Khảo sát thống kê photon của trạng thái nén bớt photon hai mode

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG KHOA VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TÊN ĐỀ TÀI: KHẢO SÁT THỐNG KÊ PHOTON CỦA TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE Sinh viên thực hiện: Dương Thảo My Khoá học: 2012 – 2016 Ngành học: Sư phạm Vật lý Người hướng dẫn: ThS Nguyễn Thị Xuân Hoài Đà Nẵng, tháng năm 2016 LỜI CẢM ƠN Được cho phép khoa Vật lý trường Đại học Sư pham – Đại học Đà Nẵng đồng ý cô giáo hướng dẫn, Th.S Nguyễn Thị Xn Hồi, tơi thực đề tài “Khảo sát thống kê photon trạng thái nén bớt photon hai mode” Trước hết, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến toàn thể quý thầy khoa Vật lý tận tình hướng dẫn, giảng dạy suốt trình học tập, nghiên cứu rèn luyện trường Đại học Sư pham – Đại học Đà Nẵng Xin chân thành cảm ơn Nguyễn Thị Xn Hồi tận tình, chu đáo hướng dẫn động viên tơi hồn thành khóa luận Do kiến thức thân hạn hẹp nên tơi khơng tránh khỏi thiếu sót định cách hiểu lỗi trình bày Tơi mong nhận góp ý q thầy để khóa luận hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên Dương Thảo My MỤC LỤC MỞ ĐẦU Chương 1: CÁC TRẠNG THÁI CỦA ÁNH SÁNG 1.1 Trạng thái số hạt 1.2 Trạng thái kết hợp 1.3 Trạng thái nén Chương 2: TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 15 2.1 Định nghĩa 15 2.1.1 Trạng thái nén bớt photon đơn mode 15 2.1.2 Trạng thái nén bớt photon hai mode 16 2.2 Hệ số chuẩn hóa 17 Chương 3: TÍNH THỐNG KÊ CỦA TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 20 3.1 Số photon trung bình 20 3.2 Hàm phân bố số photon 25 3.3 Entrophy tuyến tính 30 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 1: Sự phụ thuộc số photon trung bình với cặp * + vào tham số nén + (đường nét liền), * * + (đường nét đứt) 23 chấm-chấm) * Hình 2: Sự phụ thuộc số photon trung bình với cặp * + + (đường nét liền), * * ( Hình 3: Sự phụ thuộc hàm phân bố ứng với trường hợp + * nét liền), * + (đường a) * + ) vào tham số * + b) * + * + + 29 Hình 4: Sự phụ thuộc entropy tuyến tính với cặp * vào tham số nén + (đường nét đứt) 24 chấm-chấm) * c) * + (đường + * ( ) vào tham số nén + (đường chấm-chấm), * + (đường gạch-chấm) * + (đường + (đường nét đứt) 33 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày nay, lĩnh vực thông tin liên lạc ngày phát triển không ngừng phương tiện cách thức truyền tin nhằm đảm bảo thông tin truyền xa hơn, nhanh xác Trong thực tế, nhà vật lý lý thuyết lẫn thực nghiệm tiếp cận tới giới hạn lượng tử chuẩn ngày tiến xa để tìm trạng thái mà thăng giáng lượng tử hạn chế đến mức tối đa mang lại cải thiện đáng kể tính lọc lựa độ xác thông tin truyền [3] Tuy nhiên, với cách thức thông tin cổ điển mà sử dụng tính bảo mật thơng tin không bảo đảm tuyệt đối, nghĩa thơng tin lọt ngồi cho dù mã hóa nhiều lần Vậy, cần tìm cách để thơng tin truyền xa mà đảm bảo chất lượng bảo mật cách tuyệt đối Và lý thuyết thông tin lượng tử sở để giải vấn đề [2] Lý thuyết thông tin lượng tử thu hút ý nhiều nhà khoa học giới, kể đến trình viễn chuyển lượng tử Hiện nay, nhà khoa học đưa hai trình viễn chuyển là: viễn chuyển lượng tử biến rời rạc viễn chuyển lượng tử biến liên tục Ưu điểm viễn chuyển lượng tử biến liên tục so với biến rời rạc xác suất thành công 100%, với biến rời rạc 50% sử dụng trạng thái ánh sáng để mã hóa chuyển thông tin [1] Tuy nhiên, để đảm bảo độ tin cậy trình viễn chuyển cần phải có nguồn rối hồn hảo Nguồn rối đề xuất trạng thái chân không nén hai mode với điều kiện tham số nén dần đến vô [1] Nhưng thực tế, trạng thái nén hai mode tạo thực nghiệm có mức độ nén tương đối nhỏ nên độ tin cậy q trình viễn chuyển khơng cao Do vậy, việc tìm nguồn rối cải thiện độ rối vấn đề quan trọng Và trạng thái nén bớt photon hai mode trạng thái cần tìm độ rối lớn so với trạng thái nén hai mode thông thường Điều chứng minh trường hợp bớt photon hai photon [5],[8] Chúng tiếp tục khảo sát cho trường hợp tổng quát hơn, bớt số lượng photon tùy ý khỏi hai mode trạng thái nén Và vấn đề quan tâm tính thống kê photon, để từ đưa nhận xét mức độ rối trạng thái Đó lý chúng tơi chọn đề tài “Khảo sát thống kê photon trạng thái nén bớt photon hai mode” để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Tìm biểu thức giải tích số photon trung bình, tìm hàm phân bố số photon tính entropy trạng thái nén bớt photon hai mode Từ chứng minh trạng thái có độ rối mạnh so với trạng thái chưa bớt photon, nghĩa có ứng dụng cao viễn chuyển lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu Khảo sát tính chuẩn hóa trạng thái nén bớt photon thông qua việc xác định hệ số chuẩn hóa trường hợp tổng quát Khảo sát tính thống kê photon trạng thái gồm số photon trung bình, hàm phân bố số photon entropy tuyến tính Vẽ đồ thị biện luận kết số thu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu trạng thái nén bớt photon hai mode Đề tài dừng lại việc khảo sát thống kê photon trạng thái lý thuyết Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp đặc thù nghiên cứu quang lượng tử thông tin lượng tử phương pháp lượng tử hóa lần hai (tốn tử sinh hủy hạt) Ngồi ra, chúng tơi cịn sử dụng phần mềm chun dụng Mathematica để tính số, vẽ đồ thị biện luận Tổng quan vấn đề nghiên cứu Cải thiện rối vấn đề tương đối Đã có số nghiên cứu ngồi nước hạn chế Chẳng hạn, nghiên cứu trạng thái nén thêm photon hai mode [7], có nghiên cứu trạng thái đề tài giới hạn trường hợp đơn giản [5],[8] Các nghiên cứu chứng minh bớt photon cải thiện độ rối trạng thái nén trường hợp bớt hai photon Chúng tiếp tục mở rộng khảo sát cho trường hợp tổng quát hơn, khảo sát cụ thể tính thống kê hệ, tính chất quan trọng khởi đầu cho việc nghiên cứu trạng thái trường điện từ Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, danh mục hình vẽ tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận trình bày chương Các chương có nội dung cụ thể sau:  Chương trình bày tổng quan trạng thái ánh sáng bao gồm trạng thái số hạt, trạng thái kết hợp trạng thái nén Nội dung chương sở lý thuyết liên quan trực tiếp đến nội dung nghiên cứu đề tài  Chương trình bày nghiên cứu chung trạng thái nén bớt photon hai mode – đối tượng nghiên cứu đề tài, bao gồm định nghĩa trạng thái nén bớt photon đơn mode hai mode, xác định hệ số chuẩn hóa trạng thái nén bớt photon hai mode  Chương trình bày nghiên cứu khảo sát tính thống kê photon trạng thái nén bớt photon hai mode bao gồm tính số photon trung bình, hàm phân bố số photon khảo sát độ rối trạng thái thơng qua đại lượng entropy tuyến tính NỘI DUNG Chương 1: CÁC TRẠNG THÁI CỦA ÁNH SÁNG 1.1 Trạng thái số hạt Trạng thái số hạt, ký hiệu | ⟩ trạng thái riêng toán tử số hạt ̂ ̂ ̂ [6] ̂| ⟩ | ⟩ (1.1) ̂ ̂ tốn tử sinh hủy hạt với trị riêng Các toán tử sinh, hủy hạt tốn tử khơng Hermite tuân theo hệ thức giao hoán ,̂ ̂ - ̂̂ ̂ ̂ (1.2) Từ suy trạng thái đồng thời trạng thái riêng toán tử Hamiltonian hạt trường điện từ (̂ với trị riêng ( ̂| 〉 (̂ ̂ ) (1.3) ) ) sau (̂ ̂ )| 〉 ( )| 〉 (1.4) Trạng thái số hạt gọi trạng thái Fock Các trạng thái trực giao với 〈 | 〉 ⟨ | ⟩ ( , có tính chuẩn hóa ) tạo thành hệ đủ Do đó, ta khai triển trạng thái | 〉 hệ sở trạng thái số hạt | ⟩ | ⟩ ∑ (1.5) Trong biểu diễn này, phương pháp đơn giản để tính giá trị kỳ vọng toán tử ̂ (〈 | ̂ | 〉) khai triển toán tử dạng toán tử sinh, hủy hạt ̂ hạng có dạng ̂ (̂ ̂) Hệ tính tốn xuất số | 〉 ̂ | 〉 Xét trường hợp đơn giản tác dụng lần toán tử sinh ̂ lên trạng thái số hạt | ⟩ ̂ | ⟩ | ⟩ (1.6) trạng thái thu sau tác dụng toán tử sinh ̂ lên | 〉 có dạng | 〉 tính chất tốn tử sinh làm tăng số photon lên một, hệ số cần tìm Để ý 〈 |̂ ̂ | 〉 〈 |̂ ̂ | 〉 〈 |̂ | 〉 ta sử dụng tính giao hoán toán tử sinh, hủy hạt , ̂ ̂ - (1.7) định nghĩa (1.1) trạng thái số hạt Mặc khác, theo (1.6), ta có 〈 |̂ ̂ | 〉 〈 | | 〉 | | (1.8) So sánh hai biểu thức (1.7) (1.8) suy (1.9) √ hay ̂ | 〉 | √ (1.10) 〉 Tương tự cho trường hợp toán tử hủy, ta thu ̂| 〉 √ | 〉 (1.11) Trường hợp đặc biệt ̂| 〉 | 〉 (1.12) Từ suy rộng cho trường hợp tác dụng lần toán tử sinh hủy photon lên trạng thái số hạt sau ̂ | ⟩ ( √ ) | ⟩ (1.13a) ̂ | ⟩ √ ( ) | ⟩ (1.13b) Theo (1.13a), ta thấy trạng thái số hạt | ⟩ tạo thành cách tác dụng lần tốn tử sinh ̂ lên trạng thái chân khơng | ⟩ ̂ | ⟩ √ | ⟩ (1.14) Trong trường hợp đa mode, ta đưa tốn tử số hạt toàn phần cách lấy tổng tất toán tử số hạt đơn mode hệ Theo đó, tốn tử số hạt hai mode trường hợp hệ gồm hai mode ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ⟩ có dạng [6] ̂ ̂ Trạng thái số hạt hai mode, trạng thái riêng ̂ | (1.15) trạng thái tích có dạng | ⟩ | ⟩ (1.16) Tác dụng toán tử số hạt hai mode vào trạng thái trên, ta ̂ | ⟩ (̂ ̂ ̂ ̂ )| ⟩ | ⟩ ̂ ̂| ⟩ | ⟩ ̂ | ⟩ | ⟩ (̂ ̂ ̂| ⟩ | ⟩ ̂ | ⟩ | ⟩ ̂ )| ⟩ | ⟩ (1.17) 1.2 Trạng thái kết hợp Trạng thái kết hợp | ⟩ trạng thái riêng toán tử hủy photon ̂ [6] ̂| ⟩ với | | | ⟩ (1.18) số phức bất kỳ, cụ thể trạng thái riêng bên phải toán tử hủy ̂ với trị riêng Đồng thời, | ⟩ trạng thái riêng bên trái toán tử sinh ̂ với trị riêng ⟨ |̂ ⟨ | (1.19) Trong không gian Fock, trạng thái kết hợp biểu diễn qua trạng thái số hạt dạng [6] Với ( ) suy , - ∑ ( [ ) ( ( ( ) ) ) ( ( ] ) ( ) ) (3.10) Vậy, ta tính biểu thức số photon trung bình ứng với mode , - ∑ [ ( ) ( ] ) ( ( ) ) ( ( ) (3.11) ) Tương tự, ta có biểu thức số photon trung bình ứng với mode , - ∑ [ ( ) ( ] ) ( ( ) ) ( ( ) ) (3.12) Để khảo sát phụ thuộc số photon trung bình mode theo hệ số nén , chúng tơi vẽ hình hình 12 10 Na 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r Hình 5: Sự phụ thuộc số photon trung bình * + * + (đường nét liền), * vào tham số nén + (đường chấm-chấm) * đứt) 23 với cặp + (đường nét 12 10 Nb 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r Hình 6: Sự phụ thuộc số photon trung bình * + + (đường nét liền), * * vào tham số nén + (đường chấm-chấm) * với cặp + (đường nét đứt) Hình hình biểu diễn phụ thuộc giá trị * + * +, * + * theo với cặp + Chúng vẽ hai hình nhằm đánh giá phụ thuộc số photon trung bình mode theo hệ số nén số photon bị bớt Dựa vào hai hình, thấy tăng tăng đường biểu diễn có xu hướng cao dần Ngồi ra, hai hình, chúng tơi thấy đường nét liền ứng với * + * thấp nằm hồn tồn phía đường biểu diễn ứng với * * +, cụ thể * +, * + nằm + + Điều cho thấy việc bớt photon tác động đến số photon trung bình mode, so với trạng thái nén hai mode thơng thường trạng thái có bớt photon có số photon trung bình cao Đồng thời, thấy trị * tăng cặp giá + tăng, có nghĩa số photon trung bình hai mode tăng bớt nhiều photon Điều nghe mâu thuẫn, bớt photon số photon lại tăng lên mà không giảm Như vậy, cụm động từ “bớt photon” vào trạng thái | 〉 hiểu theo nghĩa làm giảm số photon trung bình trạng thái mà phải hiểu tác dụng toán tử hủy photon lên trạng thái Đối với trạng thái số hạt, tác dụng tốn tử hủy 24 số photon trạng thái bị giảm Do đó, trạng thái số hạt “bớt photon” hiểu bớt photon thật Nhưng trạng thái xét trạng thái NBPHM, trạng thái đặc biệt khác trạng thái số hạt nên cần phải hiều rõ ý nghĩa cách dùng cụm từ cách đắn Thí dụ nói “bớt photon” phải hiểu tác dụng lần tốn tử hủy photon khơng hiểu số photon trung bình trạng thái sau “bớt photon” nhiều trạng thái ban đầu lượng Tương tự, “bớt photon” lần tốn tử hủy photon lên trạng thái Cịn cụm từ “tăng tức tác dụng số photon bớt đi” việc tăng số lần tác dụng toán tử hủy photon Hình khác hình đường biểu diễn * nhận thấy với * + Ở hình 1, chúng +) đường qua gốc O +* đường biểu diễn lại từ tọa độ có thể, ứng với cặp * + ba cặp * +, * + (* + * * + + * khác Cụ Cịn hình 2, với + đường biểu diễn từ gốc tọa độ Như nói, số photon mode mode hệ ln có mối tương quan lẫn nhau, trường hợp có bất đối xứng hai mode 3.2 Hàm phân bố số photon Để đánh giá trạng thái có phải trạng thái phi cổ điển hay không, người ta dùng tiêu chuẩn dựa hàm phân bố Do đó, hàm phân bố số photon hàm quan trọng khảo sát thống kê trạng thái Trong phần này, chúng tơi tìm biểu thức hàm phân bố ( mode , hàm phân bố ( hai mode , Trong đó, ( hạt mode , ( ( ) mode hàm phân bố ( ) ) ) xác suất để trạng thái NBPHM | 〉 có ) xác suất để trạng thái có ) xác suất để trạng thái có hạt mode mode Các hàm định nghĩa sau 25 hạt mode Cịn hàm đồng thời có hạt ( ) |〈 | 〉| (3.12) ( ) |〈 | 〉| (3.13) ) |〈 ( | 〉| (3.14) Do ( ) ( ) tương tự nên cần tính ( 〈 |̂ ̂ | 〉 ⟨ | ⟨ | ) Ta có 〈 | 〉 ⟨ ) ̂ | ⟩ ̂ | ⟩ ∑ √ ( ) ( ⟨ với ⟩ | | - ⟩ ) | ) ( - √( , | ) ⟩ √ ( | ∑ ) ̂ ̂ | ⟩ | ⟩ ∑( ∑( , ⟨ | ⟩ ) ( ) ⟩ ( ) suy 〈 ( | 〉 √( ) ) ( ( ) | ) (3.15) ⟩ Thay (3.15) vào (3.12), ta ( ) ⟨ | ( √( ) ) ( ) 26 ( ) ( √( ) ) ( ,( ( ) ( ) | ⟨ | ) )- ) √( ⟨ với ( ) ( ⟩ ) ( ( ) ) ⟩ | ⟩ ( ) Ta tìm biểu thức hàm phân bố số photon ứng với mode ( ) ,( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) (3.16) ( ) ( ) ( ) (3.17) Tương tự, ta có ( ) ,( ) ( ( )) Để tính ( 〈 | 〉 ), ta cần tính 〈 | 〉 〈 |⟨ |̂ ̂ | ⟨ |⟨ | ∑( ) ̂ ̂ | ⟩ | ⟩ ⟨ |⟨ | ∑( ) ̂ | ⟩ ̂ | ⟩ ⟨ |⟨ | 〉 ∑ , √ ( ) | , | - ) | ⟩ ⟩ ∑ ⟨ ) √ ( ( ⟩ ⟨ ) ( - √( | ⟩ 27 ) ( ) (3.18) Thay kết vào (3.14), ta có ( ) ( ) ∑ , ⟨ | ⟩ ⟨ ) ( - √( | ⟩ ) ∑ , ) ⟨ ( ( ) ∑ , ( ∑ ) , ( ) ( | - ⟩ ⟨ ) ( ) ⟩ ) ) ( √( - ) √( | ) ( - √( ( ( ) ) ( ( ) ) (3.19) ) Với điều kiện: { (3.20) ta có biểu thức hàm phân bố số photon hai mode ( ) [( ) ] ( ) ( ) ( ) ( ) (3.21) Chúng tiến hành vẽ ba hình biểu diễn phụ thuộc hàm phân bố ( * ) vào hai tham số + * ba trường hợp cặp số * + 28 + * +, 0.5 0.5 0.4 0.4 0.3 20 0.3 0.2 0.2 0.1 0.0 15 20 0.1 0.0 15 10 5 𝑛𝑏 10 10 10 𝑛𝑎 15 15 𝑛𝑎 𝑛𝑏 20 b) a) 20 0.5 0.4 0.3 20 0.2 0.1 15 0.0 10 𝑛𝑏 10 c) 15 𝑛𝑎 20 Hình 7: Sự phụ thuộc hàm phân bố ( ứng với ) vào tham số trường hợp a) * + * + b) * + * + c) * + * + Dựa vào hình a), b) c), thấy có đường chéo ( ) có giá trị, tức xác suất để xuất xuất hạt mode với hạt mode đồng thời khác Điều nói lên số hạt hai mode có tương quan lẫn nhau, hay gọi rối lẫn Hơn so sánh ba đồ thị ta nhận thấy chúng có dáng điệu khơng giống Cụ thể, đồ thị ứng với * + * + có dáng điệu bất đối xứng nhất, độ cao cột chênh lệch nhiều, cột cao độ cao cột giảm dần cuối đường chéo Điều chứng 29 tỏ với trạng thái nén thông thường xác suất để xuất giảm nhanh tăng Đồ thị * + dáng điệu đối xứng hẳn so với đồ thị * tăng * * + * hạt + lại có + Điều cho thấy + dáng điệu đồ thị đối xứng hơn, mức chênh lệch độ cao cột giảm dần làm cho đồ thị Bên cạnh đó, đỉnh đồ thị dịch chuyển dần cuối đường chéo, tức phía nhiều photon Như vậy, bớt nhiều photon xác suất xuất lượng hạt nhiều lớn 3.3 Entrophy tuyến tính Độ rối trạng thái rối hai mode mức độ vướng víu mode trạng thái Nếu xét hệ lượng tử hai thành phần có trạng thái mơ tả ma trận mật độ ma trận mật độ hai hệ A B ma trận mật độ rút gọn [2] (3.22a) (3.22b) Trong ký hiệu cho phép lấy vết Ta đánh giá độ rối hệ thơng qua đại lượng entropy tuyến tính ( ( ) định nghĩa [2] ( ) (3.23) ) nằm khoảng từ đến ( ) ứng với tính chất tách hệ, nghĩa trạng thái không rối trạng thái rối giới hạn ( ứng với ) thể ( ) , , trạng thái đan rối cực đại Trạng thái NBPHM có ma trận mật độ | ⟩ với | ⟩ ⟨ | (3.24) ̂ ̂ | ⟩ Khi đó, ma trận mật độ hệ A tính theo biểu thức 30 | ⟩ ( ∑ ̂ , ̂ ̂ ( (̂ | ⟩ ̂ ̂ | ⟩ ( ̂ ( )( ̂ | ⟩ ) ( ⟨ |̂ ) )] ) ∑ ∑( ⟨ |̂ ) ⟨ | ⟨ |) ) ) ∑ ∑( ⟨ |̂ ̂ ⟨ |̂ ) | ⟩ | ⟩ ∑( ( (̂ | ⟩ ⟨ | ) ( )( ⟨ | ̂ ) ̂ | ⟩ ) (3.25) Trong đó, ⟨ |̂ ̂ | ⟩ √ ( √ ( ) √ ( ) ( với , ( ) ( √ ⟩ ) ( ) √ ( ( | ) ⟨ | ⟩ ⟨ | ⟩ ) ) ⟨ |̂ Suy ⟨ |̂ ) ̂ | ⟩ ( ) ( ) (3.26) Thay (3.25) vào (3.24), ta có ( ) ∑( ) 31 (̂ | ⟩ ⟨ |̂ ) (3.27) Bình phương , ta có ) [ ∑( ( [∑( ) ) ( ) ( (̂ | ⟩ ) ∑ ∑ ( ( ̂ | ⟩ ⟨ |̂ ̂ | ⟩ ) ) (̂ | ⟩ ⟨ |̂ ( ⟨ |̂ )] )] ) ( ) ( ) ⟨ |̂ (3.28) Tiến hành lấy vết ) ∑ ∑ ( ( ( ⟨ |̂ ) ( ) ̂| ⟩ ) ( ( ⟨ |̂ ∑ , [ ( ) ) ( ) ̂ | ⟩ ( ) ( ) - [ ( ) ] ⟨ | ⟩ ] ) ∑ , - ,( ( ) ) - ,( )- (3.29) vào (3.22), ta tính entropy tuyến tính Thay ( ) ( ) ∑ , - ,( ( ) - ,( ) (3.30) )- Để đánh giá phụ thuộc độ rối trạng thái NBPHM vào tham số nén số photon bớt đi, vẽ hình entropy tuyến tính ( ) theo biến cho giá trị * {3,3} 32 + {0,0}, {1,1}, {2,2} 0.8 M 0.6 0.4 0.2 0.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 r Hình 8: Sự phụ thuộc entropy tuyến tính * + * + (đường chấm-chấm), * chấm) * ( ) vào tham số nén + (đường nét liền), * với cặp + (đường gạch- + (đường nét đứt) Dựa vào hình 4, chúng tơi thấy đường biểu diễn có xu hướng cao dần, tức entropy tuyến tính ( ) tăng theo Điều chứng tỏ ta tác dụng tốn tử nén lên chân khơng độ rối trạng thái tăng Ngồi ra, hình vẽ cho thấy đường biểu diễn ứng với cặp * + * + vị trí thấp thấp đường lại chứng tỏ trạng thái bớt photon có độ rối cao trạng thái khơng bớt photon Mặt khác, so sánh ba đường biểu diễn ứng với trạng thái bớt photon , cặp giá trị ứng * + * +, thấy ứng với cặp * + có giá trị lớn đường biểu diễn nằm cao Nghĩa entropy tuyến tính tăng tăng ( ) , Hay nói cách khác, độ rối trạng thái tăng cường nhờ bớt photon 33 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu trạng thái nén bớt photon hai mode Đó trạng thái tạo cách tác dụng toán tử nén hai mode toán tử hủy photon lên hai mode trạng thái trường điện từ Với trạng thái này, đề tài tập trung vào tính chất thống kê photon kết thu sau:  Xác định hệ số chuẩn hóa trạng thái cách sử dụng đồng thức, từ đưa biểu thức đầy đủ trạng thái nén bớt photon hai mode  Tìm biểu thức giải tích số photon trung bình khảo sát phụ thuộc số photon trung bình mode mode vào tham số nén số photon bị bớt Kết cho thấy số photon trung bình tăng tăng cặp giá trị * + tăng Việc bớt photon tác động đến số photon trung bình mode, trạng thái có bớt photon có số photon trung bình cao so với trạng thái nén hai mode thông thường Hơn nữa, số photon mode hệ ln có mối tương quan mode lẫn nhau, bất đối xứng số photon hai mode xuất  Thu biểu thức hàm phân bố số hạt ( bố ( ) mode hàm phân bố ( ) mode , hàm phân ) hai mode , hành khảo sát ảnh hưởng tham số trạng thái nén bớt photon hai mode có hạt mode tiến đến xác suất để đồng thời có mode Kết khảo sát cho thấy xác suất khác hạt , chứng tỏ số hạt hai mode có rối lẫn Nếu tăng cặp số * + độ chênh lệch xác suất giảm dần Như vậy, bớt nhiều photon xác suất xuất lượng hạt nhiều lớn Việc bớt photon có tác dụng tích cực vào tính chất rối trạng thái nén bớt photon hai mode 34  Thu biểu thức entropy tuyến tính từ khảo sát độ rối trạng thái nén bớt photon hai mode thông qua đại lượng Chúng chứng minh trạng thái bớt photon có độ rối cao trạng thái không bớt photon, tức độ rối trạng thái cải thiện nhờ bớt photon Như vậy, chúng tơi khảo sát tính thống kê trạng thái nén bớt photon hai mode trường hợp tổng quát lý thuyết chứng minh bớt photon cải thiện độ rối trạng thái Kết cho thấy trạng thái nén bớt photon hai mode nguồn rối đầy tiềm nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt ứng dụng vào q trình thơng tin lượng tử thực tế có viễn tải lượng tử biến liên tục 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Braunstein S L and Kimble H J (1998) Teleportation of continuous quantum variables Physical Review Letters, 80, pp 869-872 [2] Braunstein S L and Peter van Loock (2005) Quantum information with continuous variables Review of modern physics, 77, pp 513-578 [3] Dodonov V V (2001) Nonclassical states in quantum optics: A squeezed review of the first 75 years Journal of Optics B: Quantum and Semiclassical Optics, 4, R1 [4] Kim M S (2008) Recent development in photon-level operations on travelling light fields Journal of physics B: Atomic molecular and optical physics, 41, 133001 (18pp) [5] Stefano Olivares, Matteo G.A.Paris and Rodolfo Bonifacio (2003) Teleportation improvement by inconclusive photon subtraction Physical Review, 67, 032314 (5pp) [6] Stephen M Barnett and Paul M Radmore (1997) Methods in Theoretical Quantum Optics Oxford series in Optical and Imaging Sciences, 15 (293pp) [7] Thi Xuan Hoai Nguyen and Ba An Nguyen (2014) Generation of twomode photon-added displaced squeezed states IOP Publishing – Vietnam Academy of Science and Technology, 035012 (6pp) [8] T.Opatrmý, G.Kurizki and D.G.Welsch (2000) Improvement on teleportation of continuous variables by photon subtraction via conditional measurement Physical Review A, 61, 032302 (7pp) [9] Xiang-Bin Wang, L C Kwek, Yong Liu and C H Oh (2000) Nonclassical effects of two-mode photon-added displaced squeezed states Journal of physics B: Atomic molecular and optical physics, 34, 10591078 (20pp) 36 NHẬN XÉT CỦA GIẢNG VIÊN PHẢN BIỆN 37 ... 2.1.1 Trạng thái nén bớt photon đơn mode 15 2.1.2 Trạng thái nén bớt photon hai mode 16 2.2 Hệ số chuẩn hóa 17 Chương 3: TÍNH THỐNG KÊ CỦA TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE. .. ) (2.9) Vậy, trạng thái nén bớt photon biểu diễn dạng | ⟩ ̂ ( )| ⟩ (2.10) 2.1.2 Trạng thái nén bớt photon hai mode Trạng thái nén bớt photon hai mode (NBPHM) trạng thái mà khảo sát đề tài Đúng... biệt trạng thái đạt đến khả rối cực đại tham số nén 14 Chương 2: TRẠNG THÁI NÉN BỚT PHOTON HAI MODE 2.1 Định nghĩa 2.1.1 Trạng thái nén bớt photon đơn mode Trạng thái nén bớt photon đơn mode