PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ : I CÁC ĐỊNH NGHĨA : 1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.a…a tích của n số a với n>1.. Công thức đổi cơ số..[r]
(1)PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ : I) CÁC ĐỊNH NGHĨA : 1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.a…a ( tích n số a) với n>1 2) Luỹ thừa với số mũ và nguyên âm : a0 = và a-n = n ( với a và n nguyên dương ) a 3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : m n a a n am ( Với a > và r m , m Z , n Z * ) n 4) Lôga rit số a b: log a b a b II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC : 1) Luỹ thừa : Với các số a> , b> , ; tuỳ ý ta có: a a a ; a : a a ; (0 a 1, b 0) ( a ) a ; 2) Lôgarit: Với giả thiết biểu thức xét có nghĩa , ta có ; ( a : b) a : b ( a.b) a a log a log a a ; a log a b b loga a b b ; log a (b.c) log a b log a c b log a log a b log a c ; log a ( ) log a c c c log a b log a b log b x log a ( với tuỳ ý ) ; log a x , tức là log a b log b a log a b b log a b ; log a b log a n b log a b ; n N * n ( Công thức đổi số) log a b B/ PHẦN BÀI TẬP : I/ PHƯƠNG TRÌNH MŨ Một số phương pháp giải phương trình mũ @Phương trình mũ : a x m x loga m (0 a 1; m 0) @ Phương pháp đưa cùng số *Biến đổi vế cùng số sử dụng phép biến đổi sau để giải a f ( x ) a g( x ) f ( x ) g( x ) a Lop12.net (2) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a./ x 3x 1 x 1 x 2 b./ 36 3 Giải: a./ b./ x 1 x 3x 1 (x 3x 1) 33 2 x 2 x 1 (x 3x 1) x 3x x 2 2x 8.2 x x 36 2.2 36 36 4 9.2 x 36.4 x 16 24 x x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a x x 8 13x 4 x 1 x x 2 b x 1 x x 2 x2 6x 2 16 c d (x x 1) 3 3 3 @ Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng : A.a2f(x) + B.af(x) + C = (1) Đặt t = af(x) > Ta có phương trình : At2 + Bt + C = (2) * Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ : Giải các phương trình sau x x2 1 4.3 x b) 2x 8 x a) 2.16 15.4 Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 27 (m 4).9 x 2(m 2).3x m Dạng : A.af(x) + B.bf(x) + C = (1) đó a.b=1 Đặt t = af(x) > bf(x)= t B Ta có phương trình : At + + C = At Ct B (2) t * Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ1 : Giải các phương trình sau x x a/ (3 5) 16(3 5) )x b) ( ( )x x 3 1 cos x 3 cos2x c) 7.4 20 Ví dụ : Giải và biện luận phương trình (m 2).2 x m.2 x m Dạng : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = a Chia hai vế cho b2f(x) > ta có : A b f ( x) (1) a B b f ( x) f ( x) C a Đăt t = = t > ta At2 + Bt + C = (2) b Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Lop12.net (3) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau b./ 34 x - 4.32 x 27 a./ 25 x 2.5 x 15 c./ 3x 32 x 24 Giải: d) 64 9x – 84 12x + 27 16x = a./ 25 x 2.5 x 15 x 2.5 x 15 Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= t 5x x t 3 (loai) b./ 34x - 4.32x+1+27=0 32x 12.32 x 27 Nêu t=32x ; t>0 ta có : t 12t 27 32 x t 2 x 2x t 2 x 3 x x t 3x x c./ Đặt t , ta có 9t 24t t ( loai) x x 16 2x x x 4 3 d/64 9x – 84 12x + 27 16x = 27 84 64 x x 3 3 Bài tập áp dụng: : Giải các phương trình sau a) 6.9 x 13.6 x 6.4 x b) 3.8 x 4.12 x 18 x 2.27 x c) 2.2 x 9.14 x 7.7 x d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x e) x 2x 4.2 x x 22x g) 12.3 x 3.15 x x 1 20 2.Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình: 41 x 41 x (m 1)(2 2 x 2 x ) 2m có nghiệm thuộc đoạn [0;1] 3.Cho phương trình : 91 1 x (m 2).31 1 x 2m Tìm m để phương trình có nghiệm @ Phương pháp lôgarit hóa Nếu hai vế phươnh trình dương ta có thể giải phương trình cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hóa) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a./ 32 x5 b./ x 22 x1 50 Giải: log3 a./ 32 x 5 x log3 x x b./ x 22 x 1 50 x 50 20 x 100 x log20 100 Lop12.net (4) Ví dụ 2: Giải các phương trình : x a) 3x.8 x1 b) x 5 log x 55 c) 32log3 x 81x @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến hàm số Ví dụ : Giải các phương trình x b) 2x = 1+ a) 3x + 4x = 5x c) ( )x 2x d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - = Giải: x x 3 4 a) + = (*) 5 5 Dễ thấy phương trình có nghiệm x=2 .Với x>2 x 3 x x 25 1, 5 3 4 ph tr (*) không có nghiệm x x 5 5 4 16 x 25 5 Với x<2 x 4 x x 25 1, 5 3 4 ph tr (*) không có nghiệm x x 5 5 4 16 x 25 5 Vậy phương trình có nghiệm x=2 3x 4x 5x Bài tập Bµi 1: Giải các phương trình : x x 8 13x b x 1 x e (x x 1) x2 1 16 x 2 d 12 4 x 2 c 3x 3x 1 3x 2 a x2 6x x x 1 x 2 1 f ( x x ) 1 4x2 g (x 2x 2) 1 Bµi 2:Giải các phương trình : 4.32x 5 27 x x c (2 3) (2 3) x x x 3 e (3 5) 16(3 5) a 4x 8 x x g 3.16 2.8 5.36 i x x 7 17 x x d 2.16 15.4 x x f (7 3) 3(2 3) b x 3x 3 2 x 2x h 2.4 x 6x x x 1 j 12 x 3 1 k (x 1) 9x 5x 2 3x 3x 1 3x 2 Bµi 3:Giải các phương trình : x x a x x x b x x c x (3 )x 2(1 ) d Lop12.net 2x 1 32x 52x 1 x 3x 1 5x 2 (5) II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT * Phương trình lôgarit log x c x ac (x > 0, 0< a a 1) * Một số phương pháp giải phương trình lôgarit @ Phương pháp đưa cùng số Biến vế đưa dạng: log a x log a b x=b 0a1, b>0 0 g( x ) Tổng quát: log g ( x ) f ( x ) log g ( x ) h ( x ) f ( x ) f ( x ) h( x ) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a./ log2 x log2 ( x 3) Giải: a./ log2 x log2 ( x 3) b./ log2 x log2 x log2 x (1) x x x0 x x 3 ĐK: (1) log2 x ( x 3) x ( x 3) 22 x x 3x x 1 x 4 (loại) b./ log2 x log2 x log2 x (1) ĐK: x>0 (1) log2 x log2 x log2 log2 x log2 x log2 log2 x log2 log2 x log2 x x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: log x log x log x log10 x (1) Giải đk: x > Ta biến đổi cùng số 2: log x log log x ; log x log log x ; log 10 x log 10 log x (1) log x(1 log log log 10 2) log x x = Ví dụ : (Đề 81) Giải phương trình log ( x 2) log (4 x ) log ( x 6) (1) 4 Giải Ta có: log (x 2) log x log (4 x) log x log (x 6) log x x Đk: 4 x 6 x 4 x 2 x Lop12.net 4 (6) (1) log x log (4 x) log (x 6) log x log [(4 x)(x 6)] 4 4 log x log [(4 x)(x 6)] x (4 x)(x 6) 4 x 4(x 2) x 2x 24 x 6x 16 x 8 4(x 2) x 2x 24 x 2x 22 x 33 x nghiệm: x 33 Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình: log 2 x 3x + log 2 x = log 3 a ( x 2) , a > (1) Giải Đk: x – 3x + > 0, x – > 0, a(x + 2) > x > Ta có: (2 )(2 ) = log 2 x = log ( 2 log 2 log x 3x + log 2 3 a(x 2) = log ( 2 )2 x = log 2 a(x 2) = 1 log 2 (x 2) = log 2 2 x2 = + a a > nghiệm: x = a (1) x>2 x= 4 3 b) log x + log x = log x + log x + 2 c) log x (125x) log 25 x = x x d) log (sin sin x) + log (sin cos 2x) = (Đề 3) 2 2) Xác định m để phương trình: log (2x x 2m 4m ) + log (x mx 2m ) = 2 x 1 = x – = a(x 2) Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: log 2 (x 2) x 1 a(x 2) = log 2 a(x 2) a a) log (4 x 1 4) log (4 x 1) = log x = log 2 x 3x log 2 a(x 2) ) 1 có nghiệm x , x thoả mãn: x + x > Hướng dẫn: pt log (2x x 2m 4m ) = log (x mx 2m ) Lop12.net 1 x2 – = a (7) 2x x 2m 4m x mx 2m x (m 1)x 2m 2m 2 x mx 2m x mx 2m x 2m x m 2 x mx 2m (2) phương trình có nghiệm x , x nên x , x điều kiện (2) – < m < m 2 x1 + x > m 3) Tìm a để phương trình log (ax) = có nghiệm log (x 1) Hướng dẫn: ax ax pt x 0; x 1 x log (ax) log (x 1) x2 – a x ax phương trình có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn: x 4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29) @ Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình (x 1) log 4( x 1) = (x 1) Giải 4(x 1) Đk: x Lấy logarit số vế, ta được: log (x 1) log 4( x 1) = log 8(x 1) log 4(x 1) log (x 1) = + log (x 1) 2 log (x 1) log (x 1) = + log (x 1) (1) Đặt t = log (x 1) (1) t – t – = phương trình có nghiệm: t1 13 13 ; t2 2 1 13 13 x1 2 1 13 13 t2 x2 1 2 t1 Ví dụ Giải phương trình 2 ( x ) = log (2x) Giải 2 x Đk: x2 x Lop12.net (8) 2 y x y log 2x Đặt x 1 = y; y x = log y + Ta hệ phương trình: x x log 2y 2 y y y = x x (1) Xét hàm số: f(z) = z e z ; f'(z) = e z + e z > z f(z) đồng biến trên [2; ) Từ (1) x = y x 2x Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = x điểm: x = 1; x = từ x x = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình x log = x log x – x log (1) Giải Đk: x>0 áp dụng công thức: a log b c = c log b a (1) log x = x log x – log x log x = x – t t 3 1 Đặt t = log x 3t + = 4t + = (2) 4 4 t t 3 1 Xét f(t) = + là hàm nghịch biến (2) có nghiệm t = x = là nghiệm (1) 4 4 Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a./ log22 x log2 b./ log2 ( x 1) log x 1 x 20 c./ lg2 x lg x lg x d./ log2 x log2 16 x Giải: a / log22 x log2 x (1) ÑK : x>0 (1) log22 x log2 x log x t Ñaët t= log2 x , ta có : t t log2 x 2 t 2 x x 22 Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4 b./ log2 ( x 1) log x 1 (1) ĐK: x 1 x x 1 x (*) (1) log2 ( x 1) log2 log2 ( x 1) log2 ( x 1) log2 ( x 1) log2 ( x 1) log2 ( x 1) Lop12.net (9) t Đặt: t log2 ( x 1) , ta có : t t t 2 x 1 x log2 ( x 1) thỏa (*) log ( x ) x x Vậy phương trình có nghiệm là : x = và x = 5/4 c./ lg2 x lg x lg x ĐK: x>0 (*) (1) (1) lg2 x lg x lg x lg2 x lg x x 10 t lg x Đặt: t= lgx , ta có: t 8t thỏa (*) lg x t Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = d./ x 10 107 log2 x log2 16 x (1) log2 x x x (*) x 16 x ĐK: (1) log2 x log2 16 log2 x log2 x log2 x t log2 x x t 3 (loại) Đặt: t log2 x , ta có: t 2t Thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình a) log (x x 1) log (x x 1) = log x x b) log (3x 1) log (3x 1 3) = c) log log x + log log x = d) log x + log x = log x + log x + 2) Giải và biện luận theo a a) log x ax log a x = – x2 a 3) Cho phương trình: (m – 3) log (x 4) – (2m + 1) log (x 4) + m + = b) ( log a2 x + 2) log a x a = log x a log a 2 tìm m để phương trình có nghiệm x1, x thoả mãn < x1 < x < 4) Giải phương trình a 1 lg x lg x Lop12.net (10) b log x c 10 log2 x log 0,04 x log 0,2 x d 3log x 16 log16 x log2 x e log 16 log 2x 64 x f lg(lg x) lg(lg x 2) @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến hàm số Ví dụ Giải phương trình: lg(x x 6) + x = lg(x 2) + (1) Giải Đk: x x , x + > x > x2 x (1) lg(x x 6) – lg(x 2) = – x lg = – x lg(x – 3) = – x (2) x2 Nhận xét: x = là nghiệm (2) y = lg(x – 3); y' = > là hàm đồng biến x3 y = – x là nghịch biến x = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình log 2 (x 2x 2) = log (x 2x 3) (1) Giải x x x 1 Đk: x x x (1) log (x 2x 2) = log 74 (x 2x 3) (2) Đặt: a = + ; t = x 2x (2) log a 1 (t 1) = log a t (3) y y t a y a y y Đặt: y = log a t (3) a = (a 1) + = (4) y a 1 a 1 t (a 1) y = là nghiệm (4) y > VT < VP y < VT > VP y = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình: 2log ( x 3) = x Giải Đk: x > – – < x 0: phương trình vô nghiệm t t x t log (x 3) t 1 2 x > 0: Đặt log (x 3) = t t + =1 (*) t 5 5 2 x x t = là nghiệm VT (*) là hàm nghịch biến t = là nghiệm x = là nghiệm Bái tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình: lg (10 x ) + lgx = m a) có nghiệm b) có nghiệm thoả mãn: < x < 10 10 Lop12.net (11) 2) Giải phương trình: log ( x 3log x ) = log x Bài tập Bài tập 1: Giải các phương trình sau a log5 x log5 x log5 x b log5 x log 25 x log 0,2 2 d lg(x 2x 3) lg c log x 2x 5x 2 x3 0 x 1 e .lg(5x 4) lg x lg 0,18 Bài tập 2: Giải các phương trình sau a 1 lg x lg x c log 0,04 x b log x 10 log x d 3log x 16 log16 x log x log 0,2 x f lg(lg x) lg(lg x 2) e log 16 log 2x 64 x Bài tập 3: Giải các phương trình sau a log3 log x c log x 1 x 2x g lg x log log2 x log e lg2 1 lg x lg 51 x x x d lg 6.5 25.20 f x lg 5 50 x lg5 x x b log 4.3 log h x lg2 x lg x2 x x x lg25 x lg2 lg3 x 1 log x i 3 x 162 Bài tập 4: Giải các phương trình sau b log3 x 1 log5 2x 1 a x lg x x lg x c x log3 x 1 x 1 log3 x 1 16 d log5 x 3 III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Các phương pháp giải thường sử dụng Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : x y 1) 3log9 (9x ) log3 y log ( y x) log y 2) x y 25 x2 y x y ( ) ( ) 6) log ( x y ) log ( x y ) 1)3y ( x 7) y log x 11 Lop12.net 4x x x (12) 2 x y y 3) x x 1 y x 2 y x x 4) x y 10 log ( x y ) 5) 2 log x log y Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : 3 y 1 x 1) x y 4 6.3 4 x 2 x y y 3) 2 y 3.2 x y 16 x y 3 1152 5) log ( x y ) x log8 y y log8 x 8) log x log y x y 9) log x log2 y 2 x y 64 10) x y log x y log y x 2) x x y 20 log y x log x log y 4) 3 log x log y 1 Bài tập Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau : lg x lg y a/ 2 x y 29 log x log2 y 2 x 5y c/ log x xy log y x d/ log x y y 4y Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau : 4 x y 128 a 3x 2y 3 1 5 32x y 77 c x y 3 lg x y 3lg2 b/ lg x y lg x y lg3 xy y x 32 d/ log3 x y log3 x y 5x y 125 b (x y)2 1 1 4 2 x y 12 d x y 12 Lop12.net (13)