NGHIÊN cứu VIỆC dạy học ĐỊNH NGHĨA đạo hàm ở TRƯỜNG TRUNG học PHỔ THÔNG

Mục đích nghiên cứu Mục đích của việc nghiên cứu là xây dựng một giáo án dạy học nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh các ý nghĩa của đạo hàm, góp phần giúp HS vận dụng được khái niệm này vào

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

-  -

HUỲNH CHÍ TÂM MINH MẪN

NGHIÊN CỨU VIỆC DẠY HỌC ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN TOÁN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

CẦN THƠ, 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ

-  -

HUỲNH CHÍ TÂM MINH MẪN

NGHIÊN CỨU VIỆC DẠY HỌC ĐỊNH NGHĨA ĐẠO HÀM

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng bản thân Các số liệu

trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình

nào khác Các số liệu trích dẫn trong quá trình nghiên cứu đều ghi rõ nguồn gốc

Tác giả luận văn

Huỳnh Chí Tâm Minh Mẫn

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Lê Thái Bảo Thiên Trung,

người đã bỏ nhiều công sức hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo, Cán bộ khoa Sau đại học và Khoa sư phạm trường Đại học Cần Thơ đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn này

Ngoài ra, tôi cũng cảm ơn PGS TS Nguyễn Phú Lộc với sự giảng dạy nhiệt tình cùng những lời khuyên và những định hướng của giáo sư là những điều rất quý giá với tôi trên bước đường nghiên cứu

Cũng không thể không nhắc đến tập thể lớp 10TN trường Trung học phổ thông Tây Đô, huyện Long Mỹ, tỉnh Hậu Giang Cảm ơn các em vì tiết dạy thực nghiệm đầy tích cực, vui vẻ và thú vị

Cảm ơn các anh, chị và các bạn học viên lớp cao học khóa 20, đặc biệt là bạn

Võ Lâm Ngọc Toán và chị Chung Thị Kim Hạnh đã giúp đỡ, động viên tôi rất nhiều trong quá trình học tập và làm luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến những người thân trong gia đình Cha mẹ, anh và em trai là nguồn lực lớn lao giúp tôi vượt qua những khó khăn trong suốt thời gian đã qua

TÔI XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN!

Tác giả luận văn

Huỳnh Chí Tâm Minh Mẫn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN i

LỜI CẢM ƠN ii

MỤC LỤC iii

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT vi

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ vii

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ viii

DANH MỤC CÁC BẢNG ix

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4 Giả thuyết nghiên cứu 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 3

7 Đóng góp chính của luận văn 4

8 Cấu trúc chính của luận văn 5

PHẦN NỘI DUNG 6

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN 6

1.1 Lý thuyết tình huống 6

1.1.1 Tình huống ngoài dạy học 7

1.1.2 Tình huống lí tưởng 7

1.1.3 Tình huống dạy học 8

1.1.4 Biến didactic 8

1.1.5 Hợp đồng dạy học 9

1.2 Lý thuyết nhân học trong Didactic Toán 9

1.2.1 Tri thức và thể chế 9

1.2.2 Sự chuyển hóa sư phạm 10

1.2.3 Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức 12

1.2.4 Tổ chức toán học 13

1.3 Hợp thức hóa nội tại 15

1.4 Kết luận chương 1 16

CHƯƠNG 2 MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỀ VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 17

2.1 Phân tích một giáo trình Mỹ 17

2.1.1 Bài toán tiếp tuyến 19

2.1.2 Bài toán vận tốc tức thời 22

2.1.3 Định nghĩa đạo hàm 24

2.1.4 Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến định nghĩa đạo hàm 30

2.1.5 Tóm tắt về đạo hàm trong giáo trình Mỹ 35

2.2 Phân tích các sách giáo khoa Việt Nam 37

2.2.1 Sự tiếp cận định nghĩa đạo hàm 37

2.2.2 Các kiểu nhiệm vụ 45

2.3 Kết luận chương 2 54

CHƯƠNG 3 NGHIÊN CỨU MỘT GIÁO ÁN DẠY HỌC 56

3.1 Giới thiệu giáo án 56

3.2 Phân tích tiên nghiệm giáo án 62

3.2.1 Hoạt động 1 câu 1 63

3.2.2 Hoạt động 1 câu 2 64

3.2.3 Hoạt động 2 67

3.2.4 Câu hỏi điều tra 68

3.3 Phân tích hậu nghiệm 68

3.3.1 Hoạt động 1 câu 1 68

3.3.2 Hoạt động 1 câu 2 70

3.3.3 Phiếu điều tra cá nhân 72

3.4 Kết luận chương 3 74

PHẦN KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 78

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

SỐ HIỆU

2.2 Phóng to về phía điểm (1,1) của parabol 2

y  x 21 2.3 Minh họa cho trường hợp h0, Q ở bên phải của P

( Nếu h0 thì Q sẽ ở bên trái của P )

22

2.4

Minh họa đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

y x

DANH MỤC CÁC SƠ ĐỒ

SỐ HIỆU SƠ

1.3 Sự chuyển hóa sư phạm giữa các cấp độ tri thức 11 1.4 Sơ đồ diễn giải praxéologie trong thuyết nhân học 15

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết hội nghị Trung ương 8 khóa XI đề ra mục tiêu: “Đối với giáo

dục phổ thông, tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời Hoàn thành việc xây dựng chương trình giáo dục phổ thông giai đoạn sau năm

2015 Bảo đảm cho học sinh có trình độ trung học cơ sở (hết lớp 9) có tri thức phổ thông nền tảng, đáp ứng yêu cầu phân luồng mạnh sau trung học cơ sở; trung học phổ thông phải tiếp cận nghề nghiệp và chuẩn bị cho giai đoạn học sau phổ thông

có chất lượng” Vì thế, giáo dục nói chung và giáo dục phổ thông nói riêng cần phải

thực hiện cải cách không ngừng, đổi mới chương trình, sách giáo khoa, đổi mới phương pháp và hình thức dạy học, kiểm tra đánh giá theo định hướng bồi dưỡng năng lực và thái độ, tình cảm mà học sinh đạt được sau khi học tập là một trong những nhiệm vụ cấp bách cần thực hiện

1.2 Trong tất cả các môn học ở phổ thông môn Toán có khả năng to lớn giúp HS phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho HS tư duy trừu tượng, tư duy chính xác, hợp logic, phương pháp khoa học trong suy nghĩ, trong suy luận, trong học tập, qua đó có tác dụng rèn luyện cho HS trí thông minh, sáng tạo Toán học được xem là cần thiết vì nó cung cấp nền tảng cho việc học những môn học khác, là công cụ giải quyết các vấn đề trong thực tế

1.3 Trong chương trình Giải tích lớp 11 – THPT nội dung đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm một vai trò quan trọng trong chương trình lớp 11 và trong suốt chương trình lớp 12 cũng như trong các kỳ thi lớn của quốc gia Nhưng thực tế khi dạy học toán bậc THPT, giáo viên chỉ chú trọng vào việc dạy và rèn luyện cho HS các quy tắc tính đạo hàm và thường lơ đi những ý nghĩa quan trọng của nó Chẳng

hạn, xuất phát từ vấn đề gì hay bài toán gì mà nảy sinh khái niệm đạo hàm? Hay đạo hàm ra đời nhằm giải quyết những vấn đề gì ?

 Trong luận văn của Bùi Thị Thu Hiền (2007), Mối liên hệ giữa tiếp tuyến và

đạo hàm, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Trong luận văn tác giả

đã đưa ra giả thuyết: “Học sinh thiết lập mối quan hệ giữa tiếp tuyến và đạo hàm,

giữa đạo hàm và xấp xỉ affine nhưng mối quan hệ giữa tiếp tuyến và xấp xỉ affine không hiện diện trong quan hệ cá nhân của học sinh”

 Luận văn của Ngô Minh Đức (2013), Khái niệm đạo hàm trong dạy học

Toán và Vật lý ở trường Trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP

Hồ Chí Minh Trong nghiên cứu và phân tích tác giả đặt ra giả thuyết: “Nghĩa của

tốc độ biến thiên hoàn toàn không xuất hiện trong mối quan hệ cá nhân của các em học sinh” Một thực nghiệm sau đó đã cho kết quả rằng đặc trưng trên đã không

xuất hiện

 Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu Didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp

11 phổ thông, luận văn thạc sĩ trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Trong luận văn tác

giả đưa ra kết luận: “Định nghĩa đạo hàm có vai trò rất mờ nhạt đối với cá nhân

học sinh, mối quan hệ giữa đạo hàm và giới hạn hàm số được nêu trong định nghĩa đạo hàm hầu như không tồn tại đối với học sinh” Khi học một khái niệm, điều

quan trọng nhất là học sinh phải hiểu được ý nghĩa của khái niệm đó thì các em mới

có hứng thú để tìm hiểu hết nội dung bài học, điều này giúp học sinh nhớ lâu, khắc sâu được kiến thức

Với mong muốn góp phần khắc phục phần nào những tồn tại trên, nâng cao chất lượng dạy học nội dung này, từ những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài:

“Nghiên cứu việc dạy học định nghĩa đạo hàm ở trường trung học phổ thông”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của việc nghiên cứu là xây dựng một giáo án dạy học nhằm giúp học sinh chiếm lĩnh các ý nghĩa của đạo hàm, góp phần giúp HS vận dụng được khái niệm này vào giải quyết các bài toán liên quan

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Phân tích việc trình bày các tổ chức toán học của tri thức đạo hàm trong một giáo trình Calculus tiêu biểu Mỹ

3.2 Phân tích SGK Việt Nam hiện hành, lấy giáo trình Mỹ làm tham chiếu để nghiên cứu việc trình bày định nghĩa đạo hàm và các kiểu nhiệm vụ của khái niệm này 3.3 Thiết kế và thực nghiệm một giáo án dạy học

4 Giả thuyết nghiên cứu

Với những phân tích và so sánh các tổ chức toán học của tri thức đạo hàm trình bày trong một giáo trình Mỹ và SGK Việt Nam, ta có thể xây dựng một giáo

án bước đầu giúp HS tiếp cận các ý nghĩa của tri thức đạo hàm, từ đó HS có thể giải quyết được các bài toán có liên quan đến tri thức này

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

5.1 Đối tượng nghiên cứu

Tri thức đạo hàm được trình bày trong một giáo trình Calculus tiêu biểu của

Mỹ và SGK Việt Nam hiện hành

5.2 Phạm vi nghiên cứu

 Nghiên cứu một giáo trình Calculus ở bậc đại học của Mỹ

 Nghiên cứu nội dung chương V Đạo hàm sách giáo khoa Đại số và Giải tích lớp 11 ở chương trình Toán phổ thông của Việt Nam

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Nghiên cứu các văn kiện của Đảng và nhà nước về giáo dục

 Nghiên cứu trên quan điểm so sánh giữa các SGK Việt Nam và một giáo trình của Mỹ, cụ thể như sau:

 Nghiên cứu tri thức khoa học thông qua việc phân tích một giáo trình Calculus ở bậc đại học của Mỹ Nghiên cứu này nhằm tìm hiểu các tổ chức toán học và các kiểu nhiệm vụ xoay quanh khái niệm đạo hàm được trình bày trong giáo trình

 Dựa vào kết quả từ việc phân tích tri thức khoa học trong giáo trình của

Mỹ sẽ làm cơ sở tham chiếu cho việc phân tích thể chế dạy học toán ở trường phổ thông Việt Nam liên quan đến khái niệm đạo hàm

 Phân tích, tổng hợp phương pháp dạy học môn toán và các tài liệu toán học khác có liên quan đến đề tài: sách, báo, luận văn,…

 Chuẩn bị giáo án và thực hiện dạy một tiết với biện pháp đã đề ra

 Đánh giá kết quả của tiết dạy thực nghiệm

Quá trình này nhằm thu thập dữ liệu để phân tích, làm cơ sở cho những kết luận về giả thuyết đặt ra, đồng thời cũng đánh giá được mức độ hiệu quả việc dạy học khái niệm đạo hàm ở trường THPT theo phương án đã đề xuất

6.4 Phương pháp thống kê toán học:

Phân tích định tính, định lượng từ đó rút ra kết luận liên quan đến các nội dung được phân tích

Những phương pháp nghiên cứu nêu trên không phải được sử dụng một cách riêng lẻ mà chúng tôi vận dụng, kết hợp xuyên suốt quá trình làm luận văn

7 Đóng góp chính của luận văn

 Về lý luận:

 Làm rõ ý nghĩa của khái niệm đạo hàm

 Hệ thống các kiểu nhiệm vụ xoay quanh khái niệm đạo hàm được trình bày trong sách giáo khoa

giảng dạy nội dung kiến thức này tốt hơn Bên cạnh đó luận văn có thể dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm toán và làm tài liệu tham khảo cho giáo viên dạy toán ở trường Trung học phổ thông

8 Cấu trúc chính của luận văn

Ngoài phần mở đầu, phần kết luận và tài liệu tham khảo luận văn gồm có 3 chương cụ thể như sau:

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

1.1 Lý thuyết tình huống

1.2 Lý thuyết nhân học trong Didactic Toán

1.3 Hợp thức hóa nội tại

Chương 3 NGHIÊN CỨU MỘT GIÁO ÁN DẠY HỌC

3.1 Giới thiệu giáo án

3.2 Phân tích tiên nghiệm giáo án

3.3 Phân tích hậu nghiệm giáo án

3.4 Kết luận chương 3

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Mục đích của chương:

Chương này giới thiệu lý thuyết tình huống của Brousseau, lý thuyết nhân chủng học của Chevallard, tổ chức didactic liên quan đến tri thức đạo hàm

1.1 Lý thuyết tình huống

Lý thuyết tình huống didactic được Guy Brousseau (Pháp) phát triển từ năm

1970 đến 1990 Lý thuyết này đã phân tích sâu sắc mối quan hệ giữa thầy giáo, học sinh, tri thức và môi trường dạy học Lý thuyết có những đóng góp lớn cho ngành giáo dục toán học bởi việc đưa ra các khái niệm như: Tình huống ngoài dạy học, tình huống lí tưởng, hợp đồng didactic,… Chúng trở thành công cụ đắc lực cho việc nghiên cứu các vấn đề liên quan đến giáo dục toán học

Trường phái Didactic Toán được hình thành từ Pháp xem trọng các yếu tố: Thầy giáo, Học sinh, Tri thức và Môi trường được biểu diễn qua sơ đồ sau:

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ hệ thống dạy học [8]

Tuy nhiên, Didactic Toán đặc biệt quan tâm đến việc xây dựng tri thức toán học, đến những điều kiện của việc học tập các kiến thức trong môn Toán Tri thức luôn là yếu tố đầu tiên cần nghiên cứu: không có tình huống dạy học một khái niệm, một định lí chung chung, mà là dạy khái niệm gì, tính chất nào

Môi trường

Tri thức

1.1.1 Tình huống ngoài dạy học

Tình huống ngoài dạy học là tình huống mà chủ thể tự học bằng cách thích nghi với môi trường gây ra khó khăn, mâu thuẫn và mất cân bằng, nhưng môi trường đó không được tổ chức nhằm một dụng ý dạy học (tình huống một đứa trẻ tập đi xe đạp)

1.1.2 Tình huống lí tưởng

Tình huống lí tưởng là tình huống mà GV đề xuất (có mục tiêu dạy học) nhưng đối với HS, nó lại là tình huống ngoài dạy học Cụ thể, GV chọn các vấn đề giải quyết và đặt HS vào tình huống sao cho họ thực sự có nhu cầu, hứng thú giải quyết vấn đề và tự nguyện nhận lấy trách nhiệm giải bài toán được đặt ra như đòi hỏi của môi trường chứ không phải do ý thích hay ép buộc của GV Tuy nhiên, HS cũng phải cảm nhận được rằng họ có thể có khả năng giải được bài toán nhờ vào logic nội tại của tình huống chứ không cần đến sự giúp đỡ và hướng dẫn của GV Những điều kiện cần của một tình huống lí tưởng:

(i) HS có thể huy động các kiến thức mà mình đã biết trước đó để dự kiến một câu trả lời hay thiết lập một chiến lược giải (quy trình cơ sở) Nhưng đó không phải là cái mà GV muốn dạy Nếu câu trả lời đã được biết thì đây không còn là tình huống học tập nữa

(ii) Quy trình cơ sở này phải nhanh chóng tỏ ra khiếm khuyết hoặc không hiệu quả Điều này làm cho HS phân vân trong các lựa chọn, từ đó HS phải tiến hành

những điều tiết, những sửa đổi trong hệ thống kiến thức của mình để tìm kiếm chiến lược tối ưu

(iii) Kiến thức nhắm đến (kiến thức cần lĩnh hội) cho phép chuyển từ quy trình

cơ sở đến chiến lược tối ưu

(iv) Tình huống phải có khả năng lôi cuốn HS chứ không phải theo ý muốn của thầy giáo

1.1.3 Tình huống dạy học

Tình huống dạy học là tình huống được tổ chức có mục đích dạy học trong

đó vai trò của người GV là rất quan trọng (tường minh) nhằm giúp HS chiếm lĩnh một tri thức cần dạy

Đôi khi HS không thể giải quyết ngay vấn đề trong tình huống lí tưởng Khi

đó cần tới sự tác động, giúp đỡ của GV, điều này dẫn đến một tình huống dạy học

Vì vậy, có thể nói tình huống dạy học có thể (hoặc không) được xem là tình huống

có thể trong một tình huống dạy học đều là biến dạy học.[8, tr 221]

Trong các biến như vậy, G Brousseau gọi là biến dạy học là những biến làm thay đổi đặc trưng của những chiến lược giải hay câu hỏi của HS và GV có thể thực hiện việc lựa chọn các giá trị của biến

Việc vận dụng khái niệm biến dạy học có thể giúp GV điều khiển tình huống dạy học để đạt được mục tiêu của bài dạy

Việc xác định các biến dạy học có thể giúp GV điều khiển HS học tập trong tình huống Học tập là một sự chỉnh lý kiến thức do bản thân người học thực hiện, còn người dạy chỉ gợi ra sự chỉnh lý đó bằng cách lựa chọn các giá trị của những biến dạy học [8, tr 222]

1.1.5 Hợp đồng dạy học

Hợp đồng dạy học là một sự mô hình hóa các quyền lợi và nghĩa vụ ngầm ẩn của GV và HS đối với các đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy tính đến điều

mà GV chờ đợi ở HS và điều mà HS chờ đợi ở GV về một nội dung tri thức xác định

Brousseau (1980) [10, tr 42] có viết: Học sinh có khuynh hướng làm rõ bất kỳ thông tin hay những điều còn hạn chế bằng cách sử dụng những điều mà thầy giáo, có thể cố ý hay không cố ý, thể hiện trong hoạt động của ông ta Chúng tôi cho rằng đây là thói quen phổ biến nhất trong dạy học, và chúng tôi định nghĩa hợp đồng didactic như sự ứng xử riêng biệt mà học sinh mong đợi ở thầy giáo và thầy giáo cũng mong đợi ở học sinh

Hợp đồng didactic đưa ra những quy tắc trong suốt quá trình học tập; thực sự

là nó gồm toàn bộ những mong đợi và ứng xử của học sinh và thầy giáo hướng về kiến thức Nó ngầm ẩn đưa ra những điều mà học sinh và thầy giáo phải làm, vai trò

và trách nhiệm của họ với nhau

Hợp đồng dạy học là tập hợp các quy tắc xác định, thường là ngầm ẩn, có thể phân nhỏ một cách rõ ràng thành những điều khoản mà mỗi bên (GV và HS) có trách nhiệm thực hiện nghĩa vụ của bên này đối với bên kia.[18, tr 339]

1.2 Lý thuyết nhân học trong Didactic Toán

Thuyết nhân học được Chevallard đề xuất năm 1989 và nhanh chóng trở thành một công cụ hiệu quả của Didactic Toán Lý thuyết này đã đưa ra những khái niệm cho phép mô hình hóa quá trình xây dựng một tri thức và mô hình hóa kiến thức của một cá nhân về tri thức đó Tư tưởng tổng quát của lý thuyết là xem một đối tượng tri thức như một sinh vật sống; nó cũng sẽ trải qua những giai đoạn: nảy sinh, tồn tại, tiến triển, mất đi và luôn có những mối liên hệ ràng buộc với các đối tượng khác

Thể chế là một tập hợp các cá thể trong đó có những quy tắc áp đặt mà mọi thành viên đều phải tuân theo Một thể chế được gọi là thể chế dạy học nếu tồn tại ít nhất hai vị trí chủ thể (vị trí người dạy, vị trí người học) và một ý định dạy học Theo Chevallard (1898), một tri thức không thể tồn tại trong một “xã hội rỗng”, mọi tri thức đều là tri thức của một thể chế và để có thể tồn tại được trong thể chế nó phải tuân theo một số ràng buộc nào đó Tuy nhiên, một đối tượng tri thức có thể sống trong những thể chế khác nhau:

Một tri thức không tồn tại “lơ lửng” trong một khoảng rỗng : mỗi tri thức đều xuất hiện ở một thời điểm nhất định, trong một xã hội nhất định, như là được cắm sâu vào một hoặc nhiều thể chế.[18, tr 299]

1.2.2 Sự chuyển hóa sư phạm

Chevallard chấp nhận tiên đề về sự tồn tại của các thể chế chuyển đổi cho

phép một tri thức chuyển từ thể chế này sang thể chế khác Khi thể chế đích là thể chế dạy học, sự chuyển đổi tri thức sẽ được gọi là chuyển hóa sư phạm Quá trình chuyển hóa gồm ba mắc xích cơ bản (sơ đồ 1.3)

Sơ đồ 1.3 Sự chuyển hóa sư phạm giữa các cấp độ tri thức [1]

 Mắt xích thứ nhất: hình thành tri thức bác học

Sự ra đời của một tri thức bác học thuộc mắc xích đầu tiên Nó là kết quả của những hoạt động khoa học gắn liền với lịch sử cá nhân của nhà nghiên cứu Để giải quyết một vấn đề toán học nào đó, các nhà toán học tìm ra những phương pháp, những kiến thức mới Sau đó, họ chọn ra những kiến thức đủ mới, đủ hay, có thể thông báo cho cộng đồng khoa học Quá trình khám phá ra một tri thức có thể khá dài, khá phức tạp, nên để trình bày nó, các nhà toán học phải diễn đạt nó ở dạng khái quát nhất có thể được, theo những quy tắc thông dụng đang lưu hành trong cộng đồng khoa học Sự biến đổi tri thức như vậy là một phần rất quan trọng của hoạt động toán học

Tri thức bác học

(Thể chế sản

sinh)

Tri thức cần dạy (Thể chế chuyển đổi)

Tri thức được dạy (Thể chế dạy học)

- Trước hết nhà nghiên cứu phải xóa đi thời kì khai thủy của nghiên cứu: những suy nghĩ vô ích, những sai lầm, những con đường vòng lắt léo, rất dài, thậm chí dẫn đến ngõ cụt Nhà nghiên cứu cũng bỏ đi tất cả những gì liên quan đến động cơ cá nhân hay nền tảng hệ tư tưởng của khoa học theo nhận thức của mình Chúng tôi dùng từ phi cá nhân hóa để chỉ tập hợp những gạt bỏ này

- Nhà nghiên cứu cũng xóa đi lich sử trước đó đã dẫn mình đến nghiên cứu này (những mò mẫm, những con đường sai lầm), có khi còn tách nó ra khỏi bài toán đặc biệt mà lúc đầu mình muốn nghiên cứu và tìm một bối cảnh tổng quát sao cho trong đó kết quả vẫn đúng Chúng tôi gọi việc làm này là phi hoàn cảnh hóa (Arsac 1989).[18, tr 301 – 303]

Hệ quả tích cực của hoạt động biến đổi này là làm cho tri thức trở thành tri thức chung, có thể dễ dang sử dụng và kiểm tra bởi bất kỳ ai chứ không chỉ bởi các thành viên trong cộng đồng khoa học Tuy nhiên hoạt động đó lại xóa đi lịch sử tìm tòi, khám phá của nhà nghiên cứu, che dấu bài toán ban đầu là nguồn gốc nảy sinh tri thức, làm cho phát minh trở thành bí ẩn, đặc biệt là đối với thế hệ đời sau

 Mắt xích thứ hai: hình thành tri thức cần dạy

Để tri thức có thể dạy được cho một bộ phần công chúng, tri thức này lại tiếp tục biến đổi để phù hợp với môi trường và hệ thống dạy học Các tri thức này được

mô tả chính thức trong chương trình hoặc thể hiện trong sách giáo khoa

Các nhà biên soạn sách giáo khoa phải trình bày lại những tri thức được chọn

để có thể dạy được cho một bộ phận công chúng xác định, phù hợp với thể chế dạy học, đối tượng dạy học Để tri thức được sắp xếp theo một trình tự mà người học có thể lĩnh hội được, trong một số trường hợp tác giả phải viết lại các định nghĩa, các tính chất, biến đổi các phép chứng minh, v.v Quá trình này có thể tạo ra một số đối tượng mới Hệ quả là xuất hiện một sự chênh lệch khá lớn giữa tri thức bác học với tri thức quy định trong chương trình và thể hiện trong sách giáo khoa

Bên cạnh đó, để cho một tri thức trở thành một đối tượng dạy học thì điều cần thiết là tri thức đó phải chịu một số ràng buộc nhất định

- Tính đơn nhất của tri thức (nghĩa là khả năng vạch ranh giới những tri thức

 Mắt xích thứ ba: hình thành tri thức được dạy

Khi tri thức cần dạy đã được xác định, người GV lại phải dựa vào trình độ từng đối tượng HS, cơ sở vật chất, phương tiện giảng dạy và phương pháp sư phạm của mình, GV sẽ chuyển tải những hiểu biết của họ về tri thức đó đến HS sao cho

HS có thể hiểu được Cách chuyển tải này đương nhiên cũng phụ thuộc vào quan niệm, vào biểu tượng mà GV có về tri thức Và như vậy chuyển hóa sư phạm tiếp tục xảy ra trong hệ thống dạy-học

Thầy giáo nói chung không dạy nguyên dạng tri thức khoa học hay tri thức chương trình mà phải chuyển hóa tri thức chương trình thành tri thức dạy học Nắm vững tri thức khoa học là một điều kiện cần nhưng chưa đủ để đảm bảo

kết quả dạy học.[8, tr 225]

Như thế, để có thể trở thành tri thức dạy học, tri thức bác học phải chịu một quá trình biến đổi theo những ràng buộc của thể chế mà nó đến để sống trong đó Quá trình biến đổi này nhiều khi tạo ra một khoảng cách rất lớn giữa tri thức như nó vốn tồn tại trong cộng đồng khoa học với tri thức trình bày trong sách giáo khoa

1.2.3 Quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân với một đối tượng tri thức

Vậy tri thức tồn tại ra sao trong thể chế ? Khái niệm R(I,O) của thể chế I đối với tri thức O được Chevallard đưa vào để mô hình hóa các yếu tố trả lời cho câu hỏi này Theo Chevallard, quan hệ R(I,O) là quan hệ giữa thể chế I và tri thức O cho biết O xuất hiện ở đâu, như thế nào, tồn tại ra sao, có vai trò gì, có mối quan hệ nào với những đối tượng khác của thể chế I,… Tương tự như vậy, O tồn tại đối với cá nhân X nếu X biết về O Quan hệ cá nhân của X đối với tri thức O được xem là tập hợp những tác động qua lại mà X có với O (thao tác O, sử dụng O, nói về O, nghĩ về O,…)

Khi X thâm nhập vào một thể chế dạy học I, quan hệ R(X, O) sẽ được thiết lập nếu nó chưa tồn tại hoặc được điều chỉnh, bổ sung nếu nó đã tồn tại Theo Chevallard (1992) có viết:

Hệ thống các mối quan hệ cá nhân của X tiến triển: những đối tượng trước đây không tồn tại đối với X bây giờ bắt đầu tồn tại, một số khác ngừng tồn tại, đối với những đối tượng khác thì quan hệ cá nhân của X thay đổi.[18, tr 317] Trong cách hiểu này, việc học tập của HS đối với tri thức O chính là quá trình thiết lập hay điều chỉnh mối quan hệ cá nhân đối với O, còn việc dạy của GV thì

nhắm tới làm thay đổi quan hệ cá nhân của HS đối với O Hiển nhiên, trong trường hợp I là thể chế dạy học thì quan hệ R(I, O) luôn để lại dấu ấn trên R(X, O) dù X ở

vị trí là người dạy hay người học Vì thế mà trong thể chế này việc nghiên cứu R(X, O) phải gắn liền với việc làm rõ quan hệ R(I, O)

1.2.4 Tổ chức toán học

Phân tích mối quan hệ thể chế ta cần đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu như: Tri thức bác học gắn liền với kiểu nhiệm vụ nào? Được sinh ra nhằm giải quyết vấn

đề gì? gắn liền với nó có nhiệm vụ nào? Kĩ thuật nào giáo trình đã trình bày?

Ta dựa vào các tổ chức toán học liên quan đến đối tượng tri thức cần nghiên cứu để trả lời các câu hỏi trên

Điều còn thiếu là thiết lập một phương pháp phân tích thể chế, cho phép mô tả

và nghiên cứu các điều kiện để thực thi Những phát triển mới đây theo hướng

lý thuyết hóa cho phép giải quyết khiếm khuyết này Khái niệm chìa khóa là khái niệm tổ chức praxéologie hay ngắn gọn là praxéologie (Bosch và Chevallard (1999)) [18, tr 319]

Một praxéologie hay tổ chức toán học là một tổ chức tri thức được Chevallard đưa vào thuyết nhân học gồm một bộ bốn thành phần [T,,,] Kiểu nhiệm vụ T

được giải quyết nhờ kĩ thuật  - được giải thích hoặc được tạo ra bởi công nghệ  Đến lượt mình,  được hợp thức hóa bởi lý thuyết  Lý thuyết  này lại được giải thích bởi lý thuyết khác Quá trình giải thích này có thể còn tiếp tục với và sau đó nữa, nhưng ít nhất thì với  ,  ,  ta đã giải quyết được kiểu nhiệm vụ T

Ví dụ kiểu nhiệm vụ T: Tính đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x0 bằng định nghĩa Khi đó kĩ thuật  như sau ;

Áp dụng quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa

 Bước 1 Cho x0 số gia x và tính y theo công thức

 Bước 3 Tính giới hạn lim

x

y x

ta thường nói là kĩ năng, và khối  , diễn tả cái mà ta thường gọi là kiến thức

Tổ chức toán học được minh họa qua sơ đồ sau:

Khái niệm tổ chức toán học mang lại một công cụ để xác định các yếu tố của quan hệ của thể chế I với một đối tượng tri thức O: Thông qua phân tích chương trình và sách giáo khoa, sách giáo viên, các văn bản chính thức được ban hành về việc dạy học tri thức O, mà nhà nghiên cứu có thể trả lời hàng loạt câu hỏi: Liên quan đến O trong I có những tổ chức toán học nào? Chúng được hình thành từ kiểu nhiệm vụ nào? Những kĩ thuật nào được xây dựng? Kĩ thuật nào được ưu tiên sử dụng? Trong các tổ chức toán học đó O xuất hiện với tư cách là kĩ thuật để giải quyết kiểu nhiệm vụ nào? Hay nó cho phép tạo ra kĩ thuật nào? Chính việc làm rõ các tổ chức toán học có liên quan đến O sẽ cho phép nhà nghiên cứu vạch rõ mối quan hệ R(I, O) của thể chế I đối với tri thức O

Sơ đồ 1.4 Sơ đồ diễn giải praxéologie trong thuyết nhân học [13]

ở B1)

B3 Công nghệ

(nêu ra các tri thức làm cơ sở;

lý giải cho kỹ thuật giải ở B2)

B4 Lý thuyết

(hợp thức hóa tri thức ở B3; chỉ rõ

lý thuyết làm cơ

sở cho tri thức ở B3)

1.3 Hợp thức hóa nội tại

Giống như Lý luận và Phương pháp DH, Didactic là một khoa học thực nghiệm Cụ thể, những giả thuyết mà nhà nghiên cứu đặt ra sẽ được kiểm chứng nhờ vào thực nghiệm

Cách thức hợp thức hóa một giả thuyết trong Didactic Toán là hợp thức hóa nội tại Trong hợp thức hóa nội tại, người ta chỉ triển khai thực nghiệm trên nhóm đối tượng mẫu và do đó không có sự so sánh kết quả với nhóm đối chứng Mấu chốt của hợp thức nội tại là thực hiện sự đối chứng giữa phân tích tiên nghiệm và phân tích hậu nghiệm

 Phân tích tiên nghiệm

Phân tích tiên nghiệm là thiết lập một mô hình dự kiến về thực tế (tình huống

Sa gắn với đối tượng tri thức đang nghiên cứu) mà mục tiêu là dự kiến được những hiện tượng xảy ra, làm rõ nghĩa hay lí do của cái có thể xảy ra khi triển khai tình huống Sa vào thực tế của hệ thống dạy học

Phân tích tiên nghiệm không phụ thuộc vào thời điểm thực hiện phân tích đó

Vì thế, tiên nghiệm không có nghĩa là lần đầu tiên nếu xét về mặt thời gian nên không nhất thiết là thực hiện trước, còn về phương diện lý thuyết thì đó là sự phân tích độc lập với những sự kiện thực nghiệm

Khi phân tích tiên nghiệm, nhà nghiên cứu cần lưu ý :

- Cần tìm ra kiến thức chỉ đạo việc thực hiện các chiến lược khác nhau mà người ta có thể dự kiến được

- Đánh giá những lợi ích cũng như hạn chế của những chiến lược khác nhau đó

- Xác định được chiến lược tối ưu và kiến thức tương ứng với chiến lược ấy.[18, tr 219]

Trong phân tích tiên nghiệm, các chủ thể của hệ thống dạy học (HS và GV) được xem như những đối tượng giả định Bên cạnh đó, qua phân tích tiên nghiệm nhà nghiên cứu có thể điều chỉnh các biến để tìm hiểu kiến thức của HS hoặc để nhận được ứng xử mong muốn xuất hiện ở họ

 Phân tích hậu nghiệm

Phân tích hậu nghiệm là dựng lại tình huống thực tế Sp xảy ra thực sự khi triển khai thực nghiệm tình huống Sa (đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm), đồng thời đánh giá và so sánh những gì quan sát được với những gì đã dự kiến trong phân tích tiên nghiệm Nghĩa là đối chứng giữa tình huống Sa với tình huống thực Sp xảy

ra trong thực tế thực nghiệm

Đặc biệt phân tích hậu nghiệm phải vạch ra những lựa chọn mà HS đã thực hiện trong tình huống Sp Những lựa chọn này sẽ được giải thích như là kiến thức thực thụ của HS và nghĩa của những câu trả lời của họ Chính điều đó cho phép hợp thức (hay không) giả thuyết mà nghiên cứu đặt ra

1.4 Kết luận chương 1

Những công cụ lý thuyết được trình bày trong Chương 1 không chỉ cho phép

mô tả các hoạt động dạy học mà còn có khả năng phân tích, tìm hiểu các mối quan

hệ của cá nhân X, thể chế I đối với một đối tượng tri thức O Tri thức bác học đã phải chịu một quá trình biến đổi theo những ràng buộc của thể chế mà nó đến để sống trong đó Quá trình biến đổi này nhiều khi tạo ra một khoảng cách rất lớn giữa tri thức như nó vốn tồn tại trong cộng đồng khoa học với tri thức trình bày trong chương trình, sách giáo khoa Từ những phân tích đó giúp chúng tôi xây dựng những mô hình, những tình huống dạy học có thể rút ngắn khoảng cách giữa tri thức bác học và tri thức được dạy nhằm giúp HS hiểu rõ được nghĩa của tri thức đang tiếp thu

CHƯƠNG 2 MỘT PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỀ VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM Ở BẬC TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Mục tiêu của chương:

- Làm rõ cách tiếp cận và những tổ chức toán học gắn với khái niệm đạo hàm được đề nghị trong các SGK hiện hành của Việt Nam

- Xác định các ý nghĩa của đạo hàm được đề cập trong các SGK hiện hành của Việt Nam

Phương pháp nghiên cứu:

- Để đạt được các mục tiêu nghiên cứu trước tiên chúng tôi sẽ chọn phân tích một giáo trình Mỹ để xác định những nghĩa của khái niệm đạo hàm, cách tiếp cận

và kiểu nhiệm vụ xoay quanh khái niệm này

- Từ những gì xác định ở giáo trình Mỹ (bậc học cao hơn phổ thông), chúng tôi sẽ phân tích chương trình và các SGK Việt Nam Và đối chiếu với các kết quả đã xác định trong giáo trình Mỹ

2.1 Phân tích một giáo trình Mỹ

Tên giáo trình: “Calculus early transcendentals” (tái bản lần thứ 7), tác giả James Stewart, Đại học McMaster và đại học Toronto (Mỹ) Đây là một trong những giáo trình Calculus dùng cho sinh viên năm thứ nhất bậc Đại học ở Mỹ, giáo trình này cũng đang được dùng ở một số trường Đại học lớn của Việt Nam (Đại học FPT, Đại học Hoa sen, )

Trong phiên bản này, giống như sáu phiên bản đầu tiên, tác giả đặt mục tiêu để truyền đạt cho học sinh ý thức về các lợi ích của việc học Giải tích (lưu ý: từ

“Calculus” được dùng cho các SGK và Giáo trình ở Mỹ được chúng tôi tạm dịch là

“Giải tích” để phù hợp hơn với thuật ngữ đã có ở Việt Nam) Trong phiên bản thứ bảy này, tác giả nhấn mạnh trọng tâm là đạt được sự hiểu biết về khái niệm nhưng vẫn giữ được những gì tốt nhất của việc dạy học giải tích truyền thống Cuốn sách chứa đựng các yếu tố của cải cách, nhưng trong bối cảnh của một chương trình giảng dạy truyền thống

Bên cạnh đó giáo trình cũng trình bày quan điểm của mình về dạy học bằng

mô hình hóa Theo đó, toán học rất hữu ích vì có thể giúp chúng ta đưa ra một quy trình giải quyết một vấn đề nảy sinh trong thế giới thực:

Mô hình toán học là một mô tả toán học (với phương tiện là một hàm số hoặc một phương trình) của một hiện tượng trong thế giới thực như dân số, nhu cầu

về một sản phẩm, tốc độ rơi của một vật thể, nồng độ của một chất trong một phản ứng hóa học, tuổi thọ kì vọng của con người hoặc chi phí khi giảm giá trong kinh doanh Mục đích của mô hình là để hiểu hiện tượng và có thể đưa ra những dự đoán về những gì sẽ diễn ra trong tương lai [19, tr 23]

Sơ đồ 2.1 Tiến trình mô hình hóa [19]

Xuất phát từ những vấn đề thực tiễn với những hiểu biết chúng ta xây dựng một mô hình toán học hay đặc biệt là một phương trình có liên quan giữa các biến độc lập và phụ thuộc Và đơn giản hóa các giả định đủ để có thể dễ xử lý về mặt toán học Ở bước thứ nhất tác giả nhấn mạnh

Chúng ta sử dụng kiến thức của mình trong tình huống vật lý và kĩ năng toán học của mình để tìm các phương trình chứa các biến liên quan Trong trường hợp không có định luật vật lý dẫn lối, chúng ta có thể cần phải thu thập dữ liệu (hoặc từ một thư viện hoặc từ Internet hoặc bằng cách thực hiện các thực nghiệm của riêng mình), trình bày dữ liệu theo bảng, kiểm tra dữ liệu để nhận

ra mô hình thích hợp Từ biểu diễn số của hàm số này chúng ta mong muốn có thể có được một biểu diễn đồ thị bằng cách vẽ các dữ liệu Đồ thị cũng có thể

ám chỉ một công thức đại số phù hợp trong một số trường hợp.[19, tr 23]Bước thứ hai của tiến trình mô hình hóa, theo tác giả:

Giai đoạn thứ hai là áp dụng kiến thức toán học mà chúng ta biết (chẳng hạn như các phép tính sẽ được trình bày trong suốt cuốn sách này) cho mô hình toán học mà chúng ta đã xây dựng để được các kết luận toán học [19, tr 23] Giai đoạn thứ ba, bằng sự hiểu biết ta đưa ra những lời giải thích hoặc đưa ra

dự đoán

Sau đó, trong giai đoạn thứ ba, chúng ta có những kết luận toán học và dùng chúng như những thông tin ban đầu về hiện tượng trong thế giới thực, từ đó cung cấp lời giải thích hoặc đưa ra dự đoán Bước cuối cùng là kiểm tra những

dự đoán với các dữ liệu thực tế mới Nếu những dự đoán đó không phù hợp với thực tế, chúng ta cần phải cải tiến mô hình hoặc xây dựng một mô hình mới và bắt đầu chu kì một lần nữa [19, tr 23]

Như vậy ở bước cuối cùng này tác giả đưa ra nhận xét về sự không hoàn hảo

và không duy nhất của mô hình toán học khi áp dụng vào thực tế

2.1.1 Bài toán tiếp tuyến

Để tiếp cận định nghĩa đạo hàm giáo trình bắt đầu bằng bài toán xác định tiếp tuyến của một đường cong có phương trình y  f x  

Nếu một đường cong (C) có phương trình y f x( ) và chúng ta muốn tìm đường tiếp tuyến của (C) tại điểm P a f a ,    thì chúng ta xem xét một điểm

 

Q x f x gần đó, xa, và tính toán hệ số góc của đường cát tuyến PQ:

 ( )

Hình 2.1 Minh họa hệ số góc đường cát tuyến PQ [19]

Sau đó, ta cho Q di chuyển dọc theo đường cong (C) dần đến P khi x dần về a Nếu mPQdần về một số m nào đó thì ta xác định tiếp tuyến t là đường thẳng qua P với hệ số góc là m.[19, tr 143]

Với ý tưởng như thế giáo trình đã đưa ra định nghĩa hệ số góc của tiếp tuyến thông qua khái niệm giới hạn [19, tr 143]

[1] Định nghĩa: Đường tiếp tuyến với đường cong y f x  tại điểm P a f a ,    là đường thẳng đi qua điểm P với hệ số góc là

   

lim

x a

f x f a m

Giáo trình đưa ra ví dụ thứ nhất về việc xác định phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 1: Tìm phương trình tiếp tuyến với parabol yx2 tại điểm P 1,1  

Tiếp theo giáo trình đã đưa ra những hình ảnh để nói về ý tưởng xấp xỉ affin

Nó thể hiện ý tưởng: Khi xem xét trong lân cận điểm (1,1) về phương diện đồ thị bằng cách phóng to điểm đó lên bằng phần mềm ta không còn phân biệt được đường cong và tiếp tuyến tại điểm (1,1) Điều này gợi ra ý tưởng rằng: tiếp tuyến có thể dùng thay thế đường cong trong một lân cận của tiếp điểm [19, tr 144]

Đôi khi chúng ta đề cập đến hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong tại một điểm như là độ dốc của đường cong tại điểm đó Ý tưởng là nếu chúng ta phóng to đủ lớn về phía tiếp điểm, đường cong nhìn gần giống như một đường thẳng Hình bên dưới minh họa phương pháp này cho các đường cong yx2

trong Ví dụ 1 chúng ta càng phóng to, thì parabol càng trông giống như một đường thẳng Nói cách khác, đường cong trở nên gần như không thể phân biệt với đường tiếp tuyến của nó

Hình 2.2 Phóng to về phía điểm (1,1) của parabol y  x2 [19]

Tiếp theo giáo trình trình bày công thức xác định hệ số góc tiếp tuyến theo một hình thức khác:

Có một cách biểu diễn hệ số góc của đường tiếp tuyến đôi khi

dễ dàng hơn trong việc sử dụng Nếu h x a khi đó x a h,

và h được hiểu như là số gia của biến số x Khi x dần về a thì h sẽ

dần về 0 do đó biểu thức biểu diễn cho hệ số góc của đường tiếp

tuyến trong định nghĩa [1] trở thành [19, tr 144]

lim0

f a h f a m

h h

 





Hình 2.3 Minh họa cho trường hợp h0, Q ở bên phải của P ( Nếu h0 thì Q sẽ

ở bên trái của P ).[20]

Giáo trình đưa ra ví dụ thứ hai về việc xác định phương trình tiếp tuyến

Ví dụ 2: Tìm phương trình đường tiếp tuyến với hyperbol 3

y x

 tại điểm (3,1) Phương pháp

Hay đơn giản hóa là x 3y  6 0.[19, tr 144 - 145]

Hình 2.4 Minh họa đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3

y x

 [19]

Nhận xét:

 Thuật ngữ đạo hàm chưa xuất hiện ở đây, giáo trình tiếp cận khái niệm với tư cách là một công cụ ngầm ẩn để giải quyết bài toán xác định tiếp tuyến Các ví dụ xác định tiếp tuyến đều đi kèm với biểu diễn đồ thị

 Về phương diện đồ thị bằng cách phóng to đường cong tại một điểm lên với phần mềm ta không còn phân biệt được đường cong và tiếp tuyến tại điểm đó Điều này thể hiện rằng tiếp tuyến có thể dùng thay thế đường cong trong một lân cận của

tiếp điểm Đây chính là ý tưởng để định nghĩa vi phân

2.1.2 Bài toán vận tốc tức thời

Một cách tiếp cận định nghĩa đạo hàm nữa đó là từ bài toán tìm vận tốc tức thời của một đối tượng [19, tr 145]

Giả sử một đối tượng di chuyển dọc theo một đường thẳng theo một phương trình chuyển động s f t , trong đó s là quãng đường đi được của các đối

tượng tại thời điểm t Hàm f mô tả các chuyển động được gọi là hàm số dương

(the position function) của đối tượng Trong khoảng thời gian từ ta đến

t a h sự thay đổi vị trí là f a h    f a Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian đó là:

Vận tốc trung bình = độ chênh lệch khoảng cách / thời gian f a h  f a

h

Hình 2.5 Minh họa sự chênh lệch khoảng cách tại t = a và t = a+h [19]

Với ý tưởng như thế giáo trình đã đưa ra định nghĩa vận tốc của một đối tượng tại thời điểm t = a [19, tr 145]

tại một thời điểm t = a nào đó

Giáo trình đưa ra ví dụ thứ nhất về việc xác định vận tốc của một vật thể (quả bóng rơi tự do)

Ví dụ 3: Giả sử rằng một quả bóng bị rơi từ tầng quan sát của tháp CN tại

Toronto, có độ cao 450m so với mặt đất

(a) Tính vận tốc của quả bóng sau 5 giây?

(b) Vận tốc của quả bóng khi chạm đất?

Phương pháp

Chúng ta sẽ cần phải tìm vận tốc cả khi t = 5 và khi bóng rơi xuống, vì vậy

để đạt hiệu quả ta bắt đầu bằng cách tìm vận tốc tại một thời điểm chung Sử dụng phương trình chuyển động s f t  t2

(b) Khoảng cách từ đài quan sát so với mặt đất là 450 m, quả bóng sẽ rơi xuống đất tại thời điểm t1 khi s t 1 450 , có nghĩa là t2 

4.9Vận tốc của bóng khi nó chạm mặt đất là

 

v t1 9.8t1 9.8 45094m s/

4.9 .[19, tr 145 – 146]

Tóm lại: Bài toán này đã cho ta thấy rằng ngoài ý nghĩa hình học là hệ số góc của

một đường tiếp tuyến, trong trường hợp f là hàm quãng đường theo biến thời gian, đạo hàm còn mang ý nghĩa là vận tốc tức thời của một đối tượng tại thời điểm t giây

nào đó Cho đến thời điểm này, thuật ngữ đạo hàm vẫn chưa xuất hiện

2.1.3 Định nghĩa đạo hàm

Giáo trình đã trình bày chính thức định nghĩa đạo hàm trang 146 Xuất phát từ việc tìm kiếm một hệ số góc của đường tiếp tuyến (phương trình 2) hoặc vận tốc của một đối tượng (phương trình 3) hay tính toán một tỷ lệ thay đổi trong các ngành khoa học hay kỹ thuật, chẳng hạn như tốc độ phản ứng hóa học hoặc chi phí cận biên trong kinh tế Ta thấy để giả quyết các vấn đề trên đều phải tính giới hạn có dạng tổng quát là    

lim0

f a h f a

 

 Và giới hạn này chính là đạo hàm của hàm

số y  f x   tại điểm a Từ đó tác giả đã đưa ra định nghĩa tổng quát của đạo hàm

[4] Đạo hàm của một hàm số f tại điểm a, kí hiệu là f’(a), là

nếu giới hạn này tồn tại

Nếu chúng ta viết x   a h thì ta có h   x a và h dần về 0 khi và chỉ khi x dần về a Vì vậy, một cách tương đương ta định nghĩa đạo hàm như ta tìm đường tiếp tuyến là:

Giáo trình đưa ra ví dụ thứ nhất về việc tìm đạo hàm của hàm số tại một điểm

và sử dụng kí hiệu f ' a như chúng ta đã quen thuộc

Ví dụ 4: Tìm đạo hàm của hàm số f x( )x2 8x9tại điểm a

Ví dụ 5 : Tìm phương trình tiếp tuyến của parabol 2

8 9

yx  x tại điểm 3, 6  Phương pháp

Từ ví dụ 4 ta đã biết đạo hàm của hàm số f x x2 x

Khi x2 tiến gần về x1 thì x dần về 0 Ta thấy rằng giới hạn trên chính là

hệ số góc của đường tiếp tuyến với đường cong y f x  tại P x f x 1 ,  1 [19,

tr 148]

[6] Tốc độ biến thiên    

f x f x y

Chúng ta thấy rằng giới hạn này như là f '   x1

Hình 2.7 Tốc độ biến thiên bằng hệ số góc của đường cát tuyến PQ [19]

Chúng ta biết rằng một trong những ứng dụng của đạo hàm f' a là như hệ số

góc của đường tiếp tuyến với đường cong y f x  khi x = a Bây giờ chúng

Nói cách khác, f' a là vận tốc của hạt tại thời điểm t = a Tốc độ của hạt là giá

trị tuyệt đối của vận tốc, có nghĩa là f' a

Sau khi trình bày định nghĩa tốc độ biến thiên của hàm số theo biến số tác giả trình bày một số trường hợp thực tế của ý nghĩa này

Ví dụ 6: Một nhà sản xuất các bu long có chiều rộng cố định Chi phí sản xuất

x mét cấu trúc này là C f x  đô la

(a) Ý nghĩa của đạo hàm f' x ? Đơn vị của nó là gì?

(b) Trên thực tế, khi nói f' 1000 9 điều này có ý nghĩa gì?

(c) Bạn nghĩa cái nào sẽ lớn hơn f ' 50 hay   f ' 500 ? Còn   f ' 5000 thì sao?  

Phương pháp

(a) Đạo hàm là tốc độ biến thiên của (C) đối với x; điều này có nghĩa là tỉ

lệ thay đổi của chi phí sản xuất đối với số lượng sản phẩm làm ra (Nhà kinh tế gọi tỷ lệ thay đổi này là chi phí cận biên)

Khi  x 1 nhỏ so với x = 1000, ta có thể xấp xỉ như sau:

Tuy nhiên khi mở rộng sản xuất thì quy mô lớn và kết quả có thể trở nên không như mong đợi và có thể phát sinh thêm chi phí làm thêm giờ Vì vậy, có thể chi phí cuối cùng sẽ tăng Vì vậy f ' 5000  f' 500  [19, tr 148 - 149] Trong ví dụ sau chúng tôi ước tính tốc độ thay đổi của nợ quốc gia đối với thời gian Dưới đây là hàm số được xác định không phải do một công thức nhưng theo một bảng giá trị

Ví dụ 7 Cho D(t) là số nợ của nước Mỹ theo t Bảng trong tạp chí cho các giá

trị xấp xỉ của hàm số này được đưa ra đánh giá cuối năm, trong hàng tỉ đô la, từ

1980 đến 2005 Giải thích và ước lượng giá trị của D' 1990  

2000

2005

5674.2 7932.7

Phương pháp

Đạo hàm D' 1990 nghĩa là tốc độ biến thiên của D với tham số t khi t =  

1990, đó là tỷ lệ của sự tăng trưởng của số nợ trong nước năm 1990

Từ bảng này ta thấy rằng D' 1990 nằm ở giữa   257.48 và 348.14 hàng tỉ đô

la trên năm [Ở đây ta đang giả sử rằng số nợ không dao động nhiều giữa năm

1980 và 2000.] Ta đánh giá tỉ lệ tăng lên của số nợ của nước Mỹ trong năm

1990 là trung bình của 2 số này, gọi là

D' 1990 303 tỉ đô la trên năm

Phương pháp khác có thể vẽ đồ thị hàm số nợ và đánh giá hệ số góc của tiếp tuyến khi t = 1990.[19, tr 149]

Ý nghĩa tốc độ biến thiên của giá trị hàm số y theo biến x có ý nghĩa quan trọng và tìm thấy những ứng dụng rộng rãi :

Trong ví dụ 6, 7 ta thấy đây là hai ví dụ đặc biệt của tốc độ biến

thiên: tốc độ di chuyển của một vật thể theo thời gian ; Chi phí cận

biên (marginal cost) là tốc độ biến thiên của chi phí sản xuất đối

với số lượng mặt hàng sản xuất; Tốc độ biến thiên của số nợ đối

với thời gian có tầm quan trọng trong kinh tế học Đây là ví dụ nhỏ