TONG HOP KIEN THUC ON THI VAO LOP 10 THPT

TØ sè lîng gi¸c cña gãc nhän.1. Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn.[r]

tổng hợp kiến thức

và cách giải dạng tập toán 9

A KiÕn thøc cÇn nhí.

1 Điều kiện để thức có nghĩa.

A cã nghÜa A 

2 Các công thức biến đổi thức.

a A2 A 

b AB  A B (A0;B0)

c A A (A 0;B 0)

B  B  

Phần I: Đại số

trần quốc hng



tỉng hỵp kiÕn thøc

và cách giải dạng tập toán 9

d A B2 A B (B 0)

 

e A B A B2 (A 0;B 0)

  

A B A B2 (A 0;B 0)

  

f A AB (AB 0;B 0)

B B  

i A A B (B 0)

B

B  

k

2

( )

( 0; )

C C A B

A A B

A B

A B    



m C C( A 2 B) (A 0;B 0;A B )

A B

A B     



3 Hµm sè y = ax + b (a  0)

- TÝnh chÊt:

+ Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến trờn R a <

- Đồ thị:

Đồ thị đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0)

4 Hµm sè y = ax2 (a  0)

- TÝnh chÊt:

+ Nếu a > hàm số nghịch biến x < đồng biến x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < nghịch biến x >

- §å thÞ:

Đồ thị đờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hồnh

+ Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hồnh

5 Vị trí tơng đối hai đờng thẳng

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt  a  a'

(d) // (d')  a = a' vµ b  b' (d)  (d')  a = a' vµ b = b'

6 Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong.

Xét đờng thẳng y = ax + b (d) y = ax2 (P)

(d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung

7 Phơng trình bậc hai.

Xét phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a  0)

C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän

 = b2 - 4ac

Nếu > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt:

a b x

2

  

 ;

a b x

2

   

Nếu = : Phơng trình có nghiệm kÐp :

a b x x

2

  

NÕu  < : Phơng trình vô nghiệm

' = b'2 - ac víi b = 2b'

- NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x

' '

  

 ;

a b x

' '

   

- NÕu ' = : Phơng trình có nghiệm kép:

a b x

x1 2  '

8 HƯ thøc Viet vµ øng dơng.

- HƯ thøc Viet:

NÕu x1, x2 lµ nghiƯm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

1

1

b S x x

a c P x x

a  

  

  

  

 

- Mét sè øng dơng:

+ T×m hai sè u vµ v biÕt u + v = S; u.v = P ta giải phơng trình: x2 - Sx + P = 0

(§iỊu kiƯn S2 - 4P 0)

+ Nhẩm nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)

Nếu a + b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm: x1 = ; x2 = c

a

NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = -1 ; x2 =

c a 

9 Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình

Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình

Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình

Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm

nào thích hợp với toán kết luận

B dạng tập

Dạng 1: Rút gọn biểu thức

Bài toán:Rút gọn biểu thức A

rỳt gọn biểu thức A ta thực bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có)

- Đa bớt thừa số thức (nếu có)

- Trục thức mẫu (nếu có)

- Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng ng dng

Dạng 2: Bài toán tính toán

Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A.

 Tính A mà khơng có điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A

Bài toán 2:Tính giá trị biểu thức A(x) biết x = a

Cách giải:

- Rót gän biĨu thøc A(x)

- Thay x = a vµo biĨu thøc rót gän

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức

Bài toán:Chứng minh đẳng thức A = B

 Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A = B  A - B =

- Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C

B = B1 = B2 = = C

- Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng

A = B  A' = B'  A" = B"  (*) (*) A = B

- Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp

- Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức

Bài toán:Chứng minh bất đẳng thức A > B

 Một số bất đẳng thức quan trọng:

- Bất đẳng thức Cosi: n

n n a a a a n a a a a 3

1     (víi . . 0

3

1a a an 

a )

Dấu = xảy khi: a1a2 a3  an

- Bất đẳng thức BunhiaCơpxki:

Víi mäi sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn

  ( )( 2)

3 2 2 2 2 3 2

1b ab ab anbn a a a an b b b bn

a             

Dấu = xảy khi:

n n b a b a b a b a     3 2 1

Một số phơng pháp chứng minh:

- Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A > B  A - B > - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp

A = A1 = A2 = = B + M2 > B nÕu M 

- Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng

A > B  A' > B'  A" > B"  (*) (*) A > B

- Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B A > B

- Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng

chng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đ-ơng để dẫn đến điều vơ lí ta kết luận A > B

- Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp

- Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ

Dạng 5: toán liên quan tới phơng trình bậc hai

Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0)

Các phơng pháp giải:

- Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Dùng kiến thức bậc hai

x2 = a  x =  a

- Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có = b2 - 4ac

+ NÕu  > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x     ; a b x 2    

+ Nếu = : Phơng trình có nghiệm kép a b x x 2   

+ NÕu  < : Ph¬ng trình vô nghiệm

- Phơng pháp 4: Dùng công thøc nghiÖm thu gän Ta cã ' = b'2 - ac víi b = 2b'

+ Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: a b x ' '     ; a b x ' '    

+ NÕu ' = : Phơng trình có nghiệm kép

a b x

x1  2  '

+ NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm

- Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et

Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) th×:

          a c x x a b x x 2 .

Chó ý: NÕu a, c tr¸i dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bậc

hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ).  Xét hệ số a: Có thể có khả

a Trờng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a =  m = m0 ta có:

(*) trở thành phơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b  víi m = m0: (**)cã mét nghiÖm x = -c/b

+ Nếu b = c = với m = m0: (**) vô định  (*) vô định

+ NÕu b = vµ c  víi m = m0: (**) v« nghiƯm  (*)v« nghiƯm

b Trờng hợp a 0: Tính ' + TÝnh  = b2 - 4ac

NÕu  > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x     ; a b x 2    

Nếu = : Phơng trình có nghiÖm kÐp :

a b x x 2   

NÕu  < : Phơng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b'

NÕu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt:

a b x ' '     ; a b x ' '    

NÕu ' = : Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp:

a b x x '   

NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận

Bi toỏn 3: Tỡm iu kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.

Có hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = có nghiệm:

1 Hc a = 0, b 

2 Hc a  0,  '

Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn ®iỊu kiƯn hc ®iỊu kiƯn

Bài tốn 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm ph©n biƯt       0 0 a hc       0 0 ' a

Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm. Điều kiện có nghiệm:

     0 0 b a hc       0 0 a hc       0 0 ' a

Bài tốn 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm kép.

§iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:

      0 0 a hc       0 0 ' a

Bài tốn 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) vô nghiệm.

§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

      0 0 a hc       0 0 ' a

Bài tốn 8: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m ) có nghiệm.

§iỊu kiƯn cã mét nghiƯm:

     0 0 b a hc       0 0 a hc       0 0 ' a

Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai

ax2 + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiƯm cïng dÊu. §iỊu kiƯn cã hai nghiÖm cïng dÊu:

         0 0 a c

P hc 

        0 0 ' a c P

Bài tốn 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm dơng.

§iỊu kiƯn cã hai nghiƯm d¬ng:

                0 a b S a c

P hc                 0 ' a b S a c P

 Điều kiện có hai nghiệm âm:             0 a b S a c

P hc                 0 ' a b S a c P

Bài tốn 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm trái dấu.

§iỊu kiƯn có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu

Bi toỏn 13 : Tỡm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (*) ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghim x = x

1. Cách giải:

- Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta cã:ax12 + bx1 + c =  m

- Thay giá trị m vào (*) x1, x2

- Hc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 =

1

x P

Bài tốn 14 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a, b, c phụ thuộc tham số m) có nghiệm x

1, x2 tho¶ m·n

các điều kiện:

a x1x2 b x x22k

1

c n

x x1  2 

1

d x12x22h e x13x32 t Điều kiện chung: '  (*)

Theo định lí Viet ta có:

            ) 2 ( . )1 ( 2 P a c x x S a b x x

a Trêng hỵp: x1x2 

Gi¶i hƯ              1 2

2 x x a b x x

Thay x1, x2 vào (2) m

Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trờng hợp: x12x22 k (x1 x2)2 2x1x2 k

Thay x1 + x2 = S = a

b



vµ x1.x2 = P = a c

vào ta có: S2 - 2P = k  Tìm đợc giá trị m thoả mãn (*)

c Trêng hỵp: n x x nx x b nc x

x1  2   1    

1

d Trêng hỵp: 2

2

1 x h S  P h

x

Giải bất phơng trình S2 - 2P - h chọn m thoả mÃn (*)

e Trờng hợp: x x23 t  S3 3PS t

3

Giải phơng trình S3 3PSt chọn m thoả mÃn (*)

Bài toán 15 : Tìm hai số u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P

cđa chóng.

Ta có u v nghiệm phơng trình: x2 - Sx + P = (*)

(§iỊu kiƯn S2 - 4P  0)

Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cần tìm

Nội dung 6:

giải phơng trình

bằng phơng pháp đặt ẩn số phụ

Bµi toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0

Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = 0

Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vo tỡm n x

Bảng tóm tắt

at2 + bt + c = 0 ax4 + bx2 + c = 0

v« nghiƯm v« nghiƯm

2 nghiệm âm vô nghiệm

nghiệm kép âm vô nghiÖm

1 nghiệm dơng nghiệm đối nghiệm dơng 2 cặp nghiệm đối nhau4 nghiệm

Bµi toán 2: Giải phơng trình ( 12) ( 1)

   

 C

x x B x x A

Đặt

x

x  = t  x2 - tx + =

Suy t2 = ( x

x  )2 = 2 12 2

x

x  2

2

 

 t

x x

Thay vào phơng trình ta có:

A(t2 - 2) + Bt + C = 0

 At2 + Bt + C - 2A = 0

Giải phơng trình ẩn t sau vào

x

x  = t giải tìm x

Bài toán 3: Giải phơng trình ( 12) ( )

   

 C

x x B x x A

Đặt

x

x  = t  x2 - tx - =

Suy t2 = ( x

x  )2 = 2 12 

x

x  2

2

 

 t

x x

Thay vào phơng trình ta có:

A(t2 + 2) + Bt + C = 0

 At2 + Bt + C + 2A = 0

Giải phơng trình ẩn t sau vào

x

x = t giải tìm x

 Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tớch

+ Phơng trình bậc hai

Nội dung 7:

giải hệ phơng trình

Bài toán:Giải hệ phơng trình

 

 

' ' 'x b y c a

c by ax

 C¸c phơng pháp giải:

+ Phng phỏp th + Phơng pháp cộng + Phơng pháp

+ Phơng pháp đặt ẩn phụ

Néi dung 7:

giải phơng trình vô tỉ

Bài toán 1:Giải phơng trình dạng f(x) g(x) (1)

Ta có

 

  

   

)3( )( )(

)2( 0) ( )(

)( 2

xg xf xg xg xf

Giải (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hp nghim ca (1)

Bài toán 2:Giải phơng trình dạng f(x) h(x) g(x)

Điều kiện có nghĩa phơng trình

  

  

0 ) (

0 ) (

0 ) (

x g

x h

x f

Với điều kiện thoả mãn ta bình phơng hai vế để giải tìm x

Néi dung 8:

giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối

Bài toán:Giải phơng trình dạng f(x) g(x)

Phơng pháp 1: f(x) g(x)



  

 

2

) ( ) (

0 ) (

x g x f

x g

 Phơng pháp 2: Xét f(x) f(x) = g(x) XÐt f(x) <  - f(x) = g(x)

Phơng pháp 3: Với g(x) ta cã f(x) =  g(x)

Néi dung 9:

giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức

Bài toán:Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x)

y = M - [g(x)]2n ,n Z  y  M

Do ymax = M g(x) =

- Biến đổi hàm số y = f(x) cho:

y = m + [h(x)]2k kZ  y  m

Do ymin = m h(x) =

Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hµm

 Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức

Néi dung 10:

các toán liên quan đến hàm số * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm

Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) một

®iĨm A(xA;yA) Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?

 Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm

ph-ơng trình (C)

A(C) yA = f(xA)

Dó tính f(xA)

NÕu f(xA) = yA (C) qua A

Nếu f(xA) yA (C) không qua A

* s tơng giao hai đồ thị

Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số

y = f(x) vµ y = g(x)

Hãy khảo sát tơng giao hai đồ thị

 Toạ độ điểm chung (C) (L) nghiệm phơng trình hồnh độ điểm chung:

f(x) = g(x) (*)

- NÕu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) (L) tiÕp xóc - NÕu (*) cã nghiƯm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có ®iĨm chung

* lập phơng trình đờng thẳng

Bài tốn 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm

A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k.

Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k

- Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b  b = yA - kxA

- Thay a = k; b = yA - kxA vào (*) ta có phơng trình (D)

Bài tốn 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm

A(xA;yA); B(xB;yB)

Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b

(D) ®i qua A B nên ta có:

 

 

b ax y

b ax y

B B

A A

Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D)

Bài tốn 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k và

tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:

f(x) = kx + b (*)

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (D)

Bài tốn 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm

A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x)

Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hồnh độ điểm chung (D) (P) là:

Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kÐp

Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***)

Từ (**) (***)  a b  Phơng trình đờng thẳng (D)

A Kiến thức cần nhớ.

1 Hệ thức lợng tam giác vuông.

b2 = ab' c2 = ac'

h2 = b'c'

ah = bc a2 = b2 + c2

12 12 12

c b h

2 Tỉ số lợng giác gãc nhän

0 < sin < < coss <

  

cos sin



tg

  

sin cos

cotg  sin2 + cos2 =

tg.cotg =



 2

2

cos

1tg 



 2

2

sin cot

1 g 

3 Hệ thức cạnh góc tam giác vuông.

b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B

TrÇn Quèc Hng - Trêng THCS Gia Phơng 11

Phần II: hình học

a b' c'

b c

h

H B

C A

a c

4 Đờng tròn.

- Cỏch xỏc nh: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc

một đờng tròn

- Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng trịn có tâm đối xứng; có vô số

trục đối xứng

- Quan hệ vng góc đờng kính dây.

Trong ng trũn

+ Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây

- Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây:

Trong đờng tròn:

+ Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn

- Liên hệ cung dây:

Trong mt ng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây

+ Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn

+ Dây lớn căng cung lớn

- V trớ tơng đối đờng thẳng đờng tròn:

Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệgiữa d R - Đờng thẳng đờng tròn cắt

2 d < R

- Đờng thẳng đờng tròn tiếp xúc

1 d = R

- Đờng thẳng đờng trịn khơng giao

0 d > R

Vị trí tơng đối Số điểmchung Hệ thức liên hệ dvà R - Hai đờng tròn cắt

2 R - r < OO' < R + r - Hai đờng tròn tiếp xúc

+ TiÕp xóc ngoµi + TiÕp xóc

1 OO' = R + r OO' = R - r - Hai đờng trịn khơng giao

+ (O) vµ (O') ë ngoµi

+ (O) đựng (O')

+ (O) (O') đồng tâm

0

OO' > R + r

OO' < R - r OO' =

5 Tiếp tuyến đờng trịn

- TÝnh chÊt cđa tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính qua

tiÕp ®iĨm

- DÊu hiƯu nhËn biÕt tiÕp tuyÕn:

+ Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung

+ Khoảng cách từ tâm đờng trịn đến đờng thẳng bán kính

+ Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vng góc với bán kính qua điểm

- TÝnh chÊt cđa tiÕp tun c¾t nhau

MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: + MA = MB

+ MO phân giác góc AMB + OM phân giác cña gãc AOB

- Tiếp tuyến chung hai đờng

tròn: đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng trịn đó:

TiÕp tun chung ngoµi TiÕp tun chung

6 Góc với đờng trịn

Loại góc Hình vẽ Công thức tính số đo

B O A

M

d' d

O' O

d' d

1 Gãc ë t©m AOB sd AB 

2 Gãc néi tiÕp  

2

AMB sd AB

3 Gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyÕn

dây cung xBA12sd AB

4 Góc có đỉnh bên đ-ờng trịn

 1(   )

2

AMB sd AB sdCD

5 Góc có đỉnh bên ngồi

đ-ờng tròn

1

( )

2

AMB sd AB sdCD

 Chú ý: Trong đờng trịn

- C¸c góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung b»ng th× b»ng

- Gãc néi tiÕp nhỏ 900 có số đo nửa số đo góc ở

tâm chắn cung

- Góc nội tiếp chắn nửa đờng trịn góc vng ngợc lại góc vng nội tiếp chắn nửa đờng trịn

- Gãc t¹o bëi tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung

7 dài đờng tròn - Độ dài cung tròn.

- Độ dài đờng trịn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung trịn n0 bán kính R :

180

Rn l

8 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình tròn: S = R2

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0:

2

360

R n lR S 

B

A

O

M B

A

O

x

B A

O

M

D C

B A

O

O

B A

D C

9 Các loại đờng tròn ng trũn ngoi tip

tam giác Đờng tròn nội tiếptam giác Đờng tròn bàng tiếp tam giác

Tõm đờng tròn giao ba đờng trung trực

của tam giác ba đờng phân giác củaTâm đờng tròn giao tam giác

Tâm đờng trịn bàng tiếp góc A giao điểm hai đờng phân giác góc ngồi B C giao điểm đờng phân giác góc A v ng phõn giỏc ngoi

tại B (hoặc C)

10 Các loại hình không gian.

a H×nh trơ.

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rh

- Diện tích toàn phần: Stp = 2rh + r2

- ThĨ tÝch h×nh trơ: V = Sh = r2h

b H×nh nãn:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = 2rl

- DiÖn tÝch toàn phần: Stp = 2rl + r2

- Thể tÝch h×nh trơ: V = 1 r2

3  h

c H×nh nãn cơt:

- DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = (r1 + r2)l

- ThÓ tÝch: V = (12 22 1 2) 3h r r r r

d Hình cầu.

- Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d

- Thể tích hình cầu: V =

3R

11 Tø gi¸c néi tiÕp:

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn li di mt gúc

B dạng tËp.

D¹ng 1: Chøng minh hai gãc b»ng nhau. C¸ch chøng minh:

- Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba

O

C B

A

O

C B

A

F

E J B

C A

r: bán kính Trong

h: chiỊu cao

r: bán kính Trong l: đờng sinh

h: chiÒu cao

r1: b¸n kÝnh d¸y lín

r2: bán kính đáy nhỏ

Trong l: đờng sinh h: chiều cao

R: bán kính Trong

- Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc b»ng kh¸c

- Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đơi - Hai góc phụ (hoặc bù) với góc thứ ba

- Hai góc nhọn tù có cạnh đơi song song vng góc

- Hai góc ó le trong, so le ngồi đồng vị - Hai góc vị trí đối đỉnh

- Hai góc mộ tam giác cân

- Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng

- Hai gãc nội tiếp chắn cung chắn hai cung

Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng b»ng nhau C¸ch chøng minh:

- Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác

- Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vng) - Hai cạnh bên hình thang cân

- Hai dây trơng hai cung đờng tròn hai đờng

Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh:

- Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vng góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau:

+ vị trí so le + vị trí so le ngồi + vị trí đồng vị

- Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành

Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vng góc Cách chứng minh:

- Chúng song song song song với hai đờng thẳng vng góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác

- Đờng kính qua trung điểm dây dây - Chúng phân giác hai góc kề bï

Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy. Cách chứng minh:

- Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác ngồi hai góc kia)

- Vận dụng định lí đảo định lí Talet

Dạng 5: Chứng minh hai tam giác nhau C¸ch chøng minh:

* Hai tam gi¸c thờng:

- Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c)

* Hai tam giác vuông:

- Có cạnh huyền góc nhọn

- Có cạnh huyền cạnh góc vng - Cạnh góc vng đơi

Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh:

* Hai tam gi¸c thêng:

- Có hai góc đôi

- Cã mét gãc b»ng xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ

* Hai tam giác vuông:

- Có góc nhọn

- Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lƯ

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh:

Giả sử phải chứng minh đẳng thức: MA.MB = MC.MD (*) - Chứng minh: MAC MDB MAD MCB

- Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đờng thẳng phải chứng minh tích tích thứ ba:

MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: MAE MFB

MCE MFD

 MA.MB = MC.MD

* Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chứng minh MTA MBT Dạng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp

C¸ch chøng minh:

Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới góc 

Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đờng tròn (O;R) Cách chứng minh:

- Chøng minh OT  MT t¹i T  (O;R)

- Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp

Dạng 10: Các tốn tính tốn độ dài cạnh, độ lớn góc

Cách tính:

- Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng gi¸c

- Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vng - Dựa vào cơng thức tớnh di, din tớch, th tớch

đây số kiến thức chơng trình toán 9

ụn tt hn cỏc em cần