Nâng cao năng lực cho sinh viên ngành sư phạm toán về dạy học phần kiến thức quan hệ vuông góc trong hình học không gian lớp 11

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN - - KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài: Nâng cao lực cho sinh viên ngành sư phạm toán dạy học phần kiến thức quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 Giảng viên hướng dẫn: Ths Ngơ Thị Bích Thủy Sinh viên thực : Lê Văn Trung Lớp : 15ST Đà Nẵng, tháng năm 2019 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy khoa Tốn Trường Đại học Sư Phạm – Đại học Đà Nẵng tận tình giảng dạy tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận tốt nghiệp Đặc biệt cho phép gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ngơ Thị Bích Thủy người trực tiếp hướng dẫn suốt thời gian nghiên cứu Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn ý kiến góp ý quý báu, động viên, giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, thầy cô, bạn bè, lớp 15ST q trình tơi làm khóa luận tốt nghiệp Trong suốt thời gian nghiên cứu, thân cố gắng khắc phục khó khăn để hồn thành khóa luận Tuy nhiên thời gian có hạn, kiến thức cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi sai sót Vì kính mong thầy giáo bạn góp ý, bổ sung, giúp đỡ để thân tơi hồn thiện đề tài ngun cứu XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN! Đà nẵng, tháng năm 2020 Sinh viên Lê Văn Trung MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mục đích nghiên cứu: Nhiệm vụ nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu: CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Hai đường thẳng vuông góc 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Nhận xét 1.2 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí 1.2.3 Tính chất 1.2.4 Sự liên quan quan hệ song song quan hệ vuông góc 1.2.5 Phép chiếu vuông góc định lý ba đường vuông góc 1.3 Hai mặt phẳng vng góc 10 1.3.1 Định nghĩa 10 1.3.2 Tính chất 10 1.4 Khoảng cách 11 1.4.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 11 1.4.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 12 1.4.3 Khoảng cách hai đường thẳng song song 12 1.4.4 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 12 1.4.5 Khoảng cách hai mặt phẳng song song 12 1.4.6 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 13 CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 13 2.1 Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng 13 2.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 14 2.3 Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng 16 2.4 Dạng 4: Xác định thiết diện qua điểm vng góc với đường thẳng 17 2.5 Dạng 5: Tính góc đường thẳng mặt phẳng 18 2.6 Dạng 6: Tính góc hai mặt phẳng 21 2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 23 2.8 Dạng 8: Ứng dụng cơng thức hình chiếu 25 2.9 Dạng 9: Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng 25 2.10 Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ 27 2.11 Dạng 11: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 29 2.12 Dạng 12: Khoảng cách hai đường thẳng chéo 32 2.13 Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vng góc để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 36 KẾT LUẬN 38 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn phổ thơng, hình học khơng gian môn chiếm lượng kiến thức lớn Nó đòi hỏi người học phải rèn luyện thao tác tư duy, đặc biệt phân tích tốn để tìm lời giải Do tính trừu tượng hình học khơng gian, nhiều học sinh gặp khó khăn giải dạng toán, đặc biệt dạng tốn liên quan đến quan hệ vng góc Để giúp sinh viên nghành sư phạm tốn có nhìn tổng quan dajnng toán thường gặp chương trình hình học khơng gian lớp 11, tơi chọn đề tài nghiên cứu khóa luận là: “Nâng cao lực cho sinh viên ngành sư phạm toán dạy học kiến thức hình khơng gian lớp 11” nhằm nâng cao lực cho sinh viên ngành sư phạm toán để dạy tốt tương lai Mục đích nghiên cứu: - Nghiên cứu số dạng toán cách giải để hỗ trợ GV trình dạy học tốn, giúp cho HS lĩnh hội kiến tạo tri thức toán cách tốt Nhiệm vụ nghiên cứu: - Nghiên cứu sở lí luận - Nghiên cứu ví dụ tốn có sẵn dạy học toán Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu số tài liệu, sách, báo tham khảo có liên quan tới phần hình học khơng gian dạy học toán THPT, nhằm hiểu rõ phương pháp để từ đó xây dựng dạy đạt hiệu Bố cục luận văn: Luận văn gồm có chương sau: CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Hai đường thẳng vng góc 1.2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc 1.3 Hai mặt phẳng vng góc 1.4 Khoảng cách CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN LỚP 11 2.1 Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp ví dụ minh họa 2.3 Dạng 3: Chứng minh đường thẳng vng góc mặt phẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.4 Dạng 4: Xác định thiết diện qua điểm vng góc với đường thẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.5 Dạng 5: Tính góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.6 Dạng 6: Tính góc hai mặt phẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.7 Dạng 7: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp ví dụ minh họa 2.8 Dạng 8: Ứng dụng cơng thức hình chiếu Phương pháp ví dụ minh họa 2.9 Dạng 9: Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.10 Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ Phương pháp ví dụ minh họa 2.11 Dạng 11: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Phương pháp ví dụ minh họa 2.12 Dạng 12: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp ví dụ minh họa 2.13 Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vng góc để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp ví dụ minh họa CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1 Hai đường thẳng vuông góc 1.1.1 Định nghĩa a Định nghĩa 1: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ cùng qua điểm song song với a b * Lưu ý: 0𝑜 < 𝛼 < 900 b Định nghĩa 2: Hai đường thẳng gọi vuông góc với góc chúng 900 1.1.2 Nhận xét a Nhận xét 1: Nếu u ⃗ v ⃗ vectơ chỉ phương hai đường thẳng a b vng góc thì: u⃗ ⊥ v⃗ b Nhận xét 2: Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng cũng sẽ vuông góc với đường thẳng c Nhận xét 3: Hai đường thẳng vuông góc với có thể cắt chéo 1.2 Đường thẳng vuông góc mặt phẳng 1.2.1 Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (α) vng góc với đường thẳng a nằm mặt phẳng (α) Vậy d ⊥(α) ⇔ d ⊥ a, ∀a ∈ (α) SVTH: Lê Văn Trung Page 1.2.2 Định lí: Đường thẳng d gọi vuông góc với mặt phẳng (𝛼) nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nằm (𝛼) d⊥a d⊥b => d ⊥ (α) { a ⊂ (α), b ⊂ (α) a∩b = M 1.2.3 Tính chất: a Tính chất 1: Có mặt phẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường thẳng cho trước b Tính chất 2: Có đường thẳng qua điểm cho trước vuông góc với đường mặt phẳng cho trước 1.2.4 Sự liên quan giữa quan hệ song song quan hệ vuông góc a//b a.{ => (α) ⊥ b (α) ⊥ a a≠b b {a ⊥ (α)=> a∕∕b b ⊥ (α) (α)//(β) c { => a ⊥ (β) a ⊥ (α) SVTH: Lê Văn Trung Page (α) ≠ (β) d { a ⊥ (α) =>(α)//(β) a ⊥ (β) a ∕∕ (α) e { => b ⊥ a b ⊥ (α) a ⊄ (α) f { a ⊥ b => a//(α) (α) ⊥ b 1.2.5 Phép chiếu vuông góc định lý ba đường vuông góc a Định nghĩa: Cho đường thẳng d ⊥ (α) Phép chiếu song song điểm M theo phương d lên mặt phẳng (α) M’ gọi phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (α) Nói cách khác M’ hình chiếu M (α) b Định lí ba đường vuông góc Cho đường thẳng a nằm mặt phẳng (𝛼) b đường thẳng không thuộc (𝛼) đồng thời khơng vng góc với (𝛼) Gọi b’ hình chiếu b lên (𝛼) Khi đó: a ⊥ b ⟺ a ⊥ b' SVTH: Lê Văn Trung Page c Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d mặt phẳng (𝛼): • Nếu d vng góc với mặt phẳng (𝛼) ta nói góc đường thẳng d mặt phẳng (𝛼) 900 • Nếu d khơng vng góc với mặt phẳng (𝛼) góc d với hình chiếu d’ (𝛼) gọi góc đường thẳng d mặt phẳng (𝛼) 1.3 Hai mặt phẳng vuông góc 1.3.1 Định nghĩa a Định nghĩa 1: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng đó a ⊥ (P) ̂ ) = (a,b ̂) =>((P),(Q) { (Q) b⊥ b Định nghĩa 2: Hai mặt phẳng vng góc với góc chúng 90o ̂ ) = 900 (P)⊥(Q) =>((P),(Q) 1.3.2 Tính chất a Tính chất 1: Hai mặt phẳng vng góc với chỉ mặt phẳng có đường thẳng vng góc với mặt phẳng a ⊂ (P) => (P) ⊥ (Q) { a ⊥ (Q) b Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng SVTH: Lê Văn Trung Page 10 ⇒ (ABH) ⊥ (SCD) Vậy (ABH) mặt phẳng (𝛼) AB ⊂ (α) CD ⊂ (SCD) Ta có: { AB // CD H ∈ (α) ∩ (SCD) ⇒ (α) ∩ (SCD)=HK//AB//CD Thiết diện tứ giác AHKB Dễ thấy AHKB hình thang vng A H, nên: SAHKB = (AB+HK)AH Ta có AH = AS + AD = (a√3) a 3a2 + 2= Trong ∆SCD có HK//CD nên 𝐻𝐾 𝐶𝐷 = ⇒ AH = a 𝑆𝐻 𝑆𝐷 = 𝑆𝐻.𝑆𝐾 𝑆𝐷2 √3 = 𝑆𝐴2 𝑆𝐷2 = 𝑆𝐴2 𝑆𝐴2 +𝐴𝐷2 = ⇒ HE = CD = a 4 3a √3a 7a2 √3 SAHKB = (AB+HK)AH= (a+ ) = 2 16 1 Vậy 2.9.3 Ví dụ 16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D cho AB = 2CD = 2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy a) (α) mặt phẳng chứa SD vng góc với (SAC) Xác định thiết diện tính diện tích thiết diện (α) với hình chóp S.ABCD b) Gọi M trung điểm SA, N điểm thuộc cạnh AD cho AN = x Mặt phẳng (β) qua MN vuông góc với SAD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp cắt (β) Giải a Gọi E trung điểm cạnh AB O giao điểm AC DE ̂ =D ̂ = 90o A Tứ giác ADCE có { AE = AD = CD = CE = a Nên tứ giác ADCE hình vng có tâm O SA ⊥ OD (Vì SA⊥(ABCD)) Ta có { OD ⊥ AC (Vì ADCE hình vng) ⇒ OD ⊥ (SAC) Mà OD ∈ (SDO) nên (SDO) ⊥ (SAC) SVTH: Lê Văn Trung Page 26 Vậy (SDO) mặt phẳng (α) Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (α) ∆SDE a√2 ∆SOA vuông A có: SO = √OA2 +AS2 = √( ) +a2 = a√ 2 DC//BE Tứ giác BCDE có: { DC = BE Nên tứ giác BCDE hình bình hành ⇒ BC = DE = a√2 Do DE ⊥ (SAC) nên DE ⊥ SO 1 a2 √3 2 2 ⇒SSDE = SO.DE = a√ a√2 = AB ⊥ SA (Vì SA⊥(ABCD)) b Ta có: { AB ⊥ AD (Vì ADCE hình vng) ⇒ AB ⊥ (SAD) AB ⊥ (SAD) Lại có: { (β) ⊥ (SAD) ⇒ AB // (β) M ∈ (β) ∩ (SAD) Vậy { AB ⊂ (SAB) ⇒ (β)∩(SAB)=MQ//AB, Q∈SB AB// (β) N ∈ (β) ∩ (ABCD) Tương tự: { AB ⊂ (ABCD) ⇒ (β)∩(ABCD)=NP//AB, P∈BC AB// (β) Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (β) tứ giác MNPQ NP//AB Do { ⇒ NP//MQ//AB (1) MQ//AB MN⊂(SAD) Lại có: { ⇒ AB ⊥ MN (2) AB ⊥ (SAD) Từ (1) (2) suy tứ giác MNPQ hình thang vng M N a ∆MNA vng A có: MN = √AM2 +AN2 = √( ) +x2 = √a2 +4x2 2 Có: MQ = AB = a (do MQ đường trung bình ∆SAB) Hình thang ABCD có NP // AB // CD nên NP DN AB.DN 2a(a - x) = ⇒ NP = = = 2(a - x) AB DA DA a √a2 +4x2 2 Vậy SMNPQ = (NP+MQ)MN = (2(a-x)+a) = (3a-x)√a2 +4x2 2.10 Dạng 10: Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 2.10.1 Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆ ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng ∆, xem MH đường cao tam giác đó để tính Điểm H thường dựng theo hai cách sau: Cách 1: Trong mp(M, ∆) vẽ MH ⊥ ∆ ⇒ d(M, ∆) = MH SVTH: Lê Văn Trung Page 27 Cách 2: Dựng mặt phẳng (α) qua M vng góc với ∆ H ⇒ d(M, ∆) = MH * Lưu ý: Hai công thức thường dùng để tính MH 1 ∆MAB vng M có đường cao AH = + - MH đường cao ∆MAB MH= 2SMAB MH MA MB2 AB 2.10.2 Ví dụ 17: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh D’ đến đường chéo AC’ Giải Gọi H hình chiếu D’ AC’ d(D, AC’)=DH C'D' ⊥ D'A' (Vì A'B'C'D' hình vng) Ta có { C'D' ⊥ DD' (Vì DD'⊥(A'B'C'D') ⇒ C'D' ⊥ (ADD'A') ⇒ C'D' ⊥ D'A Vậy ∆D'AC' vuông D’ có đường cao D’H suy D'H = D'A + Vậy d(D, AC’)= a√ D'C' = (a√2) a 3a + 2= ⇒ D'H = a√ 3 2.10.3 Ví dụ 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a cạnh bên SA ⊥ (ABCD) SA = a Gọi M trung điểm cạnh CD Tính khoảng cách từ S đến đường thẳng BM Giải SVTH: Lê Văn Trung Page 28 Trong (SBM) kẻ SH ⊥ BM d(S, BM)= SH Gọi N = BM ∩ AD, ta có AD//BC DN MD ⇒ = =1 ⇒ DN = BC = a ⇒ AN = 2a BC MC BN ⊥ SA (Vì SA⊥(ABCD) Ta có { BN ⊥ SH ⇒ BN ⊥ (SAH) ⇒ BN ⊥ AH Trong ∆ABN vuông A có: AH = AB + AN = 2+ a (2a) = 4a2 ⇒ AH = 2a√5 Lại có: SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AH ⇒ ∆ASH vuông A, đó SH = √AH2 +AS2 =√ a +a2 = 3a√5 3a√5 Vậy d(S, BM)= SH = 2.11 Dạng 11: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.11.1 Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta phải xác định hình chiếu điểm M (α) Để xác định hình chiếu điểm M ta có số lưu ý sau: 1) Nếu có d ⊥ (α) MH//d (h1) Chọn (β) chứa điểm M, xác định giao tuyến ∆ = (α) ∩ (β) Trong (β) dựng MH ⊥ ∆ ⇒ MH ⊥ (α) (h2) 2) Nếu (α) có hai điểm A, B cho MA = MB (α) kẻ đường trung trực d đoạn AB, mp(M, d) dựng MH ⊥ d Khi đó MH ⊥ (α) (h3) Thật vậy, gọi I trung điểm AB Do MA = MB nên ∆MAB cân M ⇒ MI ⊥ AB ⊂ (α) Lại có: AB ⊥ d ⇒ AB ⊥ mp(M, d) ⇒ AB ⊥ MH MH ⊥ AB Vậy { ⇒ MH ⊥ (α) MH ⊥ d SVTH: Lê Văn Trung Page 29 3) Nếu (α) có điểm A đường thẳng d không qua A cho MA ⊥ d (α) kẻ đường thẳng d’ qua A d' ⊥ d Trong mp(M, d’) kẻ MH ⊥ d' ⇒ MH ⊥ (α) (h4) Thật vậy, d' ⊥ d d ⊥ MA ⇒ d ⊥ mp(M, d') ⇒ d ⊥ MH Lại có MH ⊥ d' ⇒ MH ⊥ mp(d, d') ≡ (α) 4) Nếu (α) có điểm A1 , A2 ,… , An (n > 3) mà MA1 = MA2 =… = MAn đường thẳng MA1 , MA2 ,… , MAn tạo với (α) góc hình chiếu M (α) tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác A1 A2 … An 5) Đơi khi, thay hình chiếu điểm M xuống (α) ta dựng hình chiếu điểm N khác thích hợp cho MN//(α) Khi đó, d(M, (α))= d(N, (α)) (h5) 6) Một kết có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng tứ diện vuông (tương tự hệ thức lượng tam giác vuông) là: Nếu tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vng góc có đường cao OH 1 1 = + + OH2 OA2 OB2 OC2 SVTH: Lê Văn Trung Page 30 2.11.2 Ví dụ 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh SA ⊥ (ABC) SA = h, góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60o Tính khoảng cách từ A đến (SBC) theo a h Giải Gọi I trung điểm BC AI ⊥ BC (Vì ∆ABC đều, AI đường trung tuyến) Ta có { SA ⊥ BC (Vì SA ⊥ (ABC)) ⇒ BC ⊥ (SAI) Mà (SBC) ∩ (ABC) = BC ̂ góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) Nên AIS ̂ = 60o ⇒AIS Trong (SAI) kẻ AH ⊥ SI BC ⊥ (SAI) Ta có { ⇒ AH ⊥ BC AH ⊂ (SAI) AH ⊥ BC Vậy { ⇒ AH ⊥ (SBC) AH ⊥ SI ⇒ d(A, (SBC)) = AH Vì ∆ABC cạnh a nên AI= a√3 Trong ∆AIS vng A có: AH2 = AI2 + AS2 = ( a√3 ) + h2 = 4h2 + 3a2 3a2 h2 ⇒ AH = ah√3 √4h2 + 3a2 ah√3 Hay d(A, (SBC)) = AH = √4ℎ2 + 3𝑎2 2.11.3 Ví dụ 20: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có ba kích thước AB=a, AD=b, AA’=c Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DA’C’) Giải Gọi I tâm hình bình hành ADD’A’ I trung điểm AD’ Ta có d(A, (DA’ C’ )) ’ ’ ’ d(D ,(DA C )) = IA ID’ =1 ⇒ d(A, (DA' C' )) = d(D', (DA' C' )) SVTH: Lê Văn Trung Page 31 Mặt khác ta có tứ diện D’ADC’ có cạnh D’D, D’A, D’C’ đôi vng góc nên d2 (D' , (DA' C' )) ' ' = DD' Vậy d (A, (DA C )) = 2+ D'A' 1 2+ √ + 2+ a b c = 1 1 a2 b2 +b2 c2 +a2 c2 a abc b c a2 b c2 2= 2+ D'C' 2+ 2= √a2 b2 +b2 c2 +a2 c2 2.12 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 2.12.1 Phương pháp: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ta dựng cách sau I Dựng đoạn vng góc chung MN a b Khi đó d(a, b) = MN Sau số cách dựng đọan vuông góc chung thường dùng: * Trường hợp 1: Nếu a ⊥ b ta dựng đoạn vng góc chung a b sau: - Dựng mặt phẳng (α) chứa b vuông góc với a - Tìm giao điểm O = a ∩ (α) - Dựng OH ⊥ b Đoạn OH đoạn vng góc chung a b * Trường hợp 2: Nếu a, b khơng vng góc với dựng đoạn vng góc chung a b theo cách sau: Cách 1: - Dựng mặt phẳng (𝛼) chứa b song song với a - Dựng hình chiếu A’ điểm A ∈ a (𝛼) - Trong (𝛼) dựng đường thẳng a’ qua A’ song song với a cắt b M, từ M dựng đường thẳng song song với AA’ cắt a N Đoạn MN đoạn vng góc chung a b Cách 2: - Dựng mặt phẳng (𝛼) vng góc với a - Tìm giao điểm O = a ∩ (α) Dựng hình chiếu b’ b (𝛼) - Trong (𝛼) dựng OH ⊥ b' H - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a A - Đoạn AB đoạn vng góc chung a b II Xem khoảng cách hai đường thẳng a, b chéo khoảng cách từ điểm A ∈ a đến m`ặt phẳng (𝛼) chứa b (𝛼)//𝑎 III Sử dụng d(a, b) = d((α),(β)) = d(A,(β)), A∈(α) IV Sử dụng phương pháp vecto a MN đoạn vng góc chung AB SVTH: Lê Văn Trung Page 32 CD chỉ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑥𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝑀 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑦𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐶𝐷 {𝑀𝑁 b Nếu (𝛼) có hai vecto khơng phương u⃗⃗⃗1 , ⃗⃗⃗ u2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OH ⊥ u⃗⃗⃗1 OH=d(O, (α))⇔ {⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OH ⊥ u⃗⃗⃗2 H ∈ (α) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OH.u⃗⃗⃗1 = ⇔ {⃗⃗⃗⃗⃗⃗ OH.u⃗⃗⃗2 = H ∈ (α) 2.12.2 Ví dụ 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy (ABCD) SA = a Tính khoảng cách hai đường thẳng a) SB AD b) BD SC Giải a Kẻ đường cao AH ∆SAB AD ⊥ AB (Vì ABCD hình vng) Ta có: { AD ⊥ SA (Vì SA⊥(ABCD)) ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD ⊥ AH Vậy AH đoạn vng góc chung SB AD Nên d(AD, SB) = AH ∆SAB vuông cân A có đường cao AH nên a√2 a√2 AH = SB = Vậy d(AD, SB) = AH = b Ta có: BD ⊥ AC (Vì BD AC đường chéo hình vng ABCD) { BD ⊥ SA (Vì SA ⊥(ABCD)) ⇒ BD ⊥ (SAC) SVTH: Lê Văn Trung Page 33 Gọi O tâm hình vng ABCD kẻ OK ⊥ SC, K ∈ SC OK đoạn vng góc chung BD SC Kẻ AI ⊥ SC, I ∈ SC Vậy d(BD, SC) = OK = AI Ta có: AI = AS + 1 = 2+ a AC a√6 2a = 2a2 ⇒ AI = a√ Vậy d(BD, SC) = 2.12.3 Ví dụ 22: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ BD Giải Cách 1: Dựng đường vng góc chung (theo cách phần I) tính độ dài đường vng góc chung đó BD // B'D' Ta có { nên (AB’D’) mặt phẳng AD' ⊂ (AB'D') chứa AD’ song song với BD Gọi O tâm hình vng ABCD Ta dựng hình chiếu điểm O (AB’D’) B'D' ⊥ A'C' Ta có: { ⇒ B'D' ⊥ (CC'A) ⇒ B'D' ⊥ A'C (1) B'D' ⊥ CC' Tương tự A'C ⊥ AD' (2) Từ (1), (2) suy A'C ⊥ (AB'D') Gọi G = A'C ∩ (AB'D') Do ∆AB'D' AA’=A’B’=A’D’ nên G trọng tâm ∆AB'D' Vậy gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ AI trung tuyến ∆AB'D' nên A, G, I thẳng hang Trong (ACC’A’) dựng OH//CA’ cắt AI H H hình chiếu O ∈ BD (AB’D’) Từ H dựng đường thẳng song song với BD cắt AD’ M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt BD N MN đoạn vng góc chung AD’ BD đó d(AD’, BD) = MN Dễ thấy MNOH hình chữ nhật nên MN = OH Do OH đường trung bình ∆ACG ⇒ OH = CG Mặt khác ⇒ OH = GC = AC 2 2√3a 3 = ⇒ CG = 2GA' ⇒ CG = CA' = a√3 = GA' A'I 2√3a √3a = 3 ' a√3 Vậy d(AD , BD) = MN = OH = Cách 2: Dựng đường vuông góc chung (theo cách phần I) tính độ dài đoạn vng góc chung Chọn (DCB’A’) vng góc với AD’ trung điểm O AD’ Gọi I tâm hình vng BCC’B’ BI ⊥ CB' BI ⊥ CD nên BI ⊥ (DCB'A') từ đó DI hình chiếu BD lên (DCB’A’) SVTH: Lê Văn Trung Page 34 Trong (DCB’A’) kẻ OH ⊥ DI, từ H dựng đường thẳng song song với AD’ cắt BD M, từ M dựng đường thẳng song song với OH cắt OA N MN đoạn vng góc chung AD’ BD đó d(AD’, BD) = MN Ta có OHMN hình chữ nhật nên MN = OH, mặt khác OH đường cao tam giác vuông ODI nên: OH = OD + OI Vậy d(AD’, BD) = MN = OH = = 𝑎√2 ( ) + 𝑎2 a√ a = ⇒ OH = a√ 3 Cách 3: Giả sử MN đoạn vng góc chung AD’ BD với M ∈ AD', N ∈ BD Từ M kẻ MP ⊥ AD, từ N kẻ NQ ⊥ AD Dễ thấy BD ⊥ (MNP) ⇒ BD ⊥ NP, AD' ⊥ (MNQ) ⇒ AD' ⊥ MQ a ∆AMQ ∆AMQ vuông cân nên QD = QN = QP = MP = PA = Lại có PN = DP √2 2a = 3√2 = a√2 2 a a√2 a2 a√3 Từ đó MN = PM + PN = ( ) +( ) = ⇒ MN = 3 3 Cách 4: Xem khoảng cách cần tìm khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng đó AD' ⊂ (AB' D' ) Dễ thấy { BD ⊂ (BDC') (AB' D' ) // (BDC' ) ⇒d(AD' , BD) = d((AB'D'),(BDC')) Gọi I, J giao điểm A’C với mặt phẳng (AB’D’), (BDC’) Theo chứng minh cách I, J trọng tâm ∆AB' D' ∆BDC' Mặt khác dễ dàng chứng minh A'C ⊥ (AB'D'), A'C ⊥ (BDC') a√3 Suy d(AD' , BD) = d((AB'D'),(BDC'))=IJ= A' C= 3 Cách 5: Sử dụng phương pháp vecto Gọi MN đoạn vng góc chung AD’ BD với M ∈ AD' , N ∈ BD Đặt ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB = x ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD = y ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AA' = z ⇒ |x⃗ | = |y⃗ | = |z| = a, x⃗ y⃗ = y⃗ z = x⃗ z = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = kAD' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = k(y⃗ +z), DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = x⃗ - y⃗ ⇒ DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = m(x⃗ -y⃗ ) AD' = y ⃗ + z ⇒ AM Ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MN = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AN - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AM = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DN - ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AM = mx⃗ - (1 - k - m)y⃗ - kz ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⇔ [mx⃗ - (1 - k - m)y⃗ - kz]( x⃗ - y⃗ ) = Vì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MN ⊥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DB ⇒ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MN.DB ⇔ 2m + k - = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⇔ - m - 2k = 0, từ đó ta có hệ {2m + k - = ⇔ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD' Tương tự MN - m - 2k = m=k= SVTH: Lê Văn Trung Page 35 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = √1 (x⃗ +y⃗ + z) = a√3 Vậy ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ MN = x ⃗+ y ⃗ + z ⇒ MN = |MN 3 2.13 Dạng 13: Ứng dụng phép chiếu vng góc để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo 2.13.1 Phương Pháp: Cho hai đường thẳng chéo AB CD Xét mặt phẳng (𝛼) vng góc với CD điểm O Gọi IJ đoạn vuông góc chung AB CD (I ∈ AB, J ∈ CD) Xét phép chiếu vng góc lên (𝛼) Gọi A’, B’, I’là hình chiếu A, B, I IJ = OI’, Từ đó d(AB, CD) = d(O, A’B’) Vậy để tính IJ ta qui tính OI’ mặt phẳng (𝛼) 2.13.2 Ví dụ 23: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Tính khoảng cách hai đường thẳng BN CM Giải Gọi H tâm tam giác BCD AH ⊥ (BCD) Gọi (𝛼) mặt phẳng qua N song song với AH (α) ⊥ BN Xét phép chiếu vng góc lên (α), gọi A’, B’, C’, D’, H’, M’, N’lần lượt ảnh A, B, C, D, H, M, N B' ≡ N' ≡ H' ≡ N, C' ≡ C, D' ≡ D Ta có d(CM, CD) = d(N, CM’) 2 a√3 3 Lại có: BH = BN = = a√3 AH = √AB2 - BH2 = √a2 - ( a√3 ) = a√2 1 2 NM' = AH = 𝑎 √6 a√ = ' ∆NCM vuông N nên: d (N, CM') = CN + NM' = a ( ) + a ( ) √6 = 10 a2 ⇒ d(N, CM' )= a√10 10 a√10 Vậy d(CM, BN) = d(N, CM' )= 10 2.13.2 Ví dụ 24: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB B’C’ Tính khoảng cách hai đường thẳng AN DM SVTH: Lê Văn Trung Page 36 Giải Gọi E trung điểm BC ̂ = AEB ̂ Dễ thấy ∆ADM= ∆BAE nên AMD ̂ + AEB ̂ = 90 ⇒ AMD ̂ + BAE ̂ = 900 Mà BAE ⇒ DM ⊥ AE Lại có EN ⊥ (ABCD) ⇒ EN ⊥ DM đó (AEN) ⊥ DM I Xét phép chiếu vng góc lên (ANE), ta có AN hình chiếu nên d(DM, AN) = d(I, AN) Gọi K hình chiếu I AN d(I, AN) = IK Ta có: ∆AKI~ ∆AEN, suy IK AI AI EN = ⇒ IK = (1) EN AN AN ∆ABE vng B có: AE = √AB2 +EB2 =√a2 +( a ) = a√5 2 a√5 2 ) +a ∆AEN vuông E có: AN = √AE2 +EN2 =√( = 3a ∆AMD vng A có: AI = AM Thay vào (1) ta IK = Vậy d(DM, AN) = + AD a√5 a√5 3a = 𝑎 ( )2 = + 𝑎2 a√5 a = ⇒ AI = 2a√5 2a√5 SVTH: Lê Văn Trung Page 37 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu đề tài, làm số việc sau: - Khái quái kiến thức liên quan phần quan hệ vng góc hình học khơng gian lớp 11 - Đưa 13 dạng toán - Đưa 24 ví dụ minh họa phương pháp ứng với dạng đề xuất Do thời gian nghiên cứu hạn chế nên q trình làm khóa luận khơng thể khơng mắc thiếu sót Kính mong q thầy bạn góp ý, bổ sung để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn SVTH: Lê Văn Trung Page 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện (2009), Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2018), Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn, Hà Nội [3] Các trang Website Internet SVTH: Lê Văn Trung Page 39 SVTH: Lê Văn Trung Page 40 ... 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 Để nâng cao lực cho sinh viên ngành sư phạm toán dạy học phần kiến. .. trình hình học khơng gian lớp 11, tơi chọn đề tài nghiên cứu khóa luận là: ? ?Nâng cao lực cho sinh viên ngành sư phạm tốn dạy học kiến thức hình khơng gian lớp 11? ?? nhằm nâng cao lực cho sinh viên ngành. .. 13 CHƯƠNG 2: NÂNG CAO NĂNG LỰC CHO SINH VIÊN NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN VỀ DẠY HỌC PHẦN KIẾN THỨC QUAN HỆ VNG GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN LỚP 11 13 2.1 Dạng 1: Tính góc hai đường thẳng