Một số định lý về luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên có mô men tuyệt đối vô hạn

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ MINH CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Đà Nẵng – Năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HỒ MINH CHÂU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ VỀ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Lê Văn Dũng Đà Nẵng – Năm 2020 LỜI CẢM ƠN Trong thời gian thực đề tài, em gặp khơng khó khăn nhờ giúp đỡ từ phía thầy cơ, gia đình, bạn bè nỗ lực thân, em tìm tịi, học hỏi nhiều kiến thức bổ ích cho thân hồn thành luận văn Lời đề tài luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến giảng viên hướng dẫn TS Lê Văn Dũng tận tình bảo, giúp đỡ động viên em suốt q trình thực đề tài, để em hoàn thành đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất quý thầy tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập mái trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng Em xin chân thành cảm ơn! Hồ Minh Châu MỤC LỤC Lời cam đoan Danh mục kí hiệu MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ CHƯƠNG 2: LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VÔ HẠN 2.1 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 2.2 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT 13 KẾT LUẬN 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng em Các kết nêu khóa luận trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Nếu không nêu trên, em xin hồn tồn chịu trách nhiệm đề tài Hồ Minh Châu DANH MỤC KÝ HIỆU Với  an ; n  1  bn ; n  1 dãy số thực dương an bn :  liminf an a  limsup n   bn bn an 0 n b n an  o  bn  : lim an bn an 1 n  b n : lim (Những kí hiệu sử dụng cho hai hàm thực dương f  x  g  x  ) I  A : Hàm tiêu tập hợp A MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong Giải tích thực, Hàm biến phân chậm hàm biến thực có đặc tính tương tự hàm hội tụ vô cực Lớp hàm giới thiệu Jovan Karamata vào năm 1987 Từ đến nay, Hàm biến phân chậm có nhiều ứng dụng quan trọng ngành Toán học, đặc biệt Lý thuyết xác suất – mơn tốn học nghiên cứu quy luật khách quan tượng ngẫu nhiên Một kết quan trọng Lý thuyết xác suất Luật số lớn, Hàm biến phân chậm đóng vai trị lớn việc phát triển lý thuyết Tuy nhiên khái niệm Hàm biến phân chậm Luật số lớn cịn xa lạ với nhiều sinh viên khoa tốn nhiều vấn đề mở chưa giải đáp Với mong muốn cung cấp khái niệm, nghiên cứu số tính chất Luật số lớn hàm biến phân quy, hướng dẫn TS Lê Văn Dũng, em chọn đề tài nghiên cứu: Một số định lý Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên có mơ men tuyệt đối vô hạn II MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI Giới thiệu hàm biến phân chậm, đồng thời chứng minh định lý bổ đề liên quan đến Luật yếu số lớn đối dãy biến ngẫu nhiên độc lập dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men tuyệt đối vô hạn, nhằm đưa số kết chứng minh tính đắn chúng III NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nghiên cứu khoa học em trình bày hai chương: Chương trình bày số kiến thức Hàm biến phân chậm Luật số lớn, định nghĩa Hàm biến phân chậm, số định nghĩa tính chất Lý thuyết xác suất khái niệm Độ đo xác suất, khái niệm tính chất Biến ngẫu nhiên, khái niệm Hội tụ theo xác suất, khái niệm tổng quát Luật số lớn, định nghĩa Luật yếu số lớn, định lý Markov, định lý Chebyshev Chương trình bày bổ đề định lý liên quan, từ trình bày số kết Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men tuyệt đối vô hạn IV HƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Bài nghiên cứu khoa học em sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết Đồng thời, nghiên cứu kết tác giả trước để tìm điều V BỐ CỤC ĐỀ TÀI Mở đầu Chương Kiến thức sở Chương Luật số lớn dãy biến ngãu nhiên có mơ men tuyệt đối vô hạn 2.1 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập 2.2 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 LÝ THUYẾT XÁC SUẤT Định nghĩa 1.1.1 Cho P:   -đại số không gian mẫu  Hàm tập hợp gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện: (1) Với A  F ,  P( A)  ; (2) P()  ; (3) Nếu A1 , A2 , , An ,  đôi xung khắc ( Ai  Aj   với i  j )  P( n 1  An )   P( An ) n 1 Khi đó, P( A) gọi xác suất biến cố A ( ; ; P ) gọi không gian xác suất Từ định nghĩa ta có số tính chất xác suất sau Tính chất 1.1.2 (1) P()  (2) P ( A)  P ( A)  (3) Nếu A  B P( A)  P( B) (4) Cho A1 , A2 , , An  n P( i 1 Khi ta có: n Ai )   P( Ai )   P( Ai1 Ai1 )  (1) r i 1 i1 i2  i1 i2  ir P( Ai1 Ai1 Air )  (1) n1 P( A1 A2 An ) 1.2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1.2.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.2.1 Cho không gian xác suất (, , P) Ánh xạ X :   gọi Biến ngẫu nhiên với a : X 1 ((; a))  {  : X ()  a} Tập tất giá trị X gọi miền giá trị X kí hiệu X () 1.2.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2.2 Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số: F ( x)  P( X  x), x  gọi hàm phân phối xác suất X 1.2.3 Kì vọng Định nghĩa 1.2.3 Cho biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất (, , P) có hàm phân phối xác suất FX ( x) Kì vọng biến ngẫu nhiên X , kí hiệu E ( X ) , định nghĩa: E ( X )   xdFX ( x) tích phân vế phải tích phân Lebesgue - Stieljes Tính chất 1.2.4 (1) Nếu X  C số E(C)  C (2) Nếu a, b  X , Y hai biến ngẫu nhiên xác định không gian mẫu  thì: E(aX  b)  aE( X )  b E( X  Y )  E( X )  E(Y ) 1.2.4 Phương sai độ lệch chuẩn Định nghĩa 1.2.5 Cho biến ngẫu nhiên X Khi đó, đại lượng: V ( X )  E( X  E( X ))2 gọi phương sai X , SD( X )  V ( X ) gọi độ lệch chuẩn X Tính chất 1.2.6 (1) V ( X )  , V ( X )  X  C (hằng số) (2) V ( X )  E( X )  ( E( X ))2 (3) V (aX  b)  a2V ( X ) với a, b  1.2.5 Biến ngẫu nhiên độc lập Định nghĩa 1.2.7 (1) Các biến ngẫu nhiên X1 , X , , X n ( n  ) gọi độc lập với x1 , x2 , , xn  ta có: n P( {X k  xk })  P ({ X  x1}) P ({ X  x2 }) P({ X n  xn }) k 1 (2) Các biến ngẫu nhiên X1 , X , , X n ( n  ) gọi độc lập đôi với i  j , X i X j hai biến ngẫu nhiên độc lập 10  1  mn c k 1 nk E X " nk   C  c E  X I  X  c  1 mn k 1 1 nk nk   r  o   cnk H  cnk  1   o  k 1  mn Vậy: P Sn''   n   (2) Từ (1) (2), ta được: mn c  X k 1 nk k P  E  X k     n   Hệ 2.1.7 Cho dãy  X n ; n  1 Định lý 2.1.6 Giả sử: max cnk Dn1  n   1 k  mn Với  r  , đó: mn P cnk  X k  E  X k     n    Dn k 1 Hệ 2.1.8 Cho dãy  X n ; n  1 Định lý 2.1.6 Với  r  , đó: mn P X k  E  X k     n     Dn k 1 Định lý 2.1.9 Cho  X n ; n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập có mơ men cấp r vô hạn với  r  Giả sử P  X  x  X n ; n  1 bị chặn biến ngẫu nhiên X cho x  r Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 mảng số thực cho: mn c k 1 nk r  Khi đó: mn c  X k 1 nk k P  E  X k     n   Chứng minh Với n  1,  k  mn , đặt: X nk'  X k I  cnk X k  1 X nk"  X k I  cnk X k  1 ; 11  mn S   cnk X  E  X ' n k 1 ' nk  S   c  X mn " n ' nk k 1 nk " nk  E  X nk"   P ' 0  Ta chứng minh: Sn  Với   , áp dụng Bất đẳng thức Chebyshev Bổ đề 2.1.2 ta được:   2    ' nk P S   E S  ' n 2 mn c k 1 mn nk E X  1  2   C 2  P X  cnk k 1  mn    E   cnk X nk'  E  X nk'    k 1  ' n  2 mn c nk k 1   E X k I  cnk X k  1   mn  C 2  cnk E ( X I X  cnk k 1 cnk  1  cnk   C  n c k 1 r nk  n   P " 0  Ta chứng minh: Sn  Ta có:     P S   E S " n mn 1  " n  mn  " "   E   cnk X nk  E  X nk   k 1   1  mn   "   1  cnk E X nk  C 1  cnk E X I X  cnk k 1 k 1  1  cnk  n  C 1  cnk  n   r k 1 Hệ 2.1.10 Cho  X n ; n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập có momen cấp r vơ hạn với  r  Giả sử  X n ; n  1 bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X cho P  X  x x r Cho  bn ; n  1 dãy số thực dương cho: n1 r 0 n b n lim Khi đó: n P X k   n    bn k 1 Ví dụ 2.1.11 Cho  X n ; n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập P  X n     cn r và: 12 P  X n  x   x  cn  r với x  Khi r  ,  cn ; n  1 dãy số dương cho: inf cn   c  Dễ dàng ta thấy,  X n ; n  1 bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X xác định P  X     c  r và: P  X  x   x  c r x  r với x  Ví dụ 2.1.12 Cho  X , X n ; n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập với:  2r  P X   2k    2k1  2k k  2 k với k  , k  r  Với  r  , ta có m  E  X    0;   P  X  x  P  X  m  x  x  r cho: x r Áp dụng Định lý 2.1.9 với mn  n cnk  k r  log n  l  n  , với l  n    n  n 1 P X k  m    n    1r   log n  l  n  k 1 k Hơn nữa, E X   với  s  r , áp dụng luật yếu Marcinkiewicz-Zygmund: s n1 r n  X k 1 k P  m    n   Mặt khác, áp dụng Hệ 2.1.10, ta có: n P  n    X k  m   1r n l  n  k 1 Với l  n    n   13 2.2 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT Bổ đề 2.2.1 Cho X , X , , X n dãy biến ngẫu nhiên độc lập trực giao có kì vọng Khi tồn số dương c khơng phụ thuộc n cho:  (1) E  max  1 k  n  n  X  c ln n E  X i2       i  i 1 i 1   (2) E  max  1k n  n X  i    E Xi i 1  i 1 k k Định lý 2.2.2 Cho  r   X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men cấp r vơ hạn Giả sử dãy  X n , n  1 bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên   X H  x   E X I X  x hàm biến phân chậm  Giả sử Tn , n  1 dãy biến r ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với ( X n , n  1), thỏa mãn: P Tn  mn   n   Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 dãy số thực cho:  r sup ln  4n   cnk H  n k 1  cnk mn  cnk  n      1max  k  mn  Khi với  r  thì: Tn c  X k 1 nk nk P  E  X nk     n   Chứng minh Với n  1,1  k  mn Đặt: X nk'  X nk I  cnk X nk  1 ; X nk''  X nk I  cnk X nk  1 ' " " Khi đó: X nk  X nk  X nk E  X nk   E  X nk'   E  X nk  Tn    ; S   c  X Đặt: S   cnk X  E X ' n k 1 ' nk ' nk '' n Tn k 1 nk " nk  E  X nk"  ' " Khi đó: Sn  Sn  Sn P  S n'  0  , ta chứng minh:  '' P Để chứng minh Sn  0  S n  P  14 P ' 0  Đầu tiên ta chứng minh Sn  Do ( X n , n  1) độc lập đôi nên ( X nk'  E  X nk'  ,1  k  mn ) dãy biến ngẫu nhiên trực giao Do đó, với 𝜀 > bé tùy ý:  Tn  P S    P   cnk X nk'  E  X nk'      k 1     Tn    ' ' X nk  E  X nk      Tn  mn     P   cnk X nk'  E  X nk'      Tn  mn      k 1       Tn   P   cnk   k 1    ' n     P  max  1l mn  c  X l k 1 nk ' nk    E  X nk'      P Tn  mn    Với   , áp dụng bất đẳng thức Markov:  P S    E  max  1l mn     ' n c  X l k 1 nk ' nk  EX ' nk     P Tn  mn    Ta được:   P Sn'           P S   k 1       P Tn  mn  ln  4n   cnk2 E X nk'  E  X nk'   P Tn  mn  k 1 mn    ln  4n   cnk2 E  X nk'   E E  X nk'   P Tn  mn  c  k 1 mn ln  4n   cnk2 E  X nk'   P Tn  mn  c  k 1 c  mn   ln  4n   cnk2 E X nk2 I  cnk X nk  1  P Tn  mn  k 1   ln n c E X     nk  X nk I  nk    cnk k 1   cnk  c Với q  t  ' n  mn c  mn ln  4n   E cnk X nk'  E  X nk'  c mn     P Tn  mn   (cnk  0) ta được: cnk        ln n c P X   E X I X            P Tn  mn   nk    cnk2  2 cnk  c k 1 nk       cnk  c mn 15         ln n P X   c E X I X            P Tn  mn   nk     2 cnk  c k 1 nk      c 0  c mn nk Với max cnk  1 k  mn  cnk Với   bé tùy ý xn    ta được: cnk    H      r c   cnk  nk  P  X  cnk    E  X I  X   cnk          H       2r c   cnk nk      Thay vào biểu thức trên, ta được:   r ln n c H     nk 2 k 1  cnk c 0  c P S   ' n mn    P Tn  mn   nk Khi n     thì: P Sn'   n   (1) P " 0  Tiếp theo ta chứng minh Sn  Với   bé tùy ý:  Tn  " " P S    P   cnk X nk  E  X nk    k 1     Tn    " " " " X nk  E  X nk    T  m  P c X  E X    T  m       n n     nk nk  nk   n n     k 1       Tn   P   cnk   k 1    " n     P  max  1l mn  c  X l k 1 nk " nk   E  X nk"      P Tn  mn    Áp dụng bất đẳng thức Markov:   P Sn"    Ta được:  E  max   1l mn c  X l k 1 nk " nk   E  X nk"    P Tn  mn     16    E c X  nk c   Với p  t    nk mn  c k 1 cnk  n nk  E X nk I  X nk  cnk     P Tn  mn   (cnk  0) ta được: cnk  P S   " n Với max cnk  1 k  mn Với xn  nk mn n E X nk I  cnk X nk  1  P Tn  mn  c k 1 " nk E  X nk"   P Tn  mn  c   " nk nk mn   E  X nk"   P Tn  mn   E  X   E  E  X     P T  m  mn " nk E X nk"  E  X nk"   P Tn  mn  c  k 1   mn k 1  nk k 1 k 1  mn P S   " n c  mn c nk k 1 cnk    E  X I  X   cnk       P Tn  mn    cnk ta được: cnk   P S n"      r cnk H    P Tn  mn    k 1 c nk   c 0 c mn  nk Vậy: P Sn"   n   (2) Từ (1) (2) ta được: Tn c  X k 1 nk nk P  E  X nk     n   Định lý 2.2.3 Cho  r  ( X n , n  1) dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi có mơ men cấp r vơ hạn Giả sử ( X n , n  1) bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X 17 cho P  X  x  x  r l  x  Giả sử Tn , n  1 biến ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên không âm, độc lập với ( X n , n  1), thỏa mãn: P Tn  mn   n   Cho  cnk ;1  k  mn , n  1 dãy số thực thỏa mãn: mn c k 1 r nk   l    c  nk  Khi với  r  thì: Tn c  X nk k 1 nk P  E  X nk     n   Chứng minh Với n  1,1  k  mn Đặt: X nk'  X nk I  cnk X nk  1 ; X nk''  X nk I  cnk X nk  1 ' " " Khi đó: X nk  X nk  X nk E  X nk   E  X nk'   E  X nk   Tn   ; S   c  X Đặt: S   cnk X  E X ' n k 1 ' nk Tn '' n ' nk k 1 nk '' nk  E  X nk''   P  S n'  0 P '' 0  S n  P  , ta chứng minh:  Để chứng minh Sn  P ' 0  Đầu tiên ta chứng minh Sn  Với   bé tùy ý:  Tn  P S    P   cnk X nk'  E  X nk'      k 1     Tn    X nk'  E  X nk'      Tn  mn     P   cnk X nk'  E  X nk'      Tn  mn      k 1       Tn   P   cnk   k 1    ' n    l    P  max  cnk X nk'  E  X nk'      P Tn  mn   1l mn k 1  Áp dụng bất đẳng thức Markov:   P S    E  max  1l mn    ' n   l   cnk X k 1 ' nk  EX ' nk     P Tn  mn     18 Ta được:   P Sn'     mn    ln  4n   E cnk X nk'  E  X nk'  c k 1  mn    P Tn  mn  ln  4n   cnk2 E X nk'  E  X nk'   P Tn  mn  c  k 1 m c  ln  4n   cnk2 E  X nk'   E E  X nk'   P Tn  mn   k 1 m c  ln  4n   cnk2 E  X nk'   P Tn  mn   k 1 n    n   c    P S      ln  4n   cnk2 E X nk2 I  cnk X nk  1  P Tn  mn  k 1   ln n c E X     nk  X nk I  nk    cnk k 1   cnk  c Với q  t  ' n mn mn     P Tn  mn   (cnk  0) ta được: cnk        ln n c P X   E X I X            P Tn  mn   nk    cnk2  2 cnk  c k 1 nk       cnk  c mn mn        ln n P X   c E X I X        nk       P Tn  mn   2 c c k 1 nk  nk       cnk   c Ta được:  P Sn'   mn  r  ln n     cnk l   k 1   cnk cnk   c  r  ln n c l      nk  2 k 1   cnk cnk  c mn    cnk cnk  r 2  r    cnk l    cnk   l     P Tn  mn  c  nk       P Tn  mn   mn r   ln n cnk l      P Tn  mn     c k 1 nk   c 0 c nk Vậy: (3) P Sn'   n   19 P " 0  Tiếp theo ta chứng minh Sn  Với   bé tùy ý:  Tn  " " P S    P   cnk X nk  E  X nk    k 1     Tn    " " " " X nk  E  X nk      Tn  mn     P   cnk X nk  E  X nk      Tn  mn     k 1       Tn   P   cnk   k 1    " n     P  max  1l mn  c  X l nk k 1 " nk    E  X nk"      P Tn  mn    Áp dụng bất đẳng thức Markov:   P Sn"     E  max   1l mn c  X l k 1 nk " nk   E  X nk"    P Tn  mn    Ta được:   E c X   c  nk k 1  mn c  nk k 1   Với p  t    mn c   E  X nk"   P Tn  mn  " nk " nk n n E  X nk"   P Tn  mn  E X nk I  cnk X nk  1  P Tn  mn   E X nk I  X nk  cnk  c k 1 cnk  " nk  E  X   E  E  X     P T  m  mn  nk k 1 nk k 1 mn mn P Sn"    nk    P Tn  mn   (cnk  0) ta được: cnk  P S   " n c  mn c k 1 cnk  nk   E  X I  X   cnk       P Tn  mn   Ta được:  P S  " n  c  mn  k 1 cnk  cnk cnk r 1   l    P Tn  mn   cnk  20 r   cnk l    P Tn  mn    k 1 c nk   c 0 mn c  nk Vậy: P Sn"   n   (4) Từ (3) (4) ta được: Tn c  X k 1 nk nk P  E  X nk     n   Ví dụ 2.2.9 Cho  r  Xét dãy biến ngẫu nhiên ( X n , n  1) liên tục, độc lập đôi có phân bố xác suất với hàm mật độ xác suất chung:  r  f ( x)   x r 1  0 x  x  Ta có E | X |r I | X | x    x  E | X |r I | X | x    ln x x  H  x   E | X |r I | X | x    hàm biến phân chậm Xét Tn , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập với  X n , n  1 , có phân bố Poisson với tham số   0, tức là: P Tn  k   e  k k! , k Khi P Tn  k   k   Xét dãy số cnk   cnk ;1  k  n, n  1 với với  k  n Ta có: ln(n)k n   r sup  ln  4n   cnk H  n  k 1  cnk  max cnk  1 k  n   ln  4n    c sup     r n n     n   ln(n) Vì vậy, áp dụng Định lí 2.2.2 ta được: Tn  r  P  n     Xk    ln(n) k 1 k  r 1  21 Ví dụ 2.2.10 Cho  r  Xét dãy biến ngẫu nhiên  X n , n  1 liên tục, độc lập đơi có phân bố xác suất với hàm mật độ xác suất chung:  c ln x  f ( x)   x r 1  0 x  x  Trong c số dương thỏa mãn   Ta có: P  X  x   X n , n  1 f ( x)dx   x  r ln x Xét Tn , n  1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập với có phân bố Poisson với tham số   Khi đó: P Tn  k   k   Xét dãy số  cnk ;1  k  n, n  1 với cnk  n ln  4n   cnk k 1 r với  k  n Ta có: ln(n)k   ln (4n) l   n     c r 1 c n  nk  Vì vậy, áp dụng Định lí 2.2.3 ta được: Tn P X k  E  X     n     ln(n) k 1 k 22 KẾT LUẬN Qua trình nghiên cứu, từ kết thu được, em kết luận: Đề tài góp phần cung cấp khái niệm Hàm biến phân chậm ứng dụng Luật số lớn biến ngẫu nhiên độc lập có mơ men tuyệt đối vơ hạn Đề tài trình bày kết hội tụ theo xác suất dãy biến ngẫu nhiên độc lập dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men tuyệt đối vơn hạn với  r  Đối với trường hợp  r  biến ngẫu nhiên không cần giả thuyết độc lập, nên đề tài em không xét Đề tài đưa ví dụ minh họa cho kết thu Đây lần em thực đề tài này, kiến thức chưa đủ sâu rộng nên nội dung thực cịn nhiều hạn chế sai sót Rất mong nhận góp ý xây dựng q thầy để nghiên cứu hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2001) Lý thuyết xác suất, Nhà Xuất Giáo dục [2] Bingham N, Goldie C and Teugels J (1989) Regular Variation, Cambridge University Press [3] Hồ Minh Châu, Lê Văn Dũng, Lương Thị Mỹ Hạnh (2018) Luật số lớn tổng ngẫu nhiên có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập đơi có mơ men cấp r vơ hạn, Tạp chí Khoa học, Trường Đại học Sư phạm – ĐH Đà Nẵng, 30 (04), 1-7 [4] Dung LV, Son TC and Hai Yen NT (2018) Weak Laws of Large Numbers for sequences of random variables with infinite rth moments Acta Mathematica Hungarica, 156, 408-423 ... 2: LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VÔ HẠN 2.1 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP 2.2 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP ĐÔI MỘT... ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN CĨ MƠ MEN TUYỆT ĐỐI VƠ HẠN 2.1 LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN ĐỘC LẬP Định nghĩa 2.1.1 Dãy biến ngẫu nhiên  X n , n  1 bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên. .. Chương Luật số lớn dãy biến ngãu nhiên có mơ men tuyệt đối vơ hạn 2.1 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập 2.2 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 LÝ THUYẾT