Mật mã hóa khóa công khai là một dạng mật mã hóa cho phép người sử dụng trao đổi các thông tin mật mà không cần phải trao đổi các khóa chung bí mật trước đó. Điều này được thực hiện bằng cách sử dụng một cặp khóa có quan hệ toán học với nhau là khóa công khai và khóa cá nhân (hay khóa bí mật).
Ứng dụng nhóm: Các hệ mã cơng khai (Phụ lục Bài giảng 3) PGS TS Trần Đan Thư tdthu@fit.hcmus.edu.vn Nhờ hệ định lý Lagrange Nhóm G cấp n, ta có xn = e, ∀x∈G Từ suy ra: xkn+1 = x, ∀x∈G Tìm E D cho: E.D = kn+1 Ta có: ( xE )D = x, ∀x∈G E, D ∈ nhóm U(Zn) D = E-1 Xét ví dụ: G nhóm cộng ( ℤ35, +); G nhóm nhân (ℤ37* , ) (chú ý 37 nguyên tố) Thảo luận chi tiết: Xem trình bày bảng Nhờ định lý Euler Giả sử n nguyên ≥ Đặt ϕ(n) số số k cho: ≤ k ≤ n, (k, n)=1 Ta có: xϕ(n) =⎯ với x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1 Suy ra: xkϕ(n)+1 = x (*) Tìm E D cho: E.D = kϕ(n)+1 E, D ∈ nhóm U(Zϕ(n)) D = E-1 Tuy nhiên (m, n) ≠ phương trình (*) có hay không? Định lý RSA Định lý (Rivest, Shamir, Adleman (RSA): công bố 1978; Clifford Cocks: công bố 1973) Giả sử n = pq với p, q nguyên tố p ≠ q Ta ln có: xkϕ(n)+1 = x với x∈ ℤn Ghi chú: • • • Như không cần điều kiện x =⎯ m ∈ ℤn ; (m, n)=1 Định lý mở rộng cho trường hợp n tích số ngun tố đơi phân biệt Nếu chọn E, D ∈ nhóm U(ℤ ϕ(n)) D = E-1, ta có (xE) D = x với x∈ ℤn Xem trình bày bảng • • • Ví dụ với n = 33 n=35; Ví dụ với n = 63 (khơng thỏa điều kiện); Giới thiệu thảo luận phần công bố hay dấu hệ mã… ... U(ℤ ϕ(n)) D = E-1, ta có (xE) D = x với x∈ ℤn Xem trình bày bảng • • • Ví dụ với n = 33 n=35; Ví dụ với n = 63 (khơng thỏa điều kiện); Giới thiệu thảo luận phần công bố hay dấu hệ mã? ?? ... kϕ(n)+1 E, D ∈ nhóm U(Zϕ(n)) D = E-1 Tuy nhiên (m, n) ≠ phương trình (*) có hay không? Định lý RSA Định lý (Rivest, Shamir, Adleman (RSA): công bố 1978; Clifford Cocks: công bố 1973) Giả sử n = pq...Nhờ hệ định lý Lagrange Nhóm G cấp n, ta có xn = e, ∀x∈G Từ suy ra: xkn+1 = x, ∀x∈G Tìm E D cho: E.D = kn+1 Ta có: ( xE )D = x, ∀x∈G E, D ∈ nhóm U(Zn) D = E-1 Xét ví dụ: G nhóm