Đang tải... (xem toàn văn)
MÔN THI: TOÁN cho tất cả các thí sinh Vòng I Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề Câu I.. Tìm giá trị lớn nhất và xy nhỏ nhất của biểu thức: P .[r]
(1)ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN (cho tất các thí sinh) (Vòng I) Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I (3.0 điểm) 1) Giả sử a, b là hai số thực phân biệt thỏa mãn a2 3a b2 3b a) Chứng minh a b 3 b) Chứng minh a3 b3 45 2 x y xy 2) Giải hệ phương trình 2 4 x y xy Câu II (3.0 điểm) 1) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ cho xy chia hết cho ( x 1)( y 1) 2) Với x, y là số thực thỏa mãn đẳng thức x3 y3 y Tìm giá trị lớn và xy nhỏ biểu thức: P 3y 1 Câu III (3.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân có tâm đường tròn nội tiếp là điểm I Đường thẳng AI cắt BC D Gọi E,F là các điểm đối xứng D qua IC,IB 1) Chứng minh EF song song với BC 2) Gọi M,N,J là trung điểm các đoạn thẳng DE,DF,EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AFN P khác A Chứng minh bốn điểm M,N,P,J cùng nằm trên đường tròn 3) Chứng minh ba điểm A,J,P thẳng hàng Câu IV (1.0 điểm) 1) Cho bảng ô vuông 2015 2015 Kí hiệu ô i, j là ô hàng thứ i , cột thứ j Ta viết các số nguyên dương từ đến 2015 vào các ô bảng theo quy tắc sau : i) Số viết vào ô (1,1) 10 ii) Nếu số k viết vào ô i, j , i 1 thì số … k+1 viết vào ô i 1, j 1 … iii) Nếu số k viết vào ô 1, j thì số k+1 … viết vào ô j 1,1 (Xem hình 1.) Khi đó số 2015 … viết vào ô m, n. Hãy xác định m và n … Hình 2) Giả sử a,b,c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ac abc Chứng minh a2 b2 c2 a b c 2(ab bc ac) Cán coi thi không giải thích gì thêm (2) ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN HƯỚNG DẪN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN THI: TOÁN (cho tất các thí sinh) (Vòng I) Câu I a) a2 b2 3(a b) (a b)(a b) 3(a b) a b loai (a b)(a b 3) a b 3 b) a b 27 a3 b3 3ab a b 27 a3 b3 9ab 27 Vì a2 3a b2 3b a b 2ab a b ab 2 Vậy a3 b3 45 b) Ta thấy x y là nghiệm phương trình Nếu y nhân hai vế phương trình với y 2 xy y xy 2 x y xy 2 x y xy 2 x y xy 2 2 2 2 2 4 x y xy 2 x xy y 4 x y xy 4 x y xy 2 x y xy x y 1 x y x y xy x y xy x y x y x y x y 2 x y xy x , y x y 5 Câu II a) Tìm các số nguyên x, y không nhỏ cho xy chia hết cho x 1 y 1 Ta có xy ( x 1)( y 1) xy xy x y mà xy x y xy x y Suy ra: ( x 1) ( y 1) ( x 1)( y 1) suy x y và y x Suy x y X ( x 1)2 ta có x x x x x b) Với x, y là số thực thỏa mãn đẳng thức x2 y y Tìm giá trị lớn và nhỏ xy biểu thức: P 3y 1 x2 y 1 x y y y x y y xy xy P 2 2 x y 1 3 x y 1 3 2 px y xy p 12 p Phương trình có nghiệm suy – 12p2 p p 1 14 27 x Vây max P xy suy y 27 27 3 14 3 (3) Câu III 1) Ta có: AD là phân giác A BD AB mà BED, CDF là tam giác cân, DC AC BE AB BC // FE CF AC E F J 2) Ta có: BC // FE FED EDB BED mà APM 180 AEM BED APM DEF Tương tự : DFE APN M N P APN APM DFE FED MPN Mà MJN MDN EDF B D MJN MPN 180 MPNJ nội tiếp 3) Ta có: APM DEF và JPM JNM JEM JPM APM A, P, J thẳng hàng Câu VI 1)Theo đề bài, các số nguyên dương xếp theo hàng chéo bảng: Hàng chéo thứ có số, hàng chéo thứ hai có số, Giả sử số x nằm hàng chéo thứ k thì ta có: 1 x k (k 1) k (k 1) 1 x 8x x k k 2 2 1 8.2015 Áp dụng x 2015 ta có k 63 k (k 1) Số đầu tiên hàng chéo thứ k 63 là 1954 Như số 2015 nằm vị trí thứ 2015 1954 62 hàng chéo thứ 63 (Vị trí áp chót) Tọa độ nó là (2, 62) 2) Theo Cauchy số ta có : abc ab bc ac 4 a3b3c3 abc a b c 3 abc 3 a 2b2c BĐT tương đương : a b2 c 3 a 2b 2c ab bc ac (1) Đặt a x, b2 y, c z x, y, z 1 x3 y3 z 3xyz x3 y z x3 z y Áp dụng BĐT Schur bậc 3: x3 y3 z 3xyz xy x y yz y z xz x z x x y x z y y x y z z z x z y với số thực không âm x, y, z Chứng minh BĐT : Do vai trò x, y, z , giả sử x y z z z x z y Ta xét : x x z y y z x xz yz y x y x y z x x z x y y y z x y x x z x y y y z y x x x y x z y y x y z z z x z y đpcm Ta có : x3 y3 z 3xyz xy x y yz y z xz x z x3 y z x3 z y x y z a b c 1 Dấu = xảy x y, z C (4)