Các bài Luyện tập

[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN

-o0o -KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 NĂM HỌC 2015 – 2016

Ngày thi: 6/4/2016

Thời gian: 180 phút

Câu 1 (6 điểm)

a) Giải phương trình:

2

2

2

4

x xy y x y

x y x y

     

 

    



b) Giải phương trình: sin3xcos3x sin (sinx x cos ) sin cos (sinx  x x xcos )x . Câu 2 (3 điểm)

Cho dãy số { }an được xác định sau:

1

1

1

2 n n

n

a

a a

n a

 

      

 

 Tính tổng S a 1a2 a2016

Câu 3 (3 điểm)

Có cách xắp xếp 10 học sinh nam và 20 học sinh nữ thành một hàng dọc cho giữa học sinh nam bất kì có ít nhất học sinh nữ

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông cân tại C, có AB = 10 Biết đường thẳng BC có phương trình d1: 7x y 31 0 và trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d x y2:   2 Tìm tọa độ A, B, C biết điểm I có tung độ âm

Câu 5 (3 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn:

2 2 2

1 1

a b 4 b c 4 c a 43

Chứng minh rằng

3 ab bc ca

4

  

HƯỚNG DẪN CHẤM - Mọi cách làm đúng đều cho điểm thành phần tuyệt đối

Câu Đáp án điểm

1 a) từ phương trình đầu ta có : (x y  2)(2x y 1) 0 TH1: x y  0 thế vào pt (2): 2x2 4x  2 x 1 y1 TH2: 2x y 1 thế vào pt (2): 5x2 x 4 0

  

1

4 13

5

x y

x y

   

 

    

1

KL: nghiệm của hệ: (1 ; 1),

4 13 ( ; )

5   b) Biến đổi đưa về tích

(sinxcos )(1 sin cos )x  x x  sin (sinx x cos ) sin cos (sinx  x x xcos )x

0,5

(sinx cos )(sinx x cos )x sin (sinx x cos ) 0x

      0,5

(sinx cos )(cos 2x x sin ) 0x

   

tan

4 ( )

1 tan

3

12

x x k

k Z x

x k

 

 

 

   



   

 

  

 

1

Câu

Giả thiết

1

n n

n a a 

   0,5

Viết tiếp 2

1 1 1

2( 1); 2( 2); ; 2.2

n n n n

n n

a a  a  a  a a

         0,5

Cộng vế với vế và rút gọn ta thu được

1 ( 1) n

a

n n 



1

Vậy

1 1 2016

1.2 2.3 2016.2017 2017 2017

S       

Câu Hình vẽ:

- xếp 20 học sinh nữ vào 20 vị trí a1 đến a20 để tạo vách ngăn, số cách xếp là : 20!

0,5 - Khi đó có 21 vị trí cho 10 bạn nam xếp: C2110 cách - Các bạn nam đổi vị trí cho nhau: 10! cách

- Số cách cần tìm là: 20! C1021.10! 0,5

Câu Do Id2 nên I( ;t t  2), từ giả thiết dễ dàng tính được AC 2

Nên

AC (I, )

2

d d  

1 ( 2) 31

29

5 2

4

t t t

t  

    

  

 

 yI 0 nên I( 1; 1) 

1

Tọa độ B, C là giao điểm của d1 với đường tròn tâm I bán kính IB

2

7 31 4;

5; ( 1) ( 1) 25

x y x y

x y

x y

    

 



 

 

    



1

TH1: B( 4;3),C( 5; 4)    A(2; 5)

TH2: C( 4;3), B( 5; 4)    A(3; 2)

Câu

Chứng minh được:

2 2

a b c 

và áp dụng BĐT:

2 2

ab bc ca a   b c suy điều phải chứng minh

3