4a2 + 2a3 − 6a = 4a6 − 24a4 + 40a2 = 37 ⇔ 4a6 − 24a4 + 40a2 − 1332 = ⇔ a2 = ⇒ a = (vì a > 0) ⇒ xA = 3; xB = −3 nên 2xA − 3xB = 15 Chọn A x+ có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc (C) tiếp tuyến x−1 (C) A, B song song với Đường thẳng AB cắt trục Ox, Oy M, N diện tích tam giác Ví dụ 4: Cho hàm số y = OMN Độ dài đoạn MN A 10 B C D 10 Hướng dẫn giải Trang 51 Ta có y′ = −3 ( x − 1) Gọi A( x1; y1 ) , B( x2; y2 ) Khi y′ ( x1 ) = y′ ( x2 ) ⇔ ( x1 − 1) = ( x2 − 1) ⇔ x1 + x2 = 2 Do tâm đối xứng I ( 1;1) (C) trung điểm đoạn thẳng AB Gọi hệ số góc đường thẳng AB k Phương trình đường thẳng AB y = k( x − 1) + Điều kiện để đường thẳng d : y = k( x − 1) + cắt (C) hai điểm phân biệt A, B phương trình x+ = k( x − 1) + 1( * ) có hai nghiệm phân biệt x ≠ x−1 Ta có ( * ) ⇔ kx − 2kx + k − = có hai nghiệm phân biệt x ≠ k ≠ k − k( k − 3) > ⇔ k > k − 2k + k − ≠ k−1 ;0÷, N ( 0;1− k) Vì M, N giao điểm AB với Ox, Oy nên M k Suy S∆OMN ( k − 1) = 2k Ta có MN = ( k − 1) 2 + Với k = ⇒ MN = + Với k = k = 2 = ⇔ 2( k − 1) = k ⇔ k = ( k − 1) + 2 k 1 2 = ( k − 1) 1+ ÷ k ⇒ MN = 2 Vậy hai trường hợp MN = Chọn B Bài toán 2: Một số dạng tốn khác Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y = x4 − 3x2 + có hồnh độ a Có số nguyên a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A? A B C D Hướng dẫn giải Trang 52 x = Ta có y′ = 4x − 6x; y′ = ⇔ x= ± y′′ = 12x2 − 6; y′′ = ⇔ x = ± Tọa độ điểm có hồnh độ a ngun để tiếp tuyến điểm cắt trục hồnh hai điểm thỏa mãn 6 < a< − 2 ⇒ a∈ −1;0;1 { } a ≠ ± ; a∈ ¢ Vậy có ba giá trị nguyên a thỏa mãn Chọn B Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c mà đồ thị có ba điểm cực trị ( ab < 0) tiếp tuyến đồ thị điểm có hồnh độ nằm hai điểm cực tiểu (cực đại), trừ điểm uốn cắt đồ thị hai điểm khác Ví dụ 2: Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) hàm số y = x4 − 3x2 + có hồnh độ a Có số ngun a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) hai điểm phân biệt B, C khác A diện tích tam giác OBC ? A B C D Hướng dẫn giải x = Ta có y′ = 4x − 6x; y′ = ⇔ x= ± y′′ = 12x2 − 6; y′′ = ⇔ x = ± Tọa độ điểm có hồnh độ a ngun để tiếp tuyến điểm cắt trục hồnh hai điểm 6 < a< − 2 ⇒ a∈ −1;0;1 { } a ≠ ± + Với a = −1⇒ A( −1;0) Khi phương trình tiếp tuyến y = 2( x + 1) Trang 53 x = Xét phương trình x − 3x + = 2( x + 1) ⇔ x = −1 nên B( 0;2) ,C ( 2;6) ⇒ S∆OBC = (loại) x = ( ) ( + Với a = ⇒ A( 0;2) Khi phương trình tiếp tuyến y= nên B − 3;2 ,C ) 3;2 ⇒ S∆OBC = (thỏa mãn) + Với a = 1⇒ A( 1;0) Khi phương trình tiếp tuyến y = −2( x − 1) nên B( 0;2) ,C ( −2;6) ⇒ S∆OBC = (loại) Vậy a = Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y = x−1 có đồ thị (C) Gọi S tập hợp tất giá trị thực m cho tiếp x+ tuyến (C) điểm có hồnh độ x = m− cắt tiệm cận đứng A( x1; y1 ) , cắt tiệm cận ngang B( x2; y2 ) thỏa mãn x2 + y1 = −5 Tổng giá trị phần tử S A B – C – D Hướng dẫn giải Đồ thị (C) có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x = −2 y= Ta có y′ = ( x + 2) , y′ ( m− 2) = m2 m− 3 ∈ ( C ) , m≠ 0, tiếp tuyến (C) M có phương trình Gọi M m− 2; m ÷ y= m− x − m+ 2) + 2( m m m− Giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận đứng A −2; tiệm cận ngang B( 2m− 2;1) m ÷ Theo giả thiết ta có m= m− + 2m− = −5 ⇔ 2m2 + 4m− ⇔ m m= −3 Vậy m1 + m2 = −2 Chọn B x+ có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm nằm x−1 hai nhánh (C) tiếp tuyến (C) A, B cắt đường tiệm cận ngang tiệm cận đứng cặp M, N P, Q Diện tích tứ giác MNPQ nhỏ Ví dụ 4: Cho hàm số y = A 16 B 32 C D Trang 54 Hướng dẫn giải Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận Theo tính chất tiếp tuyến đồ thị hàm số bậc bậc IM.IN = IP.IQ = Ta có SMNPQ = = 1 MP.NQ = ( IM + IP ) ( IN + IQ) = ( IM.IN + IP.IQ + IM.IQ + IN IP ) 2 1 64 + IN.IP ÷ ≥ 8+ 64 = 16 ( 8+ 8+ IM.IQ + IN.IP ) = 8+ 2 IN.IP Vậy Smin = 16 64 = IN.IP ⇒ IN.IP = hay IN = IQ = IM = IP = 2 tức MNPQ hình IN.IP vng Chọn A x − x − 6x2 + có đồ thị (C) Có giá trị ngun tham số m để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d : y = mx ? Ví dụ 5: Cho hàm số y = A 27 B 28 C 26 D 25 Hướng dẫn giải Giả sử M ( a;b) tiếp điểm Ta có y′ = 2x3 − 3x2 − 12x Tiếp tuyến (C) M song song trùng với đường thẳng d : y = mx nên a nghiệm phương trình 2x − 3x − 12x = m( * ) Để có hai tiếp tuyến (C) song song trùng với đường thẳng d phương trình (*) có hai nghiệm x = −1 2 Xét f ( x) = 2x − 3x − 12x có y′ = 6x − 6x − 12; y′ = ⇔ x = Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, để phương trình (*) có hai nghiệm −20 ≤ m≤ Mà m∈ ¢ nên m∈ { −20, −19, ,6,7} Vậy có 28 giá trị m thỏa mãn Chọn B Trang 55 Ví dụ 6: Cho đường cong ( C ) : y = x+ điểm I ( 1;1) Hai điểm A B thuộc nhánh đồ x−1 thị cho IA = IB Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến A B Khi tiếp tuyến A B (C) tạo với góc 15° , giá trị biểu thức k1 + k2 ( ) B − A − 2 C + 2 ( ) D + Hướng dẫn giải Do IA = IB nên k1.k2 = Ta có tan15° = k1 − k2 1+ k1.k2 ( ) ⇔ k1 − k2 = 2− ⇔ ( k1 − k2 ) = 28− 16 ⇔ ( k1 + k2 ) = 32− 16 ⇒ k1 + k2 = − = − 2 Chọn A Nhận xét: Đối với đồ thị hàm số y = ax + b có tâm đối xứng I Cho A, B hai điểm thuộc cx + d nhánh đồ thị hàm số thỏa mãn IA = IB Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số cho A, B Ta có k1k2 = c Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Trên (C) có hai điểm phân biệt A B cho tiếp tuyến A, B có hệ số góc k O, A, B thẳng hàng Mệnh đề đúng? A −3 < k < B < k < C < k < 12 D < k < Câu 2: Cho hàm số y = x3 + 6x2 + 9x + có đồ thị (C) Tồn hai tiếp tuyến (C) phân biệt có hệ số góc k, đồng thời đường thẳng qua tiếp điểm hai tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B cho OA = 2020.OB Có giá trị k thỏa mãn yêu cầu toán? A B C D Câu 3: Cho hàm số y = x4 − 2x2 có đồ thị (C) Trên đồ thị (C) có ba điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến (C) A, B, C có hệ số góc k Tập hợp tất giá trị thực k −8 ; A ÷ ÷ 2 −1 ; ÷ B 3 −8 C ; ÷ 3 −8 ; D ÷ ÷ 9 Trang 56 Câu 4: Cho hàm số y = x4 − 2x2 có đồ thị (C) Trên (C) có ba điểm A, B, C cho tiếp tuyến (C) A, B, C có hệ số góc k Biết ba điểm A, B, C thuộc parabol đỉnh I parabol có hồnh độ A Tung độ I −4 B C 36 D −1 Câu 5: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) A, B song song với nhau, đường thẳng AB có hệ số góc dương tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cân Giá trị xA.xB A – Câu 6: Cho hàm số y = B – C – D x−1 có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) x+ A , B song song với Khoảng cách lớn từ điểm M ( 2;3) đến đường thẳng AB A 13 B C D 11 Câu 7: Cho hàm số y = x3 − 3x2 + 2x − có đồ thị (C) Hai điểm A, B phân biệt (C) có hồnh độ a, b( a > b) Tiếp tuyến (C) A B song song với AB = Giá trị 2a + 3b A B C D Câu 8: Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y = − x3 + ( m− 1) x2 + ( 3m− 2) x − tồn hai điểm M1 ( x1; y1 ) , M2 ( x2; y2 ) có tọa độ thỏa mãn 3 x1.x2 > cho tiếp tuyến với đồ thị hai điểm vng góc với đường thẳng x − 2y + 1= Số nguyên âm lớn thuộc tập S A – B – C – D – x+ có đồ thị (C) Hai điểm phân biệt A, B (C) hồnh độ A −x+ âm cho tiếp tuyến (C) A, B song song với diện tích tam giác OAB Độ dài đoạn thẳng OA Câu 9: Cho hàm số y = A B C 89 D 89 Câu 10: Gọi A, B hai điểm phân biệt thuộc đồ thị (C) hàm số y = x4 − 3x2 + cho tiếp tuyến (C) A B song song với Khoảng cách A B lớn A B 3 C 35 D Câu 11: Cho hàm số y = x3 − 2018x có đồ thị (C) Xét điểm A1 có hồnh độ x1 = thuộc (C) Tiếp tuyến (C) A1 cắt (C) điểm thứ hai A2 ≠ A1 có tọa độ ( x2; y2 ) Tiếp tuyến (C) A2 cắt (C) điểm thứ hai A3 ≠ A2 có tọa độ ( x3; y3 ) Cứ tiếp tục thế, tiếp tuyến (C) An−1 cắt (C) điểm thứ hai An ≠ An−1 có tọa độ ( xn; yn ) Giá trị x2019 Trang 57 A −22019 B 22018 Câu 12: Có tiếp tuyến đường cong ( C ) : y = A D −22017 C 22020 B 2x + mà tiếp điểm có tọa độ nguyên? x−1 C D Câu 13: Có tiếp tuyến tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x4 + 3x3 + 2x2 hai điểm phân biệt M N với xM < xN Giá trị biểu thức xN − xM A 11 B C 2 Câu 14: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A B x− mà tiếp điểm cách trục tọa độ? C Câu 15: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = A 2( x + 1) D B D x+ cách hai điểm A( 1;−3) , B( 2;−6) ? x−1 C D Câu 16: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x3 − 3x cách hai điểm A( 1;2) , B( −3;−6) ? A B C D Câu 17: Cho đường thẳng y = m cắt đường cong ( C ) : y = x − 3x − hai điểm phân biệt A B cho tam giác OAB vuông O với m số thực dương Khi tiếp tuyến (C) A B cắt điểm đây? A M ( 0;40) B N ( 0;−42) C P ( 0;−38) D Q ( 0;−40) Câu 18: Cho hàm số y = 2x3 − 3x2 + có đồ thị (C) Xét điểm A thuộc (C) Gọi S tập hợp giá trị thực a cho tiếp tuyến (C) A cắt (C) điểm thứ hai B ( B ≠ A ) thỏa mãn a.b= − , a, b hồnh độ A B Tổng giá trị phần tử S A B − C − D 4 x − 3x2 + cho tiếp tuyến (C) A cắt 2 (C) hai điểm phân biệt B; C khác A thỏa mãn AC = 3AB (với B nằm A ;C) Độ dài đoạn thẳng OA Câu 19: Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = A B Câu 20: Cho đồ thị hàm số ( C ) : y = C 14 D 17 x−1 d1, d2 hai tiếp tuyến (C) song song với Khoảng 2x cách lớn d1, d2 A B C D 2 Trang 58 3x + có đồ thị (C) Gọi A, B hai điểm thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) x+ A, B song song với Các tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng, tiệm cận ngang (C) M, N (tham khảo hình vẽ) Tứ giác MNBA có chu vi nhỏ Câu 21: Cho hàm số y = A 16 B 12 C 20 D 24 ĐÁP ÁN DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước 1–C 2–C 3–A 4–D 5–C 6–C 11 – B 12 – A 13 – B 14 – D 15 – D 16 – D 21 – A 22 – B 23 – C 24 – A 25 – D 26 – D 31 – A 32 – B 33 – B 34 – A 35 – D 36 – D DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 7–B 17 – B 27 – C 8–D 18 – D 28 – A 9–D 19 – B 29 – B 10 – B 20 – B 30 – A f ( x) biết hệ số góc 1–B 2–B 3–D 4–B 5–A –A 11 – A 12 – A 13 – C 14 – A 15 – C 16 – C 21 – A 22 – C 23 – D 24 – C 25 – B 26 – D DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = 7–B 8–D 9–D 10 – A 17 – D 18 – A 19 – C 20 – B 27 – C f ( x) qua điểm M cho trước 1–B 2–C 3–C 4–D 5–D –A 7–D –A 9–B 10 – B 11 – D DẠNG Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ẩn điểm có hồnh độ x = x0 cho trước 1–D 2–B 3–C 4–A 11 – B 12 – B Dạng Một số toán tiếp tuyến khác 1–C 11 – B 21 – D 2–B 12 – B 3–D 13 – B 4–C 14 – C 5–A –A 7–C 8–C 9–D 10 – C 5–A 15 – A –A 16 – B 7–A 17 – C 8–D 18 – D 9–A 19 – D 10 – B 20 – C Trang 59 ... 18: Cho hàm số y = x − 3x + 4( C ) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M ( −2;2) có hệ số góc A 45 B C 24 D Câu 19: Cho hàm số y = x3 + 3x có đồ thị hàm số (C) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị điểm... thuộc đồ thị hàm số f ( x) = x + cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M song song với đường thẳng d : y = 3x − 1? A Câu 7: Cho hàm số y = B C D x3 + 3x2 − có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số. .. cong Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung hai đồ thị hàm Hai đường cong (C): số: tiếp xúc với Cho hai hàm số có đạo hệ phương trình hàm điểm