Trong bài báo này, chúng tôi sẽ chỉ ra một đóng góp quan trọng của mô hình tổ chức toán học tham chiếu đối với việc tìm câu trả lời. Những đóng góp khác - không kém phần quan trọng, nhưng do khuôn khổ của bài viết chúng tôi chỉ điểm qua ở phần cuối cùng.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH HO CHI MINH CITY UNIVERSITY OF EDUCATION TẠP CHÍ KHOA HỌC JOURNAL OF SCIENCE KHOA HỌC GIÁO DỤC EDUCATION SCIENCE ISSN: 1859-3100 Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 Vol 14, No 10 (2017): 15-27 Email: tapchikhoahoc@hcmue.edu.vn; Website: http://tckh.hcmue.edu.vn NGHIÊN CỨU VIỆC DẠY HỌC HỆ ĐẾM THẬP PHÂN Ở TIỂU HỌC: MỘT ĐĨNG GĨP CỦA MƠ HÌNH TỔ CHỨC TỐN HỌC THAM CHIẾU Lê Thị Hoài Châu1* Nguyễn Thị Minh Yến2 Khoa Toán - Tin học – Trường Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh Trường THPT Nam Kì Khởi Nghĩa - TP Hồ Chí Minh Ngày nhận bài: 08-8-2017; ngày nhận sửa: 18-9-2017; ngày duyệt đăng: 18-10-2017 TĨM TẮT Hệ đếm thập phân chiếm vị trí quan trọng đầu cấp tiểu học Việc hiểu chức sở để hiểu tính toán, điểm tựa để đổi đơn vị đo, sau mở rộng cho việc nghiên cứu số thập phân Vài nghiên cứu học sinh có khó khăn việc học hệ đếm thập phân Giải thích tượng ấy? Trong báo này, đóng góp quan trọng mơ hình tổ chức tốn học tham chiếu việc tìm câu trả lời Những đóng góp khác - khơng phần quan trọng, khuôn khổ viết chúng tơi điểm qua phần cuối Từ khóa: hệ đếm thập phân, tổ chức toán học tham chiếu, thuyết nhân học ABSTRACT Study of the teaching of decimal numeration in elementary school: A contribution of the mathematical model of reference The decimal system holds an important role at the beginning of the primary level Understanding its function is the basis for understanding the calculations, the fulcrum for changing units of measurement, and later extended to the study of decimal numbers Some studies have shown that students have difficulty in learning the decimal system How to explain this phenomenon ? In this article, we will show an important contribution of the model of mathematical organization of reference for the search for the elements of answer Other contributions important also, but in the context of this article we only make the point in the last part Keywords: decimal system, reference mathematical organization, anthropology Dạy học hệ đếm thập phân : tri thức nhắm đến Hệ đếm thập phân mà sử dụng hệ thống dùng để số Nó tri thức tảng tốn học đưa vào từ bậc tiểu học, chí sớm hơn, từ năm cuối trường mẫu giáo Nó dùng để biểu thị khơng số ngun mà cịn số thập phân Nó cần thiết cho việc đổi đơn vị đo chiều dài, khối lượng Đặc biệt, làm đơn giản hóa phép tính Để kiểm chứng điều này, bạn thử thực phép nhân hai số có nhiều chữ số viết theo hệ ghi số La-Mã * Email: chaulth@hcmup.edu.vn 15 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 Định lí phân tích số nguyên theo sở b: Hệ đếm thập phân hệ đếm theo vị trí, sở 10 Tri thức tham chiếu cho hệ đếm theo sở b (số tự nhiên lớn 1) định lí phân tích số nguyên dạng đa thức: Mọi số tự nhiên a khác khơng viết cách dạng a = anbn + …+ a1b1 + a0 đó, n số tự nhiên, số tự nhiên thuộc đoạn 0; b - 1 với i an ≠ Đây định lí hệ đếm Hiểu hệ đếm thập phân hiểu sử dụng định lí với b = 10 Vì thế, sở để ta xác định tri thức nhắm đến dạy học hệ đếm thập phân Các đơn vị đếm: Các thuật ngữ đơn vị, chục, trăm, nghìn, triệu… sử dụng rộng rãi Chúng đơn vị đếm Giống đếm 1, 2, đơn vị, người ta đếm 1, 2, chục Các đơn vị đếm lũy thừa 10 mà không cần sử dụng cách viết dạng 10n Bằng ngơn ngữ đơn vị đếm, định lí phân tích số nêu (với số b = 10) phát biểu là: Mọi số phân tích theo cách dạng tổng đơn vị đếm, đơn vị có mặt khơng q lần Ví dụ: 234 trăm, chục, đơn vị Cách phân tích gọi phân tích chuẩn “Chữ số hàng chục” cách nói số lần xuất đơn vị chục phân tích chuẩn Cũng tồn cách phân tích khơng chuẩn khác, ví dụ 560 trăm 16 chục, hay trăm 17 chục 90 đơn vị Quan hệ đơn vị: Các đơn vị đếm không độc lập với việc hiểu thấu đáo quan hệ chúng mục tiêu quan trọng dạy học Trong quan hệ phải kể đến: chục = 10 đơn vị, trăm = 10 chục, nghìn = 10 trăm, chục nghìn = 10 nghìn, nghìn nghìn = triệu… Những quan hệ theo chiều ngược lại phức tạp hơn, cần nắm vững Chẳng hạn nghìn = năm chục trăm, nghìn = trăm chục Hai phương diện hệ đếm: vị trí thập phân Hệ đếm thập phân liên kết hai phương diện: Phương diện vị trí phương diện thập phân Về phương diện vị trí, vị trí ứng với đơn vị đếm Chữ số tính từ phải sang trái ứng với hàng đơn vị, chữ số ứng với hàng chục… Vì mà dãy chữ số biểu thị số chữ số vị trí khác có giá trị khác Về phương diện thập phân, quan trọng mối liên hệ đơn vị đếm: Hai đơn vị đứng liền nhau mười lần Hai phương diện không tách rời hệ đếm Thế nhưng, nhìn cách viết số (bằng dãy chữ số) người ta không thấy xuất sở hệ đếm Các đơn vị khác mối liên hệ chúng khơng nhìn thấy cách viết Đó quy ước học sinh phải hiểu mà cách viết che dấu Kết hợp hai phương diện vị trí thập phân trọng tâm việc dạy học hệ đếm thập phân Đặc 16 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk biệt, hiểu thấu đáo phương diện thập phân sở để hiểu quy tắc tính tốn (cộng, trừ, nhân, chia) sau Dạy học hệ đếm thập phân đặt vấn đề cần nghiên cứu Về phía học sinh Một số giáo viên tiểu học mà chúng tơi có dịp tiếp xúc cho biết học sinh họ phạm phải nhiều sai lầm giải toán “viết số (được cho lời)”, chẳng hạn: có khơng em cho đáp số “205” tập “viết số hai mươi lăm”, hay tương tự, họ trả lời “2115” cho tập “viết số gồm trăm, 11 chục đơn vị” Sai lầm tồn dai dẳng, thực phép tính, chẳng hạn kết phép tính 34 + cho 84 Khơng tìm thấy nghiên cứu tác giả Việt Nam sai lầm, khó khăn học sinh việc hiểu hệ đếm thập phân, chúng tơi có nhiều nghiên cứu nước vấn đề Dưới vài ví dụ minh họa Bednarz Janvier (1984) sau năm nghiên cứu với nhiều khảo sát số khó khăn học sinh Canada lứa tuổi – 10 Đặc biệt, em có khó khăn: “- để hiểu việc nhóm vai trị cách viết số theo quy ước, việc nghiên cứu cách viết chiếm vị trí quan trọng chương trình; - để hiểu cần thiết phép nhóm, cho dù q trình học phải giải nhiều tập đòi hỏi phải thực chúng; - để hiểu lúc nhóm, lúc lại tách; - phải làm việc đồng thời với việc nhóm hai đơn vị khác ; - việc dùng phép nhóm để giải thích q trình tính tốn, dẫn đến sai lầm thường gặp tính tốn.” (Bednarz Janvier, 1984, tr.30) Để minh họa, hai tác giả lấy ví dụ: Khi vấn, họ thấy học sinh giải thích ý nghĩa việc “mượn 1” thuật ngữ “tách, nhóm” phép tính 234 – 178 Trong số học sinh điều tra, 13% năm thứ 19% năm thứ bậc tiểu học thực hiểu việc nhóm Đó lí để học sinh phạm phải sai lầm kiểu: Giải thích học sinh: lấy số lớn trừ số bé: – 4, – 3, – 1) Giải thích học sinh: Vay hàng trăm để thêm 10 vào hàng chục 10 vào hàng đơn vị Hai mươi sáu năm sau, Tempier (2010) nhận thấy khó khăn học sinh tiểu học Pháp Dưới hai ví dụ sai lầm HS trình độ CE2 Pháp (tương ứng với lớp Việt Nam) mà Tempier đưa ra: 17 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 Hãy điền tiếp a chục + đơn vị = …… b trăm + chục + đơn vị = …… c trăm + đơn vị = … d đơn vị + chục + trăm = …… e chục + trăm = …… Théo – CE2 Tác giả cho có lẽ Théo có nhìn thấy mối liên hệ đơn vị với thứ tự chữ số, kết hợp chúng với Élisa trả lời cho tập số Dường em hiểu phương diện vị trí hệ đếm Nhưng chưa đủ để thành công số Trong trường hợp này, chẳng hạn câu c, cần phải hiểu phương diện thập phân, nắm mối liên hệ đơn vị để đến đáp số 623 (tham khảo Tempier, 2010, tr 6061) Về phía giáo viên Khơng nghiên cứu khó khăn học sinh, Tempier (2010) vấn đề cần xem xét phía giáo viên, thơng qua cơng trình Liping Ma (1999) Parouty (2005) “Qua vấn nhiều giáo viên Mĩ, tác giả1 nhận thấy số người không huy động kiến thức hệ đếm để giải thích kĩ thuật tính tốn phép trừ phép nhân Thậm chí, giải thích, giáo viên sử dụng thuật ngữ “place value” (giá trị chữ số tùy thuộc vào vị trí chúng) khơng hồn tồn nghĩa từ.” (Tempier, 2010, tr.59) Theo Liping Ma (1999), giáo viên vấn : “chỉ tập trung vào nửa đầu tiên, place, để nói “place value” … Khi nói “cột hàng chục”, hay “cột hàng trăm”, họ không nhấn mạnh vào giá trị chữ số cột Họ sử dụng “hàng chục”, “hàng trăm” nhãn gán cho cột mà thơi.” (Liping Ma, 1999, tr 29 Trích theo Tempier, 2010, tr.59) Về phần mình, Parouty (2005) trao đổi với số giáo viên tiểu học Pháp để tìm hiểu xem họ nghĩ tốn sau đây, dự định đưa cho học sinh trình độ CE2: “Để lát Liping Ma, 1999 (ND) 18 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk gạch diện tích phẳng, người ta cần 8564 viên gạch vng Gạch bán theo gói 100 viên Vậy cần phải đặt mua gói?” Phần lớn giáo viên trả lời: “đấy tình dạy học phép chia đặt cho học sinh CE2 được” Quá ngạc nhiên, Parouty hỏi tiếp: “nếu bạn yêu cầu thực phép chia bạn làm nào?” Tất trả lời: “chỉ cần đọc trực tiếp số trăm thôi” Tác giả bình luận: “Khi đặt tình lát gạch này, không tưởng tượng giáo viên lại đưa cách giải thích Điều làm tơi ngạc nhiên lợi ích tốn thay đổi, tùy theo việc họ đặt tình bối cảnh học đường hay bối cảnh sống hàng ngày, bối cảnh xã hội Họ chờ đợi học sinh chiến lược mà họ khơng huy động.” (Parouty, 2005 Trích theo Tempier, 2010, tr.60) Hiện tượng xảy giáo viên thiếu kiến thức Nó cần giải thích mối liên hệ với mà thể chế đặt cho việc dạy học hệ đếm thập phân Những ràng buộc thể chế có ảnh hưởng lớn đến suy nghĩ giáo viên việc dạy tri thức toán học Ảnh hưởng lựa chọn thể chế lí mà Bednarz Janvier viện dẫn để giải thích cho sai lầm học sinh Họ cho nguyên nhân nằm hoạt động đưa cho học sinh dạy học Trong hoạt động ấy, “việc biểu diễn số theo hàng, tuân thủ thứ tự cách viết số theo quy ước”, “việc áp đặt sớm biểu diễn theo thứ tự tất yếu dẫn trẻ đến chỗ giải thích cách viết thuật ngữ thứ tự, vị trí, tách xa khỏi nghĩa thực gắn với vị trí theo cách nhóm” Như vậy, để nghiên cứu việc dạy học tốn nói chung, dạy học hệ đếm thập phân nói riêng, cần phải xem xét lựa chọn thể chế, thơng qua phân tích chương trình, sách giáo khoa (SGK), sách giáo viên, đề thi quốc gia, v.v… Tiếp theo dịng nghiên cứu, chúng tơi tự hỏi: Liệu học sinh Việt nam có gặp khó khăn tương tự? Vì sao? Làm để họ làm chủ huy động kiến thức hệ đếm thập phân, kiến thức toán học tảng? Thừa nhận cách giải thích tác giả trên, phù hợp với quan điểm Thuyết nhân học, chúng tơi xác định phân tích lựa chọn thể chế phương pháp nghiên cứu cần theo đuổi để tìm hiểu việc dạy học hệ đếm thập phân trường tiểu học Việt Nam Thiết lập lưới tổ chức tốn học tham chiếu: ? Về mặt phương pháp luận, để phân tích lựa chọn thể chế, chúng tơi đặt vào Thuyết nhân học Didactic (Chevallard, 1992) hình thành từ khái niệm chuyển hóa sư phạm Chevallard (1991) đề nghị Khái niệm chuyển hóa sư phạm nhắc nhở nhà nghiên cứu giáo viên tránh cách nghĩ sai lầm, cho tri thức tốn học trình bày chương trình hay SGK có đơn giản hóa (để dạy học được) copy trung thành tri thức bác học Theo quan niệm này, người ta không đặt câu hỏi thỏa đáng lựa chọn thể chế Thực 19 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 khơng phải có cách lựa chọn Mà lựa chọn đặt nhiều ràng buộc có ảnh hưởng lớn đến ứng xử giáo viên học sinh Sự lựa chọn thể chế thể phần quan trọng hoạt động đưa cho học sinh Mỗi hoạt động thuộc kiểu nhiệm vụ đó, yếu tố bốn yếu tố tạo thành tổ chức toán học, viết tắt OM (gốc từ tiếng Pháp Organisation Mathématique)2 Theo ngôn ngữ khái niệm tổ chức toán học, Bosch Gascon (2005) mơ tả mắt xích q trình chuyển hóa sư phạm sơ đồ : Bosch Gascon (2005) nhấn mạnh: hiểu kiến thức học sinh học khơng nghiên cứu mắt xích q trình chuyển hóa sư phạm Đó lí giải thích cho việc chúng tơi bàn đến vấn đề phân tích lựa chọn thể chế - mắt xích đó, việc dạy học hệ đếm thập phân Như vậy, vấn đề làm rõ OM cần dạy Ở đây, câu hỏi đặt cho nhà nghiên cứu là: lấy làm để bàn tính thỏa đáng OM cần dạy để xây dựng tình dạy học? Chính phân tích tri thức luận mang lại câu trả lời cho câu hỏi này3 Phân tích giúp nhà nghiên cứu xác định tổ chức toán học cần triển khai dạy học Bosch Gascon (2005) gọi OM tham chiếu “OM tham chiếu OM mà nhà nghiên cứu xem sở để thực phân tích Nó khơng thiết phải trùng với OM bác học, vốn nguồn gốc hình thành nên (vì OM tham chiếu chứa đựng yếu tố OM bác học) Nhưng OM tham chiếu diễn đạt theo thuật ngữ gần gũi với OM bác học OM tham chiếu OM mà nhà nghiên cứu dùng để kiểm chứng tính ngẫu nhiên mà phải chịu thay đổi thường xuyên” (Bosch et Gascon, 2005 Trích theo Tempier, 2013, tr.12) Những OM tham chiếu liên quan đến đối tượng tri thức O lưới vấn đề mà nhà nghiên cứu sử dụng để xem xét OM cần dạy, hay phân tích thực hành dạy học giáo viên, điểm tựa để giáo viên thiết kế dự án giảng dạy Nhưng cần phải nói đến mối liên hệ ngược lại OM cần dạy với OM tham chiếu Trong thể chế dạy học có OM cần dạy “vết” hay số OM bác học (đã làm biến đổi cho phù hợp với ràng buộc thể chế) Vì thế, khơng phải phân tích lịch sử, mà việc nghiên cứu tài liệu học đường (chương trình, SGK phổ thơng, giáo trình bậc đại học, sách giáo viên, đề thi, v.v…) nhiều thể chế khác mang lại yếu tố để thiết lập OM tham chiếu Hai phân tích (tri thức luận thể chế) bổ sung cho sơ đồ sau Bosche Garcon (2005) : Nếu muốn tìm hiểu khái niệm này, bạn đọc tham khảo Annie B tác giả, 2004 Về lợi ích phân tích tri thức luận nghiên cứu lựa chọn thể chế, bạn đọc tìm thấy câu trả lời đầy đủ Lê Thị Hồi Châu, 2017 20 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk Một lưới OM tham chiếu cho dạy học hệ đếm thập phân Mục đích chúng tơi tìm hiểu OM tham chiếu cho phép làm rõ phương diện thập phân hệ đếm Chúng nhắc lại OM tham chiếu nhà nghiên cứu xây dựng sử dụng công cụ để xem xét OM cần dạy từ phương diện tri thức luận Phương pháp luận để xây dựng, trình bày trên, tiến trình gồm hai bước: - Nghiên cứu tri thức bác học, hệ đếm thập phân; - Sử dụng số kết phân tích thể chế có, OM cần dạy xác định 4.1 Đặc trưng tri thức luận hệ đếm thập phân Trong khuôn khổ báo này, chúng tơi khơng trình bày nghiên cứu tri thức luận hệ đếm thập phân (lịch sử hình thành, cách định nghĩa, v.v…) Đặc trưng tri thức luận hệ đếm thập phân nêu phần đầu báo Hiểu hệ đếm thập phân hiểu sử dụng định lí hệ đếm Đối với học sinh tiểu học điều xác định qua việc nắm đơn vị đếm, mối quan hệ chúng, liên kết hai phương diện (vị trí, thập phân) việc giải nhiều vấn đề số (đọc, viết số, so sánh, giải thích quy tắc tính toán, đổi đơn vị đo, v.v…) 4.2 Ba tổ chức toán học địa phương liên quan đến hệ đếm Chambris (2008) tiến hành nghiên cứu lịch sử dạy học hệ đếm thập phân giai đoạn dài (thế kỉ XX) giáo dục toán học Pháp, thơng qua phân tích chương trình, SGK Một kết luận mà tác giả đưa thời gian cuối kỉ, hoạt động liên quan đến phương diện thập phân xuất SGK toán tiểu học Kế thừa kết nghiên cứu Chambris số tác giả khác, cách tính đến OM cần dạy dạy kể từ kỉ XX, Tempier (2013) xây dựng lưới OM tham chiếu cho hệ đếm thập phân Các OM xây dựng liên quan đến số tự nhiên Trong phần lại báo, chúng tơi nói số tự nhiên Ba tổ chức tốn học địa phương Tempier kí hiệu OMcard, OMtrad, OMord (card, trad, ord viết tắt từ cardinal (bản số, lực lượng) tradition (dịch), ordinal (thứ tự)), OMcard OMord lí tồn OMtrad Ba tổ chức toán học địa phương thuộc tổ chức toán học vùng liên quan đến kiến thức số nguyên Tổ chức toán học vùng lại nằm tổ chức toán học tổng thể liên kết kiến thức đại lượng, số đo, số tính tốn (tham khảo Tempier (2013), tr 43-44) Bảng kể số kiểu nhiệm vụ tạo nên tổ chức toán học điểm thuộc ba tổ chức toán học địa phương 21 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 Bảng Một số kiểu nhiệm vụ tạo nên lưới tổ chức toán học tham chiếu hệ đếm OMcard nhóm kiểu nhiệm Ba OM địa phương vụ vận dụng số khía cạnh số lượng - Đếm số phần tử tập hợp - Tạo tập hợp có số phần tử cho trước - So sánh số phần tử Một số kiểu nhiệm tập hợp vụ tạo thành tổ chức tốn học điểm Cơng nghệ Dãy đếm miệng theo đơn vị nhỏ (một, hai, ba,…) Xem chục, trăm,… đơn vị đếm đơn giản (một chục, hai chục,…, trăm, hai trăm,…) OMtrad nhóm kiểu nhiệm vụ đọc, viết chuyển đổi dạng viết - Phân tích số - Tổng hợp (tạo ra) số - Chuyển đổi đơn vị đếm - Viết số cho lời - Đọc (bằng lời) số viết dạng dãy chữ số OMord nhóm kiểu nhiệm vụ vận dụng số khía cạnh thứ tự - So sánh hai số tự nhiên - Sắp xếp thứ tự dãy số - Tìm số nằm hai số - Đóng khung số (giữa hai số tròn chục, tròn trăm,… liên tiếp) - Đặt số / đọc số đường thẳng khắc vạch - Viết tới, viết lùi (hay đọc tới, đọc lùi) dãy số Cả hai phương diện hệ đếm cần thiết cho việc giải thích kĩ thuật giải kiểu nhiệm vụ - Phương diện vị trí: đơn vị từ bé đến lớn viết theo thứ tự từ phải sang trái - Phương diện thập phân: mười đơn vị hàng đơn vị hàng đứng sau Cơng nghệ chung “hệ đếm thập phân”, cấu thành từ hai yếu tố, P nói phương diện vị trí D nói phương diện thập phân Phân tích thể chế: Một đóng góp quan trọng mơ hình tổ chức tốn học tham chiếu Lưới tổ chức toán học tham chiếu mang lại cho yếu tố trả lời câu hỏi: Trong dạy học hệ đếm thập phân tiểu học, cần tồn tồn tại? Chúng sử dụng lưới OM tham chiếu để xem SGK tốn bậc tiểu học tính đến cần tồn Đồng thời, để tồn tại, chúng tơi đặt phân tích SGK Việt Nam mối quan hệ so sánh với kiểu nhiệm vụ diện trong: - Hàng loạt SGK hành, trình độ CE2 Pháp, tham khảo từ cơng trình Tempier (2013) Trong bảng dùng chữ P để SGK này; - Các SGK toán tiểu học Việt Nam, kí hiệu VN 22 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu tgk Kết phân tích chúng tơi trình bày tóm tắt Bảng Chúng tơi khơng nói đến yếu tố kĩ thuật, cơng nghệ, lí thuyết tổ chức tốn học hình thành từ kiểu nhiệm vụ liệt kê qua phân tích SGK Bảng Những kiểu nhiệm vụ diện SGK phân tích OM địa phương OMcard Kiểu nhiệm vụ VN T41: Phân tích số a1a2 a3a4 thành nghìn, trăm, chục, đơn vị T42: Phân tích số a1a2 a3a4 thành tổng số trịn nghìn, trịn trăm, trịn chục, đơn vị T43: Phân tích số a1a2 a3a4 thành tổng số trịn nghìn, trịn trăm, trịn chục, đơn vị dạng lũy thừa 10 T44: Phân tích số a1a2 a3a4 thành nghìn, trăm, chục, đơn vị dạng bảng T45: Xác định số chục, số trăm, số nghìn số T46: Xác định giá trị chữ số a số cho trước T47: Viết chữ số thuộc lớp nghìn, lớp đơn vị số T51: Viết số biết số gồm * a1 000, a2 00, a3 0, a4 a1 N ; a2 , a3 , a4 N nhỏ hay T52: Viết số biết số gồm a1 nghìn, a2 trăm, a3 chục, a4 đơn vị a1 N* ; a2 , a3 , a4 N nhỏ hay T53: Viết số biết số gồm a1 nghìn, a2 trăm, a3 chục, a4 T1 : Đếm số phần tử tập hợp T2 : Tạo tập hợp ứng với số T3 : So sánh tập hợp T4 Phân tích số OMtrad T5 Tổng hợp (tạo ra) số OMord P đơn vị a1 N* ; a2 , a3 , a4 N T6: Chuyển đổi đơn vị đếm trăm, chục, đơn vị T7 : Viết số biết phát biểu lời số T8 : Đọc số T9 : So sánh hai số tự nhiên T10 : Sắp xếp thứ tự dãy số T11 : Tìm số nằm hai số a b (a < b) T12 : Đóng khung số hai số trịn chục liên tiếp T13 : Đặt số / đọc số đường thẳng khắc vạch T14 : Viết tới, viết lùi dãy số So với danh sách kiểu nhiệm vụ Bảng 1, phân tích SGK Việt Nam cho chúng tơi thấy thêm hai tổ chức tốn học điểm thuộc OMtrad, hình thành từ kiểu nhiệm vụ T46 (xác định giá trị chữ số a số cho trước) T47 (viết chữ số thuộc lớp nghìn, lớp đơn vị số) 23 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 Trong kiểu nhiệm vụ trên, có 8/22 liên quan đến phương diện thập phân là: T1, T42, T43, T45, T46, T51, T53 T6, cịn lại đến liên quan phương diện vị trí Bảng cho thấy Pháp phương diện vị trí ưu tiên với số kiểu nhiệm vụ nhiều hẳn (13/20) Ghi nhận dẫn Tempier đến kết luận học sinh Pháp hiểu phép đếm chủ yếu dựa phương diện vị trí trọng phương diện thập phân xem nguồn gốc khó khăn (Tempier, 2010) Thế nguyên lí thập phân lại cần thiết cho hệ đếm Ngun lí làm việc qua hoạt động huy động quy tắc lập nhóm rã nhóm Theo tác giả số SGK Pháp trọng nhiều đến kiểu nhiệm vụ có huy động phương diện thập phân, cụ thể T53, T6 xuất nhiều Ở Việt Nam, SGK hành dùng cho lớp 3, hồn tồn khơng xuất T2, T43, T53, T6 có 5/18 kiểu nhiệm vụ liên quan phương diện thập phân Đối với T5, thể chế dạy học toán lớp 3, Việt Nam có đưa vào hai kiểu nhiệm vụ T51 (viết số biết số gồm a1 000, a2 00, a3 0, a4 ) T52 (Viết số biết số gồm a1 nghìn, a2 trăm, a3 chục, a4 đơn vị a1 N* ; a2 , a3 , a4 N nhỏ hay 9) Tuy nhiên, có khác biệt hai kiểu nhiệm vụ trên: Trong SGK Pháp đơn vị đếm xếp theo thứ tự ngẫu nhiên, cịn SGK Việt Nam chúng luôn xếp theo thứ tự từ hàng cao đến hàng thấp Điều dẫn đến việc hình thành quy tắc hành động mà theo viết thành số học sinh đặt lại đơn vị đếm theo thứ tự mà chúng liệt kê đề tập Quy tắc làm mờ ý nghĩa phương diện thập phân, trọng phương diện vị trí Do đó, việc xếp đơn vị đếm theo thứ tự ngẫu nhiên cần thiết, nhằm tái lập lại ý nghĩa phương diện thập phân, đồng thời cho thấy quy tắc hành động vừa nêu không mang lại câu trả lời xác Ngồi ra, SGK tốn lớp 3, Việt Nam hồn tồn vắng mặt kiểu nhiệm vụ T53 (viết số biết số gồm a1 nghìn, a2 trăm, a3 chục, a4 đơn vị * a1 N ; a2 , a3 , a4 N ) Đây bổ sung quan trọng cho T52 Với T53 đơn vị đếm hàng lớn 9, đòi hỏi học sinh phải hiểu đơn vị đếm mối quan hệ chúng (phương diện thập phân) Kiểu nhiệm vụ T6 bước đệm cần thiết để thực T53 Ngoài ra, luận án mình, Tempier cần thiết tầm quan trọng T6 Ta thấy, yếu tố cơng nghệ T6 sở để giải thích cho kĩ thuật tính tốn Để minh họa, xét phân tích kĩ thuật thực phép toán cộng: “Trong trường hợp phép cộng, thực 1593 + 345, cần phải xếp hai số từ bên phải để chữ số hàng hai số nằm thẳng cột với 24 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hồi Châu tgk Trong khoảng hàng chục, cộng chục với chục, có 13 chục mà sau phải chuyển đổi sang trăm chục Vì vậy, có việc giữ lại hàng trăm (nhớ hàng trăm) Kĩ thuật biện minh sau: phương diện vị trí để biện minh cho xếp theo chiều dọc số phương diện thập phân để biện minh cho chuyển đổi đơn vị (mối quan hệ 10 chục = trăm cho ví dụ trên) Trong trường hợp cộng có nhớ hàng cao nhất, chẳng hạn 512 + 834, chuyển đổi thực trực tiếp kết Ở ví dụ : trăm + trăm = 13 trăm, tức nghìn trăm, viết cho hàng trăm cho hàng nghìn.” (Tempier, 2013, tr 55) Để làm rõ vị trí thể chế Việt Nam OM mà yếu tố công nghệ liên quan đến phương diện thập phân, thống kê số lượng tập SGK sách tập (SBT) toán 3, Kết thu là: Bảng Bảng thống kê số lượng tập theo phương diện vị trí thập phân Phương diện SGK, SBT Toán SGK, SBT Tốn Tổng Vị trí 105 (94,6%) 91 (82,7%) 196 (88,7%) Thập phân (5,4%) 19 (17,3%) 25 (11,3%) Bảng thống kê cho thấy dù lớp hay lớp số lượng tập có huy động phương diện vị trí chiếm tỉ lệ áp đảo so với số tập cần huy động phương diện thập phân: 94,6% đối lập với 5,4% lớp 82,7% đối lập với 17,3% lớp Tuy nhiên thấy từ lớp lên lớp tỉ lệ tập loại thứ hai tăng lên đáng kể, từ 5,4% lên 17,3%, cho dù cịn khiêm tốn so với phương diện vị trí Như vậy, thể chế dạy học toán lớp 3, Việt Nam ưu tiên phương diện vị trí so với phương diện thập phân dạy học nội dung hệ đếm thập phân Hiện tượng gặp thể chế dạy học lớp CE2 Pháp Chúng nhắc lại rằng, tác giả Pháp kết luận: Chính chưa trọng mức phương diện thập phân nguồn gốc sai lầm phổ biến học sinh Kết luận: đóng góp mơ hình OM tham chiếu Lưới OM tham chiếu công cụ hiệu giúp nhà nghiên cứu làm rõ nét chuyên biệt thể chế dạy học tri thức tốn học xác định: cần tồn không tồn diện mờ nhạt thể chế? Trong trường hợp chúng tơi lưới OM tham chiếu Tempier xây dựng sở để xem xét quan hệ thể chế dạy học toán tiểu học Việt Nam với hệ đếm thập phân Phân tích chương trình, SGK đặt cách tiếp cận Thuyết nhân học lưới OM tham chiếu cho phép trả lời câu hỏi: Trong thể chế dạy học tốn bậc tiểu học, hai phương diện vị trí thập phân diện nào? Việc dạy học phải chịu ràng buộc gì? Đâu hệ 25 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Tập 14, Số 10 (2017): 15-27 dự đốn trước chúng? Cái cần phải bổ sung cho quan hệ thể chế xem xét với đối tượng hệ đếm thập phân? Lưới OM tham chiếu cịn giúp cho nhà nghiên cứu thiết kế tình dạy học Chúng nhắc lại: “… OM tham chiếu OM mà nhà nghiên cứu dùng để kiểm chứng tính ngẫu nhiên mà phải chịu thay đổi thường xuyên” Như vậy, sau tiến trình hai bước để thiết lập lưới OM tham chiếu mà chúng tơi nói (nghiên cứu tri thức bác học; sử dụng kết phân tích thể chế số cơng trình có) cách đưa thêm vào yếu tố mới, nhà nghiên cứu xây dựng tình dạy học nhắm đến hay số OM tham chiếu Trong thực tế, chúng tơi chọn OM hình thành từ kiểu nhiệm vụ T6: chuyển đổi đơn vị đếm - cần thiết việc hiểu sử dụng hệ đếm thập phân Trong tình dạy học này, OM mà xây dựng chứa đựng thêm ba yếu tố sau mà muốn đưa thêm vào để kiểm chứng tính thỏa đáng chúng Yếu tố thứ học sinh phải làm việc với số lớn Yếu tố thứ hai trình có sử dụng phương tiện trực quan Đây phương tiện thiếu dạy học nhiều tri thức toán bậc tiểu học Để dạy hệ đếm thập phân, SGK Tốn lớp dùng que tính: que tính rời biểu diễn đơn vị, 10 que tính bó lại biểu diễn cho chục hay 10 đơn vị Ngồi que tính, hình vẽ (bông hoa, chim, v.v…) sử dụng trình bày phép tính cộng, trừ, nhân, chia Đến lớp 2, học số tự nhiên phạm vi 1000, học sinh học thêm đơn vị đếm “trăm”, “nghìn” biết thêm quan hệ đơn vị (10 chục trăm, 10 trăm nghìn) Lúc phương tiện que tính khơng cịn tiện lợi nên người ta dùng mơ hình ô vuông Khi học sang vòng số lớn (ở lớp 3, 4), mơ hình vng khơng cịn tiện lợi cho việc biểu diễn mối quan hệ đơn vị Lúc người ta dùng hình lập phương thẻ có ghi số (tham khảo Nguyễn Thị Minh Yến, 2017) So với thẻ ghi số, hình lập phương trực quan hơn, lại thuận lợi cho số có nhiều chữ số Có lẽ khó khăn việc dùng phương tiện trực quan để trình bày vấn đề liên quan đến số lớn nên loại phương tiện khai thác cho việc nghiên cứu vòng nhiều chữ số Từ ghi nhận trên, chúng tơi muốn đưa vào tình dạy học số lớn với phương tiện trực quan thẻ số Yếu tố thứ ba mà chúng tơi tính đến đặt phạm vi Lí thuyết tình Hoạt động thiết kế dạng trị chơi, có chứa đựng trao đổi thành viên đội sau đội Phương tiện vật chất (thẻ số) trao cho học sinh làm việc tạo nên môi trường phản hồi để loại bỏ chiến lược khơng dẫn đến thành cơng Bạn đọc tham khảo tình thiết kế Nguyễn Thị Minh Yến (2017) Một đóng góp thứ ba mơ hình OM tham chiếu nằm nghiên cứu thực hành dạy học giáo viên Nó cho phép ta phân tích OM giáo viên triển khai lớp học Đây hướng phát triển cho nghiên cứu mà thực Nguyễn Thị Minh Yến (2017) 26 TẠP CHÍ KHOA HỌC - Trường ĐHSP TPHCM Lê Thị Hoài Châu tgk TÀI LIỆU THAM KHẢO Bessot A., Comiti C., Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2004) Những yếu tố didactic toán (Éléments fondamentaux de didactique des mathématiques) - Sách song ngữ Việt-Pháp NXB ĐHQG Thành phố Hồ Chí Minh Lê Thị Hồi Châu (2017) Sự cần thiết phân tích tri thức luận nghiên cứu hoạt động dạy học đào tạo giáo viên Kỉ yếu Hội thảo CIDMath 6, NXB Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Đỗ Đình Hoan, (Chủ biên) tác giả (2014) Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán NXB Giáo dục Việt Nam Đỗ Đình Hoan (Chủ biên) tác giả (2014) Sách giáo viên Toán 1, Toán 2, Toán 3, Toán NXB Giáo dục Việt Nam Bednarz, N., Janvier, B (1984) La numération: les difficultés suscitées par son apprentissage, Grand N, N°33, 5-31 Bosch M et Gascon J (2005) La praxéologie comme unité d’analyse des processus didactiques In Mercier A., Margolinas C (eds) Balises pour la didactique des mathématiques, Edition la Pensée Sauvage, Grenoble, 177-122 Chaachoua Yasmina (2016), Praxéologie de référence de l’aspect décimal de la numération par la manipulation selon le modèle T4TEL, Mémoire de Master 2, Université de Grenoble Alpes Chambris C (2012) Consolider la mtrise de la numeration et des grandeurs l’entrée au collège Le système métrique peut-il être utile ? Petit x, N°89, 5-31, Edition La Pensée Sauvage, Grenoble, France Chevallard (1991) La transposition didactique : du savoir savant au savoir enseigné Edition La Pensée Sauvage, Grenoble, France Chevallard (1992) Conceps fondamentaux de la Didactique: Perspectivé apportées par une approche anthropologique, Recherche en Didactique des Mathématiques, N° 12 (1), 73-112 Ma L (1999) Knowing and Teaching Elementary Mathematics Edition L’harmattant, 259-312 Parouty V (2005) Compter sur lé erreurs pour compter sans erreurs: état des lieux sur l’enseignement de la numération décimale de position au cycle Actes du XXXIème colloque COPIRELEM IREM de Toulouse Tempier F (2010) Une étude dé programmé et manuels sur la numeration décimale au CE2, Grand N, N° 86, 59-90 Tempier F (2013) La numération décimale de position l’école primaire Une ingénierie didactique pour le développement d’une ressource, Thèse de doctorat, Université Paris 27 ... Lưới tổ chức toán học tham chiếu mang lại cho yếu tố trả lời câu hỏi: Trong dạy học hệ đếm thập phân tiểu học, cần tồn tồn tại? Chúng sử dụng lưới OM tham chiếu để xem SGK tốn bậc tiểu học tính... nghiên cứu tri thức luận hệ đếm thập phân (lịch sử hình thành, cách định nghĩa, v.v…) Đặc trưng tri thức luận hệ đếm thập phân nêu phần đầu báo Hiểu hệ đếm thập phân hiểu sử dụng định lí hệ đếm. .. 4.2 Ba tổ chức toán học địa phương liên quan đến hệ đếm Chambris (2008) tiến hành nghiên cứu lịch sử dạy học hệ đếm thập phân giai đoạn dài (thế kỉ XX) giáo dục toán học Pháp, thơng qua phân tích