Trung điểm M của OO’ di động trên đường nào.. Xác định vị trí của điểm I để cho OKO’I là hình vuông...[r]
(1)đề số
C©u 1:
Cho x =
2 2
2
b c a
bc
; y = 2
2 ( ) ( )
a b c
b c a
Tính giá trị P = x + y + xy
C©u 2:
Giải phơng trình: a,
a b x =
1
a+
1
b+1
x (x lµ Èn sè)
b,
2 (b c)(1 a)
x a
+
2 (c a)(1 b)
x b
+
2 (a b)(1 c)
x c
=
(a,b,c số đơi khác nhau)
C©u 3:
Xác định số a, b biết: (3 1) ( 1) x x
= ( 1)3
a
x +( 1)2
b x
C©u 4:
Chứng minh phơng trình:
2x2 4y = 10 nghiệm nguyên. Câu 5:
Cho ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đờng cao xuất phát từ B C
§Ị sè
Câu 1:
Cho a,b,c thoả mÃn: a b c
c
= b c a
a
= c a b
b
TÝnh giá trị M = (1 +b
a)(1 + c
(2)Đề thi HsG toán Câu 2:
Xác định a, b để f(x) = 6x4 – 7x3 + ax2 + 3x +2
Chia hÕt cho y(x) = x2 – x + b Câu 3:
Giải PT:
a, (x-4) (x-5) (x-6) (x-7) = 1680
b, 4x2 + 4y – 4xy +5y2 + = C©u 4:
Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số mà mẫu tổng chữ số
Câu 5:
Cho ABC cân A, AB lấy D, trªn AC lÊy E cho: AD = EC = DE = CB
a, NÕu AB > 2BC TÝnh gãc A cña ABC b, NÕu AB < BC TÝnh gãc A cña HBC.
- hÕt
-đề số
C©u 1:
Ph©n tích thành nhân tử: a, a3 + b3 + c3 – 3abc
b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 C©u 2:
Cho A =
2 2 (1 )
1
x x
x
:
3
1
( )( )
1
x x
x x
x x
a, Rót gän A
b, Tìm A x= -1 c, Tìm x để 2A =
Câu 3:
(3)b, Tìm giá trị lớn P = ( 10)2
x x
C©u 4:
a, Cho a,b,c > 0, CMR: < a
a b +
b b c +
c c a <
b, Cho x,y 0 CMR:
2
x y +
2
y x
x y +
y x C©u 5:
Cho ABC có độ dài cạnh a, kéo dài BC đoạn CM =a a, Tính số đo góc ACM
b, CMR: AM AB
c, Kéo dài CA đoạn AN = a, kéo dài AB đoạn BP = a CMR MNP
đề s
Câu 1:
Phân tích thành nh©n tư: a, a8 + a4 +1
b, a10 + a5 +1 C©u 2:
a, Cho a+b+c = 0, Tính giá trị biểu thức: A = 2 12 2
b c a + 2
1
c a b + 2
1
a b c
b, Cho biÓu thøc: M = 22 15
x
x x
+ Rót gän M
+ Tìm x Z để M đạt giá trị nguyên
C©u 3:
a, Cho abc = vµ a3 > 36,
CMR:
a + b2 + c2 > ab + bc + ca
b, CMR: a2 + b2 +1 ab + a + b Câu 4:
(4)Đề thi HsG toán
b, Cho a+b+c= 1, Tìm giá trị nhỏ nhÊt
P = a3 + b3 + c3 + a2(b+c) + b2(c+a) + c2(a+b) Câu 5:
a, Tìm x,y,x Z biÕt: x2 + 2y2 + z2 - 2xy – 2y + 2z +2 = 0
b, T×m nghiƯm nguyªn cđa PT: 6x + 15y + 10z =
C©u 6:
Cho ABC H trực tâm, đờng thẳng vng góc với AB B, với AC C cắt D
a, CMR: Tứ giác BDCH hình bình hành
b, Nhận xét mối quan hệ góc Avà D tứ giác ABDC. Đề số
Câu 1:
Phân tích thành nhân tử: a, (x2 x +2)2 + (x-2)2
b, 6x5 +15x4 + 20x3 +15x2 + 6x +1 C©u 2:
a, Cho a, b, c thoả mÃn: a+b+c = a2 + b2 + c2= 14.
Tính giá trị A = a4+ b4+ c4
b, Cho a, b, c 0 Tính giá trị D = x2003 + y2003 + z2003
BiÕt x,y,z tho¶ m·n:
2 2
2 2
x y z
a b c
= 2 x a + 2 y b + 2 z c C©u 3:
a, Cho a,b > 0, CMR:
a+
1
b
4
a b
b, Cho a,b,c,d > CMR: a d
d b + d b b c + b c c a + c a a d
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất: E =
2
2
x xy y x xy y
víi x,y >
b, Tìm giá trị lớn nhất: M = ( 1995)2
x
x víi x >
C©u 5:
(5)Cho ABC M điểm miền ABC D, E, F trung điểm AB, AC, BC; A’, B’, C’ điểm đối xứng M qua F, E, D
a, CMR: ABAB hình bình hành b, CMR: CC ®i qua trung ®iĨm cđa AA’
§Ị sè
C©u 1:
Cho a
x y =
13
x z vµ
169 (x z ) =
27 (z y)(2x y z)
Tính giá trị cđa biĨu thøc A =
3
2 12 17 2
a a a
a
C©u 2:
Cho x2 x = 3, Tính giá trị biÓu thøc
M = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 2 Câu 3:
a, Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa M = x(x+1)(x+2)(x+3)
b, Cho x,y > x + y = 0, Tìm giá trị nhỏ N =
x+
1
y C©u 4:
a, Cho a, b, c
CMR: a2 + b2 + c2 1+ a2b + b2c + c2a
b, Cho <a0 <a1 < < a1997
CMR: 1997
2 1997
a a a
a a a a
<
C©u 5:
a,Tìm a để PT 3x = – a có nghiệm Z+
b, Tìm nghiệm nguyên dơng PT:
x
x y z +2
y
y x z +2
z
z x y =
3
C©u 6:
Cho hình vuông ABCD, CD lấy M, nối M với A Kẻ phân giác góc MAB cắt BC P, kẻ phân giác góc MAD cắt CD Q
CMR PQ AM
đề số
(6)Đề thi HsG toán
Cho a, b, c khác thoả mÃn:
2 2
2
b c a
bc
+ 2
2
c a b
ac
+ 2
2
a b c
ab
= 1
Thì hai phân thức có giá trị phân thức có giá trị -1
Câu 2:
Cho x, y, z > vµ xyz = Tìm giá trị lớn A = 3
1
x y + 3
1
y z + 3
1
z x
C©u 3:
Cho M = a5 – 5a3 +4a víi aZ
a, Phân tích M thành nhân tử b, CMR: M120 aZ
C©u 4:
Cho N1, n N
a, CMR: 1+ 2+ 3+ +n = ( 1)
n n
b, CMR: 12 +22 + 32 + +n2 = ( 1)(2 1)
6
n n n
C©u 5:
Tìm nghiệm nguyên PT: x2 = y(y+1)(y+2)(y+3) Câu 6:
Gi¶i BPT:
2 2 2
1
x x
x
>
2 4 5
2
x x
x
-
C©u 7:
Cho 0 a, b, c 2 vµ a+b+c = CMR: a2 + b2 + c2 5
Câu 8:
Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài BC gấp lần chiều rộng CD, từ C kẻ Cx tạo với CD góc 150 cắt AD E
CMR: BCE cân
s
C©u 1:
Cho A =
3
3
2 2
n n
n n n
a, Rót gän A
b, Nếu nZ A phân số tối giản
Câu 2:
(7)Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa P = (1 - 12
x )(1 -
1
y ) C©u 3:
a, Cho a, b ,c độ dài cạnh tam giác CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab+bc+ca)
b, Cho 0 a, b , c
CMR: a + b2 +c3 – ab – bc – ca
Câu 4:
Tìm x, y, z biÕt:
x+y–z = y+z-x = z+x-y = xyz
Câu 5:
Cho nZ n
CMR: 13 + 23 +33 + +n3 =
2 ( 1)2
n n
Câu 6:
Giải bất phơng trình: (x-1)(3x+2) > 3x(x+2) +
Câu 7:
Chia tập N thành c¸c nhãm: 1; (2,3); (4,5,6) , nhãm n gåm n số hạng Tính tổng số nhóm 94
Câu 8:
Cho hình vuông ABCD M, N trung điểm AB, BC, K giao điểm CM vµ DN
CMR: AK = BC
đề số
C©u 1:
Cho M = a
b c +
b a c +
c
a b ; N =
2
a b c +
2
b a c +
2
c a b
a, CMR: NÕu M = th× N =
b, NÕu N = th× cã nhÊt thiÕt M = không?
Câu 2:
Cho a, b, c > vµ a+b+c = CMR:
2
a b c +
2
b a c +
2
c
a b
C©u 3:
Cho x, y, z vµ x + 5y = 1999; 2x + 3z = 9998 Tìm giá trị lớn M = x + y + z
C©u 4:
(8)Đề thi HsG toán
b, Tìm số ab cho ab
a b số nguyên tố
Câu 5:
Cho a, b, c, d sô nguyên dơng CMR: A = a
a b c +
b
a b d +
c b c d +
d
a c d kh«ng phải số nguyên
Câu 6:
Cho ABC cân (AB=AC) AB lấy điểm M, phần kéo dài AC phía C lấy điểm N cho: BM = CN, vẽ hình bình hành BMNP
CMR: BC PC
C©u 7:
Cho x, y tho¶ m·n: 2x2 +
2
x +
2
y = (x
0) Tìm x, y để xy đạt giá trị nhỏ
đề số 10
C©u 1:
Cho a, b, c > vµ P =
3
2
a
a ab b +
3
2
b
b bc c +
3
2
c c ac a
Q =
3
2
b
a ab b +
3
2
c
b bc c +
3
2
a c ac a
a, CMR: P = Q b, CMR: P
3
a b c
C©u 2:
Cho a, b, c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1
CMR: abc + 2(1+a+b+c+ab+bc+ca)
C©u 3:
CMR x, yZ th×:
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phơng. Câu 4:
a, Tìm sè tù nhiªn m, n cho: m2 + n2 = m + n + 8
b, Tìm số nguyên nghiệm đúng: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 5:
T×m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = 42
x x
(9)C©u 6:
Cho x =
2 2
2
b c a
ab
; y = 2
2 ( ) ( )
a b c
b c a
TÝnh giá trị: M =
x y xy
Câu 7:
Giải BPT: x a x (x ẩn số)
Câu 8:
Cho ABC, trªn BC lÊy M, N cho BM = MN = NC Gäi D, E lµ trung điểm AC, AB, P giao AM vµ BD Gäi Q lµ giao cđa AN vµ CE
TÝnh PQ theo BC
§Ị sè 11
C©u 1:
Cho x = a b
a b
; y =
b c b c
; z =
c a c a
CMR: (1+x)(1+y)(1+z) = (1-x)(1-y)(1-z)
C©u 2:
Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn A = 2
1 ( 1)
x x
C©u 3:
a, Cho a, b, c > vµ a+b+c = CMR: b+c 16abc
b, Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 8c(1-d) > 3b(1-c) > 32d(1-a) >
Câu 4:
Giải BPT: mx(x+1) > mx(x+m) + m2 – 1 C©u 5:
a, Tìm nghiệm nguyên tố PT: x2 + y2 + z2 = xyz
b, Tìm số nguyên tố p để 4p + số phơng
C©u 6:
Tìm số có chữ số mà số bội số tích hai chữ số nã
C©u 7:
Cho hình thang ABCD (BC AD) Gọi O giao điểm hai đờng chéo AC, BD; Gọi E, F trung điểm AD, BC
(10)Đề thi HsG toán
s 12
Câu 1:
Tìm ®a thøc f(x) biÕt: f(x) chia cho x+3 d f(x) chia cho x-4 d
f(x) chia cho (x+3)(x-4) thơng 3x d
Câu 2:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x4 + 2000x2 + 1999x + 2000
b, Cho:
2 2
x yz y zx z xy
a b c
CMR:
2 2
a bc b ca c ab
x y z
C©u 4:
CMR: 9+
1
25+ +
(2n1) <
4 Với nN n1
Câu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhÊt: M =
2
2
x xy y x y
(x0; y0)
Câu 6:
a, Tìm nghiệm nguyên cña PT: 2x2 + 4x = 19 – 3y2
b, CMR phơng trình sau nghiệm nguyên: x2 + y2 + z2 = 1999 C©u 7:
Cho hình vng ABCD Trên BD lấy M, từ M kẻ đờng vng góc AB, AD E, F
a, CMR: CF = DE; CF DE b, CMR: CM = EF; CM EF c, CMR: CM, BF, DE đồng qui
đề số 13
(11)a, Rót gän: A = (1- 42
1 )(1-
3 ) (1- 199 ) b, Cho a, b > vµ 9b(b-a) = 4a2
TÝnh M = a b
a b
C©u 2:
a, Cho a, b, c > o CMR:
2
a b c +
2
b c a +
2
c
a b
a b c
b, Cho ab CMR: 21
1
a +
1
b
2
ab
Câu 3:
Tìm x, y, z biết: x+2y+3z = 56 vµ
1
x =
2
y =
3
z
Câu 4:
a, Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ M = 22
x x
b, T×m giá trị nhỏ A = 2 6x x Câu 5:
Giải BPT: mx2 > 4x + m2 – 4m C©u 6:
a, Tìm số nguyên dơng x thoả mÃn: x(x+1) = k(k+2) k số nguyên dơng cho trớc
b, Tìm nghiệm nguyên PT: 2x-5y-6z =4
Câu 7:
Cho hình vng ABCD, Về phía ngồi hình vng cạnh BC vẽ BCF đều, phía hình vng cạnh AB vẽ ABEđều
CMR: D, E, F thẳng hàng
Đề số 14
Câu 1:
Cho A = (
2
2
1
) : ( ) :
x x y y x
y xy x xy x xy x y y
a, Tìm TXĐ cđa A
b, Tìm x, y để A > y <
C©u 2:
(12)Đề thi HsG toán
b, Giải BPT: mx < 2(x-m) (m+1)2 Câu 3:
Cho a, b, c >
CMR:
2
a b c
b c a c a b
C©u 4:
CM: A = n6 – n4 +2n3 +2n2 không số phơng với nN n >1 C©u 5:
Cho f(x) = x2 + nx + b tho¶ m·n ( ) 1; 1
2
f x x
Xác định f(x)
C©u 6:
Cho x, y > thoả mÃn xy=
Tìm giá trị lớn A = 2
x y
x y x y C©u 7:
Cho hình thang ABCD (AD//BC) M, N trung điểm AD, BC Từ O MN kẻ đởng thẳng song song với AD cắt AB, CD E F
CMR: OE = OF
đề số 15
Câu 1:
Cho xyz = x+y+z = 1
x y z =
Tính giá trị M =
6 6
3 3
x y z
x y z
C©u 2:
Cho a ≠ ; 1 vµ
1
1
1
; ;
2 1
x x
a
x x x
a x x
T×m a nÕu x1997 = C©u 3:
Tìm m để phơng trình có nghiệm âm: ( 2) 3( 1) 1
m x m
x
C©u 4:
(13)CMR: 1 1 2n1n2 2n C©u 5:
Cho M = 3x2 - 2x + 3y2 – 2y + 6x +1
Tìm giá trị M biết: xy = x y đạt giá trị nhỏ
Câu 6:
Tìm x, y N biết: 2x + = y2 C©u 7:
Cho ABC (AB < AC) AD, AM đờng phân giác, đờng trung tuyn ca ABC
Đờng thẳng qua D vuông góc với AD cắt AC E So sánh SADM SCEM
Đề số 16
C©u 1:
Cho (a2 + b2 + c2)( x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2
CMR: x y z
a b c víi abc ≠ C©u 2:
Cho abc ≠ vµ
2 4
x y z
a b c a b c a b c
CMR:
2 4
a b c
x y z x y z x y z
C©u 3:
Cho a, b, c số dơng nhá h¬n
CMR: Trong số: (1-a)b; (1-b)c; (1-c)a không đồng thời lớn
C©u 4:
Cho x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4xy + = vµ xy > 0
Tìm giá trị lớn A = 1
x y C©u 5:
a, CMR PT: 3x5 – x3 + 6x2 – 18x = 2001 kh«ng cã nghiƯm nguyên.
b, Tìm số nguyên dơng cho tỉng cđa chóng b»ng tÝch cđa chóng
(14)Đề thi HsG toán
Cho nN n >1
CMR: + 12 12 12 2 3 n C©u 7:
Cho ABC phía ngồi ABCvẽ tam giác vng cân ABE CAF đỉnh A CMR: Trung tuyến AI ABC vng góc với EF AI =
2EF
C©u 8:
CMR: 21 14
n n
phân số tèi gi¶n (víi nN)
đề số 17
C©u 1:
Ph©n tÝch thõa sè:
a, (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) +15 b, x3 + 6x2 + 11x + 6
Câu 2:
Cho x > x2 +
2
x =
Tính giá trị M = x5 +
5
x C©u 3:
Cho x, y tho¶ m·n 5x2 + 8xy + 5y2 = 72
Tím giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: A = x2 + y2 C©u 4:
a, Cho a, b, c > vµ a+b+c CMR: 2 2 2
2 2
a bc b ac c ab
b, Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = 2; ab+bc+ca = CMR: a, b, c
3
C©u 5:
TÝnh tỉng S = 1+2x+3x2+4x3+ + nxn-1 (x≠1) C©u 6:
Tìm nghiệm nguyên PT:
(15)Cho ABC biết đờng cao AH trung tuyến AM chia góc BAC thành phần
Xác định góc ABC
§Ị sè 18
C©u 1:
Rót gän: M =
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
a bc b ac c ab
a b a c b a b c a c a b
C©u 2:
Cho: x =
2 2 ( )( )
;
2 ( )( )
b c a a b c a c b
y
bc a b c b c a
Tính giá trị P = (x+y+xy+1)3 Câu 3:
Cho < a, b, c, d < CMR có bất đẳng thức sai bất đẳng thức sau:
2a(1-b) > 8c(1-d) > 3b(1-c) > 32d(1-a) >
C©u 4:
Cho P = 5x+y+1; Q = 3x-y+4
CMR: NÕu x = m; y = n Víi m, n N P.Q số chẵn
Câu 5:
a, CMR PT: 2x2 – 4y2 = 10 nghiệm nguyên.
b, Tìm số tự nhiên nhá nhÊt n > cho: A = 12 + 22+ +n2 số phơng. Câu 6:
Cho ABC vuông cân A, qua A vẽ đờng thẳng d cho B, C thuộc nửa mặt phẳng có bờ d, vẽ BH, CK vng góc với d (H, K chân đờng vng góc)
a, CMR: AH = CK
b, Gọi M trung điểm BC Xác định dạng MHK
đề số 19
C©u 1:
(16)Đề thi HsG toán
và a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2
CMR: S =
2 2
2 2
2 2
a b c
a bc b ac c ab
M = 2 2 2
2 2
bc ca ab
a bc b ac c ab C©u 2:
a, Cho a, b, c >
CMR: a b2 2 b c2 2 a c2 2 1
a b b c a c a b c
b, Cho a, b, c CMR: a+b+c+
abc
1 1
a b c + abc C©u 3:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x 2x5 3x b, Tìm giá trị lớn nhÊt: M =
2
2
x xy y x xy y
(x,y > 0)
Câu 4:
a,Tìm nghiƯm Z+ cđa: 1 1 x y z
b, T×m nghiƯm Z cđa: x4 + x2 + = y2 – y C©u 5:
Cho ABC, đặt đoạn kéo dài AB, AC đoạn BD = CE Gọi M trung điểm BC, N trung điểm DE
CMR: MN // đờng phân giác gúc A ca ABC
Câu 6:
Tìm số nguyên dơng n số nguyên tố P cho P = ( 1)
2
n n
đề số 20
C©u 1:
a, Cho a+b+c = 1; a2 + b2 + c2 = vµ x y z
a b c; abc ≠
CMR: xy + yz + xz =
b, Cho x, y, z > vµ 2x2 + 3y2 – 2z2 =
CMR: z lµ sè lín nhÊt
(17)a, Cho a, b, c ≠ CMR:
2 2
2 2
a b c a b c
b c a b c a
b, Cho nN, n >
CMR: 2
1 1
5 13 n n( 1) 2
C©u 4:
Tìm giá trị nhỏ với a, b, c >
a, P = a b c a b c a b c
b c c a a b c b a
b, Q = a b c d
b c d a c d a b d a b c
C©u 5:
Tìm số phơng cho chia cho 39 đợc thơng số nguyên tố d
C©u 6:
Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng AB CD cắt E Gọi F, G trung điểm AC, BD
a, CMR: SEFG = 4SABCD
b, Gọi M giao điểm cđa AD, BC Chøng minh FG ®i qua trung ®iĨm ME
Đề số 21
Câu 1:
Cho a, b, c tho¶ m·n a+b+c = abc
CMR: a(b2-1)( c2-1) + b(a2-1)( c2-1) + c(a2-1)( b2-1) = 4abc Câu 2:
Cho n số nguyªn tè
CMR: A = n4 – 14n3 +71n2 – 154n + 120 chia hÕt cho 24. C©u 3:
Tìm nghiệm nguyên PT: 4x2y = (x2+1)(x2+y2) Câu 4:
Tìm a, b để M = x4 - 6x3 +ax2 +bx + bình phơng mt a thc khỏc. Cõu 5:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ PT: P = x2+y2 vµ biÕt x2+y2+xy = 4
(18)Đề thi HsG toán
a, Cho a, b, c > CMR: có BĐT sai a+b c+d (a+b)cd)( c+d)ab (a+b)( c+d) ab+cd
b, Tìm số a, b, c thoả mãn đồng thời BĐT: a b c ; b a c ; c a b
C©u 7:
Cho hình thang ABCD (AD//BC), AD > BC Các đờng chéo AC BD vng góc với I Trên AD lấy điểm M cho AM có độ dài độ dài trung bình hỡnh thang ABCD
CMR: MAC cân M
đề số 22
C©u 1:
Cho x3 + x = 1.
TÝnh A =
4
5
2
2
x x x x
x x x
Câu 2:
Giải BPT: x21 x2
Câu 3:
Cho số dơng x, y, z tho¶ m·n: x = - 2 y
y = - 2 z z = - 2x
T×m sè lín nhÊt ba sè x, y, z
C©u 4:
Cho x, y thoả mÃn: x+y=1
Tìm giá trị nhỏ cđa M = x3+y3+xy C©u 5:
CMR: 12 12 12 2 n 3
C©u 6:
(19)C©u 7:
Cho hình vuông ABCD, lấy điểm M nằm hình vuông cho:
MAB = MBA = 150
CMR: MCA u
Đề số 23
Câu 1:
a, Cho a2 + b2 + c2 = ab bc ca CMR: a = b = c
b, Cho (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 CMR: a b
x y víi x, y ≠
c, Rót gän:
A = (x2-x+1)(x4-x2+1)(x8-x4+1)(x16-x8+1)(x32-x16+1) C©u 2:
a, Tìm số nguyên dơng n để n5+1 chia hết cho n3+1
b, Tìm số a, b, c cho: ax3+bx2+c chia hÕt cho x+2 vµ chia cho x2-1 thi
d x+5
c, NÕu n lµ tỉng số phơng n2 tổng số phơng. Câu 3:
a, Cho A = 11 (n ch÷ sè 1), b = 100 05 (n-1 chữ số 0) CMR: ab + số phơng
b, Tìm nghiệm tự nhiên PT: x+y+1 = xyz
C©u 4:
a, Cho x, y N Tìm giá trị lớn A =
8 ( )
x y
x y x y
b, Cho x, y, z > x+y+z = Tìm giá trị nhá nhÊt B = x y
xyz
C©u 5:
a, MCR: 1 1 1 12 4 99 100 6 b, MCR: 1 1 ( ; 0)
2 2n
n
n N n
(20)Đề thi HsG toán
Cho ABC vuông A, cạnh huyền BC = 2AB, D điểm AC cho góc ABD =
3 ABC, E điểm AB cho gãc ACE =
3 ACB F giao điểm BD CE, K H điểm đối xứng F qua BC, CA
CMR: H, D, K thẳng hàng
s 24
C©u 1:
Cho M =
3 2
25
( ) : ( )
10 25
x y
x x y y
Tính giá trị M biết: x2+9y2-4xy = 2xy- x C©u 2:
a, Cho a+b = ab TÝnh (a3+b3-a3b3)3 + 27a6b6.
b, Cho a, b tho¶ m·n: 2a b
a b a b
Tìm giá trị N =
a b a b
C©u 3:
a, Tìm số tự nhiên n để n4+4 số nguyên tố.
b, Tìm số nguyên tố p cho 2p+1 lập phơng số tự nhiên
Câu 4:
a, Cho a 1;a c 1999;b1 1999 CMR: ab c 3998
b, Chứng tỏ có bất đẳng thức sau sai: a(a+b) < 0; 2a > b2+1
c, Chứng tỏ có BĐT sau
a3b5(c-a)7(c-b)9 0; bc5(c-b)9(a-c)13 0; c9a7(b-c)5(b-a)3 0 Câu 5:
Tìm giá trị nhỏ nhÊt: A = (x+5)4 + (x+1)4 C©u 6:
Cho ABC có góc nhọn, đờng cao AH, BK, CL cắt I Gọi D,E,F trung điểm BC, CA, AB, Gọi P, Q, R trung điểm IA, IB, IC
a, CM: PQRE, PEDQ lµ hình chữ nhật
b, CM: PD, QE, RF ct trung điểm đoạn thẳng c, CM: H,K,L,D,E,F,P,Q,R cách điểm
(21)C©u 1:
Cho A = 4x2+8x+3; B = 6x2+3x
a, Biến đổi S thành tích biết S = A + B
b, Tìm giá trị x để A B lấy giá trị số đối
C©u 2:
Cho số x, y, z thoả mãn đồng thời x2+2y = -1
y2+2z = -1
z2+2x = -1
TÝnh gi¸ trị A = x2001 + y2002 + z2003 Câu 3:
CMR PT: 2x2-4y2 = 10 kh«ng cã nghiƯm nguyên. Câu 4:
Cho ng thng ox v oy vng góc với cắt O, Trên ox lấy hai phía O hai đoạn thẳng OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M điểm nằm đờng trung trực đoạn AB MA, MB cắt với oy C D Gọi E trung điểm AC, F trung điểm BD
a, CMR: MF + ME =
2 (AC+BD)
b, Đờng thẳng CF cắt ox P Chứng minh P điểm cố định M di chuyển đờng trung trực AB
Câu 5:
Tìm giá trị lớn phân số mà tử số số có chữ số, Mẫu số tổng chữ số cđa tư sè
đề số 26
C©u 1:
Cho x, y > cho: 9y(y-x) = 4x2 TÝnh: x y x y
C©u 2:
Cho a, b, c thoả mÃn: abc =
2 2
2 2
a b c a c b
b c a c b a
CMR: Có phân số bình phơng số lại
(22)Đề thi HsG toán
Tìm nghiệm nguyên thoả mÃn BPT: 16+5x > 3+11 vµ 2
x x
C©u 4:
Cho A =
2 2
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
x a x b x c
a b a c b a b c c a c b
a, A thay đổi nh ta hoán vị số a, b, c b, Tìm A x=a
c, T×m A nÕu b = ;
3
a a
c
d, NÕu a-b = b-c > Tìm x phân thức thứ phân thức thứ Tìm giá trị phân thức thứ phân thức thứ
C©u 5:
Cho a b c > CMR:
2 2 2
3
a b c b a c
a b c
c a b
C©u 6:
Cho hình chữ nhật ABCD, Lấy P thuộc BD, tia CP lÊy M cho PM = CP, KỴ ME AD; MF AB
a, CMR: AM // BD; EF // AC b, CMR: E,F,P thẳng hàng
Câu 7:
Cho hình vuông ABCD có cạnh 1, AB, AD lấy M,N cho
MCN = 450
TÝnh chu vi AMN
đề số 27
C©u 1:
Cho M = x3+x2-9x-9; N = (x-2)2 – (x-4)2
a, Rót gän A = M
N
b, CMR: Nếu x chẵn A tối giản
Câu 2:
Tìm số có chữ số abcd thỏa m·n:
665(abcd +ab +ad +cd +1) = 738(bcd +b+ d)
C©u 3:
CMR: (x-1)(x-3)(x-4)(x-6) + 10
C©u 4:
Cho số phơng M gồm chữ số Nếu ta thêm vào số M đơn vị đợc số N số phơng
(23)C©u 5:
So s¸nh A, B biÕt: A = 20+21+ +2100+9010
B = 2101+1020 C©u 6:
CHo ABC, đờng cao AF, BK, CL cắt H Từ A kẻ Ax AB, từ C kẻ Cy BC Gọi P giao Ax Cy
Lấy O, D, E trung điểm BP, BC, CA a, CMR: ODEđồng dạng với HAB
b, Gäi G lµ trọng tâm ABC CMR: O, G, H thẳng hàng
Đề số 28
Câu 1:
Rót gän: A =
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
x y z
x z z x x y
, víi x+y+z =
C©u 2:
a, CMR: M =
7
1
n n n n
không tối giản n Z
b, CMR: Nếu chữ số a, b, c thoả mÃn: ab:bc = a:c Thì: abbb:bbbc = a:c
C©u 3:
a, Rót gän: P =
4 4 4
4 4
(1 4)(5 4)(9 4)(13 4) (21 4) (3 4)(7 4) (23 4)
b, Cho Q =
1,00 (mÉu cã 99 ch÷ sè 0) Tìm giá trị Q với 200 chữ số thËp ph©n
C©u 4:
a, Cho a, b, c CMR: a4+b4+c4 abc(a+b+c)
b, CMR: Nếu a, b, c số đo cạnh tam giác thì: a2+b2+c2 < 2(ab+ac+bc).
Câu 5:
Cho x, y tho¶ m·n: x2+y2 = 4+xy.
(24)Đề thi HsG toán Câu 6:
Cho hình vuông ABCD có cạnh Trên AB, AD lÊy P, Q cho APQ c©n cã chu vi lµ
a, CMR: PQ + QD = PQ b, CMR: PCQ = 450.
§Ị sè 29
C©u 1:
Cho A =
2 2
2 2
4 4
; ;
2 2
bc a ca b ab c
B C
bc a ca b ab c
CMR: NÕu a+b+c = th×: a, ABC =
b, A + B + C =
C©u 2:
Cho nN, n >
CMR: 12 22 12 1,65
2 n
C©u 3:
Cho a, b, c, d số nguyên dơng
a, CMR: A = a b c d
a b c a b d b c d a c d không số nguyên
b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phơng số tổng lập phơng số lại
Câu 4:
Cho x, y, z tho¶ m·n xyz = 1; 1 x y z x yz
CMR: Cã sè x, y, z lớn
Câu 5:
Cho ABC, đờng thẳng d cắt AB, AC, trung tuyến AM E, F, N a, CMR: AB AC 2AM
AE AF MN
b, Giả sử d // BC Trên tia đối tia FB lấy K, KN cắt AB P, KM cắt AC Q CMR: PQ // BC
C©u 6:
(25)Tìm diện tích hình thang?
Đề số 30
C©u 1:
CMR: n N n; 1
2
1 1
5 13 25 n n( 1) 20
C©u 2:
Cho: (x-y)2+(y-z)2+(z-x)2 = (x+y-2z)2+(y+z-2z)2+(x+z-2y)2
CMR: x = y = z
C©u 3:
a, Phân tích thành nhân tử: A = x3(x2-7)2-36x.
b, CMR: A210 víi mäi x N
C©u 4:
Cho: 0a b c, , 1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cđa: P = a+b+c-ab-bc-ca
C©u 5:
Cho ABC vuông B, tia đối tia BA lấy D cho: AD = 3AB Đờng thẳng vng góc với CD D cắt đờng thẳng vng góc với AC E
CMR: BDE c©n
đề số 31
C©u 1:
Cho a+b+c =
CMR: (a b b c c a)( c a b )
c a b a b b c c a
(26)Đề thi HsG toán
Tìm x, y, z biÕt: x2 y2 z2
xy+3y+2z -4
C©u 3:
Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: a b b c c a
a b b c c a
C©u 4:
a, Cho a, b, c > vµ a+b+c = 27
Tìm a, b, c cho: ab+bc+ca đạt giá tr ln nht
b, Tìm số tự nhiên liên tiếp cho lập phơng số tổng lập ph-ơng số lại
Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên dơng PT: x2 + (x+y)2 = (x+9)2
C©u 6:
Cho lục giác lồi ABCDEF, đờng thẳng AB, EF cắt P, EF CD cắt Q, CD AB cắt R Các đờng thẳng BC DE; DE FA; FA BC cắt S,T,U
CMR: NÕu AB CD EF
PR QR QP th×
BC DE FA US TT TU
đề số 32
C©u 1:
a, CMR: 62k-1+1 chia hÕt cho víi KN n; 0
b, CMR: Số a = 11 + 44 + bình phơng số tự nhiên (Trong có 2k chữ số k ch s 4)
Câu 2:
a, Tìm số d cña phÐp chia: x2002+x+1 chia cho x2-1
b, Tìm số nguyên dơng x, y cho: 3(x3-y3) = 2001.
C©u 3:
a, Cho a, b, c > o
CMR: 1
2( )
a b b c c a a b c
(27)y = x3-6x2+21x+18
Víi 1 x
C©u 4:
Cho ABC (AB = AC) BiÕt BAC = 200, vµ AB = AC = b; BC = a CMR: a3 + b3 = 3ab2
§Ị sè 33
Câu 1:
Cho a, b, c thoả mÃn: a+b+c = ab+bc+ca = Tìm giá trị của: M = (a-1)1999+ b2000 + (c+1)2001 C©u 2:
Cho x, y, z số nguyên khác CMR: NÕu : x2 – yz = a
y2 – zx = b
z2 – xy = c
Thì ax+by+cz chia hết cho a+b+c
Câu 3:
a, Cho nN, CMR: A = 10n + 18n – chia hÕt cho 27.
b, CMR: n5m – nm5 chia hÕt cho 30 víi mäi m,n Z. Câu 4:
a, Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn M = 42
x x
b, Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa: N = 2 8x 6xy
x y
C©u 5:
(28)Đề thi HsG toán
A = a b c
b c a a c b a b c đạt giá trị nhỏ
C©u 6:
Cho hình vng ABCD Tứ giác MNPQ có đỉnh thuộc cạnh hình vng (MAB; NBC; PCD; QDA)
a, CMR: ( )
4
ABCD AC
S MN MP PQ QM
b, Xác định M, N, P, Q để chu vi MNPQ đạt giá trị nhỏ c, Xác định M, N, P, Q để SMNPQ đạt giá trị nhỏ
đề số 34
C©u 1:
Phân tích số 1328 thành tổng số nguyªn x, y cho: x chia hÕt cho 23, y chia hÕt cho 29 TÝnh x, y x-y = 52
C©u 2:
Cho f(x) =
5 30 15
x x x
a, Phân tích f(x) thành tích
b, Chứng tỏ f(x) nhận giá trị nguyên khác 17 víi mäi x Z
C©u 3:
Cã bao nhiªu sè abc víi 1 a 6;1 b 6;1 c thoả mÃn abc số chẵn
Câu 4:
Cho ABC, trung tuyÕn AM Gäi E, F điểm lần lợt thuộc AB, AC cho ME = MF
CMR: ABC tam giác cân đỉnh A trờng hợp: a, ME, MF phân giác AMB AMC;
(29)đề số 35
C©u 1:
a, Cho số a, b, c số khác
CMR: 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b a c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
b, T×m x, y, z biÕt:
x+y-z = y+z-x = z+x-y = xyz
C©u 2:
Gi¶i PT:
1
58 57 56 55
x x x x
Câu 3:
Tìm giá trị lớn nhÊt
A = 3 3 3
1 1
1 1
x y y z z x (x, y, z > 0; xyz = 1)
C©u 4:
Tìm nghiệm nguyên PT: x(x2+x+1) = 4y(y+1)
Câu 5:
Cho hình vng ABCD cạnh a Lấy M AC, kẻ ME
AB, MF
BC Tìm vị trí M để SDEF nhỏC©u 6:
Cho ABC cã A = 500;
B = 200 Trên phân giác BE ABC lấy F cho
FAB = 200 Gäi I trung điểm AF, nối EI cắt AB K CK cắt EB M CMR: AI2 + EI2 = EA + (MF +
2
EK
)
Đề số 36
Câu 1:
a, Cho a+b+c = vµ a2 + b2 + c2 = 14 Tìm giá trị B = a4+b4+c4.
b, Cho x > vµ x2+
2
(30)Đề thi HsG toán
CMR: x5 +
5
x số nguyên Câu 2:
Cho a, b, c > CMR:
3 3
a b c
ab bc ca b c a C©u 3:
Cho a, b, c > a+b+c =
Tìm giá trị nhá nhÊt: A = (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2
a b c
C©u 4:
Xác định a, b cho f(x) = ax4+bx3+1 chia hết cho g(x) = (x-1)2. Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên PT: 1 1
x yz C©u 6:
CHo ABC, trung tuyến AM Qua D thuộc BC vẽ đờng song song với AM cắt AB, AC E, F
a, CMR: Khi D di động BC DE + DF có giá trị khơng đổi b, Qua A vẽ đờng thẳng song song với BC cắt EF K
CMR: K lµ trung tun cđa EF
Đề số 37
Câu 1:
Cho S = (n+1)(n+2) (n+n)
CMR: Víi mäi n N S chia hết cho 2n. Câu 2:
Cho f(x) = x2+nx+b tho¶ m·n: ( )
2
f x x 1 Xác định f(x)
C©u 3:
(31)CMR: ( ) 3
3 ( )
a c d d b d c c
C©u 4:
Tìm số A có chữ số cho mệnh đề sau có mệnh đề đúng, mệnh đề sai:
a, A chia hÕt cho c, A + lµ sè chÝnh ph¬ng b,A chia hÕt cho 23 d, A – 10 số phơng
Câu 5:
Cho tø gi¸c låi ABCD CMR: AD.BC + DC.AB AC.BD
C©u 6:
Cho ABC, O điểm nằm tam giác ABC, đờng thẳng AO, BO, CO cắt cạnh ABC A1, B1, C1
Tìm vị trí O để: P =
1 1
OA OB OC
OA OB OC đạt giá trị nhỏ
§Ị sè 38
Câu 1:
a, Giải PT: a b x a c x b c x 4x
c b a a b c
b, Tìm số a, b, c, d, e biết: 2a2+b2+c2+d2+e2 = a(b+c+d+e) Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên PT: 1+x+x2+x3 = y3
C©u 3:
a, Víi điều kiện x A tối giản, không tèi gi¶n A =
3
2
9 ( 2) ( 4)
x x x
x x
b, CMR: NÕu a2-bc = x; b2-ac = y; c2-ab = z;
Th× ax + by + cz chia hÕt cho x+y+z
C©u 4:
Cho góc vng xEy quay quanh đỉnh E cảu hình vuông EFGH Ex cắt FG, GH M, N; Ey cắt FG, GH P, Q
(32)Đề thi HsG toán
b, Gọi R giao PN, QM Gọi I, K trung điểm NP QM Tứ giác EKRI hình gì?
c, CMR: F, H, K, I thẳng hàng
Câu 5:
Cho ABC có diện tích S Trên AB lÊy BB1 = AB Trªn BC lÊy CC1 = BC,
trên AC lấy AA1 = AC
Tìm tû sè SA B C1 1 vµ SABC theo S
đề số 39
C©u 1:
a, Tìm số a, b, c, d biết: a2+b2+c2+d2-ab-bc-cd- d+2
5 = b, CMR: Víi mäi n N; n > th× :
A = n4 + 2n3 + 2n2 + 2n + không số phơng Câu 2:
Tìm nghiệm nguyên PT:
x7 – x5 +x4 – x3 – x2 + x = 1992. C©u 3:
Cho x, y, z, t > Tìm giá trị nhỏ của:
A = x y z t y z t x z t x y t x y z
y z t x z t x y t x y z x y z t
C©u 4:
a, Cho a, b, c đôi khác CMR: Trong BĐT sau có BĐT sai
(a+b+c)2 9ab; (a+b+c)2 9bc; (a+b+c)2 9ac.
b, Cho n N; n >
CMR: (1 1 ) 1 1( )
1 2
n n n n C©u 5:
Cho ABC, từ D AB kẻ Dx//BC cắt AC E, từ C kẻ Cy//AB cắt Dx F AC cắt BF I
(33)c, Với D điểm AB CMR: IC2 = IE.IA.
Đề số 40 Câu 1:
T×m tỉng Sn = + 77 + + 77
(n chữ số)
Câu 2:
CMR: S = 1+2+3+ +n (n N) cã tËn 0, 1, 3, 5,
C©u 3:
a, CMR: 12 + 22 + + n2 = ( 1)(2 1)
6
n n n
b, CMR: Víi n N th×: ( 1)(2 1)
n n n
số nguyên
Câu 4:
CMR: Nếu n Z th×:
7 15
n n n
số nguyên tố
C©u 5:
Cho a, b, c > CMR:
2 2
2 2 2
a b c a b c
b c c a a b b c c a a b
C©u 6:
Cho ABC vuông cân A, M trung điểm BC Từ M vẽ góc 450, hai cạnh góc cắt AB, AC E, F
a, Xác định vị trí E, F để SMEF đạt giá trị lớn
b, SMEF lín nhÊt lµ bao nhiªu?
đề số 41
(34)Đề thi HsG toán
a, Cho a+b+c =
CMR: (a b b c c a)( c a b )
c a b a b b c c a
b, CMR víi mäi x, y Z
A = (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y) + y4 số phơng. Câu 2:
Tìm số nguyên x, y, z thoả mÃn: x2 + y2 + z2 < xy + 3y -3
C©u 3:
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt: y = 42
x x
Câu 4:
Tìm x, y Z+ : x2 + (x+y)2 = (x+9)2 C©u 5:
CMR: A = 10n + 18n -1 chia hÕt cho 27 (n N) Câu 6:
Cho ABC, BC, CA, AB lÊy M, N, P cho: ;(0 1)
BM CN AP
k k
MC NA PM kẻ đoạn AM, BN, CP
Tìm diện tích tam giác tạo đoạn AM, BN, CP Biết SABC S Câu 7:
Tìm số nguyên x, y : x y
Đề số 42
Câu 1:
Cho sè x, y, z: xyz = 1; vµ 1 x y z
x yz
CMR: Có số lớn
C©u 2:
Tìm giá trị nguyên x, y thoả mãn đồng thời: x+y 25
(35)y x2+4x
Câu 3:
Giải PT: x 32 x 43 1
C©u 4:
Cho sè a, b, c tho¶ m·n: a4+b4+c4 < 2(a2b2+ b2c2+ a2c2)
Chứng minh rằng: Tồn tam giác mà có độ dài cạnh a, b, c
C©u 5:
Cho đờng thẳng ox, oy vuông góc với nhau, cắt O Trên Ox lấy phía điểm O hai đoạn OA = 4cm; OB = 2cm Gọi M điểm nằm đờng trung trực AB MA, MB cắt Oy C, D Gọi E trung điểm CA; F trung điểm DB
a, CMR: MA BFO OEA, , đồng dạng tìm tỷ số đồng dạng b, CMR: OEFM hình bình hành
c, Đờng thẳng EF cắt Ox P CMR: P điểm cố định M di chuyển đờng thẳng trung trực AB
d, Cho MH = 3cm, tø gi¸c OFME hình gì?
Đề số 43
Câu 1:
Cho a, b, c ba số phân biệt thoả mÃn: a b c
b c c a a b
CMR: 2
( ) ( ) ( )
a b c
b c c a a b
C©u 2:
Cho a, b, c vµ a b c x y z x y z
a b c
CMR: xa2 + yb2 + zc2 = 0. Câu 3:
Giải PT:
a, (x-4)(x-5)(x-6)(x-7) = 1680 b,
2
2
2
2
x x
x x
x x
(36)§Ị thi HsG toán
Cho a, b, c thoả mÃn: 1 1a1b1c
CMR: abc
C©u 5:
Cho a, y, z x, y , z Z thoả mÃn: a+by36 2x+3z72 CMR: Nếu b x+y+z nhận giá trị lớn 36
Câu 6:
Cho hình vng OCID có cạnh a AB đờng thẳng qua I cắt tia OC, OD A, B
a, CMR: CA.DB có giá trị khơng đổi (theo a) b,
2
CA OA DB OB
c, Xác định vị trí A, B cho DB = 4CA d, Cho
2
3
AOB a
S TÝnh CA + DB theo a
Đề số 44
Câu 1:
Cho a > b > So s¸nh A, B: A =
2
2
1
;
1
n n
n n
a a a b b b
B
a a a b b b
C©u 2:
a, Cho x+y+z =
CMR: 2(x5+y5+z5) = 5xyz(x2+y2+z2)
b, Cho a, b, c
Tính giá trị M = x2003+y2003+z2003 Biết z, y, z:
2 2 2
2 2 2
x y z x y z
a b c a b c
C©u 3:
a, Cho a, y, z 0
CMR: a(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y) 0
b, Cho a, b, c thoả mãn a+b+c > 0; ab+bc+ca > 0; abc > CMR: Cả s u dng
Câu 4:
Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x100 10x10 +10. Câu 5:
Với giá trị A PT:
2x a 1 x cã nghiÖm nhÊt
(37)Cho ABC đờng thẳng d//BC cắt AB, AC D, E
a, CMR: Với điểm F BC có SDEF không lín h¬n
1 4SABC
b, Xác định vị trí D, E để SDEF lớn
§Ị sè 45
C©u 1:
a, Cho 1 1
a b c abc
CMR: 1n 1n 1n n 1n n
a b c a b c (với n số nguyên dơng lẻ; a, b, c 0)
b, Cho abcd = Tính giá trị:
M = 1 1
1 1
abc ab a bcd bc b acb cd c abd ad d
C©u 2:
Cho a, b >
Tìm giá trị nhá nhÊt: P =
2 2
ab a b
a b ab
C©u 3:
a, Cho a, b Q a, b không đồng thời không CMR:
2 2
2 1 1 1
a b c
a b c
b, Cho a, b, c tháa m·n: a2 + b2 + c2 = 1
CMR: 1
2 ab bc ca
Câu 4:
Tìm nghiƯm nguyªn cđa PT: a, xy – = x + y
b, 3xy + x – y =
Câu 5:
Giải PT: x4+3x3+4x2+3x+1 = 0 C©u 6:
Cho ABC có đờng cao AA1, BB1, CC1, hình chiếu A1 lên AB, AC BB1,
CC1 lµ H, I, K, P
(38)Đề thi HsG toán
Đề số 47
C©u 1:
Cho a, b, c 0; a3+b3+c3 = 3abc
Tính giá trị biểu thức: P = (1 a)(1 b)(1 c)
b c a
Câu 2:
a, Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa M = 2
3 10
x x
x x
b, Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2+26y2-10xy+14x-76y +59. Câu 3:
Cho a+b+c+d =
CMR: (a+c)(b+d) + 2ac +2bd
b, Cho số dơng a, b, c nhỏ CMR: có mệnh đề sau sai: a(1-b) >
4; b(1-c) >
4; c(1-a) >
Câu 4:
a, Tìm x, y Z: x2 + (x+1) = y4 + (y+1)4 b, Cho N = 1.2.3 + 2.3.4 + + n(n+1)(n+2) CMR: 4N+1 lµ số phơng với nZ+
c, Tìm nghiệm nguyên dơng PT: x2 (x+y)2 = -(x+y)2 Câu 5:
Xác định a, b, c để: f(x) = x4+ax2+bx+c chia hết cho g(x) = (x-3)3 Câu 6:
Cho O trực tâm ABC (có góc nhän) Trªn OB, OC lÊy B1, C1 cho:
AB C =
1 90
AC B CMR: AB1 = AC1
Đề số 49
Câu 1:
a, CMR: NÕu (y-z)2+(z-x)2+(x-y)2 = (y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(y+x-2z)2
(39)b, Cho x2-y = a; y2-z = b; z2-x = c.
TÝnh P = x3(z-y2)+ y3(x-z2)+ z3(y-x2)+xyz(xyz-1) C©u 2:
Tìm x để: P =
4
2
4 16 56 80 356
x x x x
x x
đạt giá trị nhỏ
C©u 3:
CMR: 1 21 12
1
n n n n víi nN; n > C©u 4:
Tìm nghiệm nguyên dơng PT: 2(x+y+z) + y = 3xyz
C©u 5:
Cho ABC, trung tuyến AD Gọi G trọng tâm ABC, cát tuyến quay quanh G cắt AB, AC M, N
CMR: AB AC
AM CM C©u 6:
Cho ABC, hình chữ nhật MNPQ thay đổi cho: MAB; NAC; PBC, QBC
T×m tËp hợp tâm O hình chữ nhật MNPQ
Đề sè 50
C©u 1:
a, Cho x+y=a; x2+y2=b; x3+y3= c.
CMR: a3-3ab+2c = 0.
b, Xác định a, b, c, d để đẳng thức sau với x
3
4
2
1 1
x x a b cx d
x x x x
Câu 2:
Cho a, b, c Giải PT: 1
2( )
x a x b x c
bc ac ab a b c
(40)Đề thi HsG toán
a, Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác
CMR: a b c
b c c a a b
b, Cho a, b, c lµ số tự nhiên không nhỏ CMR: 2 2 2
1a 1b 1c 1abc Câu 4:
Cho x, y, z thoả mÃn: xy+yz+zx = Tìm giá trị nhỏ nhất: M = x4+y4+z4 Câu 5:
Tìm nghiệm nguyên PT: 5x – 3y = 2xy – 11
C©u 6:
Cho hình thang ABCD (AB//CD) Giao điểm AC, BD O, đờng thẳng qua O song song AB cắt AD, BC M, N
a, CMR: 1
AB CD MN
b, Cho SAOB a S2; COD b2; TÝnh SABCD
c, Tìm điểm K BD cho đờng thẳng qua K song song AB bị hai cạnh bên đờng chéo chia thành đoạn
§Ị sè 51
Bài 1(1đ): Cho x y hai số khác thỏa mãn điều kiện: 9x( x – y) – 10(y – x)2 = Chứng minh x = 10y
Bài (1.5đ):Rút gọn phân thức A= 2
3
) ( ) ( ) (
3 a c c b b a
abc c
b a
Bài (1đ):Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=
1 2
x x
Bài (1.5đ): Cho biểu thức: A= x1x ; B=
y
y1 ; C=
xy
xy tìm liên hệ A;B;C
Bài (5đ):Cho điểm I di động đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hình vng AICD, BIEF Gọi O O’ tâm hình vng Gọi K giao điểm AC BE
a Cho biết dạng tứ giác OKO’I
b Trung điểm M OO’ di động đường
(41)Bài 6(2đ):
Cho góc nhọn xOy điểm A B thuộc miền góc Tìm cạnh Ox điểm M cạnh Oy điểm N cho tổng AM+MN+NB có độ dài nhỏ
§Ị sè 52
Bài 1: Chứng minh chia hết cho với số nguyên n
Bài 2: Giải phương trình sau: a)
b)
Bài 3: Tìm giá trị x nguyên để biểu thức: số nguyên
Bài 4: Tìm giá trị lớn biểu thức:
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD Gọi H K trung điểm AB CD Chứng minh AK CH chia đường chéo BD thành đoạn thẳng
(42)Đề thi HsG toán
Đề số 53
Câu 1: Xác định hệ số a cho:
a) 27x2 + a chia hÕt cho 3x + 2
b) 3x2 + ax + 27 chia hÕt cho x + cã sè d b»ng 2
C©u2: Cho sè a, b, c tháa m·n abc = 1999 Rót gän biĨu thøc:
1999a b c
ab 1999a 1999 bc b 1999ac c Câu 3: Cho abc a + b+ c giải phơng trình:
a b x a c x b c x 4x
1
c b a a b c
Câu 4: Gọi M điểm đoạn thẳng AB Vẽ nửa mặt phẳng có bờ AB hình vuông AMCD, BMEF
a Chøng minh AE vu«ng gãc víi BC
b Gọi H giao điểm AE BC Chứng minh ba diểm D, H, F thẳng hàng c Những minh đoạn thẳng DF qua điểm cố định M di chuyển đoạn thẳng AB cố định
(43)§Ị sè 54
Câu 1: Tìm số tự nhiên n để:
a) Số A = n4 + số nguyên tè.
b) Ph©n sè
7
n n
n n
tối giản Câu Cho biÓu thøc:
2
3
1 a 4a 2b
A :
2a b 2a b 2a a b a b ab a
a Rót gän A
b Tính giá trị A biết 4a2 + b2 = 5ab vµ a > b > 0
Câu Giải phơng trình:
2x-101 x-103 x-105
a,
86 84 82
b, x 12x
Câu Cho tứ giác ABCD; M, N lần lợt trung điểm cạnh BC CD Gọi E F giao cđa BD víi AM vµ AN Chøng minh r»ng: nÕu BE = EF = FD tứ giác ABCD hình bình hành
Cõu Gi H l hỡnh chiếu đỉnh B đờng chéo AC hình chữ nhật ABCD; M, K theo thứ tự trung điểm AH CD
a Gäi I vµ O theo thứ tự trung điểm AB IC Chøng minh:
MO IC
2
b TÝnh sè ®o gãc BMK?
(44)Đề thi HsG toán
Đề số 55
Câu 1:( điểm)
Cho biểu thøc:
2 2
2
a b a b
P
ab ab b ab a
a Rót gän P
b Có giá trị a, b để P = 0?
c Tính giá trị P biết a, b thỏa mÃn điều kiện: 3a2 + 3b2 = 10ab a > b > 0
Câu 2:( 3,5 điểm)
Chøng minh r»ng:
a (n2 + n -1)2– chia hÕt cho 24 víi mäi sè nguyªn n.
b Tổng lập phơng số nguyên liên tiếp chia hết cho
Câu 3: ( điểm)
Giải phơng trình: x4 + x2 + 6x = 0 Câu 4:( điểm)
Tìm nghiệm nguyên phơng trình:
x2 = y( y +1)(y + 2)(y + 3)
Câu 5:(7,5 điểm)
Cho tam giác ABC, O giao điểm đờng trung tực tam giác, H trực tâm tam giác Gọi P, R, M theo thứ tự trung điểm cạnh AB, AC, BC Gọi Q trung điểm đoạn thẳng AH
a Xác định dạng tứ giác OPQR? Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện để OPQR hình thoi?
b Chøng minh AQ = OM
c Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh H, G, O thẳng hàng d Vẽ tam giác ABC hình vng ABDE, ACFL Gọi I trung điểm EL Nếu diện tích tam giác ABC khơng đổi BC cố định I di chuyển đờng nào?
§Ị sè 56
C©u 1: Cho a + b = TÝnh giá trị biểu thức: M = 2(a3 + b3) 3(a2 + b2)
(45)a b c
1,
ab+a+1bc+a+1ac+c+1 biÕt abc =
2
*
n n
2, (n N )
n n
kh«ng phân số tối giản Câu 3: Cho biểu thức:
2 2 2
1 1 1
P
a a a 3a a 5a a 7a 12 a 9a 20
a Tìm điều kiện để P xác định b Rút gọn P
c Tính giá trị P biết a3 - a2 + = 0
Câu 4*: Tìm số tự nhiên n để đa thức:
A(x) = x2n + xn +1 chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 1
Câu 5: Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB Kẻ đờng thẳng qua C vuông góc với AB E Gọi M trung điểm ca AD
a Chứng minh: tam giác EMC cân b Chøng minh: Gãc BAD = gãc AEM
c Gọi P điểm thuộc đoạn thẳng EC Chứng minh tổng khoảng cách từ P đến Me đến MC khơng phụ thuộc vào vị trí P trờn EC
Đề số 57
Bài 1: Tìm sè tù nhiªn n biÕt:
a
An n n số nguyên tè
b
4
4
n 16 C
n 4n 8n 16
có giá trị số nguyên c D = n4 + 4n số nguyên tố.
Bài Cho a + b +c = 0; abc 0
a Chøng minh: a3 + b3 + c3 -3abc =0
(46)Đề thi HsG toán
2 2
2 2 2 2 2
c a b
P
a b c b c a c a b
Bµi 3: a Giải phơng trình:
x a x c x b x c b a b c a b a c
b T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình: x2 - y2 + 2x - 4y -10 = 0
Bài Cho hình thang ABCD (AB//CD) , O giao điểm hai đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E; cắt BC F
a Chøng minh :
S
AOD
S
BOC b Chøng minh: OE = OFc Chøng minh: 1 AB CD EF
d Gọi K điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua K chia đơi diện tích tam giác DEF
Đề số 58
Câu 1: Cho biểu thức:
2
3
a 4a A
a 2a 4a
a Rót gän A
b Tìm số ngun a để A có giá trị số nguyên
Câu 2 Cho x, y, z đôi khác khác CMR nếu:
2 2
x yz y xz z xy
a b c
th× ta cã:
2 2
a bc b ca c ab
x y z
(47)a, 2 2 2 18 x 9x20x 11x30 x 13x42 b, x2 + 3y = 3026 víi x, y N
C©u 4. Cho f(x) đa thức với hệ số dơng Biết f(0); f(x) số lẻ Chứng minh f(x) có nghiệm nguyên
Câu 5 Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Trên cạnh AB lấy điểm D, cạnh AC lÊy ®iĨm E cho gãc DME b»ng gãc B CMR:
a
BD.CE BC
b DM phân giác góc BDE