Một số lớp trong phương trình MongeAmp è re trên miền siêu lồi và đa tạp compact Kahler

1 MỞ ĐẦU 1. Tổng quan vấn đề nghiên cứu và lí do chọn đề tài Cho X là đa tạp compact K¨ahler phức n chiều với dạng cơ bản ω = ω X . Gần đây, năm 2008 các tác giả D. Coman, V. Guedj, A. Zeriahi đã giới thiệu lớp hàm DMA(X, ω) mà trên đó chúng ta có thể định nghĩa toán tử Monge - Ampère (dd c ϕ + ω) n một cách toàn thể và lớp hàm DMA loc (X, ω) mà trên đó toán tử Monge - Ampère (dd c ϕ + ω) n có thể xác định địa phương. Các tác giả cũng chỉ ra rằng lớp các hàm ω− đa điều hòa dưới có thể định nghĩa địa phương toán tử Monge - Ampère nằm trong lớp các hàm có thể định nghĩa toàn thể toán tử Monge - Ampère.Trong chương 1 chúng tôi là sẽ chỉ ra một lớp hàm ω−psh thuộc lớp mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa toàn thể nhưng không thuộc lớp mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa địa phương. Sử dụng kết quả thu được chúng tôi nghiên cứu bài toán dưới nghiệm trong lớp DMA loc (CP n , ω). Trong chương 2 chúng tôi trình bày mối quan hệ giữa lớp hàm ω đa điều hòa dưới E p (X, ω), p > 0 và DMA loc (X, ω) trên đa tạp compact K¨ahler X. Đồng thời, chúng tôi cũng nghiên cứu mối quan hệ giữa lớp DMA∩L(C n ) và DMA(CP n , ω) cũng như mối quan hệ giữa lớp  DMA ∩ L(C n ) và  DMA(CP n , ω). Năm 2010 tác giả R. Czyz và tổng quát hơn năm 2011 các tác giả Lê Mậu Hải, Phạm Hoàng Hiệp đã giải phương trình dạng Monge – Ampère : µ = −χ(u)(dd c u) n (2) trên miền siêu lồi khi độ đo µ triệt tiêu trên tập đa cực. Việc giải phương trình Monge-Ampère cổ điển (1) khi độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực được Phạm Hoàng Hiệp và các cộng sự giải vào năm 2009. Tiếp tục hướng nghiên cứu về phương trình Monge – Ampère, trong chương 3 chúng tôi nghiên cứu sự 2 tồn tại nghiệm của phương trình dạng Monge-Ampère phức (phương trình 2) trong trường hợp độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực. Đồng thời, chúng tôi cũng giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω). Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một ví dụ về tính không giải được của phương trình Monge - Ampère với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa. 2. Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu phương trình Monge-Ampère trên đa tạp compact K¨ahler và trên miền siêu lồi : • Đưa ra điều kiện đủ để cho hàm thuộc lớp thuộc lớp E(CP n , ω)\DMA loc (CP n , ω). • Nghiên cứu bài toán dưới nghiệm trên lớp DMA loc (CP n , ω). • Nghiên cứu các lớp hàm ω-đa điều hòa dưới trên đa tạp compact K¨ahler. • Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình dạng Monge-Ampère µ = −χ(u)(dd c u) n trong lớp E χ (Ω) khi độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực. • Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω). • Nghiên cứu về tính giải được của phương trình dạng Monge-Ampère với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa. 3. Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng các phương pháp nghiên cứu và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức nhiều biến. 3 4. Bố cục của luận án Ngoài phần mở đầu và kết luận, bố cục nội dung của luận án được trình bày trong ba chương cụ thể như sau: • Chương 1. Định nghĩa toàn thể và địa phương của toán tử Monge - Ampère trên đa tạp compact K¨ahler. • Chương 2. Các lớp hàm ω-đa điều hòa dưới trên đa tạp compact K¨ahler. • Chương 3. Phương trình dạng Monge - Ampère trong lớp năng lượng phức có trọng. 5. Những đóng góp của luận án • Đã đưa ra điều kiện đủ để một hàm thuộc lớp hàm ω−psh có thể định nghĩa toàn thể của toán tử Monge-Ampère không thuộc lớp hàm có thể định nghĩa địa phương của toán tử Monge-Ampère trong không gian xạ ảnh phức n chiều. • Chỉ ra rằng tồn tại dưới nghiệm nhưng không tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère trên lớp DMA loc (CP n , ω) • Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(C n ) và DMA(CP n , ω) cũng như mối quan hệ giữa lớp  DMA ∩ L(C n ) và  DMA(CP n , ω). • Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức: µ = −χ(u)(dd c u) n trên lớp E(Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm µ  −χ(ω)(dd c ω) n 4 với ω ∈ E(Ω). • Giải phương trình dạng Monge-Ampère phức µ = −χ(u)(dd c u) n trên lớp E(Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm địa phương. • Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω). • Đưa ra một ví dụ về tính không giải được của phương trình Monge - Ampère với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa. Chương 1 Định nghĩa toàn thể và địa phương của toán tử Monge - Ampère trên đa tạp compact K¨ahler 1.1 Giới thiệu 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.2.1 Miền siêu lồi 1.2.2 Các lớp hàm Cegrell 1.2.3 Dung lượng của tập Borel 1.2.4 Quan hệ giữa lớp DMA(X, ω) và lớp DMA loc (X, ω) Định nghĩa 1.2.1. DMA(X, ω) là tập các hàm ϕ ∈ PSH(X, ω) sao cho tồn tại độ đo Radon dương MA(ϕ) thỏa mãn với mọi dãy {ϕ j } các hàm ω-đa điều hòa dưới bị chặn giảm tới ϕ thì (ω + dd c ϕ j ) n hội tụ yếu đến độ đo MA(ϕ). Khi đó, chúng ta kí hiệu ω n ϕ = (ω + dd c ϕ) n = MA(ϕ). Định nghĩa 1.2.2.  DMA(X, ω) là tập các hàm ϕ ∈ DMA(X, ω) sao cho 5 6 với mọi dãy các hàm ω-psh bị chặn {ϕ j } giảm tới ϕ và với mọi hàm u ∈ PSH(X, ω) ∩ L ∞ (X, ω) ta có:  X u(ω + dd c ϕ j ) n →  X u(ω + dd c ϕ) n Định nghĩa 1.2.3. DMA loc (X, ω) là tập các hàm ϕ ∈ PSH(X, ω) thỏa mãn về mặt địa phương trên bất kì một bản đồ mở U ⊂ X, hàm ϕ | U +ρ U ∈ D(U) ở đó ρ U là thế vị đa điều hòa dưới của ω trên U và D(U) = {ϕ ∈ PSH(U) : ϕ − sup U ϕ ∈ E(U)} Chúng ta có định lý sau: Định lý 1.2.4. Ta có: DMA loc (X, ω) = n−1  p=1 E p (ω p , ω) ở đó E p (ω p , ω) là tập các hàm ω-đa điều hòa trên X sao cho với mọi dãy các hàm ω-psh bị chặn {ϕ j } giảm tới ϕ ta có: sup j1  X |ϕ j | p ω p ∧ ω n−p ϕ j < +∞ Hơn nữa, ta có: DMA loc (X, ω) ⊂  DMA(X, ω) Từ Định lí trên ta thấy lớp các hàm ω−psh mà toán tử Monge-Ampère có thể định nghĩa địa phương nằm trong lớp các hàm ω−psh mà toán tử Monge- Ampère có thể định nghĩa toàn thể. 1.3 Các kết quả 1.3.1 Điều kiện đủ cho hàm thuộc lớp E(CP n , ω) \ DMA loc (CP n , ω) Trước tiên, chúng tôi cần một số kết quả quan trọng sau: 7 Mệnh đề 1.3.1. Giả sử Ω là một miền siêu lồi trong C n và u ∈ E(Ω), v ∈ PSH − (Ω), α ∈ (0, 1) thỏa mãn u  −|v| α . Khi đó u ∈ E a (Ω) với E a (Ω) kí hiệu tập u thuộc lớp E(Ω) mà (dd c u) n triệt tiêu trên các tập đa cực của Ω. Mệnh đề 1.3.2. Giả sử Ω là miền siêu lồi trong C n và u ∈ E a (Ω). Khi đó, với mọi tập compact K  Ω và t > 0 chúng ta có khẳng định sau. Cap({u < −t} ∩ K) = o(1) t n . với o(1) là vô cùng bé khi t → +∞ Như chúng ta đã biết trên hình cầu đơn vị B(0; 1) trong C n thì ta có −(log |z 1 |) 1 n /∈ E(B(0, 1)). Hệ quả sau đây của chúng tôi là một sự mở rộng kết quả trên. Hệ quả 1.3.3. Nếu α 1 , . . . , α k ∈ (0, 1] thỏa mãn 1 α 1 + · · · + 1 α k  n, với 1  k < n thì hàm u(z) = max  −| log |z 1 || α 1 , . . . , −| log |z k || α k  /∈ E( n r ) với 0 < r < 1 và  n r = {z ∈ C n : |z 1 | < r, . . . , |z n | < r}, ∀r > 0. Bây giờ, chúng ta xét Ω là một miền siêu lồi trong đa tạp compact K¨ahler X. Điều đó có nghĩa Ω là song chỉnh hình tới một miền siêu lồi bị chặn trong 8 C n . Cho µ là một độ đo Borel dương hữu hạn trên X triệt tiêu trên tập đa cực. Khi đó tồn tại hàm ϕ µ ∈ E(X, ω) sao cho µ = (ω + dd c ϕ µ ) n . Mặt khác, chúng ta dễ thấy E(X, ω) ⊂ DMA(X, ω). Theo U. Cegrell tồn tại một hàm ϕ µ,Ω ∈ F a (Ω) thỏa mãn µ = (dd c ϕ µ,Ω ) n . Từ nay cho đến cuối chương này chúng ta giữ kí hiệu ϕ µ và ϕ µ,Ω để chỉ các hàm chúng ta đã nói ở trên. Chúng ta cần Mệnh đề sau. Mệnh đề 1.3.4. Giả sử Ω là một miền siêu lồi trong X và ω = dd c θ trên X với θ ∈ PSH − ∩ L ∞ (Ω). Khi đó, với mọi ϕ ∈ E(X, ω) và µ = ω n ϕ ta có khẳng định ϕ| Ω + θ  ϕ µ,Ω Sau đây là kết quả chính của chương 1, chúng tôi chỉ ra hàm ω−psh thuộc lớp có thể định nghĩa toàn thể của toán tử Monge - Ampère nhưng không thuộc lớp có thể định nghĩa địa phương của toán tử Monge - Ampère trên không gian xạ ảnh. Định lý 1.3.5. Giả sử (CP n , ω) là một không gian xạ ảnh phức, ở đó ω là dạng Fubini - Study, ϕ µ ∈ E(CP n , ω) là nghiệm của phương trình Monge - Ampère µ = (ω + dd c ϕ µ ) n với µ là độ đo Radon không âm triệt tiêu trên tập đa cực sao cho µ(X) =  X ω n = 1. 9 Hàm ϕ µ, n r thỏa mãn µ = (dd c ϕ µ, n r ) n trên  n r và hàm h(z) /∈ E( n r ) được nói trong Hệ quả 1.3.3. Nếu ϕ µ, n r  A max(log |z 1 |, h(z 2 , . . . , z n )) + C, với A > 1, C > 0 là những hằng số thì ta có ϕ µ /∈ DMA loc (CP n , ω). Hệ quả 1.3.6. Giả sử ν là một độ đo trên CP n triệt tiêu trên tập đa cực và thỏa mãn ν(CP n ) < 1. Khi đó, với mọi tập mở D  CP n tồn tại một hàm f ∈ L 1 (ω n ) thỏa mãn suppf ⊂ D và  CP n fω n = 1 − ν(CP n ) đồng thời ϕ ν+f ω n /∈ DMA loc (CP n , ω). 1.3.2 Bài toán dưới nghiệm trên lớp hàm DMA loc (CP n , ω) Nhận xét 1.3.7. Giả sử ω là một dạng Fubini-Study trên CP n . Bây giờ, chúng ta xây dựng một độ đo µ trên CP n và một hàm ψ ∈ PSH(CP n , ω) ∩ L ∞ loc (CP n \{0}) sao cho µ  C(dd c ψ + ω) n với hằng số C > 1, độ đo (dd c ψ + ω) n triệt tiêu trên tập đa cực nhưng ϕ µ /∈ DMA loc (CP n , ω). Theo kết quả của J. P Demailly, chúng ta biết rằng nếu ψ ∈ PSH(CP n , ω) ∩ L ∞ loc (CP n \{0}) 10 thì ta có ψ ∈ DMA loc (CP n , ω). Điều này chỉ ra rằng trên lớp DMA loc (CP n , ω) tồn tại dưới nghiệm nhưng không tồn tại nghiệm của phương trình Monge-Ampère . [...]... được Trong luận án này chúng tôi đã nghiên cứu phương trình Monge-Amp re trên đa tạp compact K¨hler và trên miền siêu lồi Các kết quả đạt được trong a luận án bao gồm: • Đã đưa ra điều kiện đủ để một hàm ω−psh thuộc lớp hàm có thể định nghĩa toàn thể của toán tử Monge-Amp re không thuộc lớp hàm có thể định nghĩa địa phương của toán tử Monge-Amp re trong không gian xạ ảnh phức n chiều • Chỉ ra rằng trên. .. cứu tiếp là: • Đưa ra điều kiện cần và đủ để một hàm thuộc lớp hàm có thể định nghĩa địa phương của toán tử Monge - Amp re trên không gian xạ ảnh • Giải phương trình Monge - Amp re µ = (ω + ddc u)n trên đa tạp compact Kahler trong trường hợp độ đo µ không triệt tiêu trên tập đa cực Trong trường hợp độ đo µ triệt tiêu trên tập đa cực đã được V Guedj và A Zeriahi giải vào năm 2007 ... ω)n với ω ∈ E(Ω) • Giải phương trình dạng Monge-Amp re phức µ = −χ(u)(ddc u)n trên lớp E(Ω) nếu tồn tại dưới nghiệm địa phương 20 • Giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω) • Đưa ra một ví dụ về tính không giải được của phương trình Monge Amp re với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa 21 Kiến nghị một số vấn đề nghiên cứu tiếp theo Bên cạnh các kết quả đã đạt được trong luận án, một số vấn đề mở liên quan... rằng trên lớp hàm DMAloc (CPn , ω), phương trình Monge-Amp re có dưới nghiệm nhưng không tồn tại nghiệm • Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp Ep (X, ω) với p > 0 và DMAloc (X, ω) trên đa tạp compact K¨hler X a • Đã đưa ra mối quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(Cn ) và DMA(CPn , ω) cũng như mối quan hệ giữa lớp DMA ∩ L(Cn ) và DMA(CPn , ω) • Giải phương trình dạng Monge-Amp re phức: µ = −χ(u)(ddc u)n trên lớp E(Ω)... Monge - Amp re trong lớp năng lượng phức có trọng 3.1 Giới thiệu 3.2 Kiến thức chuẩn bị 3.2.1 Lớp hàm N (Ω) 3.2.2 Hàm với độ đo triệt tiêu ngoài tập đa cực 3.2.3 Lớp hàm Eχ (Ω) 3.3 Các kết quả 3.3.1 Phương trình dạng Monge-Amp re trong lớp Eχ (Ω) Mệnh đề 3.3.1 Giả sử χ : R− → R− là một hàm tăng liên tục và {uj , u} ⊂ E(Ω) Khi đó, chúng ta có các khẳng định sau: (a) Nếu uj → u theo dung lượng Cn−1 và uj... chính của chương, ta đã giải bài toán phương trình Monge Amp re có trọng khi tồn tại dưới nghiệm, tiếp theo đây chúng ta tiếp tục giải bài toán phương trình Monge - Amp re có trọng khi tồn tại dưới nghiệm địa phương trong lớp E(Ω) Mệnh đề 3.3.6 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm lồi liên tục tăng thỏa mãn χ(−∞) > −∞, χ(t) < 0 với ∀ t < 0 và µ là một độ đo không âm trên Ω thỏa mãn µ(Ω) < +∞ 17 Khi đó,... −ψdµ < +∞ Ω với ψ ∈ E0 (Ω) trong Mệnh đề 3.3.7 là cần thiết và đồng thời cũng chỉ ra tính không giải được của phương trình Monge - Amp‘ere với độ đo không hữu hạn trên đa đĩa Ví dụ 3.3.1 Chúng ta xây dựng một độ đo không âm µ trên đa đĩa ∆n (n và triệt tiêu trên tất cả các tập đa cực thỏa mãn: (− max(ln |z1 |, , ln |zn |))p dµ < +∞ ∆n 2) 18 với mọi p > 1 nhưng không tồn tại một hàm u ∈ E(∆n ) thỏa mãn:... thỏa mãn µ = −χ(u)(ddc u)n nếu và chỉ nếu với mọi z ∈ Ω tồn tại một lân cận Wz của z và vz ∈ E(Wz ) thỏa mãn µ (ddc vz )n trong Wz Tiếp theo, chúng tôi giải bài toán Dirichlet trong lớp N (Ω) Mệnh đề 3.3.7 Giả sử µ là một độ đo không âm Ω thỏa mãn −ψdµ < +∞ Ω với ψ ∈ E0 (Ω) và với mọi z ∈ Ω có một lân cận Wz của z và vz ∈ E(Wz ) thỏa mãn µ (ddc vz )n trên Wz Khi đó, có một hàm u ∈ N (Ω) thỏa mãn µ...Chương 2 Các lớp hàm ω -đa điều hòa dưới trên đa tạp compact K¨hler a 2.1 Giới thiệu Định nghĩa 2.1.1 DMA ∩ L(Cn ) là tập các hàm ϕ thuộc lớp L(Cn ) sao cho tồn tại một độ đo µ không âm trên Cn thỏa mãn với mọi dãy ϕj thuộc lớp L+ (Cn ) giảm đến ϕ thì (ddc ϕj )n hội tụ yếu đến độ đo µ Khi đó, chúng ta đặt µ = (ddc ϕ)n nếu ϕ ∈ DMA ∩ L(Cn ) Định nghĩa 2.1.2 DMA ∩ L(Cn ) là tập các hàm ϕ thuộc lớp DMA ∩ L(Cn... 0 và U G ⊂ Ω là một miền siêu lồi bị chặn Khi đó, với mọi u ∈ Eχ (G) tồn tại một hàm u ∈ Eχ (Ω) thỏa mãn −χ(u)(ddc u)n = 1U [−χ(u)](ddc u)n trên Ω Hệ quả 3.3.5 Giả sử χ : R− −→ R− là một hàm liên tục tăng thỏa mãn χ(t) < 0 với mọi t < 0 và χ(−∞) > −∞ Nếu v ∈ F(Ω) và hàm f ∈ L1 ((ddc v)n ) với loc 0 thì tồn tại một dãy giảm {uj } ⊂ F(Ω) thỏa mãn supp(ddc uj )n f −χ(uj )(ddc uj )n Ω và f (ddc v)n , khi . không hữu hạn trên đa đĩa. 2. Mục đích đối tượng và phạm vi nghiên cứu Mục đích của luận án là nghiên cứu phương trình Monge-Amp re trên đa tạp compact K¨ahler và trên miền siêu lồi : • Đưa ra. trên đa đĩa. Chương 1 Định nghĩa toàn thể và địa phương của toán tử Monge - Amp re trên đa tạp compact K¨ahler 1.1 Giới thiệu 1.2 Kiến thức chuẩn bị 1.2.1 Miền siêu lồi 1.2.2 Các lớp hàm Cegrell 1.2.3. = ∞  j=1 (dd c u j ) n . 19 Các kết quả đạt được Trong luận án này chúng tôi đã nghiên cứu phương trình Monge-Amp re trên đa tạp compact K¨ahler và trên miền siêu lồi. Các kết quả đạt được trong luận án bao gồm: • Đã