Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp

MỤC LỤC Nội dung Trang Chương bổ sung : Các trường số ………………………………………….……….… …….2 Chương 1: Hàm số - Giới hạn -Liên tục….…….……………………… ……………….… Chương 2: Đạo hàm - Vi phân -Tính tích phân hàm biến số……………….…… ……16 Bài 1: Đạo hàm - Vi phân hàm biến số ……… …………….…… ….…… 16 Bài 2: Phép tính tích phân hàm biến số…………….…………….….………… 27 Chương 3: Lý thuyết chuỗi.………… … …………………………… ………………… 44 Chương 4: Đạo hàm, -Vi phân - Hàm nhiều biến … ………………… …………… … 52 Chương 5: Ma trận - Định thức – Hệ phương trình tuyến tính………… … ………………61 Bài 1: Ma trận…………………………………… …… … ………….…………… 61 Bài 2: Định thức…………………………………………… ………….……….…… 66 Bài 3: Hệ phương trình tuyến tính…………………… … ………….……….… … 78 Chương 6: Phương trình vi phân bản…………… …………………………………… 92 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………………… 103 Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp Chương bổ sung CÁC TRƯỜNG SỐ  Mục tiêu: Sau học xong phần này, người học nhận dạng kiến thức trường số TẬP CÁC SỐ   Z =  0;  1;  2;   Tập số tự nhiên: N = 1; 2;  Tập số nguyên:   p Q =  x cho x  ; p, q  Z , q  0 q   Một số hữu tỷ viết dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ:  0,25 ;  0,75 4 7  1,1666 ta viết  1,1(6) 6 15 15  1,363636 hay  1, (36) 11 11 Ngược lại, cho số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỷ a a a p  Số thập phân hữu hạn a0,a1, a2,…an biểu thị số hữu tỷ  a0   22    nn q 10 10 10  Số thập phân vơ hạn tuần hồn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) biểu thị số hữu tỷ a b a a p 10 mn b1 b2  a0   22    nn  m (     mm ) q 10 10 10 10  10 10 10 + Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn xem số thập phân vơ hạn tuần hồn, 1  0,25(0) chẳng hạn:  0,25000 hay 4 Như có đồng tập số hữu tỷ tập số thập phân vô hạn tuần hoàn Một số biểu diễn dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn gọi số vơ tỷ Tập số vơ tỷ kí hiệu là: I Ví dụ:  1,414213562 ; Tập số thực R = Q  I   3,141592653 Đường thẳng thực ( trục số ): Trên đường thẳng  lấy điểm O làm gốc chọn vectơ đơn vị OE  e số x số thực tồn điểm M thuộc đường thẳng  cho OE  xe Khi điểm M gọi điểm biểu diễn hình học số thực x đường thẳng  đường thẳng  gọi đường thẳng thực hay trục số x O E M Hình 1.1 SỐ PHỨC  Số phức số có dạng: z = a + ib Trong a, b  R, i đơn vị ảo với i2 = -  Ta ký hiệu: a = Rez gọi phần thực; b = Imz gọi phần ảo C tập hợp tất số phức  Tập số hữu tỷ: Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Số phức z = a + ib biểu diễn hình học điểm M(a; b) mp Oxy  Số phức z  a  ib đựoc gọi số phức liên hợp số phức z = a + ib, hai số phức liên hợp đối xứng qua Ox y 2.1 Phép toán Cho số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, b M(a; b) ta có:     z z =  a a - b b  + i  a b + a b  z a a +bb ba -a b = +i ; z z a +b a +b z = a + ib z1 ± z2 = a1 + a + i b1 + b2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Rez1 = Rez2 z1 = z2 Û  Imz1 = Imz2 r  2 ¹0  a x z  a  ib -b H 1.2 Chú ý: Ta thực phép toán theo quy tắc chung thuận tiện Ví dụ: (1 – 3i) + (- + 7i) = - + 4i ( – i)(2 + i) = + i – 2i – i2 = – i 4i 4i    i   i   i  17 2.2 Dạng lượng giác số phức Ta biểu diễn số phức z = a + ib vectơ OM , gọi r  OM  a  b mođun số phức z, ký hiệu: z   Góc   Ox, OM xác định sai khác 2k ; k  Z gọi argumen, b Ký hiệu: Argz Ta có tg  a Từ ý nghĩa hình học, ta có a  r cos  ; b  r sin   z  r cos   i sin   Ví dụ: Biểu diễn số phức z = + i dạng lương giác Giải     Ta có: r  12  12  , tg      z   cos  i sin  4 4  Cho số phức z  r cos   i sin  ; z1  r1 cos 1  i sin 1 ; z2  r2 cos 2  i sin 2      z z  r z cos       i sin          z z  z z ; Arg  z z   Argz  Argz  2k z r  cos       i sin        z r  1 2 1 2 1  z1 z2  z1 z2 ; 1 2  2 z  Arg    Argz1  Argz2  2k z   2 n zn  rn cos n  i sin n   z n  z ; n z  u  un  z Biểu diễn u dạng u   cos   i sin   Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp   Arg z n  nArgz  2k Ta có: u n  z  n cos n  i sin n  r cos   i sin        r n  r      k2 ; k  0; n  n    k2    n    k2   k2   u  n r  cos  i sin  ; k  0; n  n n   n Ví dụ:  Tính A   i  20 u   i    Giải: Ta có: A   cos  i sin   A  210 cos 5  i sin 5   210 4      k2  k2  z2   cos  i sin   4       k8   k8   cos  i sin  ; k  0; 16 16    u   i có giá trị:    u0   cos  i sin  16 16    9 9  u1   cos  i sin  16 16    17  17   u2   cos  i sin  16 16    25 25  u3   cos  i sin  16 16   KHOẢNG - LÂN CẬN 3.1 Định nghĩa Khoảng tập hợp số thực ( điểm ) nằm hai số thực ( hay hai điểm ) Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: a, b  x  R \ a  x  b Khoảng mở: a, b  x  R \ a  x  b Khoảng nửa đóng, nửa mở: a, b  x  R \ a  x  b; a, b  x  R \ a  x  b Khoảng vô hạn:  , a  x  R \ x  a;  , a  x  R \ x  a b,    x  R \ x  b; b,    x  R \ x  b 3.2 Định nghĩa: Giả sử a số thực, khoảng mở (a -  , a +  ) (với  > 0) gọi lân cận bán kính  a ( ) a - a a + Hình 1.3 Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Câu hỏi củng cố 4.1 Hãy dùng giản đồ Vence để biểu diễn trường số mà bạn học? 4.2 Bài tập tự luận: 4.2.1 Thực phép toán sau: a) (2  i)(3  i)  (3  2i)(4  i); b) (3  5i)(2  i)  (1  2i)(5  3i); (5  i)(7  6i) (5  i)(3  5i) c) d) ; ; 3i 2i (1  i ) e) (2  i)  (2  i) ; f) ; (1  i ) 4.2.2 Tính: i77, i98, i-57, in, n  Z 4.2.3 Chứng minh đẳng thức: a) (1  i) 8n  4n , n  Z ; b) (1  i) 4n  (1) n 2n , n  Z ; 4.2.4 Tìm số thực x,y thỏa mãn phương trình: a) (2  i) x  (1  2i) y   4i; b) (3  2i) x  (1  3i) y   9i 4.2.5 Tìm dạng lượng giác số phức sau: (a) 5; (b)  2; (c)  3i; (d )  i; (e)  i;  i; ( g )1  (2  (f) 4.2.6 Tính biểu thức: (a) (1  i )1000 ; 3)i; (b) (1  i 3)150 ; i 24  ) ; 2  i 12 (c) (2   i)12 ; ( f ) ( ) 1 i 4.2.7 Hãy giải phương trình sau: (a) X2  i; (b) X2   4i; (b) (c) (  i )30 ; (c) (d ) (1  X2  5X   10i  0; (d) X2  12i; X2  (2i  7)X  13  i  4.2.8 Nếu z  C , chứng minh: (b) z ảo  z   z (a) z  R  z  z 4.2.9 Chứng minh tính chất sau số phức: (1) | z1  z |  | z1 |  | z |; (2) (| z1 |  | z |) |  | z1  z |; (3) | z1  z |  | z1 |  | z | véctơ bán kính Oz1 , Oz đồng hướng; (4) | z1  z |  (| z1 |  | z |) véctơ bán kính Oz1 , Oz ngược hướng 4.2.10 Chứng minh rằng: (a) Nếu | z1 |  | z  z  i |  3; (b) Nếu | z1 |   | z  |  4.2.11 Viết dạng lượng giác phần tử tập hợp sau: (a) i ; (b) 8 (1  i) ; (c) 1; (d )  4.2.12 Viết dạng lượng giác phần tử tập hợp sau: (a) (c)  2i;  72(1  i 3) ; (d) Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp (b) 3 1 i  24i 3i Chương I HÀM SỐ - GIỚI HẠN – LIÊN TỤC  Mục tiêu: Sau học xong này, người học giải tập giới hạn dãy số dãy hàm biến số I HÀM SỐ Định nghĩa: Cho X  R , hàm số f xác định X quy tắc cho ứng với giá trị biến x thuộc X có giá trị thực biến y Kí hiệu y = f(x)  x gọi biến độc lập, y gọi biến phụ thuộc  X gọi miền xác định hàm số, kí hiệu Df  Tập Y = y  R \ y  f ( x), x  D f  gọi miền giá trị hàm số, kí hiệu Rf Ví dụ : Khi ni bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian nuôi t (ngày) trọng lượng m (kg) bò hàm số m = m(t) Định nghĩa: Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm M( x, f(x)) hệ toạ độ Descartes G = M ( x, f ( x), x  D Các tính chất 3.1 Hàm số đơn điệu  Hàm số y = f(x) gọi tăng ( hay tăng nghiêm ngặt ) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1)  f(x2) ( hay f(x1) < f(x2)  Hàm số y = f(x) gọi giảm ( hay giảm nghiêm ngặt ) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1)  f(x2) ( hay f(x1) > f(x2)  Hàm số y = f(x) gọi hàm số đơn điệu ( hay đơn điệu nghiêm ngặt) E  Df tăng giảm ( hay tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt ) E Nếu ta sử dụng thuật ngữ mà không nhắc đến tập E coi E = Df Ví dụ: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] tăng nghiêm ngặt trên[0, +  ) Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +  ) x1 < x2 Khi ta có f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) <  f(x1) < f(x2) Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt [0, +  ) Chứng minh tương tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] 3.2 Hàm số chẵn hàm số lẻ  Tập X gọi tập đối xứng qua gốc toạ độ O với x  X – x  X Người ta thường gọi tắt tập đối xứng  Cho hàm số y = f(x) xác định tập đối xứng X, ta có: + Hàm số y = f(x) hàm số chẵn với x thuộc X f(-x) = f(x) + Hàm số y = f(x) hàm số lẻ với x thuộc X f(-x) = - f(x) Ví dụ: Hàm số f(x) = x2 hàm số chẵn R Hàm số g(x) = x3 hàm số lẻ R Thật vậy, với x  R , ta có: f(-x) = (- x)2 = x2 = f(x) g(-x) = (- x)3 = - x3 = - f(x) Chú ý: Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 3.3 Hàm số bị chặn  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn tập X  Df tồn số a  R cho f(x)  a x  X Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn trên tập X  Df tồn số b  R cho f(x)  b x  X  Hàm số y = f(x) gọi bị chặn tập X  Df vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn hai số a, b  R cho a  f(x)  b x  X Chú ý: Đồ thị hàm số bị chặn nằm hai đường thẳng y = a y = b Ví dụ: Hàm số f(x) = bị chặn tập X= [1, +  ) x 4 Thật vậy, với x  X ta ln có: f(x) = > f(x) = cho trước (bé tùy ý), tồn số tự nhiên N cho:  n > N xn  a   Ký hiệu: lim x n  a hay xn  a n   n  1.3 Định nghĩa - Nếu dãy {xn} có giới hạn số hữu hạn a ta nói dãy số {x n} hội tụ hay hội tụ a Giải - Nếu dãy {xn} khơng hội tụ ta nói dãy số{xn} phân kì n Ví dụ : Chứng minh lim x n  lim 1 n  n  n  n 1 1     n  1 Với   0, ta xét x n   n 1 n 1  1  n Vậy   (bé tùy ý),  N    1 : n  N  1   n 1   n Vậy : lim x n  lim 1 n  n  n  1.4 Định nghĩa Dãy số {xn} gọi dãy số dần tới  n   M > 0, lớn tùy ý,  N cho n  N x n  M Ký hiệu: lim x n   hay xn  n  n  Ví dụ: Chứng minh lim x n  lim 5n   n  Giải: n  Xét x n    M  n  log5M n n M n M  , lớn tùy ý:  N  log5  : n  N   M Vậy: lim 5n   n  Các tính chất Nếu dãy số {xn} có giới hạn giới hạn Nếu dãy số {xn} có lim x n  a a > p (hay a < q) tồn số dương N n  cho n  N  x n  p (hay xn < q) Nếu dãy {xn } có giới hạn bị chặn, tức tồn số M > cho x n  M, n Giả sử {xn}, {yn} dãy số có giới hạn thì: - Nếu xn = yn lim x n  lim yn n  - n  Nếu xn  yn lim x n  lim yn n  n  Cho ba dãy số {xn}, {yn}, {zn} thoã xn  yn  zn n Khi đó, lim x n  lim zn  a lim yn  a n  n  n  Giả sử {xn}, {yn} dãy số hội tụ, ta có : Dãy số {xn  yn} hội tụ lim  x n  yn   lim x n  lim yn n  n  n  Dãy số {xn yn} hội tụ lim  x n y n   lim x n lim y n n  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp n n Dãy số {k xn} hội tụ lim kx n  k lim x n n  n lim x n   x Dãy số  x n  hội tụ lim n  n ,  lim y n   n  y   lim yn  n n   y n  n  III GIỚI HẠN HÀM CỦA HÀM SỐ Các định nghĩa: Trong phần ta giả sử f(x) hàm số xác định lân cận điểm x0, không thiết phải xác định x0 1.1 Định nghĩa: Ta nói hàm số f(x) có giới hạn L với dãy số {xn} lân cận x0 thoã: xn  x0 n lim x n  x lim f(x n )  L n  n  Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L x  x0 x  x0 1.2 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x  x0 với ε  cho trước ( bé tùy ý) tồn số δ dương cho với x thoã  x  x   ta có f(x)  L   1.3 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn phải ( trái ) hàm số f(x) x  x0 với ε  cho trước ( bé tùy ý) tồn số δ dương cho với x thoã  x0  x  x0   x0    x  x0  ta có f(x)  L     Kí hiệu: lim f(x)  L  lim f(x)  L  x  x0 x  x0   1.4 Định nghĩa: Số L gọi giới hạn hàm số f(x) x   với ε  (bé tùy ý) tồn số M  (lớn tùy ý) cho với x thoã x  M ta có f(x)  L  ε Kí hiệu: lim f(x)  L hay f(x)  L x   x  Ví dụ : Chứng minh: lim sin x  x x2  6 x x  3 Chứng minh: lim  x  x Chứng minh: lim Giải:   sin x  x       bé tùy ý:      :  x   x    sin x   sin x  x   Vì x  ta rút: x  Vậy lim sin x  x Khi x   x –  ta có: x2  6  x36  x3   x3   0;     :  x     x2  6 Vậy: lim x x  Tài liệu giảng dạy mơn: Tốn cao cấp x2  6   x3 10 ... yn n  n  n  Dãy số {xn yn} hội tụ lim  x n y n   lim x n lim y n n  Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp n n Dãy số {k xn} hội tụ lim kx n  k lim x n n  n lim x n   x Dãy... f(x) xác định x0 lân cận x0, hàm f(x) gọi liên tục x0 lim f (x)  f (x ) x x Tài liệu giảng dạy môn: Toán cao cấp 13 1.2 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định x0 lân cận x0, hàm f(x) gọi liên... VCB(VCL) cấp ii Nếu c = ta nói f(x) VCB cấp cao (VCL cấp thấp hơn) so với g(x) iii Nếu tồn r > cho f(x) cấp với [g(x)]r ta nói f(x) VCB (VCL) cấp r g(x) Ví dụ: Khi x  – cos x x2 hai VCB cấp với