NguyÔn Kh¸nh Nguyªn Trêng THCS Hång Bµng.[r]
(1)Dạy phơng pháp hệ số
bt định cho học sinh lớp nh nào?
Đặt vấn đề. Trong đại số sơ cấp phơng pháp hệ số bất định phơng pháp hiệu nghiệm để xác định đa thức biết số điều kiện Phơng pháp đợc sử dụng dựa tính đẳng đa thức
Đã có nhiều tác giả, nhiều tài liệu nói phơng pháp này, nhiên chủ yếu dừng lại dạng tập xác định đa thức Ngồi dạng tập đó, phơng pháp đợc sử dụng dạng tập khác? Với kiến thức đại số lớp 8, dạy cho học sinh phơng pháp nh nào?
Đó nội dung tơi muốn trình bày qua chuyên đề Nội dung.
A KiÕn thøc c¬ së:
* Qui ớc: Khi nói đến đa thức đó, ta hiểu đa thức đợc viết dạng tắc (dạng tiêu chuẩn)
1) Đa thức đẳng:
* Định nghĩa: Hai đa thức f(x) g(x) đợc gọi đẳng f(x) = g(x), x Từ nói hai đa thức nhau, ta hiểu chúng theo nghĩa đẳng
2) Các định lí:
* Định lí 1: Đa thức f(x) đẳng tất hệ số
NghÜa lµ nÕu: f(x) = anxn + an – 1xn – 1+ …+ a1x + a0
th× f(x) = an = an – 1= an – = … = a0 =
- Định lí đợc chứng minh phơng pháp qui nạp theo n
* Định lí 2: Hai đa thức f(x) g(x) đẳng hệ số hạng tử đồng dạng chúng
- Thực chất hệ định lí
B Ph ơng pháp hệ số bất định cách vận dụng:
Dựa vào định nghĩa vào định lí nêu trên, ngời ta đa phơng pháp nhằm xác định đa thức biết số điều kiện đó, gọi phơng pháp hệ số bất định
Phơng pháp vận dụng trực tiếp tính đẳng đa thức Nó th-ờng đợc sử dụng dới hai hình thức:
(2)2 Dựa vào định lí: Đa đa thức dạng tắc cân hệ số hạng tử đồng dạng đa thức, từ dẫn đến hệ phơng trình mà ẩn số hệ số cần xác nh
Ta minh họa điều thông qua số dạng tập sau:
C Bài tËp vËn dông
I Xác định đa thức biết số điều kiện
Bài toán1.Xác định đa thức f(x) để f(x) g(x)
víi f(x) = x4 - 3x3 + bx2 + ax + b, g(x) = x2 - 1.
* Gi¶i:
* Cách Vì f(x) (x2 - 1) f(x) = (x2 - 1).Q(x) - Cho x = 1: f(1) = - + b + a + b =
a + 2b - = (1)
- Cho x = -1: f(-1) = + + b - a + b =
- a + 2b + = (2) Giải hệ (1) (2) ta đợc a = 3, b = -
2
VËy f(x) = x4 - 3x3 -
2
x2 + 3x -
2
* Cách Giả sử f(x) = (x2 - 1)(mx2 + nx + p) v× f(x) cã bËc 4
= mx4 + nx3 + (p - m)x2 - nx - p
hay x4 - 3x3 + bx2 + ax + b = mx4 + nx3 + (p - m)x2 - nx - p
Từ định lí suy ra: m = 1, n = - 3, p - m = b, n = - a, p = -b
a = 3, b = -
* Cách Đem chia trực tiếp f(x) cho g(x) ta đợc d (a - 3)x + 2b +
Để có phép chia hết d ph¶i b»ng 0, hay (a - 3)x + 2b + =
a - = 2b + = (theo định lí 1)
a = 3, b = -
* Chú ý: - Mặc dù đầu khơng nói đến, nhng ta phải hiểu phép chia hết với x
- Ba cách giải cho ta thấy phơng pháp sử dụng dới những hình thức khác nhau, nhng phải sử dụng định nghĩa định lí ở
cách việc vận dụng đợc sử dụng gián tiếp thông qua phép chia đa thức Cách 1 chỉ sử dụng đợc biết nghiệm đa thức chia.
(3)* Giải: Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx +d Khi đó:
f(x) - f(x - 1) = ax3 + bx2 + cx +d - a(x - 1)3 + b(x - 1)2 + c(x - 1) - d
= 3ax2 + (2b - 3a)x + a - b + c = x2
3a = 1, 2b - 3a = 0, a - b + c =
a =
, b =
, c =
VËy f(x) =
x3 +
2
x2 +
6
x + d, với d số tuỳ ý
Bài toán Cho biÕt ®a thøc x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b bình phơng đa
thức khác Hãy tìm đa thức số a, b?
* Gi¶i Gi¶ sư x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b = (mx2 + px + q)2
m =
- Với m = Khi Giả sử x4 + 2x3 + ax2 + 2x + b = (mx2 + px + q)2
= x4 + 2px3 + (p2 + 2q)x2 + 2pqx + q2
2p = 2, p2 + 2q = a, 2pq = 2, q2 = b
p = 1, q = 1, a = 3, b =
VËy ®a thức cần tìm x2 + x + 1
- Víi m = - Ta cịng cã a = 3, b = đa thức cần tìm lµ - (x2 + x + 1)
II Dùng để phân tích đa thức thành nhân tử
Bài tốn Tìm a, b, c để đa thức x3 + ax2 + bx + c phân tích đợc thành tích
(x + a)(x + b)(x + c)
* Gi¶i Do x3 + ax2 + bx + c = (x + a)(x + b)(x + c)
x3 + ax2 + bx + c = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x + abc
b + c = (1), ab + bc + ca = b (2), abc = c (3) Từ (1) có c = - b Thay vào (2) đợc ab - b2 - ab = b b2 + b = 0
b(b + 1) = b = 0, b = - + NÕu b = 0, tõ (1) cã c = a tuú ý
+ NÕu b = - 1, tõ (1) cã c = 1, tõ (3) cã a = - VËy ta cã: x3 + ax2 = x2(x + a)
hc x3 - x2 - x + = (x - 1)2(x + 1)
Bài tốn Tìm số nguyên a để đa thức (x - a)(x - 2005) + phân tích đợc thành tích (x + b)(x + c) với b, c số nguyên
* Giải: - Giả sử (x - a)(x - 2005) + = (x + b)(x + c) Cho x = - b ta đợc (b +a)(b + 2005) = -1
Vì a, b nguyên nên có trêng hỵp:
b + 2005 = b = - 2004 b + a = - a = 2003 Khi (x - 2003)(x - 2005) + = (x - 2004)2
(4)Khi (x - 2007)(x - 2005) + = (x - 2006)2
Bài toán Chøng minh r»ng ®a thøc P(x) = x5 - 3x4 + 6x3 - 3x2 + 9x - kh«ng
thể phân tích đợc thành tích đa thức với hệ số nguyên có bậc nhỏ * Giải: - Giả sử phân tích đợc, tốn xảy trờng hợp:
P(x) = (x + a).Q(x), với a nguyên Q(x) đa thức bậc Cho x = - a đợc - a5 - 3a4 - 6a3 - 3a2 - 9a - = (1)
a5 3 a 3, vế trái (1), trừ số hạng - số hạng lại
đều chia hết cho Nh vế trái (1) không chia hết cho - Vơ lí ! ( 9)
P(x) = (x2 + a
1x + a2)(x3 + b1x2 + b2x + b3), víi ai, bi số nguyên Sau
khi khai trin v cân hệ số, ta đợc: a2b3 = - (1)
a1b3 + a2b2 = (2)
a1b2 + a2b1 + b3 = - (3)
a1b3 + a2 + b2 = (4)
a1 + b1 = - (5)
Tõ (1) chØ cã mét sè a2 hc b3 chia hÕt cho
- NÕu a2 3, b3 3, tõ (2) a1 3 vµ tõ (3) b3 3 (v« lÝ !)
- Nếu a2 3, b3 3, từ (2) b2 3 từ (3) b1 3, từ (4) a2
3 (v« lÝ !)
Vậy tốn đợc chứng minh xong
III Dùng để rút gọn phân thc
Bài toán Đơn giản biểu thức sau: M =
) )( (
) )( ( ) )( (
) )( ( ) )( (
) )( (
b c a c
b x a x a b c b
a x c x c a b a
c x b x
* Giải - Coi M đa thức theo biến x (độc đáo!) Rõ ràng sau khai triển, đa dạng tắc, M đa thc bc i vi x
Vì giả sö M(x) = Ax2 + Bx + C
- Cho x = - a: Aa2 - Ba + C = (1)
- Cho x = - b: Ab2 - Bb + C = (2)
- Cho x = - c: Ac2 - Bc + C = (3)
§em (1) trõ (2): A(a2 - b2) - B(a - b) = 0
v× a - b A(a + b) - B = (4) Tơng tự đem (2) trừ (3): A(b + c) - B = (5)
Đem (4) trừ (5): A(a - c) = A = (do a - c 0) Từ (4) B = 0, C =
(5)Bài toán Đơn giản biểu thức: P = ) )( )( ( ) )( )( ( ) )( )(
( x c c a c b
c c b a b b x b c a b a a x a
* Giải: - Biến đổi P thành:
( )( ) ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( )( ( b c a c b x a x c c b a b c x a x b c a b a c x b x a c x b x a x
sau vận dụng nh đợc P =
) )( )(
(x a x b x c x
IV Một số toán khác
Bài toán Biết đa thức ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d Z)
chia hÕt cho víi mäi x Z
Chứng minh tất số a, b, c, d chia hết cho
* Giải Vì giả thiết tốn có "với x Z ", ta dùng t tởng phơng pháp hệ số bất định để giải
- Cho x = d 5
- Cho x = a + b + c + d 5 a + b + c 5 (1) - Cho x = -1 - a + b - c + d 5 - a + b - c 5 (2) §em (1) céng (2) 2b 5 hay b 5, tõ (1) a + c 5 (3)
- Cho x = 8a + 4b + 2c + d 5, b d chia hết suy 8a + 2c 5 4a + c 5 (4)
§em (4) trõ (3) 3a 5 a 5, tõ (3) c 5 (®pcm)
Bài tốn 10 Tìm chữ số x, y, z để đẳng thức
n n n z z y y x x 2
với mi n N*
* Giải - Đặt an =
n = n 9 = 10n
10n = 9a
n + (1)
Khi tốn tơng ứng với:
n n
n
z y
x 2
2 1 1
1
x(an.10n + an) - y.an = z2 an2
xan.10n + xan - y.an = z2 an2
xan(9an+1) + xan - yan = z2.an2 (do (1))
9xan2 + (2x - y)an = z2.an2
(9x - z2)a
(6)Do an phô thuộc vào n, nên ta coi vế trái (2) đa thức với biến
an , với ý nghĩa tốn đa thức đẳng Do ta có:
0 2
0
9
y x
z x
)4 ( 2
)3 (
9
y x
z x
Tõ (3) x số phơng Từ (4) x< (vì y< 10) Vậy x nhận giá trị (vì x 0)
- NÕu x = y = 2, z = - NÕu x = y = 8, z =
* Rõ ràng để giải toán ta vận dụng linh hoạt phơng pháp hệ số bất định, điều xuất phát từ đầu yêu cầu xác định x, y, z để đẳng thức "với n"
KÕt luËn
Qua tốn dẫn làm ví dụ đây, ta thấy phơng pháp Hệ số bất định hay t tởng có vai trị to lớn việc giải số dạng tập khó Mấu chốt vấn đề chỗ: Phát đợc biến tốn biến phải đợc lấy giá trị tuỳ ý tập xác định
Chuyên đề dạy cho học sinh mình, em tiếp thu tốt vận dụng thành thạo
Rất mong bạn đồng nghiệp suy nghĩ, mở rộng lĩnh vực vận dụng phơng pháp trình bồi dỡng, đào tạo học sinh gii
Hải Phòng 2/2005
Ngời viết