Về một số lớp bất phương trình hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THÁNH ĐUA VỀ MỘT SỐ LỚP BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐINH THÁNH ĐUA VỀ MỘT SỐ LỚP BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành: Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Đà Nẵng - Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Trịnh Đào Chiến, luận văn “Về số lớp bất phương trình hàm” hồn thành, khơng trùng với luận văn khác Trong q trình làm luận văn, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Đà Nẵng, tháng năm 2016 Tác giả luận văn Đinh Thánh Đua MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO 1.2 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ 43 CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM DẠNG TUYẾN TÍNH 52 CHƢƠNG MỘT SỐ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 68 KẾT LUẬN 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 75 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phƣơng trình hàm, bất phƣơng trình hàm dạng tốn thƣờng có mặt đề thi chọn học sinh giỏi cấp Olympic toán quốc tế Đây dạng tốn thƣờng khó Những dạng tốn tìm hàm số thỏa mãn bất đẳng thức hàm cho trƣớc đƣợc xem toán giải bất phƣơng trình hàm Lý thuyết giảng bất phƣơng trình hàm đƣợc đề cập sâu giáo trình bậc đại học Tuy nhiên, tài liệu bất phƣơng trình hàm nhƣ chuyên đề chọn lọc cho giáo viên học sinh chun tốn bậc trung học phổ thơng, ngồi tài liệu [3], chƣa có nhiều, cịn chƣa đƣợc hệ thống theo dạng toán nhƣ phƣơng pháp giải Năm 2011, luận văn thạc sĩ [2] (cùng ngƣời hƣớng dẫn khoa học luận văn này) đƣợc bảo vệ, chủ yếu đề cập đến số dạng bất phƣơng trình hàm bản, tƣơng tự nhƣ dạng phƣơng trình hàm Cauchy Nhiều dạng tốn tổng hợp khác, liên quan đến bất phƣơng trình hàm chƣa đƣợc đề cập Luận văn [2] chƣa khảo sát dạng toán liên quan tập số nguyên Tiếp nối hƣớng nghiên cứu ấy, luận văn tiếp tục khai thác dạng tổng hợp khác toán giải bất phƣơng trình hàm Các dạng tốn liên quan tập số nguyên đƣợc luận văn nghiên cứu Nhiều phƣơng pháp giải tốn khó đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế đƣợc đề cập Luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh phổ thơng Do đó, đề tài có sở khoa học mang tính thực tiễn chƣơng trình tốn học phổ thơng, đặc biệt hệ Chuyên Toán, phù hợp với chuyên ngành Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mục tiêu nghiên cứu Đề tài đề cập đến số lớp bất phƣơng trình hàm tập số thực tập số nguyên, với áp dụng chúng việc giải nhiều dạng tốn khó, thƣờng xuất đề thi học sinh giỏi cấp Olympic Toán quốc tế Nhiều dạng toán phƣơng pháp giải khác đƣợc trình bày luận văn Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tƣợng nghiên cứu Một số lớp bất phƣơng trình hàm tập số thực tập số nguyên 3.2 Phạm vi nghiên cứu Thuộc chuyên ngành Phƣơng pháp toán sơ cấp Phƣơng pháp nghiên cứu Từ tài liệu sƣu tầm đƣợc, dƣới định hƣớng ngƣời hƣớng dẫn khoa học, luận văn đề cập đến số lớp bất phƣơng trình hàm tập số thực tập số nguyên, với áp dụng chúng Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Với mục đích nghiên cứu nêu trên, việc nghiên cứu luận văn có ý nghĩa khoa học, mang tính thực tiễn phù hợp với chun ngành Phƣơng pháp Tốn sơ cấp Có thể sử dụng luận văn nhƣ tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh bạn đọc quan tâm đến công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Với mục đích nêu trên, phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo theo quy định, nội dung luận văn đƣợc chia thành chƣơng sau đây: Chƣơng 1: Một số dạng bất phƣơng trình hàm Nội dung chƣơng chủ yếu đề cập đến số dạng bất phƣơng trình hàm biến nhiều biến tự do, số định lý hệ có liên quan, áp dụng cho việc giải tập cụ thể Chƣơng 2: Một số hệ bất phƣơng trình hàm dạng tuyến tính Chƣơng ta chủ yếu trình bày định lý hệ liên quan, đƣợc xem nhƣ tập dạng tổng quát hệ bất phƣơng trình hàm tuyến tính, từ giải đƣợc tập cụ thể Chƣơng 3: Một số bất phƣơng trình hàm tập số nguyên Nội dung chƣơng trình bày số tốn tập số nguyên phƣơng pháp giải đặc trƣng tập số nguyên CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Nội dung chƣơng chủ yếu đề cập đến số dạng bất phƣơng trình hàm nhiều biến tự toán bất phƣơng trình hàm biến số 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO Phương pháp chung: Sử dụng bảng đặc trƣng hàm, tìm dạng nó, sau đƣa phƣơng pháp giải Bài tốn 1.1 Xác định hàm số f ( x) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f ( x  y)  f ( x)  f ( y) , x, y  ; (ii) f  x   , x  Giải: Từ điều kiện toán, thay x  y  ta thu đƣợc f    f   f    Do f    Vậy nên  f  0  f  x    x   f  x   f   x   Suy f  x   Thử lại, ta thấy hàm số f  x   thỏa mãn điều kiện Bài toán 1.2 Cho trước a  Xác định hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x   f  y  , x, y  ; (ii) f  x   ax , x  Giải: Xét hàm số g  x   ax Để ý g  x  y   g  x   g  y  Đặt f  x   g  x   h  x  Khi đó, ta thu đƣợc điều kiện (i) h  x  y   h  x   h  y  , x, y  ; (ii) h  x   , x  Theo Bài tốn 1.1, ta có h  x   hay f  x   ax Thử lại thấy thỏa mãn Bài toán 1.3 Cho trước a  Xác định hàm số f  x  thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x  f  y  , x, y  ; (ii) f  x   a x , x  Giải: Nhận xét f  x   với x  Vậy ta logarit hóa hai vế bất đẳng thức điều kiện cho (i) ln f  x  y   ln f  x   ln f  y  , x, y  ; (ii) ln f  x    ln a  x , x  Đặt ln f ( x)   ( x) , ta thu đƣợc (i)   x  y     x     y  , x, y  ; (ii)   x    ln a  x , x  Ta nhận đƣợc dạng Bài toán 1.2 Vậy   x    ln a  x Suy f  x   a x Thử lại, ta thấy hàm số f  x   a x thỏa mãn điều kiện Nhận xét rằng, toán giải đƣợc tập xác định  hàm số đƣợc thay khoảng mở U chứa cho với x, y U x  y U Một câu hỏi tự nhiên đƣợc đặt ra: Trong Bài tốn 1.3, thay hàm số g  x   a x hàm số để tốn có nghiệm khơng tầm thƣờng ? Nhận xét - Với  a  a x   x , x  a x   x , x  ; - Với a  a x   x , x  ; a x   x , x  0;1 ; a x   x , x  Từ đó, cách tự nhiên, ta xét hàm số g  x   x  Từ sau, ta giả sử U khoảng mở chứa cho với x, y U x  y U Chẳng hạn U tập sau: U   (tập số thực) ; U   (tập số hữu tỉ) ; U  x   x  0 ; U  x   x  0 Bài toán 1.4 Xác định hàm số f : U   thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: (i) f  x  y   f  x  f  y  , x, y U ; (ii) f  x    x , x U Giải: Bởi (i), ta có  x x  x f  x   f     f    , x U 2 2 2 Nếu f  x0   , x x  x   f  x0   f     f   2 2 2 x  x  Do f    Quy nạp, ta có f    với số nguyên dƣơng n 2  2n  Tuy nhiên, từ (ii) suy f  x   với x U x gần Do điều mâu thuẫn Vậy f  x   , x U Tiếp theo, từ (i) (ii), ta thấy f khả vi điểm x U f '  x   f  x  ... CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO 1.2 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN SỐ 43 CHƢƠNG MỘT SỐ HỆ BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM DẠNG TUYẾN... Chƣơng 3: Một số bất phƣơng trình hàm tập số nguyên Nội dung chƣơng trình bày số toán tập số nguyên phƣơng pháp giải đặc trƣng tập số nguyên 4 CHƢƠNG MỘT SỐ DẠNG BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM Nội dung... yếu đề cập đến số dạng bất phƣơng trình hàm nhiều biến tự tốn bất phƣơng trình hàm biến số 1.1 BẤT PHƢƠNG TRÌNH HÀM NHIỀU BIẾN TỰ DO Phương pháp chung: Sử dụng bảng đặc trƣng hàm, tìm dạng nó,