Tài liệu môn học Calculus

Tài liệu môn học Calculus với 2 nội dung đó là giới hạn hàm và hàm liên tục; phép tính vi phân hàm một biến với các nội dung dãy số và giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân cấp một, các định lý cơ bản của hàm khả vi, đạo hàm và vi phân cấp cao, công thức Taylor, một số ứng dụng của phép tính vi phân.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN-TIN TÀI LIỆU MƠN HỌC CALCULUS (Nhóm ngành KHTN-CN K69) HÀ NỘI 2019 Mục lục Giới hạn hàm hàm liên tục 1.1 Dãy số giới hạn dãy số 1.2 Giới hạn hàm số 1.3 Hàm số liên tục Phép tính vi phân hàm biến 2.1 Đạo hàm vi phân cấp 2.2 Các định lý hàm khả vi 2.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.4 Công thức Taylor 2.5 Một số ứng dụng phép tính vi phân 2 15 15 18 19 20 21 Chương Giới hạn hàm hàm liên tục Calculus học phần lĩnh vực giải tích tốn học, bao gồm hai nhánh phép tính vi phân phép tính tích phân Phép tính vi phân liên quan đến tốc độ biến đổi tức thời (instantaneous rates of change) đại lượng (vật lí, hóa học, sinh học v.v), độ dốc (tiếp tuyến) đường cong v.v, phép tính tích phân sử dụng tính tổng (dạng tích lũy) đại lượng, diện tích giới hạn đường cong Hai phép tính liên quan chặt chẽ với định lí giải tích ( the fundamental theorem of calculus) sử dụng khái niệm hội tụ dãy chuỗi vô hạn Calculus phát triển từ nửa cuối kỉ 17th Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Ngày nay, calculus sử dụng hầu khắp lĩnh vực khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế môi trường khoa học xã hội 1.1 Dãy số giới hạn dãy số Khái niệm dãy số làm quen với khía cạnh dãy số dùng để mơ tả dáng điệu phần tử dãy “điểm xa vô tận” 1.1.1 Định nghĩa dãy số: Dãy số qui tắc ứng số tự nhiên với số thực Nếu viết xác dãy số tậ hợp có dạng a1 , a2 , , an , , hay viết {an }n≥1 Khái niệm quan trọng gắn liền với dãy số giới hạn dãy số 1.1.2 Định nghĩa giới hạn Dãy số a1 , a2 , , an , gọi hội tụ tới giới hạn l với ε > tồn N cho |an − l| < ε với n > N Điều có nghĩa với đoạn thẳng cho trước chứa a đến lúc đó, tồn dãy số rơi vào đoạn thẳng Trong trường hợp ta viết an → a hay đầy đủ lim an = a n→∞ Đương nhiên có dãy số khơng hội tụ chẳng hạn an = n lẻ an = −1 n chẵn Hoặc đơn giản ta thấy dãy số tự nhiên an = n không hôi tụ 1.1.3 Hai ví dụ quan trọng dãy số hội tụ: (a) an = n1 Khi {1, 1/2, 1/3, · · · } hội tụ n → ∞ (b) an = +···+ 2n Khi an = − 2n hội tụ n → ∞ Một vấn đề nảy sinh dãy hội tụ? Nếu dãy hội tụ tính giới hạn nào? Ta có câu trả lời cho câu hỏ dễ là: Khi dãy số khơng hội tụ Điều kiện cần cho dãy hội tụ (i) Dãy số {an } khơng hội tụ khơng bị chặn, tức với số tự nhiên N ta ln tìm phần tử am cho |am | > N (ii) Dãy số {an } không hội tụ dãy chứa hai dãy {ank } {amk } hội tụ đến hai giới hạn khác Ta thường áp dụng mệnh đề để dãy khơng hội tụ Ngồi dãy số hội tụ, ta quan tâm tới khái niệm sau: Giới hạn vơ Ta nói dãy số an có giới hạn vô (viết lim an = ∞) với số nguyên N có số M để an > N với n→∞ n M Tương tự thế, ta nói dãy số an có giới hạn âm vô (viết lim an = n→∞ −∞) với số tự nhiên N có số M để an < −N với n ≥ M Để tính giới hạn dãy số, sử dụng công thức sau đây: 1.1.4 Phép tính dãy hội tụ: Giả sử lim an = a lim bn = b Khi ta có: n→∞ n→∞ (a) lim (an + bn ) = a + b; n→∞ (b) lim (an − bn ) = a − b; n→∞ (c) lim (an bn ) = ab n→∞ (d) lim an /bn = a/b, b = n→∞ Để hiểu khái niệm giới hạn chứng minh khẳng định nói Chẳng hạn với (a), lấy ε > số tùy ý (ln hình dung bé) Khi cách áp dụng đinh nghĩa giới hạn cho ε/2, ta tìm N M cho |an − a| < ε/2 ∀n > N, |bn − b| < ε/2 ∀n > M Vậy n > max(N, M) |(an + bn ) − (a + b)| |an − a| + |bn − b| ε Bằng cách quan niệm max(N, M) N định nghĩa 1.2 ta có điều phải chứng minh (a) Một phương pháp khác hay sử dụng để tính giới hạn dãy số phương pháp kẹp 1.1.5 Phương pháp kẹp Cho an , bn cn dãy số thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn Giả sử lim an = lim cn = l Khi lim bn = l n→∞ n→∞ n→∞ Chứng minh kết dựa vào định nghĩa giới hạn bất đẳng thức |bn − l| ≤ |an − l| + |cn − l| ∀n Ví dụ áp dụng: lim n+1 n→∞ n +1 = 1.1.6 Hội tụ dãy đơn điệu Một dãy số nói chung đơn điệu tăng đơn điệu giảm Tuy nhiên dãy số đơn điệu ta nói dãy số đa "hầu như" hội tụ Điều thể qua kết sâu sắc sau mà chứng minh ta bỏ qua động chạm đến chất số thực 1.1.7 Định lý hội tụ dãy đơn điệu (i) Cho {an } dãy đơn điệu tăng (tức a1 ≤ a2 ≤ · · · ) bị chặn (tức có số tự nhiên N thỏa mãn an ≤ N với n) Khi tồn giới hạn l := lim an Ta viết an ↑ l n→∞ (ii) Cho {an } dãy đơn điệu giảm (tức a1 ≥ a2 ≥ · · · ) bị chặn (tức có số tự nhiên N thỏa mãn an ≥ −N với n) Khi tồn giới hạn l := lim an Ta viết an ↓ l n→∞ Sử dụng định lý ta chứng minh kết kinh điển sau mà nhờ ta định nghĩa số logarit tự nhiên Định nghĩa số e Xét hai dãy số an := + n n , bn := + n n+1 Khi an dãy đơn điệu tăng bn đơn điểu giảm Hơn an bn bị chặn (tương ứng chặn dưới) Theo định lý trên, dãy số hội tụ giới hạn ta ký hiệu giới hạn e Người ta chứng minh e = 2, 718281828 · · · số vô tỷ Cùng với số π hai số quan trọng toán học Tuy nhiên khác với số π định nghĩa cách hình học nửa chu vi đường trịn bán kính ta định nghĩa e nhờ giới hạn dãy số Điều phần nói lên tầm quan trọng khái niệm giới hạn 1.2 Giới hạn hàm số Đối tượng quan trọng chương khái niệm "hàm số" Để hiểu hàm số ta lấy hai ví dụ bản: Diện tích hình trịn bán kính r πr Như diện tích hàm số biến số bán kính theo nghĩa cho trước bán kính ta tính diện tích Dân số thành phố hàm số theo biến số thời gian Ta có định nghĩa xác sau 1.2.1 Định nghĩa hàm số Cho A tập hợp số thực (ví dụ số thực khoảng mở (0, 1) hay đoạn đóng [0, 1]) Một hàm số f xác định A qui tắc cho ứng x ∈ A với số f (x) Ta gọi f hàm số biến số x Khái niệm quan trọng gắn liền hàm số giới hạn hàm số 1.2.2 Định nghĩa giới hạn hàm số Cho f hàm số xác định tập A (i) Ta nói hàm số f có giới hạn l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho |x − a| < δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a lim f (x) = l x→a (ii) Ta nói hàm số f có giới hạn trái l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho a − δ < x < a, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a − lim f (x) = l x→a−0 (iii) Ta nói hàm số f có giới hạn phải l biến số x tiến tới giá trị a điều sau đúng: Với ε > ta tìm δ > cho a < x < a + δ, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Trong trường hợp này, ta viết f (x) → l x → a + lim f (x) = l x→a+0 (iv) Ta nói hàm f có giới hạn ∞ l biến số x tiến tới ∞ điều sau đúng: Với ε > ta tìm số M > cho x > M, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε (v) Ta nói hàm f có giới hạn ∞ l biến số x tiến tới −∞ điều sau đúng: Với ε > ta tìm số M > cho x < −M, x ∈ A ⇒ |f (x) − l| < ε Ta có ý đơn giản quan trọng sau lim f (x) = l ⇔ lim f (x) = lim f (x) = l x→a x→a−0 x→a+0 Để liên hệ với hội tụ dãy số, đưa vào định nghĩa tương đương sau giới hạn hàm: lim f (x) = l với dãy số xn → a, xn ∈ A có x→a f (xn ) → l Ta có ví dụ đơn giản sau giới hạn hàm Ví dụ (i) lim x2 = a2 Điều chứng minh cách sử dụng định nghĩa x→a giới hạn qua ngôn ngữ dãy (ii) lim 1/x = x→∞ Các ví dụ kiểm chứng cách sử dụng định nghĩa giới hạn qua ngôn ngữ dãy 1.2.3 Các phép toán giới hạn hàm Cho hàm f, g xác định tập hợp A (ta nghĩ A khoảng mở hay đoạn thẳng đóng) Giả sử f, g có giới hạn x → a ∈ A Khi ta có: (i) lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x); x→a x→a x→a (ii) lim (f.g)(x) = lim f (x) lim g(x); x→a (ii) lim ( fg )(x) = x→a x→a lim f (x) x→a lim g(x) x→a x→a , vế phải có nghĩa 1.3 Hàm số liên tục Một loại hàm quan trọng mà hay gặp thực tế hàm liên tục Ta cần hàm để mô tả chuyển động vật thể (xe máy, người bộ, ) hay đường cong ta vẽ giấy Định nghĩa xác được đưa sau: Định nghĩa hàm liên tục Ta nói hàm số f xác định tập A liên tục a ∈ A lim f (x) = f (a) x→a Hay nói cách khác, giới hạn trái giới hạn phải f x = a f (a) Khi f liên tục điểm A ta nói f liên tục A Ví dụ f (x) = x < f (x) = x x ≥ hàm liên tục toàn tập xác định R Điều khiến hàm liên tục trở nên quan trọng? Thứ hàm liên tục có tính phổ qt (nó bao hàm tất loại hàm mà ta học từ trước đến giờ) ngồi cịn có hàm xác định ví dụ Thứ hai hàm liên tục có nhiều tính chất quan trọng nhà toán học khám phá từ kỷ 19 Chúng ta điểm qua ba định lý quan trọng loại hàm Do cách chứng minh phải sử dụng só kiến thức sâu tồn dãy hội tụ dãy bị chặn sử dụng tính đày R nên không sâu vào chi tiết Định lý Weierstrass tồn cực trị hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] Khi hàm f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ [a, b] Định lý Cantor tính liên tục hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] Khi hàm f liên tục theo nghĩa sau đây: ∀ε > 0, ∃δ > cho |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε Định lý Bolzano giá trị trung gian hàm liên tục Cho f hàm số liên tục [a, b] i) Nếu f (a)f (b) < tồn điểm c ∈ (a, b) cho f (c) = ii) Với λ nằm f (a) f (b), tồn c ∈ [a, b] cho f (c) = λ Ta có số ý liên quan tới định lý kinh điển nói trên: Định lý Weierstrass Định lý Cantor cho hàm liên tục đoạn thẳng đóng Ta lấy ví dụ hàm f (x) = 1/x khơng đạt cực đại, cực tiểu (0, 1) không liên tục (0, 1) Sử dụng định lý Bolzano ta chứng minh đa thức bậc (hay tổng quát bậc lẻ) có nghiệm thực Định lý Cantor sử dụng sau để chứng minh kết tính khả tích hàm liên tục đoạn thẳng đóng Định lý Weierstrass cho sở để giải tốn tìm giá trị lớn hay nhỏ đa thức đoạn thẳng đóng Bài tập Chương 1 Tính giới hạn dãy sau √ n+ n √ b) xn = 2n + 3 n √ d) xn = n − n3 − 3n2 n2 + n − a) xn = 2n + 2n + √ c) xn = n2 + 3n − n e) xn = 2.3n − 4n 22n+1 − 2n f ) xn = + + 22 + · · · + 2n + + 32 + · · · + 3n Tính giới hạn sau (bằng cách dùng nguyên lý kẹp) n + cos n2 b) lim n→∞ n + sin n sin n + cos n a) lim n→∞ n c) lim n→∞ √ n2 + +√ n2 + +···+ √ n2 + n * a) Dùng đẳng thức (x + 1)n = xn + Cn1 xn−1 + · · · + Cnn−1 x + Cnn để chứng tỏ (x + 1)n > n(n − 1) x, ∀n 2, x > b) Dùng (a) nguyên lý kẹp để chứng minh rằng, với a > 1, ta có n2 = n→∞ an n =0 n→∞ an lim lim Chứng minh dãy sau đơn điệu tăng bị chặn (từ suy dãy hội tụ) 1 1 a) xn = + + + · · · + ; n 1 1 b) xn = + + + + · · · + 1! 2! 3! n! * Cho dãy {xn } cho công thức quy nạp x1 = √ 2, xn+1 = √ + xn , n a) Chứng minh dãy {xn } bị chặn 2; b) Chứng minh dãy {xn } đơn điệu tăng; c) Tìm limn→∞ xn Chứng minh dãy số sau không hội tụ hai dãy hội tụ chúng a) xn = (−1)n + n b) xn = + n nπ cos n+1 * a) Chứng minh limn→∞ xn = ℓ limn→∞ (xn+2 − xn ) = 0; b) Chứng minh dãy {sin n} khơng hội tụ Tính giới hạn sau (x2 − x − 6)2 x→3 x2 − 2x − x2 + 2x − x→2 x2 − b) lim a) lim c) lim x→1 x3 − 2x2 + x x→1 x3 − 3x + 2 − x −1 x −1 Tính giới hạn sau √ + 3x − a) lim x→0 x √ + 2x − d) lim √ x→4 x−2 10 Tìm giới hạn sau √ x2 + x a) lim √ x→∞ 4x2 + d) lim √ √ √ 1−x−1 + x − + 2x b) lim c) lim x→0 x→0 x x √ √ √ x− 3+ x−3 x2 √ e) lim f ) lim √ x→3 x→0 + 2x − x − x2 − b) lim x→∞ x+ √ √ x− x ln(x2 + x + 1) x→∞ ln(x8 + 2x2 + x + 2) e) lim d) lim x→∞ x→∞ x+2 2x − 11 Tìm giới hạn sau cách sử dụng nguyên lý kẹp a) lim x3 cos x→0 x x + sin 2x x→∞ 2x + cos x + b) lim 12 Trong Vật lý, dao động tắt dần mô tả hàm số f (t) = e−αt (a cos ωt + b sin ωt), với α > a, b ∈ R Tìm lim f (t) t→∞ 10 √ c) lim x2 √ x2 + 3x− x2 − x − 13 Đặt f (x) = sin π với x = Chứng minh không tồn lim f (x) x→0 x 14 Trong Thuyết tương đối, khối lượng vật chuyển động với vận tốc v cho công thức m0 m= , − v /c2 m0 khối lượng vật đứng yên, c vận tốc ánh sáng Chuyện xảy với khối lượng vật v → c− ? 15 Trong Thuyết tương đối, độ dài vật chuyển động với vận tốc v cho công thức v2 L = L0 − , c L0 độ dài vật đứng n, c vận tốc ánh sáng Tìm lim− L v→c 16 Xét tính liên tục hàm số sau miền xác định R chúng  x sin x = e− x2 x = b) g(x) = a) f (x) = x 0 x = x =   sin x c) h(x) = x 1 x = x = 17 Xét tính liên tục hàm Heaviside (xác định R) H(x) = x < x 18 Cho hàm số f (x) = [x], x ∈ R, [x] số nguyên lớn không vượt x (gọi phần nguyên x) Ví dụ [2] = 2, [3.6] = 3, [−1.1] = −2 a) Vẽ đồ thị hàm số f (x) x ∈ [−3, 3]; b) Chứng minh f (x) liên tục x ∈ / Z, không liên tục x ∈ Z 11 19 Tìm số thực a cho hàm sau liên tục R √   √x − x > x − x + a x−1 a) f (x) = b) g(x) = x−2   x+a x x = x = 20 Lực hấp dẫn trái đất vật có khối lượng 1kg cách tâm trái đất khoảng r cho công thức    GMr r < R R3 F (r) = GM   r R, r2 M khối lượng trái đất, R bán kính trái đất, G số hấp dẫn a) Hàm F (r) có liên tục theo r [0, +∞) khơng? b) Tìm lim F (r) r→∞ 21 Xét tính liên tục hàm sau tập π a) Hàm f (x) = cos (0, 1); x b) Hàm f (x) = x2 R 22 Chứng minh π a) Phương trình x2 − = sin x có nghiệm (0, ); b) Đa thức p(x) = x4 − 2x − có nghiệm (1, 2); c) Mọi đa thức bậc lẻ có nghiệm thực 23 Cho hàm liên tục f : [0, 1] → [0, 1] Chứng minh tồn c ∈ [0, 1] cho f (c) = c 24 Cho hàm liên tục f : [0, 1] → [0, 1] thỏa mãn f (0) = 0, f (1) = Chứng minh tồn c ∈ (0, 1) thỏa mãn f (c) = − c 25 Cho f (x) làm tuần hoàn liên tục R Chứng minh f (x) đạt giá trị lớn giá trị nhỏ R 26 * Tìm toàn ánh f : R → R cho f (1) = 2, f (2) = −1, phương trình f (x) = khơng có nghiệm khoảng (1, 2) 12 27 * Cho hàm f (x) g(x) liên tục [a, b] Chứng minh a) Hàm h(x) := |f (x)| liên tục [a, b]; b) Hai hàm M(x) := max f (x), g(x) m(x) := f (x), g(x) liên tục [a, b] 28 * Cho hàm f : (a, b) → (0, +∞) hàm liên tục thỏa mãn lim f (x) = lim− f (x) = x→a+ x→b a) Chứng minh hàm g(x) cho g(x) = f (x) x = a x = b x = a x = b liên tục [a, b]; b) Hàm f đạt giá trị lớn (a, b) 29 * Cho hàm f : R → (0, +∞) hàm liên tục thỏa mãn lim f (x) = lim f (x) = x→+∞ x→−∞ Chứng minh f đạt giá trị lớn R 13 Lời giải số toán a) Hiển nhiên; b) Giả sử lim sin x = ℓ Khi lim (sin(n + 1) − sin(n − 1)) = n→∞ n→∞ Kéo theo lim cos n = Suy lim (cos(n + 1) − cos(n − 1)) = Nên n→∞ n→∞ lim sin n = Điều khơng xảy sin2 n + cos2 n = n→∞ 25 Giả sử hàm f tuần hoàn chu ỳ T > Ta thấy f đạt max [0, T ] Do tính tuần hồn, max tồn cục f (x) 26 Ta chọn hàm f (x) sau  2x    5 − 3x f (x) =  10    x−3 khi khi x 1 < x < 2, x = x = 23 x 27 (b) Dùng (a) đẳng thức sau max(α, β) = α + β + |α − β| , min(α, β) = α + β − |α − β| 28 a) Dễ dành chứng minh hàm liên tục hai đầu mút nên g(x) liên tục [a, b]; b) Hàm g(x) đạt giá trị lớn điểm x0 ∈ [a, b] Nhưng giả thiết cho ta x0 = a, b Nên x0 ∈ (a, b) Suy f (x) đạt giá trị lớn x0 29 Ta thấy f (0) > Từ giả thiết suy tồn R > cho < f (x) < f (0) với |x| > R Hàm f đạt giá trị lớn [−R, R] x0 Suy f (x0 ) f (x), ∀x ∈ [−R, R] f (x0 ) f (0) > f (x), ∀|x| > R Suy f (x) đạt giá trị lớn R x0 14 ... theorem of calculus) sử dụng khái niệm hội tụ dãy chuỗi vô hạn Calculus phát triển từ nửa cuối kỉ 17th Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Ngày nay, calculus sử dụng hầu khắp lĩnh vực khoa học tự... 2 15 15 18 19 20 21 Chương Giới hạn hàm hàm liên tục Calculus học phần lĩnh vực giải tích tốn học, bao gồm hai nhánh phép tính vi phân phép tính tích phân Phép tính vi phân... liên quan đến tốc độ biến đổi tức thời (instantaneous rates of change) đại lượng (vật lí, hóa học, sinh học v.v), độ dốc (tiếp tuyến) đường cong v.v, phép tính tích phân sử dụng tính tổng (dạng tích