Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
PHÉP VỊ TỰ 1 Định nghĩa:
Phép vị tự tâm O (cố định) tỉ số k ( k 0, khơng đổi), KH: V(O,k)
3.Ảnh của đường trịn qua V (O,k)
V(O,k)[(I;R)] = (I’;R’) và R’ = R
4 Tâm vị tự của hai đường trịn:
(I;R) và (I’;R’) phân biệt
*) Biểu thức toạ độ của phép vị tự:
Trong mpOxy: I(a;b) , M(x;y), M’(x’;y’)
V(I,k): M(x; y) M(x; y) Khi đó:
a) M(4; 6) và M’(–3; 5) b) M(2; 3) và M(6; 1) c) M(–1; 4) và M(–3; –6)
3 Phép vị tự tâm I tỉ số k biến điểm M thành M’ Tìm k trong các trường hợp sau:
4 Tìm ảnh của các đường thẳng sau qua phép vị tự tâm O(0; 0) tỉ số k = 2:
5 Tìm ảnh của đường thẳng d: x – 2y + 1 = 0 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ số k
trong các trường hợp sau:
6 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng 1: x – 2y + 1 = 0 và 2: x – 2y + 4 = 0
và điểm I(2; 1) Tìm tỉ số k để phép vị tự V(I,k) biến 1 thành 2.
7 Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 qua phép vị tự tâm I(2; 1) tỉ sốk trong các trường hợp sau:
OO
Trang 2Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
8 Xét phép vị tự tâm I(1; 0) tỉ số k = 3 biến đường tròn (C) thành (C) Tìm phương
trình của đường tròn (C) nếu biết phương trình đường tròn (C) là:
11 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm I(1,2) và đường trịn tâm I, bán kính 2 Viết phương trình đường trịn là ảnh của
đường trịn trên qua phép đồng dạng cĩ được bằng cách thực hiện liên tiếp :
a/Phép quay tâm O, gĩc và phép vị tự tâm O, tỉ số 2 b/ Phép đối xứng trục Oy và phép vị tự tâm O tỉ số
c/ Phép đối xứng tâm O và phép vị tự tâm O tỉ số -2
ẠNG 2: Tìm quỹ tích
Tìm quỹ tích ( hay tập hợp) của điểm M
Cg: - Tìm V(O,k) và các điểm N sao cho V(O,k)(N) = M
- Tìm đường (C) cố định khi N chạy trên đĩ [Thơng thường (C) là đường trịn hoặc đường thẳng]- Thì quỹ tích của M là đường (C’) là ảnh của (C) qua V(O,k) ( cĩ thể giới hạn quỹ tích – nếu cĩ)
-9 Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, còn đỉnh A chạy trên một đường tròn
(O) Tìm quĩ tích trọng tâm G của ABC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC Xét phép vị tự (A) = G
10 Cho đường tròn (O) có đường kính AB Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ là
một đường kính thay đổi của (O) Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại Mvà N.
a) Chứng minh rằng Q là trung điểm của CM, N là trung điểm của CQ.b) Tìm quĩ tích của M và N khi đường kính PQ thay đổi.
HD: a) Sử dụng tính chất đường trung bình.b) Xét các phép vị tự V(C,2)(Q) = M; (Q) = N.
11 Cho đường tròn (O, R) và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.
Từ một điểm M bất kì trên d, kẻ các tiếp tuyến MP, MQ với đường tròn (O) a) Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
b) Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, tâm O của đường tròn ngoại tiếp MPQ,trực tâm H của MPQ.
HD: a) Kẻ OI d, OI cắt PQ tại N N cố định.b) Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kính NO Tập hợp các điểm O đường trung trực đoạn OI.
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = V(O,2)
12 Trong mp Oxy cho điểm A(-2;2) và đường thănngr d đi qua A cĩ hệ số gĩc bằng – 1 Gọi B là điểm di động trên d.
Gọi C là điểm sao cho tứ giác OABC là hình bình hành Tìm phương trình tập hợp a) Các tâm đối xứng I của hình bình hành.
b) Các trọng tâm G của tam giác ABC.
13.Trong mặt phẳng cho bốn điểm A, B, C, D Biết các điểm A,B,C cố định , BC = a ( khơng đổi) Gọi M, N lần lượt làtrung điểm của AC và BD Tìm tập hợp trung điểm P của MN.
DẠNG 3: Tốn chứng minh
14 Cho ABC với trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng
HD: Xét phép vị tự V(G,–2)(O) = H
15 Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O.
AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a) Chứng minh đường tròn (AMN) luôn đi qua một điểm cố định khác A.b) Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
16 .Cho đường tròn (O, R), đường kính AB Một đường thẳng d vuông góc với AB tại
một điểm C ở ngoài đường tròn Một điểm M chạy trên đường tròn AM cắt dtại D, CM cắt (O) tại N, BD cắt (O) tại E.
a) Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
Trang 3Trương Đình Dũng Trương THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
b) Tứ giác CDNE là hình gì?
ẠNG 4: Tốn dựng hình
Để dựng một điểm M ta tìm cách xác định nĩ như là ảnh của một điểm đã biết qua một phép V(O,k) hoặc xem Mnhư là giao của một đường cố định với ảnh của một đường đã biết qua một phép V(O,k).
19 Cho hai đường trịn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B hãy dựng qua A một đường thẳng d cắt (O) ở M và cắt (O’) tại N
sao choM là trung điểm của OM
20 Cho tam giác ABC Dựng hình vuơng cĩ hai đỉnh nằm trên hai cạnh AB, AC và hai đỉnh cịn lại nằm trên cạnh BC
của tam giác đĩ.
21 Cho nửa đường trịn đường kính AB Hãy dựng hình vuơng cĩ hai đỉnh nằm trên nửa đường trịn, hai đỉnh cịn lại
nằm trên đường kính AB của nửa đường trịn đĩ.
