de thi hsg

[r]

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO

-ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG 3

NĂM HỌC 2009-2010 MƠN: TỐN

Thời gian:150 phút(Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: Giải phương trình sau a)

   x

x

b) 1

  

 x x

Câu 2:

a)Tìm tất cặp số nguyên dương x,y thoả mãn:

3

5

1         

 x x y y y

x

b)Tìm tất số dương x,y,z thoả mãn:

    

  

  

3

1 12

z y x

z y x

Câu 3: Mỗi cô gái nhóm 50 gái có tóc nâu hay tóc vàng mắt xanh hay mắt nâu.Nếu có 14 tóc nâu mắt xanh,31 gái tóc vàng 18 gái mắt nâu có gái tóc vàng mắt nâu

Câu 4: For a, b, c are positive numbers satisfying: a + b + c = Prove that:

2 2

3

2

3

2

3

    

 c a

c c b

b b a

a .

Câu 5: Qua đỉnh A hình vuông ABCD cạnh a vẽ đường thẳng cắt cạnh BC M cắt đường thẳng DC I.Chứng minh 2

1 1

a AI

AM  

Câu 6:

Một tam giác có số đo đường cao số ngun bán kính đường trịn nội tiếp 1.Chứng minh tam giác tam giác

PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO

TRƯỜNG THCS TAM ĐẢO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎIHƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2009-2010 MƠN TỐN

Câu Nội dung trình bày Điểm

1

a      

                      1 ; 1 1

1 2 2

2 x x x x x x x x x x x

 x1hoặc

2 1  x 0.75đ b

ĐK:x1;Đặt

       x v x u

Khi ta có:

                                 1 1 v u v u v u v u v u

Trở lại cách đặt ta được:

1/ 

     v u 1          x x x

2/ 

     v u 1          x x x

3/ 

      v u 10 2           x x x 0.25 0.25 0.25 a ĐK:x1;y5

+)Nếu x+1>y-5 => x+3>y-3;x+5>y-1.Khi VT>VP +)Nếu x+1<y-5 => x+3<y-3;x+5<y-1.Khi VT<VP Từ ta suy x+1=y-5 hay x-y=-6 (1)

Nghiệm nguyên tổng quát (1) có dạng t Z t y t x        ;

với điều kiện x1;y5,để nghiệm phương trình cho

nghiệm nguyên dương ta phải có t 1.Vậy nghiệm ngun dương

của phương trình cho có dạng ; ,

6  

b

Từ giả thiết ta suy

9

    

 x y z

z y

x (1)

Mặt khác ta có:

1

 

 x

x x

x ;

4

  y

y ; 4



 z

z

Do ta có

4

4

    

 x y z

z y

x (2)Do để (1) xảy ta phải

có:

4

4

    

 x y z

z y

x hay

    

    

       

  

6

4

4 4

z y x z z

y y

x x

0.25

0.25 0.25

0.25

3

Mỗi cô gái 50 cô gái phải thuộc nhóm sau: 1.tóc nâu mắt xanh

2.tóc nâu mắt nâu 3.tóc vàng mắt xanh 4.tóc vàng mắt nâu

Gọi x,y,z,t số gái thuộc nhóm 1,2,3,4.Khi ta có hệ

phương trình       

 

 

    

18 31 14

50

t y

t z

x t z y x

13



 t

1.5

4

We have:

2

2

2

2

2

3 b

a ab ab a b a

ab a b a

a BCS

  

   



Similarly we have.:

2 ;

2 2

3

2

3 a

c a c

c c

b c b

b

   

  Thus we have.:

2 2

2

2

3

2

3

        

c b a a c

c c b

b b a

a

Sign "=" occurs if and only if a = b = c =

0.5

Qua A vẽ đường thẳng vng góc với AM, đường thẳng cắt DC kéo dài K

Sử dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác AKI ta có:

2

1 1

AI AK

AD  

Mặt khác AKDAMB (cạnh góc vng,góc nhọn) suy AM

AK 

Do ta có 2 1

AI AM

a  

0.5 0.5 0.5 0.5

6

Gọi x,y,z đường cao tương ứng vứi cạnh a,b,c tam giác ABC.Ta có:SABC=1ax 1 1 

2 2by2cz2 a b c r  Thay r=1 ta

được ax=by=cz=a+b+c (*) Từ ax=a+b+c x a b c b c

a a

  

     Chứng minh tương tự ta

được y>2,z>2.Mặt khác từ:

ax

1 1 1

1 1

1 by cz a b c a b c a b c

a b c x y z x y z

a b c x y z a b c

    

 

      

 

 

    

 

Không tính tổng qt giả sử x y z.Khi đó

1 1

1 z

x y z z

      Mà z>2 nên z=3.Thay z=3 vào hệ thức

   

1 1 1

1 3

3 x y

xyz   xy      Vì x,y ngun nên ta có:

2 3

2 3

2

2 9

x x

y y

x x

y y

    

 

 

  

 

  

    

 

  

 

 

Trường hợp x=2;y=9 bị loại nên ta có x=y=z=3.Do a=b=c (theo *) Vậy tam giác ABC

0.25

0.25

0.25 0.25

0.25