Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích khối tứ diện SCMN.. CâuV.[r]
(1)(Đề gồm 01 tran ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐẠI HỌC NĂM: 2011 – 2012
Mơn TỐN - Khối A, Lần 03
Thời gian làm 180 phút, không kể thời gian giao đề PHẦN CHUNG (7,0 điểm)
CõuI (2,0 điểm)1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2) Biện luận theo m số nghiệm phơng trình : 2
1 m
x x
x
CâuII (2,0 điểm)
1. Giải phương trình: os2 sin 2x -1 2sin(2x- ) sinx+cosx
sin os
c x
x c x
2. Giải phương trình sau: (4x1) x 3 33x5 4x8
(x R )
CâuIII (1,0 điểm) Tính tích phân sau:
3
3
I dx
x
CâuIV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi với AC4;BD2, SA SC ;
SB SD diện tích tam giác SAC 4 2 Gọi M trung điểm SA Mặt phẳng(CDM) cắtSB N Tính thể tích khối tứ diện SCMN
CâuV (1,0 điểm) Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn abc = Chứng minh rằng:
2 2 1
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
a b c
ab ab bc bc ac ac PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
A Theo chương trình Chuẩn CâuVI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Elip ( )E :
2
1
9
x y
điểm M(1;1) Viết phương trình đường thẳng qua M cắt ( )E hai điểm A B cho M trung điểm AB
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(0; 1; 2) , hai đường thẳng ( ) :1 1
1 2
x y z
d ( )d2
:
1 2
x y z
Viết phương trình tắc đường thẳng ( ) qua M cắt ( )d1 ( )d2 A B khác I cho IA AB , với I giao điểm ( )d1 ( )d2
CâuVII.a (1,0 điểm) Cho số phức z thỏa mãn
11
1 i 2i
i.z
1 i i
Tìm mơđun số phức w z iz . B Theo chương trình Nâng cao.
CâuVI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hypebol ( )H :
2
1
1
x y
Tìm ( )H điểm M nhìn hai tiêu điểm góc 600.
2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;0;0), (0; 2;0)B C(0;0;4) Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) :Q x2y3z 0 cắt mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện
OABC theo đường trịn có chu vi 2
CâuVII.b (1,0 điểm) Tìm hệ số lớn khai triển (1 )x n
biết n số tự nhiên thoả mãn 31
0
1 1
2 2 62
n
n n n
C C C
n
-Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm. Họ tên thí sinh………, Số báo danh………
(2)HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN LẦN 03
ĐỀ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG MÔN THI ĐẠI HỌC NĂM 2010 – 2011
Phần A : Dành cho tất thí sinh
Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát vẽ đồ thị )
2) Đồ thị hàm số y = (x2 2x 2) x , với x có dạng nh hình vÏ :
Dựa vào đồ thị ta có : *) Nếu m < -2 : Phơng trình vơ nghiệm
*) NÕu m = - : Phơng trình có hai nghiệm
*) Nếu < m < : Phơng trình có nghiệm phân biệt *) m : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt
IIIIIII
Tớnh
3
3
I dx
x
1 2 1 1
2 2
0 0 0
( 1) ( 2) 1
(1 )( 1) 1
x x x x x x
I dx dx dx dx dx
x x x x x x x x x
0,25
1
1 2
0 2
0
2
1
ln( 1) ln( 1)
2
2 ( ) 1
3 x d
x x x
x
0,25
6
6
(tan )
ln ln
tan
d t
t
0,25
Vậy ln
I 0,25
IV Do SA SC SB SD ; kết hợp với ABCD hình thoi nên
, ,
OA OB OS đơi vng góc,
Có 2
2 SAC
S AC SO SO Xét hệ trục toạ độ Oxyz với tia Ox Oy Oz; ; trùng với tia OA OB OS, ,
như hình vẽ: O(0;0;0); (2;0;0); (0;1;0)A B
( 2;0;0); (0; 1;0); (0;0; 2)
C D S
Trung điểm SA M(1;0; 2)
0,25
Mặt phẳng (CDM) có cặp vectơ phương
là CD (2; 1;0), CM(3;0; 2) nên nhận nCD CM, ( 2; 2;3)
làm vectơ pháp
0,25 S
A
C
D
B
O
x
z
y y = m 1+
1
m
(3)tuyến (CDM) có phương trình: 2x2 2y 3z2 0 SB qua B(0;1;0)
(0;0;2 2)
S nên SB có phương trình x0;y 1 ;t z2 2t
( )
N SB CDM nên (0; ; 2)1 N
1 ( 2;0; 2); (1;0; 2); (0; ; 2)
2
SC SM SN
;
, (0;4 2;0); , 2
SC SM SC SM SN
0,25
Vậy , 1.2 2
6
SCMN
V SC SM SN (đvtt) 0,25
V
Chứng minh x y z x1 y1 z1
Ta có 1 x y z 1
x y z x y z
0,25
2
1 1
( )(x y z ) ( 1 1)
x y z x y z x y z
x y z
0,50
Vậy x y z x 1 y x z1 Dấu “=” xảy
2
x y z 0,25
VI.a
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho Elip ( )E :
2
1
9
x y
điểm M(1;1) Viết phương trình đường
thẳng qua M cắt ( )E hai điểm A B cho M trung điểm AB
Dễ thấy đường thẳng qua M(1;1)mà song song với Ox khơng thoả mãn Đường thẳng có phương trình: y k x ( 1) 1 Toạ độ A B, thoả mãn
2
2 2 ( 1) 1
1
9
( 1) ( 1)
x y x k x
y k x y k x
0,25
khi hồnh độ x xA; B hia nghiệm phương trình:
2 2
(4 ) k x (18k 18 )k x9k 2k 35 0 0,25
Có
2
18 18
2
4 9
M A B
k k
x x x k
k
0,25
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình: 4x 9y 5 0,25
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho M(0; 1;2) , hai đường thẳng ( ) :1 1
1 2
x y z
d
2
( )d :
1 2
x y z
Viết phương trình tắc đường thẳng ( ) qua M cắt ( )d1 ( )d2 lần lượt
tại A B khác I cho IA AB , với I giao điểm ( )d1 ( )d2 . Giao điểm I ( )d1 ( )d2 I(1;1;1) u1(1;2;2)
u2( 1; 2;2)
lầ vectơ phương ( )d1 ( )d2 Dễ thấy [ , ].u u IM1 0
nên M , ( )d1 ( )d2 đồng phẳng
0,25 Lấy A1(2;3;3) ( ) d1 B1( ; ;3 ) ( )t t t d2 cho IA1A B1 AB
phương với A B1
(với B1 không trùng với I )
(4)1
1
(1;1;1)
11 13
9 20 11 11 11 11 5 ( ; ; )
9 9 ( ; ; )
9 9
B t
t t B
t B
1
7 14 22
( ; ; )
9 9
A B
Vậy ( ) qua M(0; 1; 2) có phương trình tắc:
7 14 22
x y z
0,25
VI.b
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hypebol ( )H :
2
1
1
x y
Tìm ( )H điểm M nhìn hai tiêu điểm dưới góc 600
Có F F1 22 (2 )c 4c2 4(a2b2) 40
2 2
1 2 2.cos
F F MF MF MF MF F MF
1 2
(MF MF ) MF MF
(Do F MF1 2 600)
1 2
MF MF a
0,25
Mặt khác, lại có M 10 M ; M 10 M
c c
MF a x x MF a x x
a a
0,25
Khi ta 40 10 2 37 273
10 10
M M M
x x y
0,25
Vậy ( 37; 273)
10 10
M điểm cần tìm 0,25
2
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(2;0;0), (0;2;0)B C(0;0;4) Viết phương trình mặt phẳng ( )P song song với mặt phẳng ( ) :Q x2y3z 0 cắt mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC
theo đường trịn có chu vi 2
Chu vi đường tròn (C) 2 suy đường trịn có bán kính r1 Mặt cầu
2 2
( ) :S x y z 2ax 2by 2cz d 0 ngoại tiếp OABC d 0;a b 1;c2; tâm I(1;1;2) bán kính R
0,25 Khoảng cách từ I(1;1; 2) tới mặt phẳng chứa đường tròn (C) hay khoảng cách từI(1;1; 2)
tới (P) 2
( ; )I P
d R r 0,25
(P) có phương trình dạng x2y3z c 0 c 9 70 0,25
Vậy (P): x2y3z 9 70 0 0,25
VII.b
Tìm hệ số lớn khai triển (1 )x n
biết n số tự nhiên thoả mãn
31
0
1 1
2 2 62
n
n n n
C C C
n
Xét khai triển (1 2)n n 2n
n n n
x C C x C x
2
(1 )n n n
n n n
x x C x C x C x
Lấy tích phân hai vế cận từ đến ta
1
2
0
(1 )n ( n n )
n n n
x x dx C x C x C x dx
1
2
0 2
0
(1 ) 1
2( 1) 2
n
n n
n n n
x
C x C x C x
n n
1 31
0
1 1 2
2 2 2( 1) 62
n n
n n n
C C C
n n
(*)
0,25
M
1
(5)Xét ( ) '( ) 2 ln 2.22 2
2
n n n n
f n f n n
n n
nên (*) n30
0,25 30
30
30
(1 ) k2k k k
x C x
xét 1
30 30
59
2
3 kCk k Ck k
; xét 1
30 30
62
2
3 kCk k Ck k
đó với k20 i 0;19 i 21;30 ln có 30 220 3020 i i
C C
0,25 Vậy hệ số lớn cần tìm 20 20
30
2 C
0,25 §K: x3
3
3 ( 1/ )
4
x
PT x x Do x KTM
x
3 1
( ) 3 ; 3; ;
4 4
x
f x x x x
x
2
3
1 36 5 1
'( ) 3; ; ;
(4 1) 3 4
2 (3 5)
f x x
x
x x
HS§B trªn 3;1 ; 1;
4
3;1 x
PT
f(x)=f(-2) x=-2
1;
4 x
PT
f(x)=f(-1) x=1 VËy S={-2; 1}
Ta có VT =
2 2
( 2)(2 1) ( 2)(2 1) ( 2)(2 1)
a b c
ab ab bc bc ac ac =
1 1
2 2
(b )(2b ) (c )(2c ) (a )(2a )
a a b b c c
Vì a, b, c dương abc = nên đặt a y,b z,c x
x y z
với x, y, z > 0 Khi VT =
1 1
(y )(z z ) (y z )(x x ) (z x )(y y )x
x x x x y y y y z z z z
=
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
x y z
y z z y z x x z x y y x
Ta có ( )( ) 2 2 2( )2 9( 2)
y z z y yz y z yz y z yz y z Suy
2
2
2 ( )( )
x x
y z z y y z (1)
Câu VIIa Ta có
11 8
2
1 i 2i i
i.z 16 i z 16i z 16i
2
0,5
Do w z iz 1 16i i 16i 17 17i w 172172 17 2 0,5 Chú ý:
- Câu IV thí sinh khơng vẽ hình khơng chấm điểm
(6)