Ôn tập Phương trình mũ và phương trình lôgarit

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ : I CÁC ĐỊNH NGHĨA : 1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.a…a tích của n số a với n>1.. Công thức đổi cơ số..[r]

PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT A/TÓM TẮT KIẾN THỨC CẦN NHỚ : I) CÁC ĐỊNH NGHĨA : 1) Lũy thừa với số mũ nguyên dương: an = a.a…a ( tích n số a) với n>1 2) Luỹ thừa với số mũ và nguyên âm : a0 = và a-n = n ( với a  và n nguyên dương ) a 3) luỹ thừa với số mũ hữu tỉ : m n a  a  n am ( Với a > và r  m , m  Z , n  Z * ) n 4) Lôga rit số a b:   log a b  a  b II) CÁC TÍNH CHẤT VÀ CÔNG THỨC : 1) Luỹ thừa : Với các số a> , b> ,  ;  tuỳ ý ta có:  a  a   a    ; a  : a   a    ; (0  a  1, b  0) ( a  )   a     ; 2) Lôgarit: Với giả thiết biểu thức xét có nghĩa , ta có ; ( a : b)  a : b ( a.b)   a  a  log a  log a a  ; a log a b  b loga a b  b ; log a (b.c)  log a b  log a c b log a  log a b  log a c ; log a ( )   log a c c c log a b    log a b log b x  log a ( với  tuỳ ý ) ; log a x , tức là log a b log b a  log a b b  log a b ; log a b  log a n b  log a b ; n  N * n ( Công thức đổi số)  log a b  B/ PHẦN BÀI TẬP : I/ PHƯƠNG TRÌNH MŨ  Một số phương pháp giải phương trình mũ @Phương trình mũ : a x  m  x  loga m (0  a  1; m  0) @ Phương pháp đưa cùng số *Biến đổi vế cùng số sử dụng phép biến đổi sau để giải a f ( x )  a g( x )   f ( x )  g( x )   a    Lop12.net Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:   a./       x  3x 1 x 1 x 2 b./   36 3 Giải:   a./       b./ x 1 x 3x 1  (x 3x 1) 33 2 x 2  x 1   (x  3x  1)   x  3x     x   2 2x 8.2 x  x  36  2.2   36   36 4  9.2 x  36.4  x  16  24  x  x Ví dụ 2: Giải các phương trình sau a x  x 8 13x 4 x 1 x x 2 b x 1 x x 2 x2 6x  2  16 c   d (x  x  1) 3 3 3 @ Phương pháp đặt ẩn phụ Dạng : A.a2f(x) + B.af(x) + C = (1) Đặt t = af(x) > Ta có phương trình : At2 + Bt + C = (2) * Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ : Giải các phương trình sau x x2 1 4.3 x b) 2x 8  x a) 2.16  15.4   Ví dụ : Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1 27 (m  4).9 x  2(m  2).3x  m   Dạng : A.af(x) + B.bf(x) + C = (1) đó a.b=1 Đặt t = af(x) >  bf(x)= t B Ta có phương trình : At + + C =  At  Ct  B  (2) t * Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Ví dụ1 : Giải các phương trình sau x x a/ (3  5)  16(3  5)  )x b) (  ( )x x 3 1 cos x 3 cos2x c)  7.4 20 Ví dụ : Giải và biện luận phương trình (m  2).2 x  m.2  x  m  Dạng : A.a2f(x) + B.af(x).bf(x) + C.b2f(x) = a Chia hai vế cho b2f(x) > ta có : A   b f ( x) (1) a  B  b f ( x) f ( x) C  a Đăt t =   = t > ta At2 + Bt + C = (2) b  Phương trình ( 1) có nghiệm phương trình ( ) có nghiệm t > Lop12.net Ví dụ 1: Giải các phương trình sau b./ 34 x - 4.32 x   27  a./ 25 x  2.5 x  15  c./ 3x   32  x  24 Giải: d) 64 9x – 84 12x + 27 16x =   a./ 25 x  2.5 x  15   x  2.5 x  15  Đặt t = 5x, t >0 ta có phương trình: t2 – 2t – 15= t    5x   x  t  3 (loai) b./ 34x - 4.32x+1+27=0  32x    12.32 x  27  Nêu t=32x ; t>0 ta có : t  12t  27  32 x  t  2 x     2x   t  2 x  3    x    x  t   3x   x  c./ Đặt t   , ta có 9t  24t     t   ( loai)  x   x 16    2x x x  4 3     d/64 9x – 84 12x + 27 16x =  27    84    64     x   x 3 3       Bài tập áp dụng: : Giải các phương trình sau a) 6.9 x  13.6 x 6.4 x b) 3.8 x  4.12 x  18 x  2.27 x  c) 2.2 x  9.14 x  7.7 x  d) 8.3x + 3.2x = 24 + 6x e) x 2x  4.2 x x  22x   g) 12.3 x  3.15 x  x 1  20 2.Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình: 41 x  41 x  (m  1)(2 2 x  2 x )  2m có nghiệm thuộc đoạn [0;1] 3.Cho phương trình : 91 1 x  (m  2).31 1 x  2m   Tìm m để phương trình có nghiệm @ Phương pháp lôgarit hóa Nếu hai vế phươnh trình dương ta có thể giải phương trình cách lấy lôgarit hai vế ( lôgarit hóa) Ví dụ 1: Giải các phương trình sau a./ 32 x5  b./ x 22 x1  50 Giải: log3  a./ 32 x 5   x   log3  x  x b./ x 22 x 1  50  x  50  20 x  100  x  log20 100 Lop12.net Ví dụ 2: Giải các phương trình : x a) 3x.8 x1  b) x 5 log x  55 c) 32log3 x  81x @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến hàm số Ví dụ : Giải các phương trình x b) 2x = 1+ a) 3x + 4x = 5x c) ( )x 2x d) 9x + 2(x -2)3x + 2x - = Giải: x x 3 4 a) + =        (*) 5 5 Dễ thấy phương trình có nghiệm x=2 .Với x>2   x         3 x x 25   1,    5  3 4           ph tr (*) không có nghiệm x   x 5  5  4 16       x        25 5   Với x<2   x         4 x x 25   1,    5  3 4           ph tr (*) không có nghiệm x   x 5  5  4 16       x        25 5   Vậy phương trình có nghiệm x=2 3x 4x 5x Bài tập Bµi 1: Giải các phương trình : x  x 8 13x b x 1 x e (x  x  1) x2 1  16 x 2 d  12 4 x 2 c    3x  3x 1  3x 2 a x2 6x  x x 1 x 2 1 f ( x  x ) 1 4x2 g (x  2x  2) 1 Bµi 2:Giải các phương trình :  4.32x 5  27  x x c (2  3)  (2  3)   x x x 3 e (3  5)  16(3  5)  a 4x 8 x x g 3.16  2.8  5.36 i x  x 7  17  x x d 2.16  15.4   x x f (7  3)  3(2  3)   b x 3x 3 2 x 2x  h 2.4 x  6x x x 1 j   12  x 3 1 k (x  1)  9x  5x 2  3x  3x 1  3x 2 Bµi 3:Giải các phương trình : x x a   x x x b  x   x c x  (3  )x  2(1  )  d Lop12.net 2x 1  32x  52x 1  x  3x 1  5x 2 II PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT * Phương trình lôgarit log x c  x  ac (x > 0, 0< a  a 1) * Một số phương pháp giải phương trình lôgarit @ Phương pháp đưa cùng số Biến vế đưa dạng:   log a x  log a b  x=b    0a1, b>0 0  g( x )   Tổng quát: log g ( x ) f ( x )  log g ( x ) h ( x )   f ( x )   f ( x )  h( x )  Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: a./ log2 x  log2 ( x  3)  Giải: a./ log2 x  log2 ( x  3)  b./ log2 x  log2 x  log2 x (1) x  x    x0 x    x  3 ĐK:  (1)  log2 x ( x  3)   x ( x  3)  22  x   x  3x      x 1  x  4 (loại) b./ log2 x  log2 x  log2 x (1) ĐK: x>0 (1)  log2 x  log2 x  log2  log2 x  log2 x  log2  log2 x  log2  log2 x  log2  x  x=3>0 thỏa điều kiện Vậy phương trình có nghiệm là x=3 Ví dụ 2: Giải phương trình: log x  log x  log x  log10 x (1) Giải đk: x > Ta biến đổi cùng số 2: log x  log log x ; log x  log log x ; log 10 x  log 10 log x (1)  log x(1  log  log  log 10 2)   log x   x = Ví dụ : (Đề 81) Giải phương trình log ( x  2)   log (4  x )  log ( x  6) (1) 4 Giải Ta có: log (x  2)  log x   log (4  x)  log  x  log (x  6)  log x  x    Đk: 4  x   6  x   4   x  2    x  Lop12.net 4 (1)  log x    log (4  x)  log (x  6)  log x    log [(4  x)(x  6)] 4 4  log x   log [(4  x)(x  6)]  x   (4  x)(x  6)  4 x  4(x  2)   x  2x  24 x  6x  16       x  8 4(x  2)  x  2x  24 x  2x  22  x   33  x   nghiệm:  x   33 Ví dụ 4: Giải và biện luận phương trình: log 2 x  3x  + log 2 x  = log  3 a ( x  2) , a > (1) Giải Đk: x – 3x + > 0, x – > 0, a(x + 2) >  x > Ta có: (2  )(2  ) =  log 2 x  = log ( 2 log 2 log  x  3x  + log 2 3 a(x  2) = log ( 2 )2 x  = log 2 a(x  2) = 1 log 2 (x  2) =  log 2 2  x2 = + a a >  nghiệm: x =   a (1)  x>2  x= 4 3 b) log x + log x = log x + log x + 2 c) log x (125x) log 25 x = x x d) log (sin  sin x) + log (sin  cos 2x) = (Đề 3) 2 2) Xác định m để phương trình: log (2x  x  2m  4m ) + log (x  mx  2m ) = 2 x 1 =  x – = a(x  2) Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình: log 2 (x  2) x 1 a(x  2) =  log 2 a(x  2) a a) log (4 x 1  4) log (4 x  1) = log x  =  log 2 x  3x  log 2 a(x  2) ) 1 có nghiệm x , x thoả mãn: x + x > Hướng dẫn: pt  log (2x  x  2m  4m ) = log (x  mx  2m ) Lop12.net 1  x2 – = a 2x  x  2m  4m  x  mx  2m x  (m  1)x  2m  2m      2 x  mx  2m  x  mx  2m    x  2m  x   m  2 x  mx  2m  (2) phương trình có nghiệm x , x nên x , x điều kiện (2)  – <  m <   m  2 x1 + x >    m  3) Tìm a để phương trình log (ax) = có nghiệm log (x  1) Hướng dẫn: ax  ax    pt  x   0; x    1  x  log (ax)  log (x  1)  x2  – a x         ax  phương trình có nghiệm (2) có nghiệm thoả mãn:    x  4) Giải và biện luận phương trình: 2lgx – lg(x – 1) = lga theo a (đề 29) @ Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ Giải phương trình (x  1) log 4( x 1)  = (x  1) Giải 4(x  1)  Đk:  x   Lấy logarit số vế, ta được: log (x  1) log 4( x 1)  = log 8(x  1)  log 4(x  1) log (x  1) = + log (x  1)  2  log (x  1) log (x  1) = + log (x  1) (1) Đặt t = log (x  1)  (1)  t – t – =   phương trình có nghiệm: t1    13  13 ; t2  2 1 13  13  x1   2 1 13  13 t2   x2  1 2 t1  Ví dụ Giải phương trình 2 ( x  ) = log (2x) Giải 2 x  Đk:   x2 x   Lop12.net 2 y  x y  log 2x Đặt x 1 = y; y   x = log y +  Ta hệ phương trình:    x  x  log 2y 2  y y y = x x (1) Xét hàm số: f(z) = z e z ; f'(z) = e z + e z > z  f(z) đồng biến trên [2;   ) Từ (1)  x = y  x  2x Đường thẳng y = 2x cắt đường cong y = x điểm: x = 1; x = từ x   x = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình x log = x log x – x log (1) Giải Đk: x>0 áp dụng công thức: a log b c = c log b a (1)  log x = x log x – log x  log x = x – t t 3 1 Đặt t = log x  3t + = 4t    +   = (2) 4 4 t t 3 1 Xét f(t) =   +   là hàm nghịch biến  (2) có nghiệm t =  x = là nghiệm (1) 4 4 Ví dụ 4: Giải các phương trình sau: a./ log22 x  log2 b./  log2 ( x  1)  log x 1 x 20 c./ lg2 x  lg x  lg x  d./ log2 x  log2 16 x   Giải: a / log22 x  log2 x   (1) ÑK : x>0 (1)  log22 x  log2 x    log x  t  Ñaët t= log2 x , ta có : t  t       log2 x  2 t  2 x    x  22   Thỏa điều kiện x>0 Vậy phương trình có nghiệm là: x=2 và x=1/4 b./  log2 ( x  1)  log x 1 (1) ĐK: x 1  x    x 1  x  (*) (1)   log2 ( x  1)  log2   log2 ( x  1)  log2 ( x  1) log2 ( x  1)   log2 ( x  1)  log2 ( x  1)   Lop12.net t  Đặt: t  log2 ( x  1) , ta có : t  t     t  2 x 1  x   log2 ( x  1)      thỏa (*)  log ( x  )   x   x    Vậy phương trình có nghiệm là : x = và x = 5/4 c./ lg2 x  lg x  lg x  ĐK: x>0 (*) (1) (1)  lg2 x  lg x  lg x   lg2 x  lg x    x  10 t   lg x  Đặt: t= lgx , ta có: t  8t     thỏa (*)    lg x  t  Vậy phương trình có nghiệm là: x = 10 và x = d./  x  10 107 log2 x  log2 16 x   (1) log2 x  x    x  (*) x  16 x  ĐK:  (1)  log2 x  log2 16  log2 x    log2 x  log2 x   t   log2 x   x  t  3  (loại) Đặt: t  log2 x  , ta có: t  2t     Thỏa (*) Vậy phương trình có nghiệm là x=2 Bài tập áp dụng: 1) Giải phương trình a) log (x  x  1) log (x  x  1) = log x  x  b) log (3x  1) log (3x 1  3) = c) log log x + log log x = d) log x + log x = log x + log x + 2) Giải và biện luận theo a a) log x ax log a x = – x2 a 3) Cho phương trình: (m – 3) log (x  4) – (2m + 1) log (x  4) + m + = b) ( log a2 x + 2) log a x a = log x a log a 2 tìm m để phương trình có nghiệm x1, x thoả mãn < x1 < x < 4) Giải phương trình a  1  lg x  lg x Lop12.net b log x  c 10 log2 x   log 0,04 x   log 0,2 x   d 3log x 16  log16 x  log2 x e log 16  log 2x 64  x f lg(lg x)  lg(lg x  2)  @ Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến hàm số Ví dụ Giải phương trình: lg(x  x  6) + x = lg(x  2) + (1) Giải Đk: x  x   , x + >  x > x2  x  (1)  lg(x  x  6) – lg(x  2) = – x  lg = – x  lg(x – 3) = – x (2) x2 Nhận xét: x = là nghiệm (2) y = lg(x – 3); y' = > là hàm đồng biến x3 y = – x là nghịch biến  x = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình log 2  (x  2x  2) = log  (x  2x  3) (1) Giải x  x   x  1 Đk:   x  x  x   (1)  log  (x  2x  2) = log 74 (x  2x  3) (2) Đặt: a = + ; t = x  2x  (2)  log a 1 (t  1) = log a t (3) y y t  a y  a    y y Đặt: y = log a t (3)    a  = (a  1)    +  = (4) y  a 1  a 1 t   (a  1) y = là nghiệm (4) y >  VT < VP y <  VT > VP  y = là nghiệm Ví dụ Giải phương trình: 2log ( x  3) = x Giải Đk: x > – – < x  0: phương trình vô nghiệm t t x   t log (x  3)  t 1 2 x > 0: Đặt log (x  3) = t   t      +   =1 (*) t 5  5 2  x x  t = là nghiệm VT (*) là hàm nghịch biến  t = là nghiệm  x = là nghiệm Bái tập áp dụng: 1) Tìm m để phương trình: lg (10 x ) + lgx = m a) có nghiệm b) có nghiệm thoả mãn: < x < 10 10 Lop12.net 2) Giải phương trình: log ( x  3log x ) = log x Bài tập Bài tập 1: Giải các phương trình sau a log5 x  log5  x    log5  x    b log5 x  log 25 x  log 0,2  2 d lg(x  2x  3)  lg c log x 2x  5x   2 x3 0 x 1 e .lg(5x  4)  lg x    lg 0,18 Bài tập 2: Giải các phương trình sau a  1  lg x  lg x c log 0,04 x   b log x  10 log x   d 3log x 16  log16 x  log x log 0,2 x   f lg(lg x)  lg(lg x  2)  e log 16  log 2x 64  x Bài tập 3: Giải các phương trình sau   a log3  log x   c log x 1   x   2x     g lg x log   log2 x   log e  lg2  1  lg x     lg 51 x  x   x d lg 6.5  25.20  f x  lg  5  50  x lg5 x  x  b log 4.3   log    h x  lg2 x  lg x2 x x   x  lg25   x lg2  lg3  x 1 log x i 3  x  162 Bài tập 4: Giải các phương trình sau   b log3  x  1  log5  2x  1  a x  lg x  x    lg  x   c  x   log3  x  1   x  1 log3  x  1  16  d log5  x 3  III/ HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Các phương pháp giải thường sử dụng Phương pháp 1: Sử dụng các phép biến đổi tương đương và phép Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau :  x    y  1)  3log9 (9x )  log3 y   log ( y  x)  log y  2)   x  y  25  x2 y  x y ( )  ( ) 6)  log ( x  y )  log ( x  y )   1)3y ( x  7)  y log x  11 Lop12.net 4x x x 2 x  y  y  3)  x  x 1 y  x  2  y  x  x  4)   x  y  10 log ( x  y )  5)  2 log x  log y  Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau : 3 y 1  x  1)  x y 4  6.3   4 x   2 x  y  y  3)  2 y   3.2 x  y  16 x y 3  1152 5)  log ( x  y )   x log8 y  y log8 x  8)  log x  log y  x  y   9)   log x  log2 y  2 x y  64 10)   x  y  log x y  log y x  2)   x  x  y  20  log y x log x   log y  4)  3 log x   log y  1 Bài tập Bài tập 1: Giải các hệ phương trình sau : lg x  lg y  a/  2 x  y  29 log x  log2 y  2 x  5y   c/   log x xy  log y x d/  log x y y  4y  Bài tập 2: Giải các hệ phương trình sau : 4 x  y  128 a  3x 2y 3 1 5 32x  y  77 c  x y 3    lg x  y   3lg2 b/  lg  x  y   lg  x  y   lg3  xy  y x  32 d/  log3  x  y    log3  x  y  5x  y  125 b  (x  y)2 1 1 4 2 x  y  12 d  x  y  12 Lop12.net