Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC TRÀ VINH KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU GIẢNG DẠY MƠN TỐN CAO CẤP A1 GV biên soạn: TRẦN THIỆN KHẢI Trà Vinh, tháng 02-2013 Lƣu hành nội Phụ lục Nội dung MỤC LỤC Trang Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN Bài 3: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 15 Bài 4: VÔ CÙNG BÉ VÀ VÔ CÙNG LỚN 21 Bài 5: HÀM SỐ LIÊN TỤC 23 Chƣơng 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 26 Bài 1: ĐẠO HÀM 26 Bài 2:VI PHÂN 31 Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 36 Chƣơng 3: TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 46 Bài 1: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 46 Bài 2: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 61 Bài 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 67 Bài 4: TÍCH PHÂN SUY RỘNG 75 Chƣơng 4: LÝ THUYẾT CHUỖI 82 Bài 1: LÝ THUYẾT CHUỖI 82 Bài 2: CHUỖI SỐ DƢƠNG 84 Bài 3: CHUỖI ĐAN DẤU 86 Bài 4: CHUỖI LŨY THỪA 87 Chƣơng 5: MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ ỨNG DỤNG 91 Bài 1: KHÔNG GIAN VECTƠ Rn 91 Bài 2: LÝ THUYẾT SƠ CẤP VỀ MA TRẬN 93 Bài 3: ĐỊNH THỨC 101 Bài 4: HẠNG CỦA MA TRẬN 112 Bài 5: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHƠNG THUẦN NHẤT 116 Bài 6: HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT 131 TÀI LIỆU THAM KHẢO 136 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 Chƣơng 1: GIỚI HẠN CỦA DẠY SỐ VÀ HÀM SỐ Bài 1: CÁC TRƢỜNG SỐ  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, ngƣời học có thể: - Nắm vững kiến thức tập số phép tính số phức - Hiểu kỹ kiến thức đó, làm thành thạo với phép toán số phức, biết sử dụng dạng lƣợng giác số phức 1.1 Tập số Tập số tự nhiên: N = {1 ; 2; 3; ….} Tập số nguyên: Z = Tập số hữu tỷ: 0;  1;  2;   p q  Q =  x cho x  ;p,q  Z,q  0   Một số hữu tỷ viết đƣợc dƣới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vơ hạn tuần hồn Ví dụ 1:  0,25 ;  0,75 7  1,1666 ta viết  1,1(6) 6 15 15  1,363636 hay  1, (36) 11 11 Ngƣợc lại, cho số thập phân hữu hạn hay vơ hạn tuần hồn biểu diễn số hữu tỷ  Số thập phân hữu hạn a0,a1a2…an biểu thị số hữu tỷ: p a a a  a   22    nn q 10 10 10  Số thập phân vơ hạn tuần hồn a0,a1,a2…an (b1b2…bm) biểu thị số hữu tỷ: p a1 a an 10mn  b1 b b   a      n  m      mm  q 10 10 10 10   10 10 10  Nhận xét: Một số thập phân hữu hạn đƣợc xem số thập phân vơ hạn tuần hoàn, chẳng hạn: hoàn  0,25000 hay  0,25(0) Nhƣ có đồng tập số hữu tỷ tập số thập phân vô hạn tuần Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 Định nghĩa 1: Một số biểu diễn đƣợc dƣới dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn đƣợc gọi số vơ tỷ Tập số vơ tỷ kí hiệu là: I  1,414213562 ; Ví dụ 2:   3,141592653 ; Tập số thực R = Q  I Đường thẳng thực (trục số): Trên đƣờng thẳng  , lấy điểm O làm gốc chọn   vectơ đơn vị OE  e Số x số thực tồn điểm M thuộc   đƣờng thẳng  cho OE  xe Khi điểm M đƣợc gọi điểm biểu diễn hình học số thực x đƣờng thẳng  đƣờng thẳng  đƣợc gọi đƣờng thẳng thực hay trục số O x E M Hình 1.1 1.2 Số phức  Số phức số có dạng: z = a + ib, a, b  R, i đơn vị ảo với i2 = –1  Ta ký hiệu: a = Rez gọi phần thực; b = Imz gọi phần ảo C tập hợp tất số phức  Số phức z = a + ib biểu diễn hình học điểm M(a;b) mặt phẳng Oxy  Số phức z  a  ib đựoc gọi số phức liên hợp số phức z = a + ib, hai số phức liên hợp đối xứng qua Ox y Phép toán: b Cho số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2 + ib2, M(a; b) z = a + ib ta có:  z1  z   a1  a   i  b1  b  O z1.z   a1a  b1b   i  a1b  a b1  z1 a1a  b1b b1a  a1b   i ; z2 a 22  b 22 a 22  b 22 z Re z1  Re z z1  z   Im z1  Im z 2  0 r a x z  a  ib -b Hình 1.2 Chú ý: Ta thực phép toán theo quy tắc chung thuận tiện Ví dụ 3: (1 – 3i) + (– + 7i) = – + 4i (1 – i)(2 + i) = + i – 2i – i2 = – i Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 4i 4i    i   i   i  17 Dạng lượng giác số phức:  Ta biểu diễn số phức z = a + ib vectơ OM , gọi r  OM  a  b2 mođun số phức z, ký hiệu: z  Góc   Ox, OM đƣợc xác định sai khác 2k; k  Z gọi argument,   Ký hiệu: Argz Ta có tg  b a Từ ý nghĩa hình học, ta có a  r cos  ; b  rsin   z  r  cos   isin  Ví dụ 4: Biểu diễn số phức z = + i dƣới dạng lƣơng giác Ta có: r  12  12  , tg          z   cos  isin  4  Cho số phức: z  r  cos   isin  ; z1  r1  cos 1  isin 1 ; z  r2  cos 2  isin 2  z1.z  r1.z cos  1  2   isin  1  2    z1.z  z1 z ; Arg  z1.z   Argz1  Argz  2k z1 r1  cos  1  2   isin  1  2   z r2  z z  z1  ; Arg    Argz1  Argz  2k z2 z2  z2  z n  r n  cos n  isin n   z n  z ; Arg  z n   nArgz  2k n n z  u  un  z Biểu diễn u dƣới dạng u    cos   isin   Ta có: u n  z  n  cosn  isin n   r  cos   isin    n r n  r      k2 ; k  0; n  n    k2    n Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1   k2   k2    u  n r  cos  isin  ; k  0; n  n n   Ví dụ 5: Tính a/ A  1  i  20   Giải : a/ Ta có: A   cos b/ u   i    isin   A  210  cos5  isin5   210 4 b/ z2     k2  k2     k8   k8    cos  isin  isin    cos  ; k  0; 4  16 16     u   i có giá trị: 9 9   u1   cos  isin  16 16      u   cos  isin  16 16   17 17    isin u   cos  16 16   25 25    isin u   cos  16 16   1.3 Khoảng – Lân cận Định nghĩa 2: Khoảng tập hợp số thực (hay điểm) nằm hai số thực (hay hai điểm) Phân loại khoảng: Khoảng hữu hạn: Khoảng đóng: a,b  x  R a  x  b Khoảng mở:  a,b   x  R a  x  b Khoảng nửa đóng, nửa mở:  a,b  x  R a  x  b a,b   x  R a  x  b Khoảng vô hạn:  ,a   x  R  b,     x  R x  a ;  ,a   x  R x  b ;  b,     x  R x  a x  b Định nghĩa 3: Giả sử a số thực, khoảng mở (a -  , a +  ) (với  > 0) đƣợc gọi lân cận bán kính  a ( Hình 1.3 a – ) a Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 a +  Bài tập cố: 1) Thực phép toán sau: a) (2  i)(3  i)  (3  2i)(4  i); b) (3  5i)(2  i)  (1  2i)(5  3i); c) (5  i)(3  5i) d) ; 2i e) (2  i)  (2  i) ; 3 (5  i)(7  6i) ; 3i (1  i ) ; f) (1  i ) 2) Tính biểu thức: (a) (1  i)1000 ; (b) (1  i 3)150 ; (d ) (1  (c) (  i)30 ; i 24  i 12 )  ) ; (e) (2   i)12 ; ( f ) ( 2 1 i Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 Bài 2: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN  Mục tiêu học tập: Sau học xong này, ngƣời học nắm vững cách có hệ thống hàm biến số, giới hạn dãy số 2.1 Hàm số 2.1.1 Định nghĩa Cho X  R, hàm số f xác định X quy tắc cho ứng với giá trị biến x thuộc X có giá trị thực biến y Kí hiệu y = f(x)  x đƣợc gọi biến độc lập, y đƣợc gọi biến phụ thuộc  X đƣợc gọi miền xác định hàm số, kí hiệu Df  Tập Y = y  R \ y  f (x), x  Df  đƣợc gọi miền giá trị hàm số, kí hiệu Rf Ví dụ 1: Khi ni bị, quan sát q trình tăng trọng bị ta có mối liên hệ thời gian nuôi t (ngày) trọng lƣợng m (kg) bò hàm số m = m(t) Một hàm số thƣờng đƣợc cho dƣới dạng công thức nhƣ ví dụ sau: y=x y = 2x + y = sinx – 2x 2.1.2 Định nghĩa Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm M(x, f(x)) hệ tọa độ Descartes, G = M(x,f (x), x  Df  Ví dụ 1’: 1) Đồ thị hàm số y = x2 2) Đồ thị hàm số y = x 3/2 Hình 1.4 Hình 1.5 Tài liệu giảng dạy mơn Tốn cao cấp A1 2.1.3 Các tính chất a Hàm số đơn điệu Định nghĩa 3:  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi tăng (hay tăng nghiêm ngặt) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2) (hay f(x1) < f(x2))  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi giảm (hay giảm nghiêm ngặt) tập E  Df , với x1, x2  E , x1 < x2 f(x1)  f(x2) (hay f(x1) > f(x2))  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi hàm số đơn điệu (hay đơn điệu nghiêm ngặt) E  Df tăng giảm (hay tăng nghiêm ngặt giảm nghiêm ngặt) E Nếu ta sử dụng thuật ngữ mà không nhắc đến tập E coi nhƣ E = Df Ví dụ 2: Hàm số y = f(x) = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] tăng nghiêm ngặt [0, +  ) Thật vậy, giả sử x1, x2  [0, +  ) x1 < x2 Khi ta có: f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = ( x1 – x2 )( x1 + x2 ) <  f(x1) < f(x2) Vậy hàm số y = x2 tăng nghiêm ngặt [0, +  ) Chứng minh tƣơng tự ta có hàm số y = x2 giảm nghiêm ngặt (-  , 0] b Hàm số chẵn hàm số lẻ Định nghĩa 4: Tập X đƣợc gọi tập đối xứng qua gốc tọa độ O với x  X –x  X Ngƣời ta thƣờng gọi tắt tập đối xứng Định nghĩa 5: Cho hàm số y = f(x) xác định tập đối xứng X, ta có:  Hàm số y = f(x) hàm số chẵn với x thuộc X f(– x) = f(x)  Hàm số y = f(x) hàm số lẻ với x thuộc X f(– x) = – f(x) Ví dụ 3: a Hàm số f(x) = x2 hàm số chẵn R b Hàm số g(x) = x3 hàm số lẻ R Thật vậy, với x  R , ta có: f(– x) = (– x)2 = x2 = f(x) g(– x) = (– x)3 = – x3 = – f(x) Chú ý: Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung, đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ O c Hàm số bị chặn Định nghĩa 6:  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi bị chặn dƣới tập X  Df tồn số a  R cho Tài liệu giảng dạy môn Toán cao cấp A1 f(x)  a, x X  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi bị chặn trên tập X  Df tồn số b  R cho f(x)  b, x X  Hàm số y = f(x) đƣợc gọi bị chặn tập X  Df vừa bị chặn vừa bị chặn dƣới, tức tồn hai số a, b  R cho a  f(x)  b, x  X Chú ý: Đồ thị hàm số bị chặn nằm hai đƣờng thẳng y = a y = b Ví dụ 4: Hàm số f(x) = bị chặn tập X= [1, +  ) x Thật vậy, với x  X ta ln có: f(x) = Vậy hàm số f(x) = 4 > f(x) =