TỔNG HỢP KIẾN THỨC ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT

trần quốc hng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Năm 2008 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Phần I: Đại số A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thức cã nghÜa A cã nghÜa A ≥ Các công thức biến đổi thức A2 = A a AB = A B ( A ≥ 0; B ≥ 0) b c A = B d A2 B = A B e A B ( A ≥ 0; B > 0) A B = A2 B ( A ≥ 0; B ≥ 0) A B = − A2 B f A = B B ( B ≥ 0) AB ( A < 0; B ≥ 0) ( AB ≥ 0; B ≠ 0) i A A B = B B k C C( A m ) B = A− B A±B m C C( A m B ) = A − B2 A± B ( B > 0) ( A ≥ 0; A ≠ B ) ( A ≥ 0; B ≥ 0; A ≠ B ) Hµm sè y = ax + b (a 0) - Tính chất: + Hàm số đồng biến R a > + Hàm số nghịch biến R a < - Đồ thị: Đồ thị đờng thẳng qua điểm A(0;b); B(-b/a;0) Hµm sè y = ax2 (a ≠ 0) - TÝnh chÊt: + NÕu a > hµm số nghịch biến x < đồng biến x > + NÕu a < hµm số đồng biến x < nghịch biến x > - Đồ thị: Đồ thị đờng cong Parabol qua gốc toạ độ O(0;0) Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành + Nếu a < đồ thị nằm phía dới trục hoành Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = a'x + b' (d') (d) (d') cắt a ≠ a' (d) // (d') ↔ a = a' vµ b ≠ b' (d) ≡ (d') ↔ a = a' b = b' Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng cong Xét đờng thẳng y = ax + b (d) vµ y = ax2 (P) (d) (P) cắt hai điểm (d) tiếp xúc với (P) điểm (d) (P) điểm chung Phơng trình bậc hai Xét phơng trình bËc hai ax2 + bx + c = (a ≠ 0) C«ng thøc nghiƯm C«ng thøc nghiƯm thu gän ∆ = b - 4ac ∆' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ∆ > : Phơng trình có hai nghiệm - Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: phân biệt: x1 = −b + ∆ 2a ; x2 = −b − ∆ 2a x1 = − b ' + ∆' a ; x2 = − b' − ∆' a NÕu = : Phơng trình có nghiệm - Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kép : kÐp: −b x1 = x2 = 2a NÕu ∆ < : Phơng trình vô nghiệm x1 = x2 = − b' a - NÕu ∆' < : Ph¬ng trình vô nghiệm Hệ thức Viet ứng dụng - HƯ thøc Viet: NÕu x1, x2 lµ nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) th×: −b   S = x1 + x2 = a    P = x x = c  a  - Mét sè ứng dụng: + Tìm hai số u v biết u + v = S; u.v = P ta gi¶i phơng trình: x2 - Sx + P = (Điều kiƯn S2 - 4P ≥ 0) + NhÈm nghiƯm cđa phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm: x1 = ; x2 = c a NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm: Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán x1 = -1 ; x2 = − c a Giải toán cách lập phơng trình, hệ phơng trình Bớc 1: Lập phơng trình hệ phơng trình Bớc 2: Giải phơng trình hệ phơng trình Bớc 3: Kiểm tra nghiệm phơng trình hệ phơng trình nghiệm thích hợp với toán kết luận B dạng tập Dạng 1: Rút gọn biểu thức Bài toán: Rút gọn biểu thức A  §Ĩ rót gän biĨu thøc A ta thùc hiƯn bớc sau: - Quy đồng mẫu thức (nếu có) - Đa bớt thừa số thức (nếu có) - Trục thức mẫu (nếu có) - Thực phép tính: luỹ thừa, khai căn, nhân chia - Cộng trừ số hạng đồng dạng Dạng 2: Bài toán tính toán Bài toán 1: Tính giá trị biểu thức A Tính A mà điều kiện kèm theo đồng nghĩa với toán Rút gọn biểu thức A Bài toán 2: Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A(x) biÕt x = a  Cách giải: - Rút gọn biểu thức A(x) - Thay x = a vào biểu thức rút gọn Dạng 3: Chứng minh đẳng thức Bài toán: Chứng minh đẳng thức A = B Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A=B A-B=0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B - Phơng pháp 3: Phơng pháp so sánh A = A1 = A2 = = C A=B B = B1 = B2 = = C - Phơng pháp 4: Phơng pháp tơng đơng A = B A' = B' A" = B" ↔ ↔(*) (*) ®óng ®ã A = B - Phơng pháp 5: Phơng pháp sử dụng giả thiết Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán - Phơng pháp 6: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 7: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức Bài toán: Chứng minh bất đẳng thức A > B Một số bất đẳng thức quan trọng: - Bất ®¼ng thøc Cosi: a1 + a2 + a3 + + an n ≥ a1.a2 a3 an (víi a1 a2 a3 an ≥ ) n DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: a1 = a2 = a3 = = an - Bất đẳng thức BunhiaCôpxki: Với sè a1; a2; a3;…; an; b1; b2; b3;…bn ( a1b1 + a2b2 + a3b3 + + anbn ) ≤ (a12 + a22 + a32 + + an2 )(b12 + b22 + b32 + + bn2 ) a1 a2 a3 an Dấu = xảy chØ khi: b = b = b = = b n Một số phơng pháp chứng minh: - Phơng pháp 1: Dựa vào định nghĩa A>B A-B>0 - Phơng pháp 2: Biến đổi trực tiếp A = A1 = A2 = = B + M2 > B M - Phơng pháp 3: Phơng pháp tơng đơng A > B A' > B' ↔ A" > B" ↔ ↔(*) (*) A > B - Phơng pháp 4: Phơng pháp dùng tính chất bắc cầu A > C C > B A > B - Phơng pháp 5: Phơng pháp phản chứng Để chứng minh A > B ta giả sử B > A dùng phép biến đổi tơng đơng để dẫn đến điều vô lí ta kết luận A > B - Phơng pháp 6: Phơng pháp sử dụng giả thiết - Phơng pháp 7: Phơng pháp quy nạp - Phơng pháp 8: Phơng pháp dùng biểu thức phụ Dạng 5: toán liên quan tới phơng trình bậc hai Bài toán 1: Giải phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a0) Các phơng pháp giải: - Phơng pháp 1: Phân tích đa phơng trình tích - Phơng pháp 2: Dùng kiến thức bËc hai x2 = a → x = ± a - Phơng pháp 3: Dùng công thức nghiệm Ta có ∆ = b2 - 4ac + NÕu ∆ > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = −b + ∆ 2a ; x2 = −b − ∆ 2a + Nếu = : Phơng trình có nghiƯm kÐp x1 = x2 = −b 2a TrÇn Qc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán + Nếu < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 4: Dùng công thức nghiệm thu gọn Ta cã ∆' = b'2 - ac víi b = 2b' + Nếu ' > : Phơng trình có hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 = − b ' + ∆' a ; x2 = − b' − ∆' a + Nếu ' = : Phơng trình có nghiệm kÐp x1 = x2 = − b' a + NÕu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Phơng pháp 5: Nhẩm nghiệm nhờ định lí Vi-et Nếu x1, x2 nghiệm phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a≠0) th×: −b  x1 + x2 =   a   x x = c 1 a  Chó ý: NÕu a, c trái dấu tức a.c < phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài toán 2: Biện luận theo m có nghiệm phơng trình bËc hai ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m )  XÐt hƯ sè a: Cã thĨ cã khả a Trờng hợp a = với vài giá trị m Giả sử a = ↔ m = m0 ta cã: (*) trë thành phơng trình bậc ax + c = (**) + NÕu b ≠ víi m = m0: (**) cã mét nghiÖm x = -c/b + NÕu b = vµ c = víi m = m0: (**) vô định (*) vô định + Nếu b = vµ c ≠ víi m = m0: (**) vô nghiệm (*) vô nghiệm b Trờng hợp a ≠ 0: TÝnh ∆ hc ∆' + TÝnh ∆ = b2 - 4ac NÕu ∆ > : Ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = b + ∆ 2a ; x2 = −b − ∆ 2a NÕu = : Phơng trình có nghiệm kép : x1 = x2 = −b 2a NÕu ∆ < : Phơng trình vô nghiệm + Tính ' = b'2 - ac víi b = 2b' NÕu ∆' > : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = − b ' + ∆' a ; x2 = − b ' − ∆' a NÕu ∆' = : Phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b' a Nếu ' < : Phơng trình vô nghiệm - Ghi tóm tắt phần biện luận Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Bài toán 3: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thuéc tham sè m ) cã nghiÖm  Cã hai khả để phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = cã nghiƯm: Hc a = 0, b ≠ Hc a ≠ 0, ∆ ' Tập hợp giá trị m toàn giá trị m thoả mÃn điều kiện điều kiện Bài toán 4: Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc hai ax + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã nghiƯm ph©n biƯt a≠ a≠ Điều kiện có hai nghiệm phân biệt ' > > Bài toán 5: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm  §iỊu kiƯn cã mét nghiÖm: hai a≠ a≠ a=  hc  hc  ' ∆ = b≠ = Bài toán 6: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiƯm kÐp hai a≠ a≠  §iỊu kiƯn cã nghiƯm kÐp:  hc  ∆' = ∆ = Bài toán 7: Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) v« nghiƯm hai a≠ a Điều kiện có nghiệm: ' < < Bài toán 8: Tìm điều kiện tham số m để phơng tr×nh bËc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phơ thc tham sè m ) cã nghiÖm hai a≠ a≠ a= Điều kiện có nghiệm:  hc  b≠ ∆ =0 ∆' = Bài toán : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m ) cã hai nghiÖm cïng dÊu  §iỊu kiƯn cã hai nghiƯm cïng dÊu: hai Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập to¸n ∆ ≥   c  P = a > hc ∆' ≥   c P= > a Bài toán 10 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bËc ax + bx + c = (a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm d¬ng Điều kiện có hai nghiệm dơng: ∆' ≥ ∆ ≥    c  c  P = > hc  P = >  a  a b  b  S = − a > S = − a > Bài toán 11 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( ®ã a, b, c phô thuéc tham sè m ) có nghiệm âm Điều kiện có hai nghiệm ©m:    ∆' ≥ ∆ ≥   c  c   P = > hc  P = >  a  a b  b  S = − a < S = − a <   Bµi toán 12 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = ( a, b, c phô thuéc tham sè m) có nghiệm trái dấu Điều kiện có hai nghiệm trái dấu: P < a c trái dấu Bài toán 13 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc ax + bx + c = (*) ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã mét nghiƯm x = x1 Cách giải: - Thay x = x1 vào phơng trình (*) ta có: ax12 + bx1 + c = m - Thay giá trị m vào (*) x1, x2 hai - Hoặc tÝnh x2 = S - x1 hc x2 = hai hai hai P x1 Bài toán 14 : Tìm điều kiện tham số m để phơng trình bậc hai ax + bx + c = ( a, b, c phơ thc tham sè m) cã nghiƯm x1, x2 thoả mÃn điều kiện: a x1 + x2 = γ b x12 + x22 = k c 1 + =n x1 x2 d x12 + x22 ≥ h e x13 + x2 = t  §iỊu kiƯn chung: ∆ ≥ hc ∆' ≥ (*) Theo định lí Viet ta có: Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán b  x1 + x2 = = S (1)   a   x x = c = P ( 2) 1 a  a Trêng hỵp: αx1 + βx2 = γ −b   x1 + x2 = Gi¶i hƯ  a  α x1 + β x2 = γ x1, x2 Thay x1, x2 vµo (2) m Chọn giá trị m thoả mÃn (*) b Trêng hỵp: x12 + x22 = k ↔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 = k Thay x1 + x2 = S = −b a vµ x1.x2 = P = c a vµo ta cã: S2 - 2P = k Tìm đợc giá trị m thoả mÃn (*) c Trờng hợp: 1 + = n ↔ x1 + x2 = nx1.x2 ↔ b = nc x1 x2 Giải phơng trình - b = nc tìm đợc m thoả mÃn (*) d Trêng hỵp: x12 + x22 ≥ h ↔ S P h Giải bất phơng tr×nh S2 - 2P - h ≥ chän m thoả mÃn (*) e Trờng hợp: x13 + x2 = t ↔ S − 3PS = t Gi¶i phơng trình S 3PS = t chọn m thoả mÃn (*) Bài toán 15 : Tìm hai số u vµ v biÕt tỉng u + v = S vµ tÝch u.v = P cđa chóng  Ta cã u v nghiệm phơng trình: x2 - Sx + P = (*) (§iỊu kiƯn S2 - 4P 0) Giải phơng trình (*) ta tìm đợc hai số u v cần tìm Nội dung 6: giải phơng trình phơng pháp đặt ẩn số phụ Bài toán1: Giải phơng trình trùng phơng ax4 + bx2 + c = Đặt t = x2 (t0) ta có phơng trình at2 + bt + c = Giải phơng trình bậc hai ẩn t sau thay vào tìm ẩn x at + bt + c = Bảng tóm tắt ax4 + bx2 + c = TrÇn Quèc Hng - Trêng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán vô nghiệm nghiệm âm nghiệm kép âm nghiệm dơng vô nghiệm vô nghiệm vô nghiệm nghiệm đối nghiệm cặp nghiệm đối nghiệm dơng Bài toán 2: Giải phơng trình A( x + Đặt x + x Suy t2 = ( x 1 ) + B( x + ) + C = x x = t ↔ x2 - tx + = + x )2 = x + 1 + ↔ x2 + = t 2 x x Thay vào phơng tr×nh ta cã: A(t2 - 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C - 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x + Bài toán 3: Giải phơng trình A( x + Đặt x x Suy t2 = ( x x = t gi¶i t×m x 1 ) + B( x − ) + C = x x = t ↔ x2 - tx - = − x )2 = x + 1 − ↔ x2 + = t + 2 x x Thay vào phơng trình ta có: A(t2 + 2) + Bt + C = ↔ At2 + Bt + C + 2A = Giải phơng trình ẩn t sau vào x x = t giải tìm x Bài toán 4: Giải phơng trình bậc cao Dùng phép biến đổi đa phơng trình bậc cao dạng: + Phơng trình tích + Phơng trình bậc hai Nội dung 7: giải hệ phơng trình Bài toán: Giải hệ phơng trình Các phơng pháp giải: ax + by = c a ' x + b' y = c ' + Phơng pháp đồ thị + Phơng pháp cộng + Phơng pháp Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 10 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán + Phơng pháp đặt ẩn phụ Nội dung 7: giải phơng trình vô tỉ Bài toán 1: Giải phơng trình dạng Ta có f ( x) = g ( x ) (1)  g(x) ≥ (2) f ( x) = g ( x) ↔  f (x) = [ g(x)] (3)  Gi¶i (3) đối chiếu điều kiện (2) chọn nghiệm thích hợp nghiệm (1) Bài toán 2: Giải phơng trình dạng f ( x) + Điều kiện có nghĩa phơng trình h( x ) = g ( x )  f ( x) ≥   h( x ) ≥  g ( x) ≥ Với điều kiện thoả mÃn ta bình phơng hai vế để giải tìm x Nội dung 8: giải phơng trình chứa giá trị tuyệt đối Bài toán: Giải phơng trình dạng Phơng pháp 1: f ( x ) =g ( x )  g ( x) ≥ f ( x ) =g ( x ) ↔  [ f ( x )] = [ g ( x ) ]  XÐt f(x) ≥ → f(x) = g(x) XÐt f(x) < → - f(x) = g(x) Phơng pháp 3: Với g(x) ta có f(x) = g(x) Phơng pháp 2: Nội dung 9: giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) Phơng pháp 1: Dựa vào luỹ thừa bậc chẵn - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = M - [g(x)]2n , n ∈Z → y ≤ M Do ®ã ymax = M g(x) = - Biến đổi hàm số y = f(x) cho: y = m + [h(x)]2k k∈Z → y ≥ m Do ®ã ymin = m h(x) = Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: toán liên quan đến hàm số Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 11 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán * Điểm thuộc đờng - đờng qua điểm Bài toán: Cho (C) đồ thị hàm số y = f(x) ®iĨm A(xA;yA) Hái (C) cã ®i qua A kh«ng?  Đồ thị (C) qua A(xA;yA) toạ độ A nghiệm phơng trình (C) A∈(C) ↔ yA = f(xA) Dã ®ã tÝnh f(xA) NÕu f(xA) = yA (C) qua A Nếu f(xA) yA (C) không qua A * tơng giao hai đồ thị Bài toán : Cho (C) (L) theo thứ tự độ thị hàm số y = f(x) y = g(x) HÃy khảo sát tơng giao hai đồ thị Toạ ®é ®iĨm chung cđa (C) vµ (L) lµ nghiƯm cđa phơng trình hoành độ điểm chung: f(x) = g(x) (*) - Nếu (*) vô nghiệm (C) (L) điểm chung - Nếu (*) có nghiệm kép (C) vµ (L) tiÕp xóc - NÕu (*) cã nghiệm (C) (L) có điểm chung - Nếu (*) có nghiệm (C) (L) có điểm chung * lập phơng trình đờng thẳng Bài toán 1: Lập phơng trình đờng thẳng (D) ®i qua ®iĨm A(xA;yA) vµ cã hƯ sè gãc b»ng k Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (*) - Xác định a: ta có a = k - Xác định b: (D) qua A(xA;yA) nên ta có yA = kxA + b → b = yA - kxA - Thay a = k; b = yA - kxA vµo (*) ta có phơng trình (D) Bài toán 2: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA); B(xB;yB) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = ax + b (D) qua A B nên ta có: y A = ax A + b   y B = ax B + b Giải hệ ta tìm đợc a b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) có hệ số góc k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung (D) (P) là: f(x) = kx + b (*) V× (D) tiÕp xóc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc b suy phơng trình (D) Bài toán 3: Lập phơng trình đờng thẳng (D) qua điểm A(xA;yA) k tiếp xúc với đờng cong (C): y = f(x) Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 12 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Phơng trình tổng quát đờng thẳng (D) : y = kx + b Phơng trình hoành độ điểm chung cđa (D) vµ (P) lµ: f(x) = kx + b (*) Vì (D) tiếp xúc với (P) nên (*) có nghiệm kép Từ điều kiện ta tìm đợc hệ thức liên hệ a b (**) Mặt khác: (D) qua A(xA;yA) ta có yA = axA + b (***) Tõ (**) vµ (***) → a b Phơng trình đờng thẳng (D) Phần II: hình học A Kiến thức cần nhớ Hệ thức lợng tam giác vuông b2 = ab' c2 = ac' A h2 = b'c' b c ah = bc a =b +c 2 B 1 = 2+ 2 h b c h c' b' C H a Tỉ số lợng giác góc nhän < sinα < < cossα < Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 13 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tËp to¸n tgα = sin α cos α tgα.cotgα = cot gα = + tg 2α = cos α sin α cos α sin2α + cos2α = 1 + cot g 2α = Hệ thức cạnh góc tam giác vuông sin α B b = asinB = acosC b = ctgB = ccotgC a c c = a sinC = acosB c = btgC = bcotg B A b C Đờng tròn - Cách xác định: Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ đợc đờng tròn - Tâm đối xứng, trục đối xứng: Đờng tròn có tâm đối xứng; có vô số trục đối xứng - Quan hệ vuông góc đờng kính dây Trong đờng tròn + Đờng kính vuông góc với dây qua trung điểm dây + Đờng kính qua trung điểm dây không qua tâm vuông góc với dây - Liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây: Trong đờng tròn: + Hai dây cách tâm + Hai dây cách tâm + Dây lớn dây gần tâm + Dây gần tâm dây lớn - Liên hệ cung dây: Trong đờng tròn hay hai đờng tròn nhau: + Hai cung căng hai dây + Hai dây căng hai cung + Cung lớn căng dây lớn Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 14 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán + Dây lớn căng cung lớn - Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R dR - Đờng thẳng đờng tròn cắt - Đờng thẳng đờng tròn tiếp xúc - Đờng thẳng đờng tròn không giao - Vị trí tơng đối đờng thẳng đờng tròn: Vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức liên hệ d R - Hai đờng tròn cắt - Hai đờng tròn tiếp xúc + Tiếp xúc R - r < OO' < R + r OO' = R + r + TiÕp xóc OO' = R - r - Hai đờng tròn không giao + (O) vµ (O') ë ngoµi OO' > R + r + (O) đựng (O') + (O) (O') đồng t©m OO' < R - r OO' = Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 15 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Tiếp tuyến đờng tròn - Tính chất tiếp tuyến: Tiếp tuyến vuông góc với bán kÝnh ®i qua tiÕp ®iĨm - DÊu hiƯu nhËn biÕt tiếp tuyến: + Đờng thẳng đờng tròn có điểm chung + Khoảng cách từ tâm đờng tròn đến đờng thẳng bán kính + Đờng thẳng qua điểm đờng tròn vuông góc với bán kính A qua điểm - Tính chất tiếp tuyến cắt MA, MB hai tiếp tuyến cắt thì: O M + MA = MB + MO phân giác góc AMB B + OM phân giác góc AOB - Tiếp tuyến chung hai đờng tròn: đờng thẳng tiếp xúc với hai đờng tròn đó: Tiếp tuyến chung ngoµi TiÕp tuyÕn chung d d d' O O' O O' d' Góc với đờng tròn Loại góc Hình vẽ A B Góc tâm à AOB = sd » AB O A B Gãc nội tiếp Công thức tính số đo à AMB = sd » AB O M TrÇn Quèc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 16 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán x Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung A B · xBA = sd » AB O B A Góc có đỉnh bên ®êng trßn · » AMB = ( sd » + sdCD) AB M O C D M D C Góc có đỉnh bên đờng tròn · » AMB = ( sd » − sdCD) AB O A B  Chó ý: Trong mét đờng tròn - Các góc nội tiếp chắn c¸c cung b»ng - C¸c gãc néi tiÕp cïng chắn cung - Các góc nội tiếp chắn cung - Góc nội tiếp nhỏ 900 có số ®o b»ng nưa sè ®o cđa gãc ë t©m cïng chắn cung - Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn góc vuông ngợc lại góc vuông nội tiếp chắn nửa đờng tròn - Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Độ dài đờng tròn - Độ dài cung tròn - Độ dài đờng tròn bán kính R: C = 2R = d - Độ dài cung tròn n0 bán kính R : l= Rn 180 Diện tích hình tròn - Diện tích hình quạt tròn - Diện tích hình tròn: S = R2 - Diện tích hình quạt tròn bán kính R, cong n0: S = Các loại đờng tròn Đờng tròn ngoại tiếp tam giác Đờng tròn nội tiÕp tam gi¸c π R n lR = 360 Đờng tròn bàng tiếp tam giác Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 17 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán A A A B C O O F B E J C B C Tâm đờng tròn giao ba đờng trung trực tam giác Tâm đờng tròn giao ba đờng phân giác tam giác 10 Các loại hình không gian a Hình trụ - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2πrh - DiÖn tÝch toàn phần: Stp = 2rh + r2 - Thể tích h×nh trơ: V = Sh = πr2h b H×nh nãn: - DiÖn tÝch xung quanh: Sxq = 2πrl - DiÖn tích toàn phần: Stp = 2rl + r2 - ThĨ tÝch h×nh trơ: V = π r h c H×nh nãn cơt: - DiƯn tÝch xung quanh: Sxq = π(r1 + r2)l - ThÓ tÝch: V = π h(r12 + r22 + r1 r2 ) d Hình cầu - Diện tích mặt cầu: S = 4R2 = d - Thể tích hình cầu: V = R3 Tâm đờng tròn bàng tiếp góc A giao điểm hai đờng phân giác góc B C giao điểm đờng phân giác góc A đờng phân giác B (hoặc C) r: bán kính Trong h: chiều cao Trong r: bán kính l: đờng sinh h: chiều cao r1: bán kính dáy lớn r2: bán kính đáy nhỏ Trong l: đờng sinh h: chiều cao R: bán kính Trong d: ®êng kÝnh 11 Tø gi¸c néi tiÕp:  DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tø gi¸c cã tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh ®èi diƯn - Tø gi¸c cã ®Ønh c¸ch ®Ịu điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 18 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán B dạng tập Dạng 1: Chøng minh hai gãc b»ng  C¸ch chøng minh: - Chøng minh hai gãc cïng b»ng gãc thø ba - Chøng minh hai gãc b»ng víi hai gãc khác - Hai góc tổng hiệu hai góc theo thứ tự đôi - Hai gãc cïng phơ (hc cïng bï) víi gãc thø ba - Hai gãc cïng nhän hc cïng tï có cạnh đôi song song vuông góc - Hai góc ó le trong, so le ®ång vÞ - Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh - Hai góc mộ tam giác cân - Hai góc tơng ứng hai tam giác đồng dạng - Hai góc nội tiếp chắn cung chắn hai cung Dạng 2: Chứng minh hai đoạn thẳng Cách chứng minh: - Chứng minh hai đoạn thẳng đoạn thứ ba - Hai cạnh mmột tam giác cân tam giác - Hai cạnh tơng ứng hai tam giác - Hai cạnh đối hình bình hành (chữ nhật, hình thoi, hình vuông) - Hai cạnh bên hình thang cân - Hai dây trơng hai cung đờng tròn hai đờng Dạng 2: Chứng minh hai đờng thẳng song song Cách chứng minh: - Chứng minh hai đờng thẳng song song với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng thứ ba - Chứng minh chúng tạo với cát tuyến hai góc nhau: + ë vÞ trÝ so le + ë vị trí so le + vị trí đồng vị - Là hai dây chắn chúng hai cung đờng tròn - Chúng hai cạnh đối hình bình hành Dạng 3: Chứng minh hai đờng thẳng vuông góc Cách chứng minh: - Chúng song song song song với hai đờng thẳng vuông góc khác - Chứng minh chúng chân đờng cao tam giác - Đờng kính qua trung điểm dây dây Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 19 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán - Chúng phân giác hai góc kề bù Dạng 4: Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy Cách chứng minh: - Chứng minh chúng ba đờng cao, ba trung tuyến, ba trung trực, ba phân giác (hoặc phân giác phân giác hai góc kia) - Vận dụng định lí đảo định lí Talet Dạng 5: Chứng minh hai tam giác  C¸ch chøng minh: * Hai tam gi¸c thêng: - Trờng hợp góc - cạnh - góc (g-c-g) - Trờng hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c) - Trờng hợp cạnh - cạnh - cạnh (c-c-c) * Hai tam giác vuông: - Có cạnh huyền góc nhọn - Có cạnh huyền cạnh góc vuông - Cạnh góc vuông đôi Dạng 6: Chứng minh hai tam giác đồng dạng Cách chứng minh: * Hai tam giác thờng: - Có hai góc đôi - Có góc xen hai cạnh tơng ứng tỷ lệ - Có ba cạnh tơng ứng tỷ lệ * Hai tam giác vuông: - Có góc nhọn - Có hai cạnh góc vuông tơng ứng tỷ lệ Dạng 7: Chứng minh đẳng thức hình học Cách chứng minh: Giả sử phải chứng minh ®¼ng thøc: MA.MB = MC.MD (*) - Chøng minh: ∆MAC MDB MAD MCB - Nếu điểm M, A, B, C, D cúng nằm đờng thẳng phải chứng minh tích tÝch thø ba: MA.MB = ME.MF MC.MD = ME.MF Tøc lµ ta chøng minh: ∆MAE ∼ ∆MFB ∆MCE ∼ ∆MFD MA.MB = MC.MD * Trờng hợp đặc biệt: MT2 = MA.MB ta chøng minh ∆MTA ∼ ∆MBT D¹ng 8: Chứng minh tứ giác nội tiếp 20 Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Cách chøng minh: DÊu hiƯu nhËn biÕt tø gi¸c néi tiÕp: - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800 - Tứ giác có góc đỉnh góc đỉnh đối diện - Tứ giác có đỉnh cách điểm - Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh lại dới góc Dạng 9: Chứng minh MT tiếp tuyến đờng tròn (O;R) Cách chøng minh: - Chøng minh OT ⊥ MT t¹i T (O;R) - Chứng minh khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng MT bán kính - Dùng góc nội tiếp Dạng 10: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính độ dài, diện tích, thể tích số kiến thức chơng trình toán để ôn tập tốt em cần đọc kỹ tài liệu xem thêm sách giáo khoa toán Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Ph¬ng 21 .. .tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập toán Phần I: Đại số A Kiến thức cần nhớ Điều kiện để thøc cã nghÜa A cã nghÜa A ≥ Các công thức biến đổi thức. .. Dạng 10: Các toán tính toán độ dài cạnh, độ lớn góc Cách tính: - Dựa vào hệ thức lợng tam giác vuông - Dựa vào tỷ số lợng giác - Dựa vào hệ thức cạnh góc tam giác vuông - Dựa vào công thức tính... h(x) = Phơng pháp 2: Dựa vào tập giá trị hàm Phơng pháp 3: Dựa vào đẳng thức Nội dung 10: toán liên quan đến hàm số Trần Quốc Hng - Trờng THCS Gia Phơng 11 tổng hợp kiến thức cách giải dạng tập