Phương pháp đặt ẩn phụ giải phương trình mũ

PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phương trình: 2 1 2 3 0 xx aa       Đặt x ta , điều kiện t >0. Dạng 2: Phương trình: 1 2 3 0 xx ab       , với .1ab Đặt x ta , điều kiện t >0, suy ra 1 x b t  Dạng 3: Phương trình:   22 1 2 3 0 x xx a ab b       Chia hai vế của phương trình cho 2 0 x b  (hoặc   2 , x x a ab ) Ví dụ 1: Giải phương trình:   2 2 21 1 7.2 20.2 12 0 x x      Đặt 2 1 2 x t   , vì 2 2 1 1 1 1 2 2 2 x xt        Khi đó pt (1) có dạng:   2 2 1 2 2 7 20 12 0 2 2 1 2 0 6 7 x t t t x x tl                   Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình:   2 2 1 cot sin 4 2 3 0 1 x x    Điều kiện:   sin 0 , .x x k k Z       Vì 2 2 1 1 cot sin x x  , nên pt (1) được viết lại dưới dạng:   22 2cot cot 2 2.2 3 0 2 xx    Đặt 2 cot 2 x t  , vì   2 2 cot 0 cot 0 2 2 1 x xt      Khi đó pt (2) có dạng:   2 2 cot 2 1 2 3 0 2 1 cot 0 , 3 2 x t t t x x k k Z tl                    Nghiệm đó thỏa mãn (*). Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình:       2 3 2 3 4 1 xx     Nhận xét rằng:    2 3. 2 3 2 3 2 3 1      Đặt   23 x t  , điều kiện t > 0   1 23 x t    Khi đó pt (1) có dạng:           2 2 1 2 2 3 2 3 23 1 4 4 1 0 23 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 2 2 1 2 3 2 3 2 x x x x t t t t t t x x xx                                                         Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình:       7 4 3 3 2 3 2 0 1 xx      Nhận xét rằng:      2 7 4 3 2 3 2 3 2 3 1       Đặt   23 x t  , điều kiện t > 0   1 23 x t    và   2 2 7 4 3 2 3 t    Khi đó pt (1) có dạng:         2 3 3 3 1 3 2 0 2 3 0 1 3 0 3 2 3 1 0 x t t t t t t t t t t VN t x                          Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình:       3 3 5 16 3 5 2 1 xx x     Chia 2 vế của phương trình cho 20 x  , ta được:   3 5 3 5 16 8 2 22 xx                   Nhận xét rằng: 3 5 3 5 1 22               Đặt 35 2 x t       , điều kiện t > 0 3 5 1 2 x t       Khi đó pt (2) có dạng: 2 35 2 35 8 16 0 4 4 log 4 2 x t t t x                Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình:   2 2 2 1 1 1 2.4 6 9 1 x x x    Biến đổi phương trình về dạng:         22 2 2 1 2 1 1 2.2 2.3 3 2 xx x    Chia hai vế của phương trình cho   2 21 20 x   , ta được:     22 1 2 1 33 23 22 xx              Đặt 2 1 3 2 x t      , vì 2 11 2 3 3 3 11 2 2 2 x xt                    Khi đó pt (3) có dạng:   2 1 22 33 22 2 3 2 0 2 1 log 2 log 2 1 1 2 x t t t x x tl                       Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 7: Giải phương trình:   22 2 1 2 2 2 9.2 2 0 1 x x x x      Chia hai vế của phương trình cho 22 20 x  , ta được:   22 22 22 2 2 1 2 22 22 2 9.2 1 0 19 .2 .2 1 0 24 2.2 9.2 4 0 2 x x x x x x x x x x x x                  Đặt 2 2 xx t   , điều kiện t > 0 Khi đó pt (2) có dạng: 2 2 22 2 2 1 4 2 2 2 1 2 9 4 0 1 2 1 22 2 xx xx t x x x tt x t xx                                   Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 8: Giải phương trình:   3 31 1 12 2 6.2 1 2 2 xx x x     Viết lại phương trình dưới dạng:   3 3 3 22 2 6 2 1 1 22 xx xx           Đặt 2 2 2 x x t  , điều kiện t > 0, 3 3 33 3 2 2 2 2 2 2 3.2 . 2 6 2 2 2 2 x x x x x x x x tt                     Khi đó pt (1) có dạng:   3 2 6 6 0 1 2 1 2 2 x x t t t t        Lại đặt 2 x u  , điều kiện u > 0 Khi đó pt (2) có dạng:   2 1 2 0 2 2 1 2 x ul u u x u              Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 9: Giải phương trình:   22 1 1 2 1 2 1 2 .2 x x x      Điều kiện: 22 1 2 0 0 2 1 0 xx x       Đặt 2 sin x t , với 0, 2 t       Khi đó phương trình có dạng:   22 1 1 sin 1 2 1 sin .sint t t         1 c t 1 2 .sin 2 sin sin2 2 3 2 2sin . s 2 2 2 3 2 1 2sin 0 22 0 1 2 1 2 6 2 0 32 21 s 2 22 x x os cost t t cos t t t t t cos co tt cos t cos l t x x t t in                                                 Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 10: Giải phương trình:   2 7 6. 0,7 7 100 x x x  Biến đổi phương trình về dạng:   2 77 6. 7 1 10 10 xx              Đặt 7 10 x t     , điều kiện t >0 Khi đó pt (1) có dạng:   2 7 10 7 7 6 7 0 7 log 7 1 10 x t t t x tl                 Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 11: Giải phương trình: 21 1 11 3. 12 33 xx               Biến đổi phương trình về dạng: 21 11 12 0 33 xx                Đặt 1 3 x t     , điều kiện t >0 Khi đó pt (1) có dạng:   2 3 1 12 0 3 1 4 3 x t t t x tl                  Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 12: Giải phương trình: 1 4 2 4 2 2 16 x x x      Biến đổi phương trình về dạng:   21 42 2 2 2 16 x xx        2 2.2 6.2 8 0 1 xx     Đặt 2 x t  , điều kiện t >0 Khi đó pt (1) có dạng:   2 4 2 6 8 0 2 4 2 1 x t t t x tl              Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 13: Giải phương trình: 1 3 3 4 0 xx    Điều kiện: 0x  Biến đổi phương trình về dạng: 3 3 4 0 3 x x    Đặt 3 x t  , điều kiện 1t  Khi đó pt (1) có dạng:     2 1 4 3 0 3 tl tt tl           Vậy, pt có vô nghiệm Ví dụ 14: Giải phương trình: 31 125 50 2 x x x  Biến đổi phương trình về dạng:   125 50 2.8 1 x x x  Chia hai vế của phương trình (1) cho 80 x  , ta được:   32 125 50 2 88 55 2 0 2 22 xx xx                              Đặt 5 2 x t     , điều kiện t > 0 Khi đó pt (2) có dạng:       3 2 2 2 1 5 2 0 1 2 2 0 1 0 2 2 0 2 x t t t t t t x t t VN                       Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 15: Giải phương trình:       sin sin 7 4 3 7 4 3 4 1 xx     Nhận xét rằng:    7 4 3. 7 4 3 7 4 3 7 4 3 1      Đặt   sin 7 4 3 x t  , điều kiện t > 0   sin 1 7 4 3 x t    Khi đó pt (1) có dạng:           sin 21 sin 2 sin sin 2 2 3 2 3 7 4 3 2 3 23 1 4 4 1 0 23 7 4 3 2 3 2 3 2 3 x x xx t t t t t t                                                       sinx 1 sinx 2 3 2 3 sin 1 0, sinx 1 2 2 3 2 3 x cosx x k k Z                            Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 16: Giải phương trình:       5 24 5 24 10 1 xx     Nhận xét rằng:    5 24 5 24 1   Đặt   5 24 x t  , điều kiện t > 0   1 5 24 x t    Khi đó pt (1) có dạng:           1 2 5 24 5 24 5 24 5 24 5 24 1 10 10 1 0 5 24 5 24 5 24 5 24 5 24 xx xx t t t t t t                                  1 1 x x       Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 17: Giải phương trình: 21 25 10 2 x x x  Viết lại phương trình dưới dạng:   22 5 2.5 2.2 x xx  Chia hai vế của phương trình cho 2 20 x  , ta được:   2 55 22 22 xx              Đặt 5 2 x t     , điều kiện t > 0 Khi đó pt (2) có dạng:   2 1 5 2 0 1 0 2 2 x t t t x tl                 Vậy, pt có nghiệm Ví dụ 18: Giải phương trình: 31 4.3 3 1 9 x x x    Điều kiện:   1 9 0 0 9 1 0 xx x        Biến đổi phương trình về dạng: 32 4.3 3.3 1 3 x x x    Với điều kiện (*) thì 0 3 1 x  Đặt 3 x cost  , với 0, 2 t       Khi đó pt (2) có dạng:   32 0 2 4 3 1 3 sin 2 32 82 2 8 32 2 42 t cos t cost cos t cos t t cos t k t t t k t k t t k tl                                                Ta có: 2 2 2. 2 1 4 8 8 22 84 22 82 cos cos cos cos cos                Do đó: 3 2 2 2 2 3 log 8 8 2 2 x t cos x         Vậy, pt có nghiệm PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 2 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví dụ 1: Giải phương trình:     2 3 2 9 .3 9.2 0 1 x x x x     Đặt 3 x t  , điều kiện t > 0 Khi đó pt (1) tương đương với:   2 2 9 9.2 0 xx tt    2 9 3 9 2 3 0 2 1 32 2 x x x xx x t x x t                             Vây, pt có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình:     22 22 9 3 .3 2 2 0 1 xx xx     Đặt 2 3 x t  , điều kiện 1t  (vì 2 20 0 3 3 1 x x     Khi đó pt (1) tương đương với:   2 2 2 3 2 2 0t x t x         2 2 2 2 3 2 2 2 1 3 1 3 x x t tx x             Giải (2): 2 2 33 3 2 log 2 log 2 x xx      Giải (3) 2 2 31 x x , ta có nhận xét: 2 2 11 31 0 11 11 x VT VT x VP VP x                  Vây, pt có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình:     2 3 2 2 .3 3 .3 2 .3 0, 0 1 x x x m m m m m      a. Giải phương trình với m = 2. b. Xác định m để phương trình có ba nghiệm phân biệt. Đặt 3 x t  , điều kiện t > 0 Khi đó pt (1) tương đương với:   2 3 2 2 . 3 . 2 . 0m t mt m t m         3 2 2 3 1 2 0t t m t m t      Coi m là ẩn, còn t là tham số, ta được phương trình bậc 2 theo m, ta được:     2 2 1 1 2 2 0 2 1 m t t m t f t mt t m m t                     a. Với m = 2, ta được:     33 2 1 11 2 3 log log 2 22 2 2 2 0 x t x f t t t VN                 Vây, với m = 2 pt có nghiệm b. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt  phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương khác 1 m và m > 0 2 ' 10 0 2 0 0 01 0 10 1 0 1 0 m S m m P f m m m                              Vậy với 0 < m < 1 phương trình có ba nghiệm phân biệt. Ví dụ 4: Giải phương trình:   2 3 1 3 4 2 2 16 0 1 x x x     Đặt 2 x t  , điều kiện t > 0 Khi đó pt (1) tương đương với: 43 2 4 3 2 8 16 0 4 2 .4 2 0 t t t t t t          Đặt u = 4, ta được: 2 4 3 2 . 2 0u t u t t          2 2 2 2 1 4 2 4 0 1 42 15 2 5 1 log 5 1 15 x u t t t t tt u t t t tt t x t                                       Vây, pt có nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình:     9 2 2 .3 2 5 0 1 xx xx     Đặt 3 x t  , điều kiện t > 0 Khi đó pt (1) tương đương với:   2 2 2 2 5 0t x t x         1 3 5 2 2 52 x tl x tx          Ta đoán được nghiệm x = 1 Vế trái (2) là một hàm số đồng biến Vế phải (2) là một hàm nghịch biến Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của pt (2) Vây, pt có nghiệm Ví dụ 6: Giải phương trình:   2 3 3 5 5 1 xx    Đặt 3 x t  , điều kiện t > 0 Khi đó pt (1) tương đương với:       2 2 2 2 2 2 4 2 55 55 50 05 5 2 1 .5 1 0 2 55 tt tt t t tt tt                          Đặt u = 5, pt (2) có dạng:   2 2 4 2 1 1 0u t u t             2 2 2 22 2 2 2 1 2 1 50 51 2 2 1 2 1 5 1 40 2 1 17 1 17 1 17 2 3 log 22 1 17 2 x tt u t t l t t t t t tt u tl x t                                                          Vây, pt có nghiệm [...]... 3 Đặt  , uv  0  x x v  2  Khi đó, pt tương đương với: u  3 8u  3v  24  uv   u  38  v   0   v  8 3x  3  x  1  x  2  8  x  3 Vây, pt có nghiệm PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 18  x1 1 x x 1 x 2 1 2  2 2  2  2 8  Viết lại phương trình dưới dạng: 8 x 1  1 1 x  x 1 18  21 x  2 1 2 1 2 u  2x1  1 Đặt. ..PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví dụ 1: Giải phương trình: 4x 3x2  4x 6 x5  42 x 3x7 1 Viết lại phương trình dưới dạng: 2 4x 2 3 x  2   4x 2  4x 3 x  2 2  6 x 5   4x 2  1 1  4x 3 x  2 2 4x  6 x 5 2  6 x 5 2 2 1 0 x... Ví dụ 4: Giải phương trình: 4x x  21x  2 x1 1 2 2 2 u  4 x  x  , uv  0 Đặt  1 x 2 v  2  2 Nhận xét rằng: .21x  2 x1 Khi đó, pt tương đương với: 2 2  2 x2  x u.v  4x  x.21x  2 2 2 u  1 u  v  uv  1   u  1 v  1  0   v  1 x0 2 4x  x  1  x2  x  0  x  1  2   2 21 x  1 1  x  0   x  1  Vây, pt có nghiệm Ví dụ 5: Giải phương trình: 8.3x... 6 x5  1  x  6 x  5  0  x  1    x  5 Vây, pt có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 2x 5x6  21x  2.265x 1 Viết lại phương trình dưới dạng: 2 2 2x 5x6  21x  275x 1 2 2  x2 5 x31 x2   1  2x 5 x6  21 x  2 2 2  2x 5 x6  21 x  2 x 5 x3.21 x  1 2 u  2x 5 x 6  , u, v  0 Đặt  1 x2 v  2  2 2 2 2 Khi đó, pt tương đương với: u  1 u  v  uv  1... 1  2   x 1  1x 2 1  2  9  Với u  9  v  , ta được : 8 x 1 2  1  9   1 x 9 x4 2  1  8  Vây, pt có nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: 22 x  2x  6  6 1 Đặt u  2x , điều kiện u >0 Khi đó, pt (1) tương đương với: u2  u  6  6  2 Đặt v  u  6 , điều kiện v  6  v2  u  6 Khi đó, pt (2) tương đương với hệ: u 2  v  6   u 2  v2    u  v    u  v  u  v ... 1  0 , ta được :  1  21 u  21 1 21 1 2 u2  u  5  0    2x   x  log2 2 2  1  21 l  u   2 Vây, pt có nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình: 32x  3x  5  5 1 Đặt u  3x , điều kiện u >0 Khi đó, pt (1) tương đương với: u2  u  5  5  2 Đặt v  u  5 , điều kiện v  5  v2  u  5 Khi đó, pt (2) tương đương với hệ: u 2  5  v   u 2  v 2    u  v    u  v  u  v ... 0 , ta được :  1  17 u  17 1 17 1 2 u2  u  4  0    3x   x  log3 2 2  1  17 l  u   2 Vây, pt có nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình: 27x  2  33 3x1  2 1 Đặt u  3x , điều kiện u >0 Khi đó, pt (1) tương đương với: u3  2  33 3u  2  2 Đặt v  3 3u  2 ,  v3  3u  2 Khi đó, pt (2) tương đương với hệ: u3  2  3v  3 u3  2  3v    3  u3  v3  3  u  v   ...  1  0   v  1 x3 2  2 x 5 x  6  1  x 2  5 x  6  0  x  2  2   2 21 x  1 1  x  1   x  1  Vây, pt có nghiệm x2 2 x Ví dụ 3: Giải phương trình: 9 3 2  3x  3 x2 1 1 2 2 3 x2  2 x   2 u  9 , uv  0 Đặt  x2 v  3  Nhận xét rằng: x2  2 x  u 9  2 v 3x 3 2  3  2 x2  2 x   2  3 3x 2  3x 2  4 x 3  3 x2 1 2 Khi đó, pt tương đương với: u v . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Phương trình: 2 1 2 3 0 xx aa       Đặt x ta , điều kiện t >0. Dạng 2: Phương trình: 1 2 3 0 xx ab . có nghiệm PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 3 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 2 2 3 2 6 5 2 3 7 4 4 4 1 x x x x x x         Viết lại phương trình dưới dạng:. pt có nghiệm PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 4 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 x x x x x        Viết lại phương trình dưới dạng: 1