chuyên đề ứng dụng phƣơng pháp tọa độ trong hình học

Chuyên đề: “ỨNG DỤNG PHƢƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG HÌNH HỌC” Năm học: 2020-2021 I.Kiến thức : 1.Kiến thức : (Theo chương trình Hình Học 10 nâng cao)  Tọa độ điểm, véc tơ mặt phẳng kiến thức liên quan  Đường thẳng  Đường trịn  Các đường Cơnic : Elip, Hyperbol, Parabol *Đề nghị : xem kỹ thuộc kiến thức liên quan Các dạng toán áp dụng : + Bài tốn hình học khó áp dụng cho tính chất hình học t (hình học cổ điển) + Bài tốn hình học mà việc chứng minh tính tốn q phức tạp + Bài tốn hình học chứa đựng yếu tố : tọa độ, véctơ, đường Cônic Nhận dạng : + Dạng 1: tốn hình giải tích t (chứa đựng sẳn yếu tố hình giải tích) + Dạng 2: tốn hình cổ điển chuyển tốn véc tơ (khơng sử dụng tọa độ) + Dạng 3: tốn hình cổ điển chuyển toán tọa độ 4.Phƣơng pháp áp dụng : + Chọn hệ trục tọa độ thích hợp (hệ tọa độ Đêcac Afin) tùy theo tốn cho việc tính tốn đơn giản, dễ biểu diển + Tìm toạ độ đối tượng cho đối tượng liên quan + Từ rút tính chất hình học cần tìm theo u cầu tốn II.Các toán minh họa : Bài 1: ( Đề thi học sinh giỏi quốc gia 2006-2007) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết trung điểm K HG thuộc đường thẳng BC Giải : Chọn hệ trục Oxy với O trung điểm BC trục Ox đường thẳng BC Đặt BC  2a  Khi tọa độ B(a , 0) ; C (a , 0) Giả sử A( x0 , y0 ) y0  Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình x  x0   a  x02     H x ,   y  ( x  a)(a  x0 )  y y    x 3a  3x02  y 02  x y   Trọng tâm G ;  , suy trung điểm K  ; y  3    K thuộc đường thẳng BC x2 y2 3a  3x02  y 02   02  02  ( y  0) a 3a x y2 Vậy quỹ tích A hyperbol   bỏ hai điểm B, C a 3a Bài : ( Đề thi OLYMPIC Lê Hồng Phong 2008-2009) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định đỉnh A thay đổi Qua B dựng đường thẳng d vng góc với BC, d cắt đường trung tuyến AI tam giác ABC K.Gọi H trực tâm tam giác ABC Tìm quỹ tích điểm A, biết IH song song với KC Giải : ^y A H B C I >x K Chọn hệ trục Oxy với O trùng I trục Ox đường thẳng BC Đặt BC  2a  Khi toạ độ B(a; 0) ; C (a; 0) Giả sử tọa độ điểm A( x0 ; y0 ) với y  Khi trực tâm H nghiệm hệ phương trình  x  x0  a  x02      H x ;   y    ( x  a)(a  x0 )  y y  K  d  (AI ) nghiệm hệ phương trình  x  a  y0    y  y x  K   a;  a  với x0  x0    x0 Theo giả thiết, ta có   x2 y2 y a  x02   02  02  IH phương KC  a x0  2a x0 y0 a 2a x02 y 02   bỏ điểm B, C, A1 (0;  a ) , A2 (0; a 2) đỉnh elip a 2a Bài 3: Trong mặt phẳng cho đường tròn (O,R) điểm A cố định I điểm di động (O) Đường tròn tâm I qua A Chứng minh trục đẳng phương hai đường trịn (O) (I) ln tiếp xúc với đường tròn cố định Giải : Vậy quỹ tích A elip Chọn hệ trục (Oxy) hình vẽ (OA trục Oy) Ta có A(0,b) , (O) : x  y  R 2 Gọi I(m ; n)  (O)  m  n  R IA  m  (b  n) Vậy (I) : (x  m)  ( y  n)  m  (n  b) Hay x  y  2mx  2ny  2nb  b  Suy phương trình trục đẳng phương (O) và(I) (d) : 2mx + 2ny – 2nb + b  R  2nb  2nb  b  R b2  R Ta có d(A,d) =  2 2R m n Bài 4: Cho tam giác ABC có đường cao CH Gọi I, K trung điểm đoạn AB, CH Một đường thẳng d di động luôn song song với cạnh AB cắt cạnh AC M cắt cạnh BC N Dựng hình chữ nhật MNPQ với hai điểm P, Q nằm cạnh AB Gọi J tâm hình chữ nhật MNPQ Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng Giải : Chọn hệ trục Oxy cho O  H , điểm A, B nằm Ox, điểm C nằm Oy Ta có toạ độ điểm H(0; 0), C(0; c) , A(a; 0) , B(b; 0) Đường thẳg d có phương trình y = m (0 a : quỹ tích M tập rỗng d = a : từ lý luận (1)  y  ,  x  a : quỹ tích M đoạn thẳng nối từ I đến chân đường vng góc hạ từ I lên  ad  x) a d Khi x  d , từ (1)  y  2(a  d)(  x) d < a : Khi x  d , từ (1)  y  2(a  d)( Như quỹ tích M nhánh Parabol(khoảng S1,S2) có phương trình Bài 15: Cho hai đường thẳng cắt a b Tìm tập hợp điểm M cho tổng khoảng cách từ tới a b ln số không đổi Giải : Ta chọn hệ trục tọa độ Oxy với O giao điểm a b , Ox đường thẳng a cho đường thẳng b có phương trình y = kx (k > 0) Giả sử M(x ; y) điểm , kẻ MA  a , MB  b kx  y Khi , ta tính khoảng cách MA MB : MA  y , MB  k2 1 kx  y  (1) Ta chia trường hợp sau : Vậy , với điều kiện toán y  k2 1 a) y  y  kx Dễ thấy M nằm góc xOz kx  y (1)  y    kx  k   y  k   (2) k 1 Như , tập hợp M phần đường thẳng (2) nằm góc xOz , tức đoạn PQ (hình vẽ) b) y  y  kx Khi M nằm góc zOx’ : kx  y (1)  y     kx  k   y  k   (3) k 1 Như tập hợp M phần đường thẳng (3) nằm zOx’, tức đoạn thẳng PR (hình vẽ) Dễ thấy tích vơ hương hai vectơ pháp tuyến :       nPQ  k ; k     , nPR  k ; k   , tức PQ  PR Tương tự trường hợp a) b) , ta xét trường hợp : c) y  y  kx d) y  y  kx , Ta đến kết luận :Tập hợp điểm M hình chữ nhật QPRS có tâm O hai đường chéonằm a b Bài 16: Cho hai điểm A, B cố định, AB = a không đổi hai điểm C, D di động cho CD = b không đổi, AB hướng CD , AC + BD = 2(a+b) Tìm quĩ tích giao điểm M AD BC Giải : Vẽ ME // AC, MF // BD ( E, F  AB) MB AB a MA AB a Ta có:   ;   MC CD b MD CD b a2 a2 BE MB a AF AM a  BE  , AF  Suy ra:   ;   BA BC a  b AB AD a  b ab ab Suy ra: E F cố định a AC a.BD ME BM a MF AM a Vì nên ME  , MF    ;   ab ab AC BC a  b BD AD a  b a.( AC  BD) Suy ra: ME  MF   2a không đổi ab Chọn hệ trục Oxy hình vẽ, với O trung điểm EF Ta có tập hợp điểm M Elip nhận E F làm hai tiêu điểm, có độ dài trục lớn 2a AC BD  Bài 17: Hình bình hành ABCD thay đổi A D cố định thoả: Tìm tập hợp điểm B AD BA C Giải : Trong mặt phẳng Oxy , chọn A  O(0;0) ; D(a;0) với AD  a (khơng đổi) Theo giả thiết hình bình hành ABCD thay đổi nên lấy B( x; y) C ( x  a; y) với điều kiện y  AC BD Khi đó:   AC.BA  AD.BD  ( x  a)2  y x  y  a ( x  a)2  y AD BA  ( x2  y  2ax  a ).( x2  y )  a ( x2  y  2ax  a ) (*)  ( x2  y )2  2ax( x2  y )  2a3 x  a  2 ((*) phương trình bậc hai với ẩn ( x  y ) ) Tính /  (ax)2  (2a3 x  a )  (a  ax)2  x  y  ax  (a  ax) (*)   2  x  y  ax  (a  ax)  x  2ax  y  a  ( x  a)2  y  2a 2 (vôlý )   Vậy tập hợp điểm B đường trịn (C ) có tâm I (a;0) , bán kính RB  a , bỏ hai điểm a  a      ;0  ;0 Do tứ giác ABCD hình bình hành, ta có BC  AD Vậy tập hợp điểm C đường tròn (C / ) ảnh đường tròn (C ) qua phép tịnh tiến theo AD Đường trịn (C / ) có tâm A  O(0;0) , bán kính RC  a , bỏ     hai điểm a 2;0 a 2;0 Bài 18: Cho đường tròn (C) tâm O tiếp tuyến d tiếp xúc với (C) điểm A cố định (C) M điểm mặt phẳng, kẻ tiếp tuyến MT với (C) hạ MH vng góc với d 1.Tìm quỹ tích điểm M thỏa MT = MH Chứng minh đường tròn tâm M bán kính MT ln tiếp xúc với đường tròn cố định Giải : 1.Chọn hệ trục Oxy cho A gốc tọa độ, tia Ox  AO tia Oy  d Khi O(R; 0), giả sử M(x; y) Ta có MH  MT  MH  MT  MO  R  x  ( x  R)  y  R  y  2Rx Vậy quỹ tích M parabol 2.Theo đn parabol, ta có MF = MH1 = MH + R/2 Suy MF = MT + R/2 , điều chứng tỏ đường trịn tâm M bán kính MT tiếp xúc đường trịn cố định tâm F bán kính R/2 Bài 19: Cho hình vng cố định Tìm tập hợp điểm M hình vng thỏa mãn điều kiện: Tích hai khoảng cách từ điểm M đến hai cạnh hình vng xuất phát từ đỉnh bình phương khoảng cách từ điểm M đến đường chéo hình vng khơng qua đỉnh Giải : Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0).Gọi M(x;y) điểm hình vng ABCD, hạ MN,MP, MQ vng góc với BD, DA, AB N, P, Q Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vng phát xuất từ đỉnh A) AB: x – y + = 0, AD: x + y – = | x  y  1| | x  y  1| (1)  | y |2 | x  (y  1) | 2y 2 M(x;y) hình vng nên x – y + > 0, x + y – < Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1)  x2 – (y– 1)2 =- 2y2  x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường trịn C, bán kính R = Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường trịn tâm đỉnh hình vng có bán kính cạnh hình vng Bài 20: Cho đường thẳng cố định a điểm A cố định a Gọi (C) đường tròn lưu động mặt phẳng () có bờ a (C) có bán kính khơng đổi R tiếp xúc với a, gọi M tiếp điểm Gọi I tâm đường tròn (C).Chứng minh mặt phẳng chứa đường trịn (C), có parabol (P) cố định cho trục đẳng phương (C) đường trịn đường kính AI ln ln tiếp xúc (P) M thay đổi a Giải : Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề-các vng góc Oxy, với Ox trùng với a, mặt phẳng  mặt phẳng y > 0, O trùng A Đặt M(m;0) có tâm I(m;R) Phương trình (C) là: (C): (x - m)2 + (y - R)2 = R2 hay C): x2 + y2 – 2mx – 2Ry + m2 = Phương trình đường trịn đường kính AI là: m2 + R (C’): (x – m/2)2 + (y – R/2)2 = hay (C’): x2 + y2 – mx – Ry = Phương trình trục đẳng phương hai đường tròn (C) (C’) là: m m2 (d): mx + Ry – m2 =  (d): y = f(x) = - x  R R Xét hàm số y = g(x) =  x 4R  m m2  x   x  (x  2m)  f (x)  g(x)  R R 4R Hệ     x  2m m x x  2m f '(x)  g '(x)       R 2R Vậy Parabol y = f(x) =  x tiếp xúc với trục đẳng phương (d) 4R Bài 21: Cho tam giác với cạnh a, b, c mà đỉnh có tọa độ ngun Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CMR: abc  2R Giải : Gọi tam giác A1A2A3 hình vẽ SA1A2A3  S  abc 4R Giả sử: A1 (x1, y1), A2 (x2, y2), A3 (x3,y3).Gọi A’1, A’2 , A’3 hình chiếu A1 , A2 , A3 lên Oy Ta có: S = SA A A' A'  SA A A' A'  SA A A' A' Do u cầu tốn  chứng minh S  2 1 3 3 A A'  A3 A3' A A'  A3 A3' A A'  A A'2  A1' A'2  1  A1' A3'  1  A'2 A3'  2 2  2S = (y1 – y2) (x1 + x2) - (y1 – y3) (x1 + x3) - (y3 – y2) (x2 + x3) (*) Vế trái (*) số nguyên (do đề cho xi , yi nguyên) 2S số nguyên  2S   S  ½ Bài 22 : Trên mặt phẳng xét hình vng ABCD tam giác EFG cắt tạo thành thất giác lồi MBNPQRS.Chứng minh SM = NP = QR  MB = PQ BN = RS Giải : Chọn hệ trục Axy hình vẽ Gọi a cạnh hình vng Ta có A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a),M(m; 0), N(a; n), P(p; a), Q(q; a), R(0; r), S(0; s) Nếu SM = NP = QR       SM Ta có SM  k EF , NP  k FG , QR  k GE với k  EF         Ta có EF  FG  EG   SM  NP QR  m  p  a  q  a  m  p  q MB  PQ     snr 0  nrs  BN  RS       Nêú MB = PQ BN = RS MB PQ  , BN  RS  kết hợp         SM  MB BN  NP PQ  QR RS       SM  NP QR       x EF  yFG  z GE     ( x  z ) EF  ( z  y) FG   Vì  EF , FG không phương nên  x  y  z  SM = NP = QR IV.Các tập tự giải : Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn (D) đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F hình chiếu vng góc A, B, C lên (D) Biết AD tan A  BE tan B  CF tan C  2S ABC Xác định vị trí đường thẳng (D) để AD lớn Giải: Chọn hệ trục hình vẽ (b , c >0) ^ y A a (d) F E D C B -b Ta có tan B  a a , tan C  b c O c >x tan B  tan C a(b  c)  tan B tan C  a  bc 2S ABC  a(b  c) Giả sử phương trình (d) : x sin   y cos   d  tan A  AD  d ( A, d )  a cos   d BE  d ( B, d )   b sin   d CF  d (C, d )  c sin   d Theo giả thiết AD tan A  BE tan B  CF tan C  2S ABC a(b  c) a a  (a cos   d ) 2  (b sin   d )  (c sin   d )  a(b  c) c a  bc b 2 a d  bc cos   2ad cos   0 bc bc  cos   d  a  bc  Điều chứng tỏ (d) qua H  ;  trực tâm tam giác ABC  a Vậy AD max = AH, (d) qua H song song với BC Bài 2: Cho hình vng ABCD có E trung điểm BC M điểm di động cạnh AB Gọi N, P giao điểm MD MC với AE Gọi H giao điểm NC DP, I giao điểm đường trung trực đoạn DH với đường thẳng vng góc với AH H Chứng minh M di động cạnh AB I di động đường trịn cố định Giải: Chọn hệ trục hình vẽ, ta có M (m ; 0) ^y D C I H E P N B A M >x Ta có ( AE ) : x  y  , ( DM ) : x  my  m  , (CM ) : x  (m  1) y  m  m  m   2m  2m N  AE  MD  N  ; ;   , P  AE  MC  P  m  m  1 m m 2 Từ ( DP) : x  2my  2m  , ( NC ) : x  (m  2) y  m  3m   4m H  DP  NC  H  ;   3m  3m   Suy H  (d ) : 3x  y  cố định .Theo giả thiết ta có ID  IH  d ( I , d ) , suy I thuộc parabol (P) có tiêu điểm D đường chuẩn (d) Bài 3: (Đề thi HSG quốc gia 2007-2008) Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AD Xét điểm M (d) Gọi E, F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vng góc với (d) cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với (d) cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với PQ qua điểm cố định, M di động (d) Giải: Chọn hệ trục hình vẽ O  D , Oy  DA Khi Ox song song (d), A(0;a), B(b; c) , C(-b; -c) ^y A C D B >x F E (d) M Phương trình đường thẳng AB : (a  c) x  by  ab  AC : (a  c) x  by  ab  M ( xM ; d ) b  xM b  xM Khi (d1 ) : x  , (d ) : x  2 Từ suy tọa độ P  d1  AB , Q  d  AC Suy đường thẳng qua M vng góc PQ có phương trình  bc  b2   b  x    (ax M  bc) y  d    a a     bc b2  Suy đường thẳng qua điểm cố định  ; d   a  a Bài 4: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác ngồi góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB  AC  4R (trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) Giải: Chọn hệ trục hình vẽ ^y A E O B C D >x Theo giả thiết tam giác ADE vng cân A .Khi OA = OE = OD nên B(b;0) , A(0; a) , D(a;0) , E(a;0) , C(c;0) Theo tính chất đường phân giác DB AB DB AB    DC AC DC AC (b  a) b  a a2 2 2 2    (b  a) (c  a )  (c  a) (b  a )  c  b (c  a ) c  a  a2  b2  a4  Ta có AB  AC  (a  b )  (a  )   b  b  2 2 2 .Gọi I(x;y) tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có   b2  a2  AI  BI x    2b BI  CI   a    b  a    b2  a 2 2   (a  a)     Suy R  AI  4  2b    b  Từ suy AB  AC  4R BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH THUẦN TÚY Bài : Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có B(1; 2) Đường phân giác  góc A có phương trình 2x + y -1 = 0, khoảng cách từ C đến  lần khoảng cách từ B đến  Tìm tọa độ A C, biết C nằm trục tung Bài : Cho điểm A(1; 0) hai đường tròn (C1 ) : x  y  , (C2 ) : x  y  Xét tam giác ABC có B  (C1 ) C  (C2 ) Tìm tọa độ B, C để diện tích tam giác ABC lớn Bài : Cho đường thẳng  : 3x  y  25  , điểm M chạy  Trên tia OM lấy N cho OM.OM = Chứng minh N chạy đường tròn cố định, viết phương trình đường trịn Bài : Cho parabol y   x ( P) đường thẳng y  mx  (d ) Chứng minh m thay đổi đường thằng (d ) cắt (P) điểm phân biệt M, N Tìm quỹ tích tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác OMN Bài : Cho đường tròn (C ) : x  y  Đường tròn (C) cắt trục tung A(1; 0) B(-1; 0) Đường thẳng y  m (0  m  1) cắt (C) J S Đường thẳng qua A, J cắt đường thẳng qua B, S P Tìm tập hợp điểm P m thay đổi Bài : Cho elip (E) có tiêu điểm F Ba tia xuất phát từ F cắt (E) M, N, P Chứng minh 1   FM FN FP không đổi M, N, P thay đổi Bài : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng d1 : 3x  y   , d : x  y   , d1 : x  y   Tìm độ đỉnh hình vng ABCD biết A C thuộc d , B thuộc d , D thuộc d Bài : Trên mp Oxy cho ba đường thẳng d1 : x  y   , d : x  y  11  Đường thẳng d qua giao điểm d1 , d cắt hai tia Ox, Oy A, B Viết phương trình đường thẳng d cho 1  nhỏ OA OB BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO BÀI HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài : Cho tam giác ABC nhọn có trọng tâm G trực tâm H không trùng Chứng minh GH // BC  tan B  tan C  tan A Bài : Cho tam giác ABC cạnh a Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn : 4MA2  2MB  MC  6a AC BD  Bài : Trên đoạn AD cố định, dựng hình bình hành ABCD cho Tìm quỹ tích điểm B AD AB Bài : Cho hình vng ABCD cạnh Gọi M trung điểm cạnh CD, N điểm di động cạnh BC cho BC  n (0  n  1) P điểm nằm cạnh AB cho DP song song với MN Chứng minh đường thẳng PN ln tiếp xúc với đường trịn cố định Bài : Cho tam giác ABC nhọn (D) đường thẳng thay đổi Gọi D, E, F hình chiếu vng góc A, B, C lên (D) Biết AD tan A  BE tan B  CF tan C  2S ABC Xác định vị trí đường thẳng (D) để AD lớn Bài : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác ngồi góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB  AC  4R (trong R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) Bài : Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Cho đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AD Xét điểm M (d) Gọi E, F trung điểm MB MC Đường thẳng qua E vng góc với (d) cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vng góc với (d) cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M vng góc với PQ qua điểm cố định, M di động (d) Bài : Cho tam giác ABC có hai đường phân giác ngồi góc A cắt cạnh BC D E Chứng minh AD = AE AB  AC  4R (trong R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC) Lào Cai, tháng 11 năm 2020 Giáo viên: Cao Thị Hồng Tuyết ============================ ... thẳng d cho 1  nhỏ OA OB BÀI TẬP : ỨNG DỤNG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH VÀO BÀI HÌNH HỌC TỔNG HỢP Bài : Cho tam giác ABC nhọn có trọng tâm G trực tâm H khơng trùng Chứng minh GH // BC  tan B  tan C ... không nằm d P Q hai điểm di động d PQ = a (trong a số dương cho trước) Gọi M tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác APQ Tìm quỹ tích điểm M Giải : Dựng hệ trục tọa độ hình vẽ Gọi M (x; y), giả sử... (C).Chứng minh mặt phẳng chứa đường trịn (C), có parabol (P) cố định cho trục đẳng phương (C) đường tròn đường kính AI ln ln tiếp xúc (P) M thay đổi a Giải : Trong mặt phẳng chọn hệ trục tọa độ Đề- các