Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.... Híng dÉn chÊm Néi dung..[r]
(1)TRƯỜNG THCS NGUYỄN BIỂU ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH DỰ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP Năm học : 2016-2017 : Thời gian 120’ Bài số 10 : Bài Cho biểu thức: 2√x−9 x +3 √ x+ −√ − A= x −5 √ x+6 √ x −2 − √ x a, Rút gọn biểu thức A b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Bài (2®) Tìm giá trị lớn biểu thức B= x + √ 1− x −2 x Bài Giải phương trình: √ x2 2 + √ x − 4=8 − x Câu : Tìm gía tri nhỏ ( min) biẻu thức Q : Q= x x x 12 x Bài Cho tam giác ABC cân A Gọi D, F và H là trung điểm AB, AC và BC, O là giao điểm các đường trung trực ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các ABC và ACD Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC I Chứng minh: Bµi GH HI a, AD DO b, ADG ~ DOE Từ đó suy OE CD Chứng minh tam giác mà độ dài các đường trung tuyến bé thì diện tích tam giác đó bé 0,67 (2) Híng dÉn chÊm Néi dung C© u §iÓm a, Điều kiện : x 0; x 4; x 9 A = = = = x x x 6 x x x 9 x x 3 x x 1 x x x x 1 x x x 2 x 1 x x x x 2x x x x x x 3 x x b, A ¿ 1+ * * * * * * x x 1 x 3 x x √x− √ x −3 √ x −3 √ x −3 √ x −3 √ x −3 √ x −3 x 3 x 1 x nguyên ⇒ √ x −3 √ x −3 = ⇒ x=16 = -1 ⇒ x=4 (loại) = ⇒ x=25 = -2 ⇒ x=1 =4 ⇒ x=49 nguyên ⇔ Ư(4) =- : Không có x Vậy x {1;16;25;49} + ĐK: 1- x- 2x2 ⇔ (x+1)(1-2x) ⇔ -1 x + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số không âm và (1- x- 2x2) Ta có: 1 x x 1.(1 x x ) 2 x 2x2 x 2x2 Hay x x x 2x2 x 2x2 2 1 1 x x x 0 x 0 B 1 x 1 Dấu xẩy Vậy giá trị lớn B là x = (3) ĐK: x2 + √ x − 4=8 − x (1) 2≤ x ≤ √2 x −4≥0 ⇔ (2) −2 √ 2≤ x ≤ −2 8−x ≥0 √ (1) ⇔ √ ( √ x − +2) x +4 √ x − x − 4+ √ x − 4+ =8 − x ⇔ =8 − x ⇔ =8 − x 4 √ x − 4+2 =8 − x ⇔ √ x − 4=14 −2 x ⇔ √ x − 4=6+ 2(4 − x 2) (*) ⇔ Đặt √ x2 − 4=t(t ≥0) (*) trở thành: t=6 −2 t ⇔ t 2+t −6=0 ⇔ (2t −3)(t+ 2)=0 25 t= ⇔ x − 4= ⇔ x 2= ⇔ x=± ⇔ (thoả mãn 2) 4 t=−2 (loại) Vậy phương trình có nghiệm là: x=± √ √ A E D F O G B H I GH HI AD DO a, GHI ~ ADO GH AD 2 DF HC 2 HI HI DO ; mà DE = b, =3 AG GH = GH AG AD HI DE DO Mặt khác góc DAG góc ODE Suy ADG ~ DOE C (4) Góc AGD góc DAO suy OE CD - Ký hiệu: + Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là ma, mb , mc và , hb , hc + Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c + Diện tích tam giác ABC là S - Ta có 2S < a.ha = b.hb = c.hc (1) có aha < ama < a (2) vì ma < Tương tự: bhb < b (3); chc < c (4) Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5) mà a < (mb + mc) < Tương tự b < , c < 2 3 (vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ 1) Vậy từ (5) suy S < 0,666 hay S < 0,67 (5)