Các phép toán hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian giữa các đối tượng trong ảnh. Những phép toán như thế có thể được xem như di chuyển các vật khắp nơi trong ảnh. Chương này sẽ trình bày chi tiết một số phép toán hình học trong xử lý ảnh. Mời các bạn cùng tham khảo.
CHƯƠNG CÁC PHÉP TỐN HÌNH HỌC 8.1 GIỚI THIỆU Các phép tốn hình học làm thay đổi mối quan hệ không gian đối tượng ảnh Những phép tốn xem di chuyển vật khắp nơi ảnh Tác đọng giống in ảnh lên cao su, kéo giãn cao su ghim xuống điểm khác Thực ra, phép tốn hình học hiểu theo nghĩa rộng hơn, điểm ảnh đầu vào di chuyển đến vị trí ảnh đầu Một phép tốn hình học không hạn chế thường làm lộn xộn nội dung ảnh, phép tốn hình học thường giới hạn để giữ trật tự bề ngồi Một phép tốn hình học u cầu phải có hai thuật giải Trước hết phải có thuật giải định nghĩa biến đổi không gian Phép toán định rõ "sự chuyển động" điểm ảnh "di chuyển" từ vị trí ban đầu đến vị trí kết thúc ảnh Phép nội suy mức xám địi hỏi phải có thuật giải Nói chung, phép tốn cần thiết vị trí x, y nguyên ảnh đầu vào ánh xạ đến vị trí phân số (khơng ngun) ảnh đầu ngược lại 8.1.1 Sự biến đổi không gian Trong hầu hết ứng dụng, người ta thường mong muốn bảo tồn tính liên tục đặc tuyến cong tuyến tính (curvilinear) kết nối đối tượng ảnh Một thuật giải biến đổi khơng gian hạn chế làm đứt đoạn đường đối tượng có khuynh hướng "làm bắn tung toé" nội dung ảnh Người ta hồn tồn xác định di chuyển điểm ảnh ảnh, nhanh chóng trở nên khó di chuyển, chí với ảnh nhỏ Để thuận tiện ta nên xác định xác mối quan hệ khơng gian điểm ảnh vào điểm ảnh Định nghĩa chung cho phép toán hình học g ( x, y ) f ( x' , y ' ) f [a ( x, y ), b( x, y )] (1) f(x,y) ảnh đầu vàu g(x,y) ảnh đầu Các hàm a(x,y) b(x,y) xác định biến đổi không gian Nếu hàm liên tục tính liên kết ảnh bảo toàn 8.1.2 Phép nội suy mức xám (Gray-Level Interpolation) Yêu cầu thứ hai phép tốn hình học thuật giải cho phép nội suy giá trị mức xám Trong ảnh đầu vào f(x,y), giá trị mức xám xác định giá trị tích phân x y Tuy nhiên, biểu thức (1) nói chung giá trị mức xám ảnh g(x,y) có từ vị trí phân số (khơng ngun) kết hợp ảnh f(x,y) Nếu phép tốn hình học xem ánh xạ từ f sang g, điểm ảnh f ánh xạ tới vị trí điểm ảnh g ngược lại Với mục đích phần thảo luận này,chúng ta quy định điểm ảnh phải định vị xác tạo độ giao lưới lấy mẫu (sampling grid) 94 Để nói biến đổi không gian thuật giải chophép nội suy mức xám, thực phép tốn hình học Thông thường, thuật giải nội suy mức xám cài đặt cố định chương trình máy tính Tuy nhiên, thuật giải xác định biến đổi không gian định rõ cho công việc tới Bởi thuật giải nội suy mức xám ln giống nhau, nhiều tuỳ chọn, nên biến đổi không gian biến đổi không gian định nghĩa phép tốn hình học cụ thể 8.1.3 Sự thực Khi thực phép tốn hình học, ta theo hai hướng Ta xem phép tốn việc chuyển mức xám từ ảnh đầu vào sang ảnh đầu ra, điểm ảnh Nếu điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến vị trí bốn điểm ảnh đầu ra, mức xám bốn điểm ảnh này, tuỳ thuộc vào quy tắc phép nội suy Chúng ta gọi cách tiếp cận mang điểm ảnh sang (pixel carry-over) hay ánh xạ tiến (forward mapping) (Xem hình 8-1.) Một thực luân phiên, hiệu hơn, hoàn thành nhờ thuật giải lấp đầy điểm ảnh (pixel filling) hay ánh xạ lùi (backward mapping) Trong trường hợp này, điểm ảnh đầu ánh xạ ngược lại thành ảnh đầu vào, điểm ảnh một, để thiết lập mức xám chung Nếu điểm ảnh nằm bốn điểm ảnh vào mức xám xác định phép nội suy mức xám (Hình 8-1) Sự biến đổi khơng gian lùi nghịch đảo biến đổi tiến Thuật giải ánh xạ lùi có phần lãng phí, nhiều điểm ảnh vào ánh xạ đến vị trí bên ngồi ảnh đầu Hơn nữa, điểm ảnh đánh địa vài lần, với điểm ảnh đầu vào tập trung thành giá trị mức xám cuối Nếu biến đổi không gian bao gồm thu nhỏ có nhiều bốn điểm ảnh đầu vào tham gia Nếu có phóng to tất nhiên số điểm ảnh đầu bị khơng có điểm ảnh đầu vào ánh xạ đến vị trí gần chúng Tuy nhiên, thuật giải ánh xạ lùi tạo ảnh đầu theo điểm ảnh một, dòng Mức xám mối điểm ảnh xác định bước nội suy bốn điểm ảnh (đa số vậy) Dĩ nhiên, ảnh đầu vào phải truy cập cách ngẫu nhiên theo cách mà xác định bâừng biến đổi không gian, việc phức tạp Tuy nhiên, cách tiếp cận lấp đầy điểm ảnh thuật giải thực tiễn cơng dụng chung HÌNH 8-1 Hình 8-1 Chuyển điểm ảnh 95 8.2 PHÉP NỘI SUY MỨC XÁM Vì điểm ảnh đầu ánh xạ đến vị trí phân số ảnh đầu ra, chúng thường rơi vào khoảng bốn điểm ảnh vào Như phép nội suy cần thiết để xác định mức xám tương ứng với vị trí 8.2.1 Phép nội suy lân cận gần (Nearest Neighbor) Sơ đồ nội suy đơn giản gọi nội suy bậc không (zero order), hay lân cận gần (nearest neighbor) Trong trường hợp này, mức xám điểm ảnh đầu lấy mức xám điểm ảnh đầu vào nằm gần mà điểm ảnh ánh xạ sang Phép nội suy tính tốn đơn giản tạo kết chấp nhận nhiều trường hợp Tuy nhiên, phép nội suy lân cận gần cho đồ tạo tác (ý muốn nói trơng ảnh phiến đá tạc người cổ) ảnh mang cấu trúc tinh vi, với mức xám thay đổi đáng kể từ điểm ảnh sang điểm khác Hình 8-2 đưa ví dụ ảnh quay phép nội suy lân cận gần nhất, với kết bị hiệu ứng cưa cạnh 8.2.2 Phép nội suy song tuyến tính (Bilinear Interpolation) Phép nội suy bậc thứ (first-order), hay song tuyến tính (binear) mang lại kết mong muốn phép nội suy bậc khơng, mà việc lập trình phức tạp tốn thời gian chút Vì việc tạo mặt phẳng qua bốn điểm vấn đề khó khăn, phép nội suy bậc hệ toạ độ vng góc địi hỏi phải có hàm song tuyến tính Đặt f(x,y) hàm hai biến biết đỉnh hình khối vng góc Giả sử ta muốn thiết lập phép nội suy giá trị hàm f(x,y) điểm tuỳ ý nằm bên hình vng (Hình 8-3) Chúng ta điều chỉnh hyperbolic paraboloic, xác định biểu thức song tuyến tính f ( x, y ) ax by cxy d (2) qua bốn giá trị biết Bốn hệ số, a đến d, chọn hàm f(x,y) điều chỉnh giá trị biết bốn góc Có thuật giải đơn giản để tạo hàm nội suy song tuyến tính mà điều chỉnh hàm f(x,y) góc Trước hết, nội suy tuyến tính hai điểm phía để thiết lập giá trị f ( x,0) f (0,0) x[ f (0,1) f (0,0)] (3) Tương tự cho hai điểm phía f ( x,1) f (0,1) x[ f (1,1) f (0,1)] (4) Cuối cùng, nội suy tuyến tính theo phương thẳng đứng để xác định giá trị f ( x, y ) f ( x,0) y[ f ( x,1) f ( x,0)] (5) Thay biểu thức (3) (4) vào biểu thức (5), khai triển, ta f ( x, y ) [ f (1,0) f (0,0)]x [ f (0,1) f (0,0)] y [ f (1,1) f (0,0) f (0,1) f (1,0)]xy f (0,0) (6) 96 có dạng với biểu thức (2) song tuyến tính Khi thay vào,krõ ràng biểu thức (6) điều chỉnh bốn giá trị biết f(x,y) góc khối vng góc Lưu ý cho x y số (khơng đổi) biểu thức (2) trở thành tuyến tính theo biến khác Điều làm sáng tỏ hyperbolic paraboloic bề mặt giới hạn hai chiều; có nghĩa cắt tất mặt phẳng song song với mặt phẳng xz tất mặt phẳng song song với mặt phẳng yz theo đường thẳng Phép nội suy song tuyến tính thực trực tiếp biểu thức (6), thực phép nội suy tam tuyến tính (triple linear) cho biểu thức (3), (4) (5) Vì biểu thức (6) bao gồm bốn phép nhân tám phép cộng trừ nên chương trình biến đổi hình học đặc thù thực sau, yêu cầu ba phép nhân sáu phép cộng trừ Khi bốn điểm ảnh lân cận liền kề nội suy biểu thức song tuyến tính, bề mặt thu phù hợp độ rộng đường biên lân cận, không phù hợp với độ nghiêng Vì thế, bề mặt tạo phép nội suy song tuyến tính liên tục, nói chung đạo hàm khơng liên tục biên lân cận 8.2.3 Phép nội suy bậc cao (Higher Order) Trong phép tốn hình học, hiệu ứng làm trơn (smoothing effect) phép nội suy mức xám song tuyến tính làm suy giảm chi tiết sắc xảo ảnh, đặc biệt phóng to Trong ứng dụng khác, điểm gián đoạn độ nghiêng phép nội suy song tuyến tính tạo kết khơng mong muốn Trong hai trường hợp trên, kết tính tốn thêm phép nội suy bậc cao chứng minh Một hàm tương tự, phức tạp hơn, biểu thức (2) có nhiều bốn hệ số thực để điều chỉnh thông qua điểm lân cận Nếu số hệ số với số điểm tạo bề mặt nội suy để điều chỉnh điểm Nếu số điểm lớn số hệ số, thủ tục điều chỉnh đường cong hay tối thiểu hố lỗi sử dụng Các ví dụ hàm nội suy bậc cao khối lập phương, hàm Legendre tập trung hàm sin(x)/x Hàm sau đề cập đến chương trước Phép nội suy bậc cao thường thực phép nhân chập Phần tài liệu đè cập đến điều 8.3 PHÉP BIẾN ĐỔI KHƠNG GIAN Biểu thức (1) cho ta cơng thức tổng quát phép biến đổi không gian Chúng ta cần phải xem xét số trường hợp đặc biệt phức tạp trước vào phép tốn hình học chung 8.3.1 Các phép biến đổi đơn giản Nếu ta đặt a( x, y ) x b( x, y ) y (7) vào biểu thức (1), ta có phép tốn số học, mà chie đơn chép f sang g không khơng thay đổi Nếu ta đặt a( x, y ) x x0 b( x, y ) y y (8) 97 có phép tốn biến đổi, mà điểm x0,y0 tịnh tiến gốc toạ độ đặc điểm bên ảnh chuyển lượng x02 y 02 Dùng công thức phối hợp đồng (homogeneous coordinate), xem mặt phẳng x-y mặt phẳng z = không gian x, y, z ba chiều viết lại biểu thức (8) dạng mảtận sau a( x, y ) 1 b( x, y ) 0 0 x0 x y y (9) Đặt a( x, y ) x / c b( x, y ) y / d (10) phóng to ảnh với hệ ssó c theo hướng x hệ số d theo hướng y Gốc toạ độ ảnh (thường góc trên-trái) giữ nguyên nảh “mở rộng” Theo phối hợp đồng đều, biểu thức (10) viết lại sau 1 a ( x , y ) c b( x, y ) d x0 x y0 y (11) Đặt c = -1 ta lệch hướng theo trục y, a( x, y ) x b( x, y ) y (12) a( x, y ) x cos( ) y sin( ) (13) b( x, y ) x sin( ) y cos( ) (14) tương tự với d trục x Cuói cùng, đặt tạo (cw rotation through) quay góc quanh gốc toạ độ Biểu thức viết theo toạ độ đồng sau a( x, y ) cos( ) sin( ) 0 x b( x, y ) sin( ) cos( ) 0 y 0 1 (15) Rõ ràng kết hợp phép tịnh tiến với phép phóng tạo ảnh "lớn thêm" điểm trừ gốc toạ độ Cũng tương tự, kết hợp phép tịnh tiến với phép quay để tạo phép quay quanh điểm tuỳ ý Toạ độ đồng cung cấp cách tương tự để xác định công thức cho phép tịnh tiến phức hợp Ví dụ, phép quay xung quanh điểm x0, y0 thực công thức 98 a( x, y ) 1 b( x, y ) 0 0 x cos( ) sin( ) 0 1 x0 x y sin( ) cos( ) 0 0 y y 0 1 0 (16) Trước tiên ảnh tịnh tiến cho điểm x0, y0 trùng gốc toạ độ, sau quay với góc , sau tịnh tiến lại gốc ban đầu Thực nhân biểu thức (16) cho phương trình tịnh tiến gần Các phép tịnh tiến khác xây dựng tương tự Trong cấu trúc vế phải biểu thức, phép toán thực từ trái sang phải Thực tách rời (Separable Inplementations) Nếu ảnh đưa đẻ quay hay phóng to [biểu thức (11)], toạ độ điểm ảnh a(x,y) b(x,y) phụ thuộc vào x y tương ứng Vì thế, có khả năng, cúng hiệu hơn, để thực phép tốn hai bước Ví dụ, thực theo chiều ngang, tạo ảnh trung gian Sau thực theo chiều dọc, sử dụng ảnh trung gian đầu vào để tạo kết cuối Catmull Smith cho thấy có khả để thực phép quay theo thủ tục hai bước tương tự Giải biểu thức (13) theo x ta x a( x, y ) y sin( ) cos( ) (17) thay vào biểu thức (14) dẫn đến b( x, y ) a ( x, y ) sin( ) y cos( ) (18) Vì thế, sử dụng biểu thức (13), biểu thức tuyến tính x theo dòng quét bất kỳ, theo phép kết hợp với b(x,y) = y phần đầu (chỉ có chiều ngang) phép tốn Sau dùng biểu thức (18), biểu thức tuyến tính y theo cột với a(x,y) = x phần hai (chỉ có chiều dọc) phép tốn Trong phép quay loại này, đặc điểm ảnh "nén" theo chiều x hệ số cos() bước thứ nhất, sau "bung" theo chiều y hệ số sin() bước thứ hai Kỹ thuật khơng có kết với góc bội 900, cosin 0, sai số hạn chế góc nhỏ Đối với ứng dụng ghi lại ảnh, góc quay yêu cầu thường nhỏ Thậm chí điều khơng phải vậy, phép quay với góc bơi 900 thực cách hoán đổi hàng cột đơn giản Vì thế, quay ảnh theo góc giữ góc quay thực +450 -450 hệ số nén không nhỏ 0.707 Sau đó, với giới hạn phép tịnh tiến, phóng đại quay có phép thực hiên chiều 8.3.2 Các phép biến đổi chung Đối với phép biến đổi khơng gian đơn giản có liên quan, việc sử dụng biểu thức giải tích cho biểu thức (1) thiết thực Tuy nhiên, nhiều ứng dụng xử lý ảnh, phép biến đổi khơng gian mong muốn có quan hệ phức tạp khơng tn theo biểu thức tốn học thích hợp Hơn nữa, phép tịnh tiến điển ảnh thường thu từ kích thước thực ảnh xác định rõ phép tốn hình học số hạng dạng hàm Một ví dụ điều chỉnh hình học ảnh thu camera bị biến dạng hình học Đầu tiên, lưới hình chữ nhật số hiển thị Bởi biến dạng hình 99 học camera mơ hình lưới hiển thị khơng xác hình chữ nhật (Xem hình 8-4) Phép biến đổi khơng gian cần có làm cho mơ hình lưới thành hình chữ nhật trở lại, cách ta hiệu chỉnh độ biến dạng camera gây Sau phép biến đổi khơng gian sử dụng ảnh số hoá camera (giả thiết biến dạng khơng phụ thuộc vào cảnh), cách ta tạo ảnh khơng biến dạng HÌNH 8-4 Hình 8-4 Điều chỉnh hình học camẻa tàu vũ trụ trước đây, (a) trước điều chỉnh, (b) sau điều chỉnh Ranger 8.3.3 Xác định rõ điểm hiệu chỉnh (Specification by Control Points) Thật thuận lợi xem phép biến đổi không gian chuỗi giá trị dịch chuyển cho điểm hiệu chỉnh (control points) chọn ảnh Bở phần nhỏ điểm ảnh rõ thực sự, dịch chuyển điểm không hiệu chỉnh phải xác định nội suy Có cách để thực điều này, khai triển biểu thức hàm theo a(x,y) b(x,y) biểu thức (1) Thông thường, đa thức sử dụng dạng tổng quát biểu thức biến đổi Các tham số chọn để làm cho phù hợp với điểm hiệu chỉnh độ dịch chuyển cho trước chúng Điều gọi làm cong đa thức (polynominal warping) Nó cần thiết việc sử dụng đa thức từ bậc năm trở xuống hàm biến đổi Trong nhiều trường hợp, giới hạn làm cong đa thức khơng chứa đựng phép tốn phức tạp Vì thế, vài chương trình phép tốn hình học phân rã ảnh thành miền đa thức sử dụng hàm ánh xạ song tuyến tính piecewise Người sử dụng định rõ lưới hiệu chỉnh đầu vào từ điểm hiệu chỉnh tạo thành đỉnh tứ giác kề ảnh vào Lưới hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến lưới bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang ảnh Các đỉnh (các điểm hiệu chỉnh đầu vào) tứ giác ánh xạ trực tiếp đến đỉnh hình chữ nhật tương ứng Tương tự, điểm bên tứ giác đầu vào ánh xạ đến điểm bên hình chữ nhật đầu tương ứng 100 HÌNH 8-5 Hình 8-5 Ánh xạ khơng gian điểm hiệu chỉnh 8.3.4 Làm cong đa thức (Polynominal Warping) Nếu số số hạng đa thức phù hợp với số điểm hiệu chỉnh, sau phép biến đổi thiết kế để ánh xạ xác đến điểm hiệu chỉnh cho trước Giải toán theo hệ số đa thức trở thành tập phương trình tuyến tính, phép nghịch đảo ma trận thường tao kết yêu cầu (Xem phần 19.5.2) Tuy nhiên, điểm hiệu chỉnh nhiều số hạng đa thức ta pải sử dụng thủ tục điều chỉnh để xác định hệ số đa thức Trong trường hợp này, phép biến đổi không gian thích hợp để định rõ điểm hiệu chỉnh ánh xạ điểm hiệu chỉnh riêng lẻ khơng xảy xác rõ Những kỹ thuật cho điều chỉnh hàm hai chiều phù hợp với tập liệu điểm cho đề cập đến phần 19.5 Kỹ thuật giả nghịch đảo (pseudoinverse) (phần 19.5.2, phụ lục 3) cho việc xác định hệ số hàm điều chỉnh phổ biến sử dụng cho việc làm cong đa thức Các phương pháp số học khác, phép phân tích giá trị phép phân tích trực chuẩn (orthonormal) chứng minh tốt thực tế Trước hệ số đa thức xác định, thực giống trước Tuy nhiên, phương pháp số học sơ đồ lồng Horner, sơ đồ rút bớt số bước tính tốn u cầu Dù có cơng việc trở nên kinh khủng thực trạng thái cong bậc cao ảnh lớn 8.3.5 Phép nội suy lưới hiệu chỉnh (Coltrrol Grid Interpolation) Nếu việc làm cong đa thức (polynominal warping) khơng thiết thực ảnh phải làm cong phần Trong phép nội suy phổ biến nhất, điểm hiệu chỉnh đầu vào tạo thành lưới, mà lưới ánh xạ đén lưới tiếp bên cạnh, hình chữ nhật nằm ngang ảnh ra, hình 8-5 Đa giác hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến đỉnh hình chữ nhật tương ứng, điểm bên đa giác đầu vào ánh xạ đến điểm bên hình chữ nhật đầu tương ứng Phép nội suy song tuyến tính lựa chọn phổ biến cho phép nội suy lưới hiệu chỉnh, tính tốn đơn giản tạo ánh xạ trơi chảy để trì tính liên tục tính liên kết Biểu thức tổng quát cho phép biến đổi khơng gian song tuyến tính G ( x, y ) F ( x' , y ' ) F (ax by cxy d , ex fy gxy h) (19) Phép biến đổi song tuyến tính định nghĩa giá trị hệ số từ a đến h Bằng cách bốn đỉnh tứ giác ánh xạ đến bốn đỉnh hình chữ nhật tương ứng, tạo hai hệ bốn phương trình tuyến tính bốn ẩn Ánh xạ từ x’ đến x tạo bốn phương trình theo a, b, c, d cho phép ánh xạ từ y’ sang y hệ số e, f, g h Hệ phương trình giải theo a đến h [xem lại biểu thức (6)] để 101 thuật giải cho phép biến đổi khơng gian song tuyến tính, mà áp dụng tất điểm đầu rơi vào bên hình chữ nhật Mặc dù thuật giải biến đổi khơng gian song tuyến tính thực biểu thức (19), có cách thuận tiện tính tốn hiệu thực Bằng cách định nghĩa lại hệ số a e, ta viết lại biểu thức (19) sau G ( x, y ) F [ x dx ( x, y ), y dy ( x, y )] (20) dx(x,y) dy(x,y) độ dịch chuyển điểm ảnh hàm song tuyến tính x y Hình 8-6 cho thấy dịch chuyển với tứ giác đầu vào chồng lên hình chữ nhật đầu mà ánh xạ đến Vấn đề làm giảm dx dy cho tất điểm bên hình chữ nhật Vì dx(x,y) dy(x,y) song tuyến tính theo x y nên chúng trở thành tuyến tính x theo dịng Vì thế, dịng, định nghĩa số gia, x, đơn vị khoảng cách điểm ảnh d ( x 1, y ) dx( x, y ) x (21) tương tự cho dy Số gia x thay đổi theo dịng, dễ dàng tính từ giá trị độ dịch chuyển đầu mút hình chữ nhật Những giá trị nội suy độ dịch chuyển cho đỉnh Quá trình thực biểu thức (21) đòi hỏi hai phép cộng, cho dx cho dy, tai điểm ảnh để tính tốn toạ độ điểm vào tương ứng Thủ tục trước rõ phép biến đổi khơng gian cho điểm nằm bên hình chữ nhật đầu Một ánh xạ tứ giác-hình chữ nhật thường không đủ để định rõ phép biến đổi khơng gian mong muốn, người ta rõ tập tứ giác cạnh ảnh vào mà chúng ánh xạ đến tập hình chữ nhật nằm kề ảnh Tuy nhiên, điều khơng cần thiết hình chữ nhật để bao phủ hồn tồn ảnh HÌNH 8-6 Hình 8-6 Độ dịch chuyển điểm hiệu chỉnh Hình 8-7 cho thấy ảnh mà định nghĩa sáu hình chữ nhật cạnh bên hình chữ nhật, phép biến đổi không gian định nghĩa mơ tả Hình đưa cho thấy phép biến đổi khơng gian ngoại suy (extrapolate) bên ngồi hình chữ nhật Những số nằm ngồi hình chữ nhật khơng định rõ (hình nét đứt) cho biết hình chữ nhật hiệu chỉnh sử dụng hệ số song tuyến tính Ví dụ, phép biến đổi khơng gian sử dụng hình chữ nhật phía bên trái ảnh dùng hệ số song tuyến tính cho hình chữ nhật 102 HÌNH 8-7 Hình 8-7 Ngoại suy lưới hiệu chỉnh Rõ ràng từ thảo luận trước đây, phép biến đổi song tuyến tính liên tục tại đỉnh cạnh hình chữ nhật đầu Tại cạnh, phép biến đổi song tuyến tính thối hố thành phép nội suy song tuyển tính hai điểm cuối Khi xác định rõ hình chữ nhật gần kề nhau, người ta phải làm cho đỉnh chúng trùng khớp Tương tự, tứ giác kề ảnh vào phải có đỉnh trùng khớp Tuy nhiên, tứ giác không nằm kề không bắt buộc chí nằm đè lên Các đối tượng bên vùng mà tứ giác chồng lên trở thành nhân đôi ảnh ảnh 8.4 ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TỐN HÌNH HỌC 8.4.1 Điều chỉnh hình học (Geometric Calibration) Một ứng dụng quan trọng phép tốn hình học loại bỏ khỏi ảnh số biến dạng hình học camera Ví dụ cho hình 8-4 Điều chỉnh hình học chứng tỏ tầm quan trọng việc rút kích thước khơng gian định lượng từ tính đa dạng ảnh số Một số ảnh đó, chẳng hạn thu từ vệ tinh đa quan sát không, chủ đề cho nhiều biến dạng hình học Những ảnh thường yêu cầu điều chỉnh hình học trước nội suy 8.4.2 Sửa chữa ảnh (Image Rectification) Một vài hệ thống xử lý ảnh không sử dụng hệ toạ độ điểm ảnh vng góc Trước số hố với hệ thống trên, ảnh quan sát hồn tồn hệ thống bình thường, chúng phải sửa chữa, tức là, biến đổi sang hệ toạ độ điểm ảnh vng góc Ví dụ, tàu vũ trụ Viking Lander dùng camera quét góc (angle scanning) thiết kế cho việc số hoá ảnh tồn cảnh Martian Nó sử dụng hệ toạ độ toạ cầu với dịng qt đặt góc nâng (elevation) nhau, khoảng cách điểm ảnh biểu diễn số gia (increment) góc phương vị (azimuth) Hình 8-8(a) trình bày biến dạng toạ độ hiển thị vng góc thiết kế này, đặc biệt đối tượng gần camera HÌNH 8-8 103 Hình 8-8 Hiệu chỉnh camera Viking Lander; hiệu chỉnh; (b) sau hiệu chỉnh (a) trước Sửa chữa ảnh quét góc toạ độ hiển thị vng góc gồm phép chiếu bề mặt hình cầu lên mặt phẳng tiếp xúc Các đường chiếu bắt nguồn từ tâm hình cầu chiếu điểm mặt cầu lên mặt phẳng Quan hệ vị trí điểm ảnh vào đề cập chương 14 Hình 8-8(a) sửa chữa thành toạ độ hiển thị vng góc hình 8-8(b) Lưu ý cạnh bàn thẳng ảnh sửa chữa Một rô bôt tự hành (free-roaming), giống người, yêu cầu tầm nhìn lập thể (stereoscopic), góc nhìn rộng để điều hướng (navigate) chướng ngại vật (obstacle), chẳng hạn qua cánh cửa Một thấu kính mắt cá thu nhận vùng với góc nhìn xấp xỉ 1800, không làm với biến dạng nhiều Một phép tốn hình học thiết kế hồn chỉnh sửa chữa ảnh thành hệ toạ độ vng góc (Hình 8-9c, d) cho kỹ thuật xếp lập thể (đề cập đến chương 22) định vị đối tượng xung quanh theo ba chiều Trong ví dụ này, đa thức cong bậc năm, thực hệ toạ độ cực, để sửa chữa ảnh HÌNH 8-9 Hình 8-9 Sửa chữa hình học ảnh chụp thấu kính mắt cá; (a) kiểm tra; (b) ảnh mắt cá; (c) ảnh ban đầu; (d) ảnh hành lang sửa chữa 8.4.3 Ghi nhận ảnh (Image Registering) Một ứng dụng khác phép tốn hình học ghi nhận ảnh giống với mục đích so sánh Ứng dụng đặc trưng phép trừ ảnh để phát dịch chuyển hay thay đổi Như chương 7, ảnh giống dịch chuyển chút trừ, ảnh hiệu có phần lớn thành phần đạo hàm Thành phần dễ dàng che phần cần giữ lại ảnh hiệu Nếu ảnh đối tượng tĩnh (stationary) số hố từ camera đặt cố định, ghi nhận lại chúng Tuy nhiên, khơng thích hợp để ảnh phải ghi nhận trước thực phép trừ Trong phép tịnh tiến đơn giản hoàn thành cách dễ dàng, phép quay hay phép biến đạng phức tạp dịi hỏi phép tốn hình học Ghi nhận film ảnh qt bao gồm phép tịnh tiến phép quay Ví dụ, mắt xích liên tiếp chuỗi phân tử (biological tissue), cắt miếng mỏng (slice) thiết bị vi phẫu (microtome) chụp thông qua kính hiển vi đối tượng cho nhiều phép 104 biến dạng hình học Trong trường hợp vậy, phép tịnh tiến phép quay khơng thích hợp Thay vào đó, ảnh chụp với chuẩn tham chiếu chuẩn biến dạng khác để làm cho phù hợp Các đặc điểm nhỏ khắp ảnh sử dụng để xác định điểm hiệu chỉnh Chương trình bày ví dụ phép trừ ảnh với yêu cầu ghi nhận cẩn thận 8.4.4 Chuyển đổi khuôn dạng ảnh (Image Format Conversion) Các phép tốn hình học đơi sử dụng để đưa ảnh vào dạng thích hợp cho việc thể Hình 8-10(a) cho thấy ảnh chụp đồ nhiễm sắc thể (chromosome) loài ruồi giấm (drosophila) Bản đồ cách dán ảnh nhiễm sắc thể chụp qua kính hiển vi Các nhà di truyền học phân tích mơ hình dải nhiễm sắc thể để suy luận mơ hình tiến hố Các vùng đánh số để tham khảo Hình 8-10(b) trình bày kết việc sử dụng phép tốn hình học để đồ nhiễm sắc thể dạng thẳng Trong ảnh đầu vào, nhiễm sắc thể lưới hình tứ giác hiệu chỉnh đặt chồng lên, tứ giác có hai cạnh song song với trục nhiễm sắc thể Chúng ánh xạ đến chuỗi hình chữ nhật nằm ngang ảnh Để ngăn chặn biến dạng trục nhiễm sắc thể, cạnh dài hình chữ nhật phải trung bình hai cạnh song song tứ giác tương ứng Các số phía nhiễm sắc thể thứ bị biến dạng khác hàng tứ giác thứ hai xác định bên nhiễm sắc thể Thực tế chúng hình bình hành (parallelogram) với cạnh song song với trục nhiễm sắc thể Chúng ánh xạ đến hàng thứ hai nghiên cứu hình chữ nhật bên xác định nhiễm sắc thể thẳng 8.4.5 Phép chiếu đồ (Map Projection) Môt ứng dụng chủ yếu khác phép tốn hình học việc chiếu ảnh phục vụ cho việc ánh xạ Ví dụ, cần tạo đồ ảnh khảm (tạm dịch từ photomosaic) trái đất, mặt trăng hành tinh sử dụng ảnh truyền từ tàu vũ trụ Các mép ảnh camera tàu vũ trụ chiếu lên bề mặt hành tinh, tạo thành "dấu chân" với bốn cạng cong tuyến tính [Hình 8-11(a)] Bề mặt cầu hành tinh chiếu lên phẳng tạo đồ [Hình 8-11(b)] "Dấu chân" chiếu lên đồ tạo thành hình bốn cạnh biến dạng Một phép tốn hình học biến đổi ảnh camera từ tàu vũ trụ thành dạng có đồ Nhiều ảnh xử lý theo cách kết hợp với việc khảm để tạo thành ảnh đồ hành tinh Cơng việc xác định điểm hiệu chỉnh có phần bao hàm phép chiếu ảnh Chương trình phải có hình ảnh hình học quan sát từ tàu vũ trụ tham số chiếu đồ (cartographic) mong muốn tạo lưới hiệu chỉnh đầu vào đầu Quá trình xác định phép biến đổi không gian đầu vào ảnh chiếu trình gồm hai bước Phần mềm sử dụng chương trình khơng gian giải tốn cách làm việc ngược lại từ ảnh đầu đến ảnh đầu vào kỹ thuật chiếu đồ cho trước định nghĩa mối quan hệ điẻm ảnh đầu điểm bề mặt hành tinh Hình ảnh hình học quan sát từ tàu vũ trụ xác định mối quan hệ không gian điểm bề mặt hành tinh với vị trí điểm ảnh camera ảnh Chương trình phủ đè lưới hiệu chỉnh ng góc lên ảnh đầu ảnh xạ ngược trở lại thơng qua phép chiếu đồ ảnh hình học từ tàu vũ trụ để phủ đè lên ảnh vào Phần phác thảo kỹ thuật 105 Nghiên cứu đồ (cartography) Khoa học nghiên cứu đồ liên quan đến việc tạo đồ hai chiều hình cầu hay khối elipxoit điều khơng phải chuyện đơn giản, khơng thẻ san phẳng bề mặt hình cầu mà khơng bị biến dạng Các nhà nghiên cứu đồ giải vấn đề cách chiếu bề mặt hình cầu lên mặt phẳng hình trụ hay hình nón mà "trải ra" để tạo thành bề mặt phẳng HÌNH 8-11A HINH 8-11B Hình 8-11 Ánh xạ ảnh chụp: (a) "dấu chân" camera tàu vũ trụ; chiếu đồ (b) phép Các tính chất đồ (Map Properties) Có ba tính chất quan trọng mà đồ đặc biệt có khơng, tuỳ thuộc vào hệ.Một đồ gọi cách (equidistant) tỷ lệ trì theo dịng Điều có nghĩa khoảng cách theo dịng tỷ lệ với khoảng cách điểm tơng ứng mặt phẳng Một đồ có tính chất tương đương(equivalence) diện tích miền bảo tồn phép chiếu Các đồ kể có thể sử dụng để so sánh diện tích đặc trưng khác Một đồ hình thức (tạm dịch từ conformal) hay đồng dạng (tạm dịch từ orthomophic) góc bảo tồn phép chiếu - tức là, dòng bề mặt giao với góc phép chiếu bảm đồ Một đồ phù hợp bảo tồn hình dạng điểm Điều có nghĩa hình dạng đặc trưng nhỏ bị biến dạng không đáng kể Các phép chiếu theo thuật vẽ đồ (Cartographic Projections) Có ba loại bề mặt mà đặc trưng bề mặt chiếu để tạo thành đồ hai chiều: 106 mặt phẳng, hình trụ hình nón Hai bề mặt cuối phải cắt theo đường song songvới trục "trải ra" để tạo thành đồ phẳng Có thể xem hình nón trường hợp tổng qt, mặt phẳng xem hình nón với góc đỉnh 1800 hình trụ hình nón với góc đỉnh 00 Trong nhiều kiểu phép chiếu xác định sử dụng suốt bề dày lịch sử thuật vẽ đồ có bốn phép chiếu quan trọng là: trực giao (orthographic), vẽ (stereographic), Mercator hình nón hình thức Lambert Những phép chiếu khác kỹ thuật tao chúng tính chất chúng Chúng mơ tả hình 8-12 HÌNH 8-12 Hình 8-12 Các phép chiếu theo thuật vẽ đồ Trong phép chiếu trực giao, đặc trưng bề mặt chiếu lên mặt phẳng tiếp xúc với hình cầu điểm gọi tâm chiếu (center of projection) Các đặc trưng chiếu theo đường song song đến mặt phẳng Khi tâm chiếu điểm cực tỷ lệ theo vĩ tuyến chạy song song số Có biến dạng nhỏ đặc trưng gần tâm chiếu Chiếu song song với vĩ tuyến đường trịn đồng tâm có tâm điểm cực phép chiếu kinh tuyến (meridian) đường thẳng giao điểm cực Phép chiếu vẽ (stereographic) tương tự phép chiếu trực giao, ngoại trừ tia chiếu bắt nguồn từ điểm phối cảnh (perspective point) định vị trực tiếp đối với tâm chiếu Trong trường hợp có cực, chiếu song song với vĩ tuyến đường trịn đồng tâm có tâm cực chiếu kinh tuyến đường xuyên tâm giao điểm cực Tỷ lệ theo chiếu song song theo chiếu kinh tuyến tăng dần từ cực Tuy nhiên, chúng tăng cách cân xứng điểm tỷ lệ kinh tuyến vĩ tuyến Điều khiến cho phép chiếu vẽ hình thức (conformal) hình dạng bảo tồn cách cục Có biến dạng nhỏ cho đặc thông trưng gần tâm chiếu Phép chiếu Mercator ánh xạ đặc trưng bề mặt lên hình trụ trịn xoay tiếp xúc với hình cầu xích đạo (equator) Trục hình trụ đương thẳng với trục cực hình cầu Các kinh tuyến ánh xạ đến đường dọc cách đường chạy song song ánh xạ thành đường trịng hình trụ, mà mở tạo tahnhs đường ngang đồ Tỷ lệ theo đường vĩ tuyến tăng với khoảng cách từ xích đạo Phép chiếu thiết kế cho điểm phối cảnh chuyển lên trục với việc tăng vĩ tuyến, giữ cho tỷ lệ vĩ tuyến kinh tuyến làm cho đồ hình thức Càng xa xích đạo, tỷ lệ phóng đại, đặc trưng gần cực trở nên lớn Bản thân cực tự ánh xạ 107 Vị trí đường vĩ tuyến ngang cho y R ln tan(45 ) (22) R bán kính hành tinh đồ vĩ độ Về phương diẹn lịch sử, phép chiếu Mercator sử dụng ngành hàng hải hướng la bàn chiếu thành đường thẳng đồ Trong phép chiếu hình hình thức Lambert, đặc trưng bề mặt chiếu lên hình nón có cùmg trục với hành tinh Hình nón giao với hình cầu hai đường song song gọi đường song song tiêu chuẩn Các kinh tuyến ánh xạ thành đường thẳng đường song song ánh xạ thành đường tròn bên hình nón Khi hình nón trải ra, đường song song trở thành cung kinh tuyến đồng qui điểm cực Khoảng cách đường song song điều chỉnh để hồn thành hình thức Hai đường song song tiêu chuẩn chiếu theo tỷ lệ thực: tỷ lệ giảm bớt chúng phóng đại bên ngồi chúng 8.4.5.1 Thực Các bước cần thiết để chiếu ảnh từ tàu vũ trụ mục đíc vẽ đồ: Thiết lập hình ảnh hình học camera tàu vũ trụ xác định biểu thức cho vị trí camera giống hàm vĩ độ kinh độ điểm tương ứng bề mặt hành tinh Chọn tham số chiếu đồ (kiểu chiếu, tâm chiếu, ) thiết lập cạnh ảnh đồ xác định biểu thức cho vĩ độ kinh độ điểm mặt hành tinh toạ độ điểm ảnh điểm tương ứng đồ Kết hợp kết bước để mang lại biểu thức cho vị trí điểm ảnh camera giống hàm vị trí đồ đầu Phủ chồng lưới hiệu chỉnh thẳng (reclinear) lên tranh đầu Sử dụng biểu thức bước để ánh xạ điểm hiệu chỉnh đầ thành ảnh đầu vào, theo cách mà thiết lập lưới hiệu chỉnh đầu vào Sử dụng kết bước phép tốn hình học để thực phép chiếu Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ đợc thiết lập với tham khảo hình 8-13 Trong hình này, tàu vũ trụ định vị cách tâm hành tinh khoảng RS điểm vĩ độ S kinh độ S đầu Điểm C điểm phối cảnh biểu diễn cho điểm nút (tâm) thấu kính camera Điểm p nằm ảnh camera tương ứng với điểm p', điểm có kinh độ vĩ độ mặt hành tinh Hằng số f biểu diễn tiêu cự thấu kính phóng đại cho dễ nhìn hình Vec tơ Q trải dài từ C đến p' Chú ý vec tơ xp P y p f (23) có thành phần xp yp toạ độ vị trí điểm ảnh camera Vì P Q nằm đường thẳng nên chúng liên quan với hệ số tỷ lệ: f P Qz Q (24) 108 HÌNH 8-13 Hình 8-13 Hình ảnh hình học từ tàu vũ trụ Từ hình 8-13, thấy Q RS (25) mà viết lại dạng ma trận sau Q x R cos cos RS cos S cos S Q M R cos sin R cos sin S S S y Q z R sin R S sin S (26) [M] ma trân 33 biến đổi tâm hành tinh thành toạ độ tàu vũ trụ Cuối cùng, biểu thức (24) cho thấy f x p Q x Qz vµ f y p Q y Qz (27) Vài tài liệu nghiên cứu đồ trình bày phương trình tính vị trí đồ vĩ độ kinh độ bề mặt Tuy nhiên, phải làm ngược lại từ đồ đến hành tinh nên yêu cầu đảo phương trình Ảnh từ tàu vũ trụ thường đòi hỏi hai phép hiệu chỉnh hình học chiếu đồ, xem hai phép tốn hình học liên tiếp Tuy nhiên, phép nội suy điểm ảnh thực hai lần làm giảm chi tiết ảnh, hai phép tốn hình học thương kết hợp vào hành động mà hai hiệu chỉnh chiếu ảnh 8.4.5.2 Ví dụ phép chiếu đồ Hình 8-14 minh hoạ bước sử dụng trình tạo ảnh đồ Phần (a) ảnh Sao Thuỷ (Mercury) từ Mariner 10 trước hiệu chỉnh quang trắc độ biến dạng hình học Trong (b), ảnh đợc áp dụng phép tốn hình học để tạo phép chiếu trực giao Trong (c), vài phép chiếu trực giao lân cận kết hợp để tạo thành hình Cuối cùng, (d), lưới vĩ tuyến kinh tuyến chồng lên hình trực giao HÌNH 8-14 109 Hình 8-14 Ví dụ vè phép chiếu đồ Mariner 10: (a) ảnh gốc; (b) chiếu trực giao; (b) làm với nhiều phép chiếu; (d) lưới đồ phủ chồng Hình 8-15 đưa cực phép chiếu trực giao ảnh Sao Hoả (Mars) chụp từ Mariner Mariner Hình có độ phân giải cao, ảnh góc hẹp chèn vào hình góc rộng, ảnh phân giải thấp Hình 8-16 trình bày cầu đường kính foot (khoảng 1.2 mét) với 2,000 phép chiếu trực giao ảnh Sao Hoả từ Mariner 8.4.6 Phép biến hình (Morphing-viết tắt metamorphosing) Vài kết đặc biệt mà trở nên phổ biến công nghiệp ảnh chuyển động TV đựa phép tốn hình học Phép biến hình (morphing) kỹ thuật cho phép đối tượng biến đổi từ từ thành đối tợng khác Giả sử có hai ảnh mà muốn tạo chuỗi khung film Chuỗi miêu tả phép biến đổi đối tượng cảnh thứ thành đói tượng cảnh thứ hai Một ví dụ q trình biến đổi khuôn mặt mèo thành mặt hổ Trong mờ chồng (dissolve), ảnh thứ làm mờ dần đưa ảnh thứ hai vào dần Kỹ thuật tạo phép biến đổi trông thực tế Tuy nhiên, biến hình lúc làm mờ điểm đối tượng làm tăng thêm độ biến dạng từ tư ban đầu thành tư cuối chúng, tạo kết gây ấn tượng Hình 8-17 đưa bốn khung hình từ chuỗi biến hình Hình 8-17a 8-17d ảnh ban đầu ảnh cuối Hình 8-17b 8-17c thể 40% 70% tương ứng chuỗi Tại bước chuỗi, ảnh đầu lẫn ảnh cuối làm biến dạng cho điểm hiệu chỉnh chúng ánh xạ thành vị trí trung gian vị trí đầu vị trí cuối Bước tạo hai chuỗi đánh dấu đặc trưng di chuyển từ vị trí ban đầu sang vị trí cuối Sự mờ chồng hai chuỗi làm cho phép tốn biến hình trọn vẹn HÌNH 8-15 Hình 8-15 Bản đồ chiếu trực giao cực Sao Hoả Q trình biến hình thực hai chuỗi phim Ở đây, đối tượng chuyển động nên điểm hiệu chỉnh phải thiết kế riêng cho khung hình chuỗi Phổ biến điểm hiệu chỉnh đươck định rõ cho vài khung hình cung cấp cho phép nội suy khơng gian Tại khung chuỗi, hai ảnh đươc biến dạng cho điểm hiệu chỉnh thẳng hàng Vị trí cặp điểm hiệu chỉnh ánh xạ xuất phát gần vị trí ảnh ban đầu di chuyển phía vị trí ảnh cuối 110 Trong thực tiễn, thường có đối tượng cảnh biến đổi thực sự, với phần cịn lại phía sau khơng thay đổi Đối tượng quan tâm làm mờ tương phản với đen Chuỗi biến hình kết thúc sau chèn vào cảnh chứa thích hợp HÌNH 8-16 Hình 8-16 Ảnh Sao Hỏa từ Mariner HÌNH 8-17 Hình 8-17 Chuỗi ảnh biến hình: (a) ảnh ban đầu; (b) 40% điểm; điểm: (d) ảnh cuối (c) 70% 8.5 TỔNG KẾT NHỮNG ĐIỂM QUAN TRỌNG Phép tốn hình học cần có cơng cụ để xác định phép biến đổi khơng gian thuật tốn nội suy mức xám Phép tốn hình học xem ánh xạ điểm ảnh đầu với điểm ảnh đầu vào tương ứng, giá trị mức xám xác định phép toán nội suy Phép toán nội suy mức xám song tuyến tính thơng thường lớn phép nội suy lân cận lớn Một phép biến đổi khơng gian định rõ cặp lưới hiệu chỉnh, định nghĩa ảnh vào định nghĩa ảnh Các điểm hiệu chỉnh đầu vào ánh xạ đến điểm hiệu chỉnh đầu tương ứng Giữa điểm hiệu chỉnh, phép biến đổi không gian thu từ phép nội suy 111 Nội suy song tuyến tính thường sử dụng cho phép nội suy điểm không hiệu chỉnh Các phép tốn hình học thường sử dụng cho phép điều chỉnh số hoá, phép sửa chữa hiển thị, ghi nhận ảnh, phép chiếu đồ, định dạng lại ảnh hiển thị hiệu ứng thị giác đặc biệt BÀI TẬP Đặt F(221,396) = 18, F(221,397) = 45, F(222,396) = 52 F(222,397) = 36 F(221.3,396.7) thu từ phép nội suy lân cận gần bao nhiêu? nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa giá trị hệ số Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3 Đặt F(109,775) = 113, F(109,776) = 109, F(110,775) = 105 F(110,776) = 103 F(110.27,776.44) thu từ phép nội suy lân cận gần bao nhiêu? nội suy song tuyến tính? Viết biểu thức song tuyến tính (biểu thức (2)), đưa giá trị hệ số Vẽ đồ thị tương tự hình 8-3 Viết phép tốn hình học u cầu để quay ảnh góc 330 ngược chiều kim đồng hồ (counter-clockwise) quang điểm x, y = 207.421 Giả sử 0.0 điểm trê bên trái Giả sử bạn có hai ảnh số hố vách núi chụp cách 100 năm bạn muốn phát thay đổi xói mịn phép trừ ảnh bạn thấy cục đá vị trí 303, 467 ảnh thứ vị trí 316, 440 ảnh thứ hai, gốc vị trí 298, 227 ảnh thứ vị trí 311, 200 ảnh thứ hai Có (a) phép tịnh tiến, (b) phép quay, (c) tỷ lệ thay đổi khơng? Có bao nhiêu? viết phép tốn hình học cần thiết để ghi nhận ảnh thứ hai với ảnh thứ rước trừ Giả sử khơng có biến dạng hình học ngoại trừ phép tịnh tiến, phép quay tỷ lệ thay đổi DỰ ÁN Những dự án yêu cầu trạm xử lý ảnh với việc số hoá phép biến đổi hình học tổng qt tương thích Số hố ảnh người bạn chụp thấu kính mắt cá có góc trơng rộng Phát triển phương trình mơ tả biến dạng sử dụng phép làm cong đa thức để hiệu chỉnh Số hố ảnh người bạn chụp thấu kính mắt cá Sử dụng đối tượng tuyến tính chuẩn đánh dấu sử dụng phép biến đổi hình học để hiệu chỉnh ảnh Số hoá ảnh người bạn chụp thấu kính mắt cá Chụp ảnh lưới thứ hai từ camera vị trí, sử dụng phép tốn hình học để hiệu chỉnh ảnh Số hố ảnh hành lang hình cầu sử dụng phép biến đổi hình học để sửa chữa ảnh Sử dụng đối tượng tuyến tính ảnh dấu hiệu chuẩn Phát triển chương trình xử lý ảnh sử dụng để dự đốn kết giải phẫu thẩm mỹ phẫu thuật khôi phục Sử dụng chương trình để xác định phẫu thuật thẩm mỹ cải thiện diện mạo bạn hay người bạn nhân vật tiếng Soạn chuỗi ảnh để sử dụng phương pháp biến hình ảnh khuôn mặt bạn thành khuôn mặt nhân vật tiếng 112 ... Chuỗi biến hình kết thúc sau chèn vào cảnh chứa thích hợp HÌNH 8-1 6 Hình 8-1 6 Ảnh Sao Hỏa từ Mariner HÌNH 8-1 7 Hình 8-1 7 Chuỗi ảnh biến hình: (a) ảnh ban đầu; (b) 40% điểm; điểm: (d) ảnh cuối (c)... phép tốn hình học để hiệu chỉnh ảnh Số hố ảnh hành lang hình cầu sử dụng phép biến đổi hình học để sửa chữa ảnh Sử dụng đối tượng tuyến tính ảnh dấu hiệu chuẩn Phát triển chương trình xử lý ảnh. .. TỐN HÌNH HỌC 8.4.1 Điều chỉnh hình học (Geometric Calibration) Một ứng dụng quan trọng phép tốn hình học loại bỏ khỏi ảnh số biến dạng hình học camera Ví dụ cho hình 8-4 Điều chỉnh hình học chứng