- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn[r]
(1)100 CÂU TRẮC NGHIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC LỚP 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT
Câu Giải phương trình sin
3
x
A x k k B
3
k
x k C
3
x k k D
2
k
x k
Lời giải Phương trình sin 2
3 3
x x k
2
3 2
x k
k x k
Chọn D
Câu Số nghiệm phương trình sin 400
x với 1800 x 1800 là?
A B C D
Lời giải Phương trình sin 2 400 sin 2 400 sin 600
2
x x
0 0 0 0
0 0 0 0
2 40 60 360 100 360 50 180
2 40 180 60 360 160 360 80 180
x k x k x k
x k x k x k
Xét nghiệm x 500 k180 0 Vì 1800 x 1800 1800 500 k1800 1800
0
1 130
23 13 .
18 18 50
k k x
k
k x
Xét nghiệm x 800 k180 0 Vì 1800 x 1800 1800 800 k1800 1800
0
1 100
13
9 80
k k x
k
k x
Vậy có tất nghiệm thỏa mãn tốn Chọn B
Cách (CASIO) Ta có 1800 x 1800 3600 2x 360 0
Chuyển máy chế độ DEG, dùng chức TABLE nhập hàm sin 40
f X X với
(2)Câu Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin
3
x đường tròn lượng giác là?
A 1 B 2 C 4 D 6
Lời giải
Phương trình
2
3 12
sin sin
3 2 2
3
x k x k
x k
x k x k
Biểu diễn nghiệm
12
x k đường trịn lượng giác ta vị trí (hình 1)
Biểu diễn nghiệm
4
x k đường tròn lượng giác ta vị trí (hình 2)
Vậy có tất vị trí biểu diễn nghiệm nghiệm phương trình Chọn C
Cách trắc nghiệm Ta đưa dạng x k2
n số vị trí biểu diễn đường tròn lượng giác n
Xét
12 12
x k x k có vị trí biểu diễn
Xét
4
x k x k có vị trí biểu diễn
Nhận xét Cách trắc nghiệm nhanh cẩn thận vị trí trùng
Câu Với giá trị x giá trị hàm số y sin3x y sinx nhau?
A
2
4
x k
k
x k B
4
x k
k
x k C x k4 k D x k2 k
Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm: sin3x sinx
Hình
O
O
(3)
3
3
4
x k
x x k
k
x x k x k
Chọn B
Câu Gọi x0 nghiệm dương nhỏ phương trình cos sin
x
x Mệnh đề sau đúng?
A x0 0;4 B x0 4 2; C
3 ;
x D
3 ;
x
Lời giải Điều kiện: sin2x sin2x
Phương trình cos sin 22 cos 22 1 sin
0 cos
1 sin sin
x x x
x x
x x
loại thỏa mãn
sin 2
2
x x k x k k
Cho
4 k k
Do nghiệm dương nhỏ ứng với 3 ;
4
k x
Chọn D
Câu Hỏi đoạn 2017;2017 , phương trình sinx sinx có tất nghiệm?
A 4034 B 4035 C 641 D 642
Lời giải
Phương trình sin sin
2 sin vo nghiem
x
x x k k
x
Theo giả thiết
2017 2017
2
2017 2017
2 k k
xap xi 320,765 k 321,265 k k 320; 319; ;321
Vậy có tất 642 giá trị nguyên k tương úng với có 642 nghiệm thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D
Câu Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình sin 3
4
x bằng:
A
(4)Ta có
3
3
sin sin sin
4 3 2
4 x k x x x k 7 36 12 .
11 11
3
12 36
k x
x k
k k
x k x
TH1 Với Cho max 7 0
7 24 36 .
7 17
36 0 1
24 36
x k k x
k x
x k k x
TH2 Với Cho max 11 11 0
11 24 36 .
11 13
36 0 1
24 36
x k k x
k x
x k k x
So sánh bốn nghiệm ta nghiệm âm lớn 13
36
x nghiệm dương nhỏ
36
x
Khi tổng hai nghiệm 13
36 36
Chọn B
Câu Gọi x0 nghiệm âm lớn phương trình
3 cos 45
2
x Mệnh đề sau đúng?
A 0
0 30 ;0
x B 0
0 45 ; 30
x C 0
0 60 ; 45
x D 0
0 90 ; 60
x
Lời giải Ta có
0 0
0 0
0 0
5 45 30 360
3
cos 45 cos 45 cos30
2 45 30 360
x k
x x
x k
0 0
0 0
5 75 360 15 72
5 15 360 72
x k x k
k
x k x k
TH1 Với 0 max
5
15 72 57
24
x k k k x
TH2 Với 0 max
1
3 72 69
24
x k k k x
So sánh hai nghiệm ta nghiệm âm lớn phương trình x 57 0 Chọn C
Câu Hỏi đoạn ;2
2 , phương trình
13 cos
14
x có nghiệm?
(5)Lời giải Phương trình cos 13 arccos13
14 14
x x k k
Với arccos13 14
x k Vì ;2 arccos13 2
2 14
x k
CASIO xapxi
13
0,3105 0,9394 arccos
14 k
k k x
Với arccos13 14
x k Vì ;2 arccos13 2
2 14
x k
CASIO xapxi
13 13
0,1894 1,0605 0;1 arccos ; arccos
14 14
k
k k x k
Vậy có tất nghiệm thỏa mãn Chọn B
Cách (CASIO) Dùng chức TABLE nhập hàm cos 13 14
f X X với thiết lập
Start , End , Step
2 Ta thấy f X đổi dấu lần nên có nghiệm
Cách Dùng đường tròn lượng giác
Vẽ đường tròn lượng giác biểu diễn cung từ
2 đến Tiếp theo ta kẻ đường thẳng 13 14
x Nhìn hình vẽ ta thấy đường thẳng 13
14
x cắt cung lượng giác vừa vẽ điểm
Câu 10 Gọi X tập nghiệm phương trình cos 150 sin
2
x
x Mệnh đề sau đúng?
A 2900 X B 200 X C 2200 X D 2400 X
Lời giải Ta có cos 150 sin cos 150 cos 900
2
x x x x
O
(6)
0 0
0
0
0 0
15 90 360 50 240
2 .
210 720
15 90 360
2
x x k
x k
k
x x k x k
Nhận thấy 2900 X (do ứng với k 1 nghiệm x 500 k2400) Chọn A
Câu 11 Tính tổng T nghiệm phương trình sin 2x cosx 0;2
A T B
2
T C T D T
Lời giải Ta có sin cos sin cos sin sin
2
x x x x x x
2
2
2
2 2
2
k
x x k x
x x k x k
Vì x 0;2 , suy
2 11
0 0;1;2
6 4 .
1
0
0 2
4
2
k
k k
k k
k
Từ suy nghiệm phương trình đoạn 0;2 ;5 ;3 ;
6 2 T
Chọn A
Câu 12 Trên khoảng ;2
2 , phương trình cos 2x sinx có nghiệm?
A 3 B 4 C 5 D 2
Lời giải Ta có cos sin cos cos
6 x x x x
2 2
6 .
2
2
6
x x k x k
k k
x x k x
Vì ;2
2
x , suy
7
2
2 12 .
2 2 2; 1
2 3 12
k k
k k k
k
k k
(7)Chọn A
Câu 13 Tổng nghiệm phương trình tan 2x 150 khoảng 90 ;900 bằng:
A 0 B 30 C 30 D 60
Lời giải
Ta có tan 2x 150 1 2x 150 450 k1800 x 300 k90 0 k . Do 90 ;900 900 300 900 900
3
x k k
0
0 0
0
1 60
60 30 30
0 30
k k x
k x
Chọn B
Câu 14 Giải phương trình cot 3x
A
3 18
x k k B
3 18
x k k C
18
x k k
D
3
x k k
Lời giải Ta có cot 3 cot cot
6
x x
1
1
3
6 18 3 18
k
x k x k k x
Chọn A
Câu 15 Với giá trị x giá trị hàm số tan
y x y tan 2x nhau?
A
4
x k k B
12
x k k
C
12
x k k D 1; ,
12
m
x k k k m
Lời giải
Điều kiện: cos 4
4
cos
4
x m
x
x m
x m
x
Xét phương trình hồnh độ giao điểm: tan tan
(8)2
4 12
x x k x k k
Đối chiếu điều kiện, ta cần có ,
12 2
m
k m k k m
Vậy phương trình có nghiệm 1; ,
12
m
x k k k m
Chọn D
Câu 16 Số nghiệm phương trình tan tan3 11
x khoảng ;2 là?
A B C D
Lời giải
Ta có tan tan3
11 11
x x k k
Do CASIO
xap xi
3
;2 0,027 1,72 0;1
4 11
k
x k k k
Chọn B
Câu 17 Tổng nghiệm phương trình tan5x tanx nửa khoảng 0; bằng:
A B 3
2 C 2 D
5 Lời giải
Ta có tan tan tan tan
4
k
x x x x x x k x k
Vì x 0; , suy 0 0;1;2;3
4
k
k k k
Suy nghiệm phương trình 0; 0; ; ;3 4
Suy 3
4
Chọn B
Câu 18 Giải phương trìnhtan3 cot 2x x
A
2
x k k B
4
x k k C x k k D Vô nghiệm
(9)Điều kiện: cos3 sin
2
x k
x
k x
x k
Phương trình tan tan tan
cot
x x x x x k x k k
x
Đối chiếu điều kiện, ta thấy nghiệm x k không thỏa mãn
x k
Vậy phương trình cho vơ nghiệm Chọn D
Câu 19 Cho tan
x Tính sin
x
A sin
6
x B sin
6
x C sin
6
x D sin
6
x
Lời giải Phương trình tan tan
2
x x
2 4
x k x k k
Suy 2 2
2
x k x k k
Do sin sin 2 sin
6 3
x k
Chọn C
Câu 20 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình tanx 1? A sin
2
x B cos
2
x C cotx D cot2x 1
Lời giải
Ta có tan
4
x x k k
Xét đáp án C, ta có cot
x x k k
Chọn C
Cách Ta có đẳng thức cot tan
x
x Kết hợp với giả thiết tanx 1, ta cotx Vậy hai
(10)A
x k k B x k k
x k
C x k2 k
x k
D
2
x k k
Lời giải
Điều kiện: cos
2
x x k k
Phương trình cos tan cos
tan
x
x x
x
4
2 x k
x k
k
x k
x k
thoûa mãn thỏa mãn Chọn C
Câu 22 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình sinx m có nghiệm
A m B m C m D m
Lời giải Với x , ta ln có sinx
Do đó, phương trình sinx m có nghiệm m
Chọn C
Câu 23 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình cosx m vơ nghiệm
A m ; 1; B m 1; C m 1;1 D m ;
Lời giải Áp dụng điều kiện có nghiệm phương trình cosx a Phương trình có nghiệm a
Phương trình vơ nghiệm a Phương trình cosx m cosx m
Do đó, phương trình cosx m vơ nghiệm 1 m m
m Chọn A
Câu 24 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình cosx m có nghiệm?
A B C D Vô số
(11) Phương trình có nghiệm a Phương trình vơ nghiệm a
Do đó, phương trình cosx m có nghiệm m 1
1 m 1 m m m 2; 1;0
Chọn C
Câu 25 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos 2
x m có
nghiệm Tính tổng T phần tử S
A T B T C T D T
Lời giải
Phương trình cos 2 cos 2
3
x m x m
Phương trình có nghiệm m m
3; 2;
m S T
Chọn D
Câu 26 Gọi S tập nghiệm phương trình 2cosx Khẳng định sau đúng? A 5
6 S B
11 .
6 S C
13 .
6 S D
13 .
6 S
Lời giải
Ta có
2
2 cos cos cos
6 2
6
x k
x x k
x k
Nhận thấy với nghiệm 11
6
k
x k x S
Chọn B
Câu 27 Hỏi
3
x nghiệm phương trình sau đây?
A 2sinx B 2sinx C 2cosx D 2cosx
Lời giải
Với
3
x , suy
7
sin sin 2 sin 3 0
3
7 cos
cos cos
3
x x
x x
(12)Chọn A
Cách Thử
3
x vào phương trình
Câu 28 Tìm nghiệm dương nhỏ phương trình 2 sin
x
A
x B
24
x C
8
x D
12
x
Lời giải Ta có sin sin sin sin
3 3
x x x
4
3 2 .
7
4
4
6
3 24
k
x k x k x
k k
x k
x k x
TH1 Với Cho
min
1
0
8 8
k k
x k k x
TH2 Với Cho
min
7 7
0
24 24 12 24
k k
x k k x
So sánh hai nghiệm ta
8
x nghiệm dương nhỏ Chọn C
Câu 29 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình tan 3
x đường tròn lượng giác là?
A 4 B 3 C 2 D 1
Lời giải
Ta có tan tan tan tan
3 3
x x x
2
3
k
x k x k x k
O
C
D
(13)Q dễ để nhận có vị trí biểu diễn nghiệm phương trình cho đường tròn lượng giác A, B, C,D
Chọn A
Cách trắc nghiệm Ta có
2
k
x k có vị trí biểu diễn
Câu 30 Hỏi đoạn 0;2018 , phương trình cotx có nghiệm?
A 6339 B 6340 C 2017 D 2018
Lời giải
Ta có cot cot cot
6
x x x k k
Theo giả thiết, ta có 2018 xap xi 2017,833
6 k k
3 k k 0;1; ;2017 Vậy có tất 2018 giá trị nguyên k tương ứng với có 2018 nghiệm thỏa
mãn yêu cầu toán Chọn D
Câu 31 Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình 2cos2x 1? A sin
2
x B 2sinx C tanx D tan2x
Lời giải Ta có cos2 cos2
2
x x Mà sin2 cos2 sin2
x x x
Do 2
2
sin
tan
cos
x x
x Vậy
2
2cos x tan x
Chọn D
Câu 32 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình tan2x 3 ? A cos
2
x B 4 cos2x C cot
3
x D cot
3
x
Lời giải Ta có
2
2 2
2
sin
tan 3 sin 3cos
cos
x
x x x
x
2 2
1 cos x 3cos x 4cos x Vậy tan2x cos2x Chọn B
(14)A
2
3 , .
2
x k
k
x k
B
2
3 , .
2 2
3
x k
k
x k
C 3 ,
k x
k k
D ,
3
k x
k k
Lời giải Ta có sin2 sin2 sin
4
x x x
Với
2
3
sin sin sin
2
2 2
3
x k
x x k
x k
Với
2
3
sin sin sin
4
2 2
3
x k
x x k
x k
Nhận thấy chưa có đáp án phù hợp Ta biểu diễn nghiệm đường tròn lượng giác (hình vẽ)
Nếu tính ln hai điểm A, B có tất điểm cách nên ta gộp điểm thành họ nghiệm,
3
x k
Suy nghiệm phương trình 3 ,
3
k
x k x
k k
k l
Chọn D
Câu 34 Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình 3sin2x cos2x? A sin
2
x B cos
2
x C sin2 3.
4
x D cot2x 3.
Lời giải Ta có 3sin2x cos2x Chi hai vế phương trình cho sin ,2x
ta cot2x 3 Chọn D
O
(15)
Câu 35 Với x thuộc 0;1 , hỏi phương trình cos 62
4
x có nghiệm?
A 8 B 10 C 11 D 12
Lời giải Phương trình cos 62 cos 6 3.
4
x x
Với cos cos cos
2 6
x x x k
1 35
0;1 0;1;2
36 12 12
1 0;1 37 1;2;3
36 12 12
k k k
x k k
k
x k k
có nghiệm
Với cos cos cos5
2 6
x x x k
5 0;1 31
0;1;2
36 12 12
5 41
0;1 1;2;3
36 12 12
k k k
x k k
k
x k k
có nghiệm
Vậy phương trình cho có 12 nghiệm Chọn D
Câu 36 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cosx m có nghiệm?
A 1 B 2 C 3 D Vô số
Lời giải Ta có cos cos
3
m
x m x
Phương trình có nghiệm 1 1 3 0;1;2
3
m
m
m m
Vậy có tất giá trị nguyên tham số m Chọn C
Câu 37 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 2108;2018 để phương trình
cos
m x có nghiệm?
A 2018 B 2019 C 4036 D 4038
Lời giải Ta có mcosx cosx
(16)Phương trình có nghiệm 1 1 2018;2018m 1;2;3; ;2018 m
m m
m
Vậy có tất 2018 giá trị nguyên tham số m Chọn A
Câu13 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình m sin 2x m nhận
12
x làm nghiệm
A m B
3
m C m D m
Lời giải Vì
12
x nghiệm phương trình m sin 2x m nên ta có:
2
2 sin 1 2
12
m
m m m m m m
Vậy m giá trị cần tìm Chọn C
Câu 38 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m sinx m có nghiệm
A m B
2
m C 1
2
m D m
Lời giải
Phương trình sin sin sin
1
m
m x m m x m x
m
Để phương trình có nghiệm 1
m m
1
2
0
2
1
1
2
1 0
1 1
m m m
m m m
m m
m m m
giá trị cần tìm
Chọn B
Câu 39 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình m sin 2x m vơ nghiệm A 1;2
2
m B ;1 2;
2
m C 1;2 2;
2
m D 1;
2
m
Lời giải
(17)TH2 Với m 2, phương trình sin sin 2
m
m x m x
m
Để phương trình vô nghiệm
1 2
1
1 1;1 .
1
2 1
2
m m
m m
m
m m
m Kết hợp hai trường hợp, ta
2
m giá trị cần tìm Chọn D
Câu 40 Gọi S tập nghiệm phương trình cos2x sin 2x Khẳng định sau đúng? A
4 S B 2 S C
3
4 S D
5 S Lời giải
Phương trình cos cos
4
x x
2
4
cos cos ,
4 2 2
4
4
x k
x k
x k
x k
x k
Xét nghiệm
4
x k , với k ta
x
Chọn C
Câu 41 Số nghiệm phương trình sin 2x cos2x khoảng 0;
2 là?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Phương trình 1sin 3cos sin
2 x x x
2
3
sin sin ,
3 2 2
6
3
x k
x k
x k
x k
x k
0
2
k
k k khơng có giá trị k thỏa mãn
1
6 6
k
k k k x
(18)A
T B 21
8
T C 11
4
T D
4
T
Lời giải Phương trình cos2x sin2x sin 2x 2 cos2x sin 2x 2
cos 2
4
x x k x k k
Do
7
1 17
0 2
15
8 8 2
8 k
k x
x k k
k x
7 15 11
8
T
Chọn C
Câu 43 Tìm nghiệm dương nhỏ x0
3
3sin3x cos9x 4sin x
A x0 2 B x0 18 C x0 24 D x0 54 Lời giải
Phương trình 3sin3x 4sin 33 x 3 cos9x 1 sin 9x 3 cos9x 1
1sin 9 3cos 9 sin 9
2 x x x
2
9
3 18
sin sin
7
3 9 2
3 54
k
x k x
x
k
x k x
min Cho
min
2 0 0
18 18
7 7
0
54 12 54
k k k
k k x
k k k x
So sánh hai nghiệm ta nghiệm dương nhỏ 18
x
Chọn B
Cách trắc nghiệm Thử nghiệm đáp án vào phương trình so sánh nghiệm thỏa mãn phương trình đồng thời nhỏ ta chọn
Câu 44 Số nghiệm phương trình sin5x cos5x 2sin7x khoảng 0;
2 là?
A 2 B 1 C 3 D 4
(19)Phương trình 1sin 3cos5 sin7 sin sin7
2 x x x x x
7
3
sin7 sin
3 7 5 2
3 18
x x k x k
x x k
k
x x k x
1
6 6
k
k k k x
0
18
1
0
18 3
7
18 k
k x
k k k x
k x
Vậy có nghiệm thỏa mãn Chọn D
Câu 45 Giải phương trình cos sin sin
2
x x x
A
5 2
6 , .
2
18
x k
k
x k
B
7 2
6 , .
2
18
x k
k
x k
C
5 2
6 , .
7
x k
k
x k
D
2
18 , .
2
18
x k
k
x k
Lời giải Ta có cos sin
2
x x sin cos
2
x x
Do phương trình sinx cosx 2sin 2x sinx cosx 2sin 2x
3
sin cos sin sin sin sin sin
2 x x x x x x x
2
2
6 18 3 .
5
2 2
6
x x k x k
k
x x k x k
Xét nghiệm '
, '
5
2 '
6
k k
k k
x k x k
Vậy phương trình có nghiệm , ' , '
18
(20)Chọn B
Câu 46 Gọi x0 nghiệm âm lớn sin9x cos7x sin7x cos9x Mệnh đề sau đúng?
A 0 ;0 12
x B 0 ;
6 12
x C 0 ;
3
x D 0 ;
2
x
Lời giải Phương trình sin 9x cos9x sin7x cos7x
9
3
sin sin
3 9 7 2
48
3
x x k x k
x x k
x
x x k
max Cho
max
0
5
0
48 48
k
k
k k k x
k k k x So sánh hai nghiệm ta nghiệm âm lớn
nhất phương trình ;0
48 12
x
Chọn A
Câu 47 Biến đổi phương trình cos3x sinx cosx sin3x dạng sin ax b sin cx d với b, d
thuộc khoảng ;
2 Tính b d
A
12
b d B
4
b d C
3
b d D
2
b d
Lời giải Phương trình sin3x cos3x sinx cosx
3sin 3 1cos3 1sin 3cos sin 3 sin .
2 x x x x x x
Suy
6
b d
Chọn D
Câu 48 Giải phương trình cos sin
sin
x x
x
A ,
6
x k k B ,
6
x k k C ,
6
x k k D ,
6
x k k
(21)Điều kiện sin sin sin sin
2 2
6
x k
x x x k
x k
Điều kiện tốn tương đương với bỏ vị trí hai điểm đường trịn lượng giác (Hình 1) Phương trình cosx sinx cosx sinx
cot cot cot
6
x x x l l
Biểu diễn nghiệm
6
x l đường tròn lượng giác ta vị trí Hình
Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm
x k Do phương trình có nghiệm
x l l
Chọn C
Câu 49 Hàm số sin cos
sin cos
x x
y
x x có tất giá trị nguyên?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Ta có 2sin cos 2 sin cos
sin cos
x x
y y x y x y
x x
Điều kiện để phương trình có nghiệm y 22 y 12 3y 7y2 2y 5 0
O
Hình
O
(22)
5
1 1;0
7 y
y y nên có giá trị nguyên Chọn B
Câu 50 Gọi x0 nghiệm dương nhỏ cos2x sin2x sinx cosx Mệnh đề sau đúng?
A x0 0;12 B x0 12 6; C x0 6 3; D x0 3 2;
Lời giải Phương trình 1cos 3sin 3sin 1cos
2 x x x x
sin sin
6 x x
Đặt 2 2
6 6
t x x t x t x t
Phương trình trở thành sin sin cos sin
t t t t
2
2sin t sint sin 2sint t
sin 0 min
6 6
k
t t k x k k k x
min
1
2 0
1 6
sin
5
2 2 2 0 0 .
6
k k
t k x k k k x
t
t k x k k k x
Suy nghiệm dương nhỏ phương trình ; 12
x
Chọn B
Câu 51 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
sin cos
3
x x m vô nghiệm
A 21 B 20 C 18 D 9
Lời giải
Phương trình vơ nghiệm 12 3 2 4 4 0
1
m
m m
m
10;10 10; 9; 8; ; 2;2; ;8;9;10
m
m m có 18 giá trị
(23)Câu 52 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cosx sinx m2 vơ nghiệm
A m ; 1; B m 1;1 C m ; D
;0 0;
m
Lời giải Phương trình vơ nghiệm 12 12 2 m2 1
4 2 0 2 2 0 0 0.
m m m m m m
Chọn D
Câu 53 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
1 sin cos
m x m x m có nghiệm
A 21 B 20 C 18 D 11
Lời giải
Phương trình có nghiệm 12 1 2 4 0
4 m
m m m m m
m 10;10 10; 9; 8; ; 4;0;1;2; ;8;9;10
m
m m có 18 giá trị
Chọn C
Câu 54 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 2018;2018 để phương trình
1 sin sin cos2
m x x x có nghiệm
A 4037 B 4036 C 2019 D 2020
Lời giải Phương trình 1 cos sin cos
2
x
m x x
2sin 2x m cos2x m
Phương trình có nghiệm 2
2 m m 4m m
2018;2018 2018; 2017; ;0;1
m
m m có 2020 giá trị
Chọn D
Câu 55 Hỏi 0;
2 , phương trình
2
2sin x 3sinx có nghiệm?
A 1 B 2 C 3 D 4
(24)Phương trình
1 sin
2 sin 3sin
sin
x
x x
x
2
sin sin
2
6
6 sin
2
x k
x
x k k
x
x k
Theo giả thiết
1
0
6 12 6
5
0
2 12 12
1
0
0
4
2
k k k
k k k x
x k k k
k k
k
Vậy phương trình có nghiệm 0;
Chọn A
Câu 56 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình 2cos2x 5cosx 3 0 đường trịn lượng giác là?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Phương trình
cos
2 cos 5cos 3
cos
x
x x
x loại
cosx x k2 k
Suy có vị trí biểu diễn nghiệm phương trình đường trịn lượng giác Chọn A
Câu 57 Cho phương trình cot 32 x 3cot 3x 2 0.
Đặt t cot 3x, ta phương trình sau đây?
A t2 3t 2 0. B 3t2 9t 2 0. C t2 9t 2 0. D t2 6t 2 0. Lời giải
Chọn A
Câu 58 Số nghiệm phương trình 4 sin 22 x 2 1 2 sin 2x 2 0 0; là?
A B C D
(25)Phương trình
2 sin
2
4 sin 2 sin 2
1 sin
2
x
x x
x
0;
0;
2
2 8
sin sin
3 3
2 2 2
4 8
x k x
x k
x
x k x k x
0;
0;
2
1 12 12
sin sin
5 5
2 2 2
6 12 12
x k x k x
x
x k x k x
Vậy có tất nghiệm thỏa mãn Chọn B
Câu 59 Số nghiệm phương trình sin 22 x cos2x đoạn ;4 là?
A 2 B 4 C 6 D 8
Lời giải Phương trình sin 22 x cos2x 1 0 cos 22 x cos2x 2 0
cos
cos 2 ,
cos 2
x
x x k x k k
x loại
Do x ;4 k k k k 1;0;1;2;3;4
Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn Chọn C
Câu 60 Tính tổng T tất nghiệm phương trình 2 sin2 3cos 0
4
x x
đoạn 0;8
A T B T C T 16 D T
Lời giải Phương trình 2 sin2 3cos 0 2 cos2 3cos 0
4 4
x x x x
2
1 cos
1
4
2 cos 3cos cos cos cos
4 cos 2 4
4 x
x x x x
x
loại
0;8
0;8
4
2
4 20
4 3 8
4 20 3
2
4 3
x x
x k x k x
T x
(26)Chọn B
Câu 61 Số nghiệm phương trình 12 cot
sin x x 0; là?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Điều kiện: sinx x k k
Phương trình 1 cot2x 3 cotx 3 1 0 cot2x 3 cotx 3 0
0;
0;
3 cot cot
cot 4 4 4
cot
cot cot
6
6
x x
x x k x
x
x x k x
x
thỏa mãn thỏa mãn Vậy phương trình cho có nghiệm thỏa mãn
Chọn B
Câu 62 Tính tổng T tất nghiệm phương trình 2cos2x 2cosx đoạn 0;3
A 17
T B T C T D T
Lời giải
Phương trình 2cos2x 2cosx 2 0 2 2cos2x 1 2cosx 2 0
2
2
cos 2
2
4 cos cos 2 cos
2
cos
2
x
x x x
x loại 0;3
0;3
9
2 ;
9 17
4 4 .
7 4 4
2
4
x x
x k x x
T
x k x
Chọn A
Câu 63 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình cos2x 3sinx đường trịn lượng giác là?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Phương trình 1 2sin2x 3sinx 4 0 2sin2x 3sinx 5 0
sin
sin
5 2
sin
x
x x k k
(27)Suy có vị trí đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm Chọn A
Câu 64 Cho phương trình cos cos
x
x Nếu đặt cos
2
x
t , ta phương trình sau đây?
A 2t2 t 0. B 2t2 t 1 0. C 2t2 t 1 0. D 2t2 t 0. Lời giải
Ta có cos 2 cos2 1.
2
x x
Do phương trình 2 cos2 1 cos 1 0 2 cos2 cos 0.
2 2
x x x x
Đặt cos
x
t , phương trình trở thành 2t2 t 0. Chọn A
Câu 65 Số nghiệm phương trình cos cos
3
x x thuộc 0;2 là?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải Ta có cos 2 sin2 cos2
3
x x x
Do phương trình 2 cos2 4 cos 0
6 x x
1
cos 2
6 cos 2 ,
6
3 2
cos
2
6
x x k
x x k k
x k
x loại
Ta có 0;2 11
6
x
x k x ; 0;2
2
x
x k x
Vậy có hai nghiệm thỏa mãn Chọn B
Câu 66 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình tanx mcotx có nghiệm
A m 16 B m 16 C m 16 D m 16
Lời giải
Phương trình tan cot 8 tan 8 tan2 8tan 0
tan
m
x m x x x x m
x
(28)Chọn D
Câu 67 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình cos2x 2m cosx m có nghiệm khoảng ;3
2
A m B m C m D 1
2
m
Lời giải Phương trình
1 cos
2 cos cos
cos
x
x m x m
x m
Nhận thấy phương trình cos
x khơng có nghiệm khoảng ;3
2 (Hình vẽ) Do u cầu
tốn cosx m có nghiệm thuộc khoảng ;3
2 m
Chọn B
Câu 68 Biết m m0 phương trình 2sin2x 5m 1 sinx 2m2 2m 0 có 5 nghiệm phân biệt thuộc khoảng ;3
2 Mệnh đề sau đúng?
A m B
2
m C
3 ; 10
m D
3 ; 5
m
Lời giải Đặt t sin x t
Phương trình trở thành 2t2 5m 1 2m2 2m 0. *
O
(29)Yêu cầu toán tương đương với:
TH1: Phương trình * có nghiệm t1 (có nghiệm x) nghiệm t2 (có bốn nghiệm x) (Hình 1)
Do
1
c
t t m m
a
Thay t1 vào phương trình * , ta
2
2
3 0;1
1 0;1
2
m t
m t
loại thỏa
TH2: Phương trình * có nghiệm t1 (có hai nghiệm x) nghiệm t2 (có ba nghiệm x) (Hình 2)
Do
1
c
t t m m
a
Thay t1 vào phương trình * , ta 2
1 1;0
1
1;0
2
m t
m t
loại loại
Vậy
2
m thỏa mãn yêu cầu toán Do 3;
2 5
m
Chọn D
Câu 69 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 2cos 32 x 2m cos3x m có nghiệm thuộc khoảng ;
6
A m B 1 m C 1 m D 1 m
Lời giải
Đặt t cos x t Phương trình trở thành 2t2 3 2m t m 2 0.
Ta có 2m 52 Suy phương trình có hai nghiệm
1
2
t
t m
O
O
Hình Hình
(30)
Ta thấy ứng với nghiệm
1
t cho ta hai nghiệm x thuộc khoảng ;
6 Do u cầu
tốn t2 m m Chọn B
Cách Yêu cầu toán tương đươn với phương trình 2t2 2m t m có hai nghiệm t t1,
thỏa mãn
0
1
P
t t a f
a f
Câu 70 Giải phương trình sin2x 3 sin cosx x 3 cos2x 0.
A
3
x k k B
4
x k k C
2
3 .
2
x k
k
x k
D
4
x k
k
x k
Lời giải Phương trình tan2 3 tan 3 0 tan
tanx
x x x
4 .
3
x k
k
x k
Chọn D
Câu 71 Gọi S tập nghiệm phương trình 2sin2x 3 sin cosx x cos2x Khẳng định sau đúng?
A ;
3 S B 2; S C
5
;
4 12 S D
5
;
2 S
Lời giải Phương trình 2sin2x 3 sin cosx x cos2x 2 sin2x cos2x
O
(31)
2
3 sin cosx x 3cos x 3cosx sinx cosx
cos 0 .
2
k
x x k k x
sinx cosx sinx cosx
0
1
tan tan tan
6 6
3
k
x x x k k x
Vậy tập nghiệm phương trình chứa nghiệm
6
Chọn B
Câu 72 Trong phương trình sau, phương trình tương đương với phương trình
2
sin x sin cosx x 3 cos x
A sinx B sin
2
x
C cos tan
1
x x D tanx cos2x
Lời giải
Phương trình sin2x 3 sin cosx x 3 cos2x 3 sin2x cos2x
1 sin x sin cosx x sinx sinx cosx
sinx 0 cos2x 1 cos2x 1 0.
sinx cosx sinx cosx
3
tan tan tan
1
x x x
Vậy phương trình cho tương đương với tanx cos2x Chọn D
Câu 73 Phương trình có tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình
sin x 3 sin cosx x 1?
A cosx cot2x B sin tan
2
x x
C cos2 1 tan 3 0
2
x x D sinx cotx
(32)2
3 sin cosx x cos x cosx 3 sinx cosx
cos sin
2
x x
3 sin cos tan
x x x
Ta có
1
tan tan
3
tan tan
1
4 1 tan tan 1 .1
4
x
x x
x
Vậy phương trình cho tương đương vớisin tan
2
x x
Chọn B
Câu 74 Cho phương trình cos2x 3sin cosx x 1 0
Mệnh đề sau sai? A x k khơng nghiệm phương trình
B Nếu chia hai vế phương trình cho cos2x ta phương trình tan2x 3tanx
C Nếu chia vế phương trình cho sin2x ta phương trình 2cot2x 3cotx D Phương trình cho tương đương với cos2x 3sin 2x
Lời giải
Với sin sin2
cos cos
x x
x k
x x Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn Vậy A
Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0
2 2
sin x 3sin cosx x 2cos x tan x 3tanx Vậy B
Phương trình cos2x 3sin cosx x sin2x cos2x 0
2 2
2cos x 3sin cosx x sin x 2cot x 3cotx Vậy C sai
Chọn C
Phương trình cos 3sin cos 3sin
2
x x x x
Vậy D
Câu 75 Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình sin2x 4sin cosx x 4cos2x 5 đường tròn lượng giác là?
A 4 B 3 C 2 D 1
Lời giải Phương trình sin2x 4 sin cosx x 4 cos2x 5 sin2x cos2x
2
2
(33)1 tan
2
x có vị trí biểu diễn nghiệm đường tròn lượng gác Chọn C
Câu 76 Số nghiệm phương trình cos2x 3sin cosx x 2sin2x 0 2 ;2 ?
A 2 B 4 C 6 D 8
Lời giải
Phương trình
tan
4
1 3tan tan 1
1
tan arctan
2 2
x x k
x x
x x k
Vì ;2 2 2; 1;0;1
4 4
k
x k k k
Vì ;2 arctan1
2
x k
CASIO
xapxi 28,565 24,565 28; 27; 26; 25
k
k k
Vậy có tất nghiệm Chọn D
Câu 77 Nghiệm dương nhỏ phương trình 4 sin2x 3 sin 2x 2cos2x 4 là: A
12 B 6 C 4 D 3
Lời giải Phương trình 4 sin2x 3 sin 2x 2cos2x 4 sin2x cos2x
2
cos 3 sin cos cos sin cos tan
3
x
x x x x x
x
min Cho
min
1
0
2 2 2
1
0
6 6
k k
x k k k k x
x k k k k x
So sánh hai nghiệm ta
6
x nghiệm dương nhỏ Chọn B
Câu 78 Cho phương trình 2 sin2x sin 2x 2 cos2x 2 0 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai?
(34)B Nếu chia hai vế phương trình cho cos2x ta phương trình tan2x tanx C Nếu chia hai vế phương trình cho sin2x ta phương trình cot2x 2cotx 1 0
D Phương trình cho tương đương với cos2x sin 2x Lời giải Chọn D
Câu 79 Giải phương trình 2sin2x sin cosx x cos2x
A
6 B C
2
3 D 12
Lời giải
Phương trình 2sin2x 1 3 sin cosx x 1 3 cos2x sin2x cos2x
2
sin x sin cosx x 3 cos x
2 tan
tan an
tan
3
1 t
x k
x
x x
x x k
max Cho
max
1
0
4 4 .
1
0
3 3
k k
k k k x
k k k x
So sánh hai nghiệm ta
4
x nghiệm âm lớn Chọn B
Câu 80 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 10;10 để phương trình
2
11sin x m sin 2x 3cos x có nghiệm?
A 16 B 21 C 15 D 6
Lời giải Phương trình 9sin2x m 2 sin 2x cos2x 0
1 cos cos
9 sin 2 sin cos
2
x m x x m x x
Phương trình có nghiệm 2
2 16 25
1 m
m m
m 10;10 10; 9; ; 1;5;6; ;10
m
m m có 16 giá trị nguyên
(35)2
sin x m sin cosx x m cos x m có nghiệm?
A 2 B 1 C 0 D Vô số
Lời giải
Phương trình 1 m sin2x 2 m 1 sin cosx x 2m 1 cos2x 0
1 cos cos
1 sin 2
2
x x
m m x m
2 m sin 2x mcos2x m
Phương trình có nghiệm 2 2
4 m m 3m 4m 4m 0 m
0;1
m m
có giá trị nguyên Chọn A
Câu 82 Tìm điều kiện để phương trình asin2x asin cosx x bcos2x 0 với a 0 có nghiệm A a 4b B a 4b C 4b
a D
4
b
a
Lời giải Phương trình atan2x atanx b 0
Phương trình có nghiệm a2 4ab 0 a a 4b 0
4
4 b a b
a b a
a a
Chọn C
Câu 83 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình 2sin2x msin 2x 2m vơ nghiệm A 0
3
m B m 0,
3
m C 0
3
m D
3
m , m
Lời giải
Phương trình 2.1 cos sin 2 sin cos 2
x m x m m x x m
Phương trình vơ nghiệm 2
0
1 4
3
m
m m m m
m
Chọn B
Câu 84 Có tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn 3;3 để phương trình 2 cos2 2 sin 2 1 0
m x m x có nghiệm
(36)Lời giải Phương trình 2 1 cos 2 sin 2 1 0
2
x
m m x
2
4 sin 2m x m cos2x m
Phương trình có nghiệm 16m2 m2 22 m2 4 12m2 12 m2 1 m 1
3;3 3; 2; 1;1;2;3
m
m m có giá trị nguyên
Chọn C
Câu 85 Giải phương trìnhsin cosx x sinx cosx
A x k , k
x k
B 2 ,
x k
k
x k
C 2 ,
x k
k
x k
D x k , k
x k
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Vì sin 1;1 2;
4
x t
Ta có
2
2 sin cos sin2 cos2 2sin cos sin cos
2
t
t x x x x x x x x
Khi đó, phương trình cho trở thành 2 2 4 5 0 .
5
t
t t t t
t loại Với t 1, ta sin cos sin sin sin
4 4
x x x x
2 4
2
4
x k
x k
2 , 2
x k
k
x k
Chọn B
Câu 86 Cho phương trình 3 sinx cosx 2sin 2x Đặt t sinx cosx, ta phương trình đây?
A 2t2 2t B 4t2 2t C 2t2 2t D 4t2 2t Lời giải
Đặt t sinx cosx sin 2x t2 1.
Phương trình cho trở thành 3 2t 2 t2 1 4 0 2t2 3 2t 2 0. Chọn A
(37)A sin
4
x B cos
4
x C tanx D 1 tan2x 0.
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Điều kiện t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2.sin cosx x sin 2x t2 1.
Khi đó, phương trình cho trở thành 5 t2 1 t 6 0 5t2 t 1 0: vô nghiệm Nhận thấy đáp án A, B, C, D phương trình đáp án D vơ nghiệm Vậy phương trình cho tương đương với phương trình 1 tan2x 0.
Chọn D
Câu 88 Nghiệm âm lớn phương trình sin cos 1sin 2
x x x là:
A
2 B C
3
2 D
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Điều kiện t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1. Phương trình cho trở thành 1 2 2 3 0 .
3
t t
t t t
t loại Với t 1, ta sin sin sin sin
4 4
x x x
2
4 ,
2
2 2
4
x k
x k
k
x k
x k
TH1 Với x k2 k k kmax x
TH2 Với max
1
2
2
k
x k k k x
Vậy nghiệm âm lớn phương trình
2
x
Chọn C
Câu 89 Cho x thỏa mãn phương trình sin2x sinx cosx Tính sin
(38)A sin
x sin
4
x B sin
4
x sin
4
x
C sin
4
x D sin
4
x sin
4
x
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Điều kiện t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2
Phương trình cho trở thành 1 1 0
1 t
t t t t
t
Với t 1, ta sin sin
4
x x
Với t 0, ta sin sin
4
x x
Chọn B
Câu 90 Từ phương trình 5sin 2x 16 sinx cosx 16 0, ta tìm sin
x có giá trị bằng:
A
2 B
2.
2 C 1 D
2. Lời giải
Đặt sin cos sin
t x x x Điều kiện t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2.sin cosx x sin 2x 1 t2.
Phương trình cho trở thành
1
5 16 16 21
5
t
t t
t loại Với t sinx cosx
Mặt khác sinx cosx sinx cosx 2, kết hợp với suy
2
sin cos sin cos sin
4
x x x x x
Chọn D
Câu 91 Cho x thỏa mãn sinx cosx sin cosx x Tính cos
(39)A cos
x B cos
4
x C cos
4
x D cos
4
x
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Điều kiện t
Ta có
2
2 sin cos sin2 cos2 2 sin cos sin cos .
2
t
t x x x x x x x x
Phương trình cho trở thành 6 13
t t
t
t loại
1
2 sin sin sin
4 4
x x x
1
cos cos
2 x x
Chọn C
Câu 92 Từ phương trình cosx sinx 2sin cosx x 0, ta đặt t cosx sinx giá trị t nhận là:
A t t B t t C t D t Lời giải
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 1 3 t t2 1 3 0
2 1 3 3 0 1.
3
t
t t t
t loại Chọn C
Câu 93 Nếu sinx cosx sin 2x sinx bao nhiêu?
A sin 2
x B sin
2
x sin 2
x
C sinx sinx D sinx sinx Lời giải
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
(40)2 1 5 5 0
5
t
t t
t loại
sinx cosx cosx sinx
Mặt khác sin2 cos2 sin2 sin 12 sin
sin
x
x x x x
x Chọn D
Câu 94 Nếu sinx cosx cos
x bao nhiêu?
A B 1 C
2 D
2. Lời giải
Ta có sinx cosx sinx cosx sin cosx x sinx cosx sin cosx x sinx cosx 2.sin cosx x
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Khi trở thành 2 1 2 2 3 0
3
t
t t t t
t loại
sinx cosx
Ta có cos cos cos sin sin cos sin
4 4 2
x x x x x
Chọn C
Câu 95 Cho x thỏa mãn 2sin 2x sinx cosx Tính sin x
A sin 2
x B sin 2
2
x C sin
2
x D sin 2
2
x
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Vì sin 1;1 0;
4
x t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x t2 1.
Phương trình cho trở thành
6
2
6 t
t t
t loại
2
sin
2
(41)Chọn C
Câu 96 Hỏi đoạn 0;2018 , phương trình sinx cosx sin 2x có nghiệm?
A 4037 B 4036 C 2018 D 2019
Lời giải Đặt sin cos sin
4
t x x x Vì sin 1;1 0;
4
x t
Ta có t2 sinx cosx sin2x cos2x 2sin cosx x sin 2x 1 t2.
Phương trình cho trở thành
1
4 1
4
t
t t
t loại
Với t 1, ta sin 2 ,
k
x x k x k
Theo giả thiết 0;2018 2018 4046
k
x k
0;1;2;3; ;4036
k k
có 4037 giá trị k nê có 4037 nghiệm Chọn A
Câu 97 Từ phương trình sinx cosx tanx cotx, ta tìm cosx có giá trị bằng:
A 1 B
2 C
2.
2 D
Lời giải Điều kiện sin sin
cos
x
x
x
Ta có sin cos tan cot sin cos sin cos cos sin
x x
x x x x x x
x x
2
sin cos
2 sin cos sin cos sin cos
sin cos
x x
x x x x x x
x x
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 2t t2 1 2 t3 t 2 0 t 2
sinx cosx sinx cos x
Mà sin2x cos2x 1 cos2x 2 cosx 1 2cos2x 2 cosx 1 0
2
2 cos cos
(42)Chọn C
Câu 98 Từ phương trình 1 sin3 cos3 3sin 2
2
x x x, ta tìm cos
x có giá trị bằng:
A 1 B
2 C
2.
2 D
2. Lời giải
Phương trình sin cos sin co 3sin 2 s
x x x x x
2 sinx cosx sin 2x 3sin x
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 2 t 2 t2 1 3 t2 1
3 32 3 5 0 .
1
t
t t t
t loại
Với t 1, ta sin cos sin
4
x x x
Mà sin2 cos2 1 cos2 cos 2.
4 4
x x x x
Chọn D
Câu 99 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin cosx x sinx cosx m có nghiệm?
A 1 B 2 C 3 D 4
Lời giải
Đặt sin cos 2 sin cos
2
t
t x x t x x
Phương trình trở thành 0 2 2 1 12 2 2
2
t
t m m t t t m
Do t 2 t t 12 2
Vậy để phương trình có nghiệm 2 2 2
m m
1;0;1
m m
(43)Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I. Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.
II Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS
Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn
đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia III. Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
- - - - -