Dat an phu giai phuong trinh mu dang 1doc

[r]

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Dạng 1: Phương trình:

1

x x

a a

   

Đặt t ax

 , điều kiện t >0

Dạng 2: Phương trình:

x x

a b

    , với a b 1

Đặt t ax

 , điều kiện t >0, suy bx

t



Dạng 3: Phương trình:  

1

x

x x

a ab b

   

Chia hai vế phương trình cho b2x 0

 (hoặc a2x,abx)

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 1 2

1

7.2 x 20.2x 12

  

Đặt 1

2x

t 

 , x2  1 2x2121 t

Khi pt (1) có dạng:

 

2

2

2

7 20 12 6 2

7

x

t

t t x x

t l



  

          

   Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2  

1 cot sin

4 x x

  

Điều kiện: sinx 0 x k k Z ,   

Vì

2

1

1 cot

sin x  x, nên pt (1) viết lại dạng:

 

2

2cot cot

2 x 2.2 x

  

Đặt cot2

2 x

t ,  

2

2 cot

cot x x t

     

Khi pt (2) có dạng:  

2

2 2 3 0 2cot 1 cot2 0 ,

3

x

t

t t x x k k Z

t l

  



            

 

Nghiệm thỏa mãn (*) Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 3: Giải phương trình:  3  3  1

x x

   

Nhận xét rằng: 2 2  2 2   3 1

Đặt  3

x

t  , điều kiện t >  3 x

t

  

 

 

 

   

2

2

1

2 3

2

1

4

2 2 3 2 3

1

2 3 2 2

2

2 3 2

x

x

x

x

t

t t t

t t

x

x

x x





  

   

         

  

   



 



  

   

     

 

  

  

 



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình: 7 3 x 2  3x 2  1

Nhận xét rằng:  

   

2

7 3

2 3

  

  

Đặt t2 3x, điều kiện t > 2 3

x

t

   3 2 32 t2

Khi pt (1) có dạng:

  

 

 

2 3

3

1

2 3

3

2 x

t

t t t t t t

t t t VN

t

x

               

   

    

Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 5: Giải phương trình: 3 5x 16 3 5x 2x3  1

   

Chia vế phương trình cho 2x

 , ta được:

 

3 5

16

2

x x

     

 

   

   

   

Nhận xét rằng: 5

2

      

   

   

   

Đặt

2

x

t  

 

 

, điều kiện t >

2

x

t

      

 

 

Khi pt (2) có dạng:

3

3

8 16 4 log

2

x

t  t    t      x 

 

 

Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 6: Giải phương trình: 2.4x21 6x21 9x21  1

 

Biến đổi phương trình dạng:

       

2 1

2.2 x 2.3 x x 

 

Chia hai vế phương trình cho 2 1

2 x 0, ta được:

 

 

2 1 2 1

3

2

2

x  x 

Đặt

2 1

x

t



   

  ,

2 1 1

2 1 1 3

2 2

x

x t



   

            

Khi pt (3) có dạng:  

2 1

2

3

2

2 3

2 log log

1

x

t

t t x x

t l





  

              

  



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 7: Giải phương trình: 22x21 9.2x2x 22x2 0  1

  

Chia hai vế phương trình cho 22x2 0

 , ta được:

 

2

2

2

2 2

2 2

2 9.2

1

.2

2

2.2 9.2

x x x x

x x x x

x x x x

   

 

 

  

   

   

Đặt

2x x

t 

 , điều kiện t >

Khi pt (2) có dạng:

2

2

2

2

2

4

2 2

2 1

2

2

2

x x

x x

t

x x x

t t

x

t x x

  



  

    



         

         

Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 8: Giải phương trình:  

3

1 12

2 6.2

2

x x

x x

   

Viết lại phương trình dạng:  

3

2

2 1

2

x x

x x

   

   

   

 

 

Đặt 2

x x

t  , điều kiện t > 0,

3

3

3

2 2

2 3.2

2 2

x x x x

x x x x t t

   

         

   

Khi pt (1) có dạng:

 

3 6 6 0 1 2 1 2

2

x x

t  t t   t   Lại đặt u 2x

 , điều kiện u >

Khi pt (2) có dạng:  

2 2 0 2 2 1

2

x

u l

u u x

u

 

        

 

Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 9: Giải phương trình:  

1 x 2 x 2x

    

Điều kiện: 2

1 x 0 x

x

      

Đặt 2x sint

 , với 0,

t  

  Khi phương trình có dạng:

 

2

 

 

1 c t sin

2 sin sin

2

3

2 2sin s

2 2

3

2 sin

2

0

2

2 2

0

3 2 1

s

2

2

x

x

os cost t

t

cos t t

t t t

cos co

t t

cos t

cos l t x

x

t t

in

 

   

  

 

 

   

 

 

  

     



     

 

    



 

 



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 10: Giải phương trình:  

7

6 0,7

100

x

x

x  

Biến đổi phương trình dạng:  

2

7

6

10 10

x x

   

 

   

   

Đặt

10

x

t 

  , điều kiện t >0 Khi pt (1) có dạng:

 

7 10

7 7

6 7 log

1 10

x

t

t t x

t l



  

          

  



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 11: Giải phương trình:

2

1

1

3 12

3

x x

   

 

       

Biến đổi phương trình dạng:

2

1

12

3

x x

   

  

       

Đặt

3

x

t  

  , điều kiện t >0

Khi pt (1) có dạng:

 

2 12 0 3 1

4

x

t

t t x

t l



  

          

  



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 12: Giải phương trình: 4x1 2x4 2x2 16

  

Biến đổi phương trình dạng:

 

2

2 x 2x 2x 16

  

 

2.2 x 6.2x

   

Đặt 2x

t , điều kiện t >0

 

2

2

1

x

t

t t x

t l

 

        

 

Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 13: Giải phương trình:

3 x 3 x

  

Điều kiện: x0

Biến đổi phương trình dạng:

3

3

3

x x

  

Đặt x

t , điều kiện t1

Khi pt (1) có dạng:

   

2 4 3 0

3

t l

t t

t l

      

 

Vậy, pt có vơ nghiệm

Ví dụ 14: Giải phương trình: 125x 50x 23x1

 

Biến đổi phương trình dạng:  

125x 50x 2.8x

 

Chia hai vế phương trình (1) cho 8x

 , ta được:

 

3

125 50

2

8

5

2

2

x x

x x

   

 

           

          

Đặt

2

x

t  

  , điều kiện t > Khi pt (2) có dạng:

  

 

3 2

2

1 5

2 2

2 2

x

t

t t t t t x

t t VN



  

              

    

 Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 15: Giải phương trình:      

sin sin

7 4

x x

   

Nhận xét rằng: 7 3   7 3     1

Đặt  3sin

x

t  , điều kiện t >  

sin 1

7

x

t

  

Khi pt (1) có dạng:

 

 

   

 

sin

2

sin

sin sin

2

2 3

7 3

2

1

4

2 7 3 2 3

2 3

x x

x x

t

t t t

t t



  

     



  



    

           

  

  

       

  

  



   

 

sinx

sinx

2 3 sin 1

0 ,

sinx

2 3

x

cosx x  k k Z



   

 



         

 

  

 

Ví dụ 16: Giải phương trình: 5 24 x 5 24x10  1

Nhận xét rằng: 5 24 5   24 1

Đặt t5 24x, điều kiện t > 5 24

x

t

  

Khi pt (1) có dạng:

 

 

   

 

1

2 24 24 24 24 24

1

10 10

5 24 5 24 5 24 5 24 5 24

x x

x x

t

t t t

t t



       

    

           

 

        

1

x x

    



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 17: Giải phương trình: 25x 10x 22x1

 

Viết lại phương trình dạng:  

2

5 x 2.5 x 2.2 x

 

Chia hai vế phương trình cho 22x 0

 , ta được:

 

5

2

2

x x

   

 

        Đặt

2

x

t  

  , điều kiện t > Khi pt (2) có dạng:

 

2 2 0 1 0

2

x

t

t t x

t l



  

          

  



Vậy, pt có nghiệm

Ví dụ 18: Giải phương trình:

4.3 x 3x 9x

  

Điều kiện: 9x 0 9x x  

       

Biến đổi phương trình dạng:

3

4.3 x 3.3x x

  

Với điều kiện (*) 3x

 

Đặt cost 3x

 , với 0,

t     Khi pt (2) có dạng:

 

3

0

4

3 sin

2

3

8

2

8

3

2

t

cos t cost cos t

cos t t cos t

k t

t t k

t k

t t k t l





  





  



 

  

 

     

   

 

   



     



     



 

2

2

4 8

2

8

2

8

cos cos cos

cos cos

  

 

 

   

  

 



 

Do đó:

3

2 2

3 log

8 2

x

t  cos    x 