Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng -Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THU NGUYỆT ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH, BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng -Năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng Các tài liệu tham khảo luận văn được trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm Tác giả Nguyễn Thị Thu Nguyệt MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Các hệ thức lượng tam giác 1.1.2 Các bất đẳng thức tam giác 1.1.3 Cơng thức tính chu vi, diện tích đa giác, đường trịn 1.2 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 1.2.1 Tích vơ hướng hai vectơ 1.2.2 Đường thẳng tương giao đường thẳng 1.2.3 Đường tròn ba đường conic 1.3 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 1.3.1 Tích vơ hướng hai vectơ 1.3.2 Tích có hướng tích hỗn hợp 1.3.3 Đường thẳng mặt phẳng 10 1.3.4 Mặt cầu 13 CHƢƠNG ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO GIẢI PHƢƠNG TRÌNH,BẤT PHƢƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH 14 2.1 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG 14 2.1.1 Ứng dụng vào giải phương trình 14 2.1.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình 31 2.1.3 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 39 2.2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 50 2.2.1 Ứng dụng vào giải phương trình 50 2.2.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình 58 2.2.3 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 61 KẾT LUẬN 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI(bản sao) NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG ĐỀ TÀI ΔABC : Tam giác ABC A,B,C : Các đỉnh hay góc tương ứng tam giác a,b,c : Độ dài cạnh đối diện góc A, B, C h a ,h b ,h c : Độ dài đường cao xuất phát từ A, B, C R : Bán kính đường trịn ngoại tiếp r : Bán kính đường trịn nội tiếp p : Nửa chu vi tam giác // : Song song  :Vng góc MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học giải tích mơn học chương trình tốn bậc phổ thơng đại học, kiến thức sở có liên quan mật thiết với môn học khác đại số, lượng giác, Chính vậy, việc tìm hiểu vận dụng kiến thức hình học giải tích cần thiết giúp việc học tập mơn học khác hiệu Hình học giải tích sáng lập đồng thời hai nhà bác học người Pháp Descartes (1596-1650) Ferma (1601-1655) với đặc trưng môn học ứng dụng phương pháp tọa độ đại số vectơ để khảo sát tốn hình học Phương pháp khơng ứng dụng để giải tốn hình học mặt phẳng hay không gian ba chiều mà cịn ứng dụng trong khơng gian nhiều chiều với hình dạng phức tạp việc vẽ hình để giải tốn điều khó thực Gần đây, nhiều kì thi tuyển sinh đại học, thi học sinh giỏi, thi toán Olympic quốc tế hay tạp chí tốn học có nhiều tốn khơng liên quan đến hình học vận dụng kiến thức hình học để giải Một dạng tốn tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số với nhiều phương pháp giải đặc thù, lạ tương đối khó vận dụng học sinh lẫn giáo viên Được định hướng thầy giáo hướng dẫn với mong muốn tìm hiểu thêm chủ đề nhằm nâng cao trình độ chun mơn thân, tơi chọn đề tài “Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số” cho đề tài luận văn Thạc sĩ Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu tìm hiểu tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số, vận dụng phương pháp thích hợp hình học giải tích để giải tốn nêu chương trình phổ thông trung học Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài tốn ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học giải tích để giải tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phƣơng pháp nghiên cứu - Thu thập, tổng hợp tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn - Phân tích, nghiên cứu tài liệu thu thập để thực đề tài - Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu Bố cục đề tài Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận phụ lục Chương 1: Giới thiệu khái niệm kết hình học phẳng hình học giải tích liên quan đến tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Chương 2: Trình bày tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình ứng dụng hình học giải tích Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Trần Đạo Dõng, người tận tình hướng dẫn, động viên giúp đỡ suốt thời gian thực triển khai luận văn chân thành cảm ơn q thầy tận tình giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình đào tạo khóa cao học tháng năm 2014 Đại Học Đà Nẵng CHƢƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Chương nhắc lại số kiến thức sở hình học phẳng hình học giải tích liên quan đến việc nghiên cứu chương Các nội dung trình bày chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3],[4],[5] 1.1 KIẾN THỨC CƠ SỞ VỀ HÌNH HỌC PHẲNG 1.1.1 Các hệ thức lƣợng tam giác a Hệ thức lượng tam giác vuông Cho tam giác ABC vng A, AH đường cao Khi ta có: a  b2  c2 (định lý Py-ta-go) c2  a.c' b2  a.b' h  b'.c' b.c  a.h 1   h b2 c2 b Hệ thức lượng tam giác thường * Định lý cosin: a  b2  c2  2b.c.cosA b2  a  c2  2a.c.cosB c2  a  b2  2a.b.cosC * Định lý sin: a b c    2R sin A sin B sin C Hình 1.1 * Cơng thức tính diện tích tam giác: 1 abc S  a.h a  ab.sin C   pr  p  p  a  p  b  p  c  2 4R 1.1.2 Các bất đẳng thức tam giác Định lý: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại Hệ quả: Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh cịn lại 1.1.3 Cơng thức tính chu vi, diện tích đa giác, đƣờng tròn - Chu vi đa giác tính tổng độ dài cạnh - Chu vi hình trịn chu vi đường trịn bao quanh tức  nhân với hai lần bán kính - Diện tích tam giác nửa tích cạnh với chiều cao tương ứng với - Diện tích tam giác vng nửa tích cạnh góc vng - Diện tích hình vng bình phương cạnh - Diện tích hình chữ nhật tích hai kích thước - Diện tích hình thang nửa tích tổng hai đáy với chiều cao - Diện tích hình bình hành tích cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh - Diện tích hình thoi nửa tích độ dài hai đường chéo - Diện tích đa giác tổng đại số diện tích số tam giác tứ giác - Diện tích hình trịn  nhân với bình phương bán kính đường trịn bao quanh 56 Giải : Ta có : (2.47)  x  y2  z2   2x  y  2z  m (2.48) Rõ ràng ta thấy vế trái (2.48) phương trình mặt cầu  S : x  y  z   với tâm O  0;0;0  , bán kính R  vế phải (2.48) phương trình mặt phẳng   : 2x  y  2z  m  Do (2.48) có nghiệm khi:   tiếp xúc với S  d  O;      m   1  2 1 m   m    Trường hợp 1: m  Tiếp điểm hình chiếu vng góc O  0;0;0  1  : 2x  y  2z   Đường thẳng  qua O vng góc với 1  có phương trình :  x  2t  y  t  t  z  2t   Gọi H  1    Suy tọa độ điểm H nghiệm hệ phương trình:  x  2t  y  t  2 2  H ; ;   3 3 z  2t 2x  y  2z   Trường hợp 2: m  3 57 Tiếp điểm hình chiếu vng góc O  0;0;0  2  : 2x  y  2z   Đường thẳng  ' qua O vng góc với   có phương trình :  x  2t  y  t  t  z  2t   Gọi H'  1   ' Suy tọa độ điểm H ' nghiệm hệ phương trình:  x  2t  y  t   2  H'   ; ;     3 3 z  2t 2x  y  2z   2 2 Vậy với m  , phương trình có nghiệm  ;  ;  3 3   3 2 3 m  3 , phương trình có nghiệm   ; ;   Ví dụ 2.10 Xác định tham số thực m để phương trình sau vơ nghiệm: x  y2  z2  4x  y  5z   m  (2.49) (2.49)   x  1   y     z  3   2x  3y  z  m (2.50) Giải: Ta có 2 Rõ ràng ta thấy: Vế trái (2.50) phương trình mặt cầu: S :  x  1   y  2   z  3 2  Mặt cầu (S) có tâm I 1; 2;3 bán kính R  Vế phải (2.50) phương trình mặt phẳng: 58   : 2x  3y  z  m  Phương trình (2.50) vơ nghiệm khi: S   khơng có điểm chung  d  I;     R  m7 14 3  m   14  m  14    m   14  m  14  Vậy phương trình vơ nghiệm    m   14 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.11 Giải phương trình: x  y2  z2  x  y  z  Ví dụ 2.12 Chứng minh phương trình x  y2  z2  y   có nghiệm Ví dụ 2.13 Xác định tham số thực m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x  y2  z2  5x  y  4z   m  2.2.2 Ứng dụng vào giải bất phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Tương tự giải bất phương trình chứa thức bậc hai ứng dụng hình học giải tích mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz thiết lập vectơ có tọa độ thích hợp cho độ dài vectơ tương ứng bậc hai cho tổng hiệu vectơ vectơ cịn lại Từ sử dụng bất đẳng thức độ dài ba cạnh tam giác để đến kết 59 toán Khi thiết lập hệ tọa độ vectơ, thơng thường bất phương trình rơi vào trường hợp sau: TH1: u  v  u  v ; u  v  u  v ; u.v  u v , bất phương trình trở thành u  kv TH2: u  v  u  v ; u  v  u  v ; u.v  u v , bất phương trình vơ nghiệm TH3: u  v  u  v ; u  v  u  v ; u.v  u v , bất phương trình nghiệm tập xác định Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.14 Giải bất phương trình: x x    x  x2  (2.51) Giải: Điều kiện: 1  x  Trong không gian Oxyz chọn: u   x; 1;  ; v  Do đó:   x  1;  x; u  x2  ; v  u.v  x x 1  3 x; u v  x  Nên bất phương trình cho có dạng: u.v  u v Mặt khác ta ln có u.v  u v nên dấu “=” xảy khi:  x x 1 u  kv x 0 x       k  x (3  x)  x 1  x  3x  x   3 x 60  x  1, x   Vậy x  1, x   nghiệm bất phương trình cho Ví dụ 2.15 Giải bất phương trình: x   2x   50  3x  12 (2.52) Giải: Điều kiện: 50 x Trong không gian Oxyz, xét vectơ: u  1; 1; 1   v  x  1; 2x  3; 50  3x     u      v  48   u.v  x   2x   50  3x  Suy  2.52   u.v  u v Đẳng thức Vậy nghiệm bất phương trình 50 x Ví dụ 2.16 (Trích Đề thi tuyển sinh Đại học Khối A năm 2010) Giải bất phương trình: x x  2(x  x  1)  (2.53) Giải: 1  Ta có: 2(x  x  1)   x     1,  x  2  nên ta có điều kiện x  Vì 2(x  x  1)  1,  x    2(x  x  1)  Khi bất phương 61 tình cho tương đương với: x  x   2(x  x  1)  2(x  x  1)  x   x Trong không gian Oxyz, chọn: u  (1; 1; 0), v   (2.54)  x;  x; Khi đó: u.v  x   x u v   x  x  1 Nên (2.54) có dạng: u v  u.v Mặt khác ta ln có u.v  u v nên dấu “=” xảy khi:  0  x  x 1 x 3 u  kv    x  1 x   2x  x k     Vậy nghiệm bất phương trình x  3 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.17 Giải bất phương trình: x   x   2(x  3)2  2(x  1) Ví dụ 2.18 Giải bất phương trình: x   2x   50  3x  12 Ví dụ 2.19 Giải bất phương trình: x x    x  x  b Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu vào giải bất phương trình khó vận dụng nên chúng tơi khơng khảo sát chủ đề luận văn 2.2.3.Ứng dụng vào giải hệ phƣơng trình a Ứng dụng phương pháp vectơ Khi gặp tốn giải hệ phương trình nhiều ẩn, để ứng dụng phương pháp vectơ, tùy cụ thể ta xác định vectơ thích hợp ứng dụng tính chất vectơ, cơng thức tọa độ để giải 62 Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.20 Giải hệ phương trình: x  y  z   2  x  y  z   x  y3  z   (2.55) Giải: Ta có x  y4  z4   x  y2  z2    x y2  y2z2  z2 x     x y2  y2z  z x   Trong không gian Oxyz, xét vectơ:  u  x  y  z   u   x; y;z   4    v  x  y  z  2  v   x ; y ;z   3 u.v  x  y  z   Mà u.v  u v  v  x y2  y2z  z x  Nên hệ có nghiệm  x  y  z   Tức phải có hai số số Vậy nghiệm hệ  0;0;1 ,  0;1;0 , 1;0;0 Ví dụ 2.21 Giải hệ phương trình  x  y    z 2  y  z    x 2    2 2 2  y  z  3  x   z  x  3  y    2  z2  x  3  y   x  y2  3  z    Giải: Hệ cho xác định với x, y,z  (2.56) 63 Cộng theo vế ba phương trình hệ ta được: x  y2    z   y2  z    x   z  x    y   2 Xét ba vectơ: u   x; y;  z  , v   y; z;  x  , w   z; x;  y  Khi đó: u  v  w   x  y  z; x  y  z;  x  y  z  Đặt t  x  y  z Từ bất đẳng thức u  v  w  u  v  w , ta có: x  y2    x   y2  z    x   z  x  3  y  2  t  t  9  t  Mà t  t    t   3t  18t  81  3 t  3  54  54, t  Nên x  y2    z   y2  z    x   z  x    y   2 Do dấu “=” xảy khi: x : y : z  y : z : x  3  z  : 3  x  : 3  y   x  y  z   x  y  z   Thử lại ta thấy nghiệm hệ Vậy nghiệm hệ cho 1;1;1 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: x  y  z   Ví dụ 2.22 Giải hệ phương trình:  x  y  z   x  y3  z   4  x  y  z  Ví dụ 2.23 Giải hệ phương trình:  2 x  y  2z    b Ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Khi giải hay biện luận theo tham số hệ phương trình nhiều ẩn khơng 64 mẫu mực thơng thường giải phương pháp đại số dài dịng, tính tốn phức tạp Nhưng khéo léo chuyển qua phương pháp hình học tốn trở nên dễ dàng nhiều Một công cụ mạnh hình học khơng gian để giải hệ phương trình ứng dụng tương giao đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Dưới số ví dụ minh họa Ví dụ 2.24 Giải hệ phương trình:  x  y  z  2x  4y  6z   3x  2y  2z   3x  3y  4z  12   (2.57) Phân tích: Ở dùng phương pháp cách giải, tính tốn dài dịng Nếu ta xem phương trình thứ hệ (2.57) phương trình mặt cầu, phương trình thứ phương trình mặt phẳng ta chuyển tốn giải hệ phương trình ứng dụng kiến thức hình học tương giao mặt phẳng mặt cầu để giải Giải: Nghiệm hệ tọa độ giao điểm mặt cầu (S) đường thẳng d Trong S : x  y2  z  2x  4y  6z    P  : 3x  2y  2z   Và đường thẳng d =  P    Q  với  Q : 3x  3y  4z  12      Đường thẳng d qua M  0;4;0  có vectơ phương u   2;6;3  x  2t  Suy đường thẳng d có phương trình tham số:  y   6t , t  z  3t  Giá trị tham số t tương ứng với điểm chung (S) đường thẳng d nghiệm phương trình: 65  2t     6t    3t  2 t    2t     6t    3t     10 t   49  Suy đường thẳng d (S) có hai điểm chung  0;4;0   20 136 30  ;   ;  49 49 49   20 136 30  ;  Vậy hệ cho có hai nghiệm  0;4;0   ;  49 49 49  Ví dụ 2.25 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:   x 1  y   z   m  x  y  z  m     (2.58) Phân tích: Đặt X  x  1;Y  y  2;Z  z  hệ cho tương X  Y  Z  m  đương với hệ  2 X  Y  Z  m  Hệ gồm phương trình mặt phẳng  P  : X  Y  Z  m  mặt cầu S : X2  Y2  Z2  m Bài toán chuyển xét tương giao mặt cầu mặt phẳng Giải: Điều kiện: x  1; y  2; z  Đặt X  x  1;Y  y  2;Z  z  với X,Y,Z  Hệ phương trình cho trở thành: X  Y  Z  m   2 X  Y  Z  m Từ phương trình thứ hai hệ (2.59) suy ra: m  (2.59) 66 X  Y  Z  - Nếu m  hệ (2.59) thành   X  Y  Z  2 X  Y  Z  Do hệ cho có nghiệm 1;2;3 - Nếu m  khơng gian OXYZ, phương trình thứ hệ (2.59) phương trình mặt phẳng  P  : X  Y  Z  m  phương trình thứ hai hệ (2.59) phương trình mặt cầu  S  : X  Y  Z2  m tâm O  0;0;0  , bán kính R= m Hệ phương trình cho có nghiệm  hệ (2.59) có nghiệm  X;Y;Z  với X;Y; Z  Điều có nghĩa mặt phẳng  P  có điểm chung với mặt cầu  S góc phần tám thứ hệ tọa độ Mặt cầu  S cắt tia OX, OY, OZ A       m;0;0 ,B 0; m;0 ,C 0;0; m Phương trình mặt phẳng  ABC  là: X Y Z   1 X  Y  Z  m  m m m Vì  P  song song trùng với  ABC  nên  P  có điểm chung với  S góc phần tám thứ hệ tọa độ OXYZ   P  tiếp xúc với  S góc phần tám thứ hệ tọa độ m   m     m Khi đó:  d O, P  R  m  m          Vậy m  0, m  giá trị cần tìm Ví dụ 2.26 Xác định tham số thực m cho hệ phương trình: 67 x  y2  z   2   x     y     z  1  2x  y  z  m   có hai nghiệm  x1; y1;z1   x  x1    y2  y1    z2  z1  2  x ; y2 ;z2  cho biểu thức đạt giá trị lớn Giải: Hệ cho hợp thành phương trình hai mặt cầu S1  tâm I1  0;0;0  , bán kính R1  ;  S2  tâm I2  2; 2; 1 , bán kính R  mặt phẳng  P  : 2x  y  z  m  Ta có: R  R1  I1I2   R  R1 Nên hai mặt cầu cắt theo giao tuyến đường tròn  C  có phương trình: 2  x  y2  z  x  y  z    2 2x  2y  z   x   y   z           4 2 Dễ thấy đường trịn  C  có tâm J  ;  ;   9 9 Kí hiệu  Q  : 2x  2y  z   Ta thấy hai mặt phẳng  P   Q  cắt với m Gọi M, N giao điểm mặt phẳng  P  đường trịn  C  tọa độ điểm nghiệm  x1; y1;z1   x ; y2 ;z  hệ phương trình Ta có: MN2   x  x1    y2  y1    z  z1  2 Khi  P  cắt  C  MN dây cung đường tròn  C  nên MN lớn đường kính, tức  P  phải qua tâm đường tròn 68  C  Do đó: 4 10    m   m  9 9 Vậy giá trị cần tìm m m  10 Một số ví dụ tham khảo với phƣơng pháp giải tƣơng tự: Ví dụ 2.27 Giải hệ phương trình: 2013x 2014  2014y 2015  2015x 2016  2014  2  x  y  z  2x  4y  6z   2x  y  4z    Ví dụ 2.28 Giải hệ phương trình:  x  y2  z  6x  2y  2z    x  2y  2z    Ví dụ 2.29 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm: x  y2  z   2x  y  2z  m  Ví dụ 2.30 Xác định tham số thực m để hệ phương trình sau có nghiệm:  x  12   y  2   z  12  16   x  my  z  2m  x  z   *Nhận xét: Như bên cạnh ứng dụng hình học giải tích mặt phẳng kiến thức hình học giải tích khơng gian giúp giải số dạng toán phương trình, bất phương trình hệ phương trình với lời giải đẹp, gọn dễ hiểu Tuy nhiên, việc vận dụng địi hỏi nhiều kiến thức liên quan, nghĩ tới phương pháp giải 69 KẾT LUẬN Luận văn “Ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số” thực mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể luận văn đạt nội dung sau: + Hệ thống kiến thức liên quan đến hình học giải tích chương trìnhTốn bậc trung học phổ thơng + Ứng dụng hình học giải tích để khảo sát số dạng tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Đối với lớp tốn, giới thiệu phương pháp giải chung kèm theo nhiều ví dụ minh họa, ví dụ tham khảo Hy vọng thời gian đến, thân có điều kiện phát triển hoàn thiện nội dung luận văn để góp phần giải nhiều chủ đề tốn thuộc chương trình Tốn bậc phổ thơng trung học Trong q trình làm luận văn hạn chế thời gian lực nên luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến nhận xét từ quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2010), Hình học 10, NXB Giáo dục [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2010), Hình học 10 Nâng cao,NXBGiáo dục [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2010), Hình học 12, NXBGiáo dục [4]Bộ Giáo dục Đào tạo (2010), Hình học 12 Nâng cao,NXBGiáo dục [5] Trần Đạo Dõng-Đồn Thế Hiếu (2000), Tọa độ Descartes khơng gian, Tài liệu Bồi dưỡng thường xuyên trường ĐHSPHuế, Xí nghiệp in Thừa Thiên Huế [6] Nguyễn Văn Huy (2012), Các phương pháp giải phương trình hệ phương trình, Diễn đàn MathScope, http://tailieu.metadata.vn/chitiet/-/tai-lieu/cac-phuong-phap-giai-phuong-trinh-va-he-phuongtrinh-pdf-14872.html [7] Nguyễn Mộng Hy (1997), Các toán phương pháp vector phương pháp tọa độ, NXBGiáo dục [8] Phan Huy Khải (1997), Phương pháp tọa độ để giải toán sơ cấp, NXBĐại học Quốc gia Hà nội [9] Phan Huy Khải (1999), Toán nâng cao Hình học giải tích, NXBĐại học Quốc gia Hà nội [10]Lê Thị Tỵ (2010), Ứng dụng tích vơ hướng hai vectơ để giải số dạng toán,http://chuyen-qb.com/ web/ tochuyenmon/ toan/ thuvien/ 952-ung-dung-tich-vo-huong-cua-hai-vecto-de-giai-mot-so-dangbai-toan ... kết hình học phẳng hình học giải tích liên quan đến tốn giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình Chương 2: Trình bày tốn phương trình, bất phương trình hệ phương trình ứng dụng hình học. .. 2.1.2 Ứng dụng vào giải bất phương trình 31 2.1.3 Ứng dụng vào giải hệ phương trình 39 2.2 ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG KHƠNG GIAN 50 2.2.1 Ứng dụng vào giải phương trình. .. toán ứng dụng hình học giải tích vào giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình đại số Phạm vi nghiên cứu đề tài vận dụng phương pháp giải tốn thích hợp hình học giải tích để giải tốn phương