Tài liệu Luyện thi Đại học môn Toán: Vecto và tọa độ không gian - Thầy Đặng Việt Hùng tóm lược nội dung cần thiết và cung cấp các bài tập ví dụ hữu ích, giúp các bạn củng cố và nắm kiến thức về vecto và tọa độ không gian thật hiệu quả.
Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 01 VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng Tọa độ vectơ điểm: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Cho M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B ) → AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A ) Vectơ Tọa độ vectơ tổng, vectơ hiệu: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 ) ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ Khi mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22 → AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) + ( z A − z B )2 x1 = x2 u = v ⇔ y1 = y2 z = z Hai vectơ phương: x2 = kx1 x y z Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔ y2 = ky1 hay = = x1 y1 z1 z = kz Tích vơ hướng hai vectơ: Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) ( ) Tích vơ hướng hai véc tơ cho u.v = u v cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 ( ) Từ suy cos u , v = u.v u.v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 → u ⊥ v ⇔ u.v = ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = Ví dụ 1: [ĐVH] Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − j − k , d = i a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) phương với a b) Xác định số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc c) Tính a ; b ; a + 2b Hướng dẫn giải: −1 a) Để u phương với a ⇔ = ⇔k =− 2k − b) c = i − j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 m= ma = (m; −m;0) m + n + p = → d = ma − nb + pc ⇔ −m − n − p = ⇔ n = Ta có nb = (−n; n;2n) −2n − p = = − − pc ( p ; p ; p ) p = −1 c) a = 12 + (−1)2 = 2; b = (−1)2 + 12 + 22 = a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4) → a + 2b = (−1) + 12 + 42 = 18 = Ví dụ 2: [ĐVH] Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3) a) Chứng tỏ ABCD hình chữ nhật Tính diện tích hình chữ nhật ABCD b) Tính cosin góc tam giác ABC c) Tìm đường thẳng Oy điểm cách hai điểm AB Hướng dẫn giải: a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD hình bình hành → AB.BC ⇔ ABC = 900 Vậy ABCD hình chữ nhật Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 = S ABCD = AB BC = 12 + 12 + 22 22 + 12 = 30 b) Gọi góc cạnh tam giác ABC φ1; φ2; φ3 Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc đường thẳng khơng vượt q 900 nên ta có: 1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 + 12 12 + 22 1.3 + 2.1 + 1.1 cos φ = cos AB; AC = = 2 2 2 66 + +1 +1 + 2.3 − 1.1 + 0.1 cos φ3 = cos BC ; AC = = 2 2 55 +1 +1 + ( ) ( ) ( ) c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ I(0, y, 0) → IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2) I cách A B IA = IB ⇔ IA2 = IB ⇔ 12 + (1 + y ) + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y = −7 −7 → I 0; ;0 Ví dụ 3: [ĐVH] Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; ) Tìm toạ độ vectơ u với: a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c e) u = a − b − 2c Ví dụ 4: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) Tìm: d) u = 3a − b + 5c b) a ( b c ) a) ( a.b ) c c) u = −4b + c 3 f) u = a − b − c c) a b + b c + c a Ví dụ 5: [ĐVH] Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) Tìm m để a) a + 2b − 3c = 69 ( (Đ/s: m = 2) ) b) a + 3c b = ( ) 22 (Đ/s: m = 1) 3045 Ví dụ 6: [ĐVH] Cho ba vectơ a = (1; 3; ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) Tìm m để c) cos a + b; b − 2c = a) 2a + c = 74 ( )( (Đ/s: m = 1) ) b) b + 2c 2a − c = (Đ/s: m = –2) Ví dụ 7: [ĐVH] Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a = 4, b = a) X = a − b a = (2; −1; −2), b = 6, a − b = b) Y = a + b Ví dụ 8: [ĐVH] Cho điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = Ví dụ 9: [ĐVH] Tìm điểm M Oy cách điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1) 11 Đ/s: M 0; ;0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tìm tọa độ chân đường vng góc H tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0) 96 80 192 Đ/s: H − ; ; 41 41 41 Bài 2: [ĐVH] Cho điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3) Bài 3: [ĐVH] Tìm điểm C Ox cho tam giác ABC vuông C với A(1;1;2), B (−1;2;5) Đ/s: D(2;2;2;) Đ/s: M 1; ;0 Đ/s: C ( −2;0;0 ) Bài 4: [ĐVH] Tìm điểm C Oy cho tam giác ABC vuông B với A(2; −1;0), B (1; −1;1) Đ/s: C ( 0;3;0 ) a) Chứng minh ABC tam giác Tính chu vi diện tích tam giác ABC b) Tìm điểm D để ABCD hình bình hành c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − MB + MC = MD, với D(4; 3; 2) Đ/s: S = Bài 5: [ĐVH] Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz cho M cách điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1) 7 5 Đ/s: M ;0; − 6 6 Bài 6: [ĐVH] Trong không gian Oxyz cho điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1) a) Chứng minh A, B, C, D khơng đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Bài 7: [ĐVH] Trong không gian Oxyz, cho điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh điểm G, H, I thẳng hàng Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Tốn Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! ... đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho tam giác MCD có diện tích nhỏ Bài 7: [ĐVH] Trong không gian Oxyz, cho điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm... Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH mơn Toán Moon.vn để đạt điểm số cao kỳ TSĐH! Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 a = 4, b = a) X = a − b a = (2; −1; −2),...Khóa học LTĐH mơn Tốn Moon.vn – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 m= ma = (m; −m;0) m + n + p = → d =