Đại số đường đi Leavitt thỏa mãn tính Hermite

436 ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT THỎA MÃN TÍNH HERMITE SV Vũ Nhân Khánh ThS Ngơ Tấn Phúc Tóm tắt Trong viết này, đưa điều kiện cần để đại số đường Leavitt đồ thị hữu hạn với hệ số trường vành Hermite Ngồi ra, chúng tơi giới thiệu số ví dụ lớp đại số Mở đầu Trong viết này, ta ký hiệu E đồ thị hữu hạn, K trường tùy ý Đại số đường Leavitt E với hệ tử K , ký hiệu LK ( E ) , cấu trúc đại số giới thiệu năm 2005 G Abrams G Aranda Pino [1] Trong suốt thập kỷ qua, cấu trúc đại số nhận quan tâm đặc biệt chuyên gia Lý thuyết vành Lý là, Lý thuyết vành vốn thiếu ví dụ trực quan, với đại số đường Leavitt ta dễ dàng phân biệt cấu trúc vành thông qua đặc trưng đồ thị Nói cách khác, ta dùng vài nét vẽ đồ thị trực quan để phân biệt cấu trúc vành phức tạp Một hướng nghiên cứu chủ yếu đại số đường Leavitt thiết lập mối liên hệ đối một bên tính chất (đồ thị) E bên tính chất (vành, mơđun, đại số) LK ( E ) Đó hướng tiếp cận vấn đề viết Mục tiêu tìm đặc trưng đồ thị E để LK ( E ) vành Hermite Nội dung Trước tiên, nhắc lại số khái niệm kết liên quan đến nội dung Các ký hiệu phần dựa vào [1], [2], [3] [4] Một đồ thị E  ( E , E1 , s, r ) bao gồm hai tập hợp E E1 hai ánh xạ r , s : E1  E Các phần tử E gọi đỉnh (vertices) phần tử E1 gọi cạnh (edges) Đối với cạnh e E1 , s  e  gọi gốc (source) e r  e  gọi (range) e Đồ thị E  ( E , E1 , s, r ) gọi hữu hạn tập E E1 tập hữu hạn phần tử Nếu s  e   v r  e   w ta nói v phát (emits) e w nhận vào e Nếu r  e1   s  e2  với e1 , e2  E1 ta nói e1 e2 kề (adjacent) Với cạnh e E1 ta gọi e cạnh thực, kí hiệu e* cạnh tương ứng với e gọi e* cạnh ảo Tập hợp cạnh ảo kí hiệu ( E1 )* Vậy ( E1 )*  {e* | e  E1} Một đường (path) p đồ thị E chuỗi cạnh p  e1e2 en cho r  ei   s  ei 1  với i  1, 2, , n  Ta gọi s( p) : s(e1 ) r ( p) : r (en ) gốc p Một đường gồm n cạnh gọi có độ dài n , viết l  p   n 437 Ta kí hiệu tập hợp tất đường E E * Đối với đường p  e1 en  E * ta định nghĩa p tập tất đỉnh p , nghĩa p0  s  ei  , r  ei  : i  1, 2,  Hơn nữa, q  e1 em với m  n ta nói q đoạn đầu p Một đường gọi chu trình (cycle) s  p   r  p  s  ei   s  e j  i  j Nói cách khác, chu trình đường mà bắt đầu kết thúc đỉnh khơng qua đỉnh lần Nếu đồ thị E không chứa chu kì nào, gọi đồ thị khơng có chu trình (acyclic graph) Một cạnh e  E cho lối (exit) đường p  e1 en tồn i 1, , n cho s  e   s  ei  e  ei Nếu đồ thị E chứa chu trình mà chu trình khơng có lối E gọi đồ thị khơng có lối (no-exit graph) Trong đồ thị E , đỉnh v gọi sink s 1  v    , v sink gọi đỉnh quy (regular) Định nghĩa ([1, Definition 1.3]) Cho E  ( E , E1 , s, r ) đồ thị K trường Đại số đường Leavitt đồ thị E với hệ số trường K , kí * hiệu LK  E  , K -đại số phổ dụng với tập sinh tập E , E1  E1  thỏa mãn điều kiện sau đây: (A1) vi v j   ij vi vi , v j  E (  ij kí hiệu Kronecker); (A2) s  e  e  e  er  e  r  e  e*  e*  es  e  với e  E ; * (CK1) ei*e j   ij r  e j  với ei , e j  E1 ; (CK2) v   eE :s e v ee* với v  E Với vành R , ta kí hiệu V  R  nửa nhóm Aben lớp mô đun xạ ảnh hữu hạn sinh với phép toán  Nếu P mơ đun xạ ảnh hữu hạn sinh ta kí hiệu phần tử V  R  chứa P  P Theo [5] với đồ thị E ta định nghĩa nửa nhóm M E sau Ta kí hiệu T nửa nhóm tự giao hoán (viết theo lối cộng) với tập sinh E Định nghĩa quan hệ T sau M  v  r e es 1  v  với đỉnh quy v  E Kí hiệu E quan hệ tương đẳng T sinh quan hệ ( M ) Khi M E  T / E ta kí hiệu phần tử M E  x , với x T Như vậy, hai phần tử x   vE nv v y   vE mv v gọi 0 M E ta áp dụng quan hệ ( M ) cho đỉnh x y (với số 438 lần khác nhau) để đến bước đó, hệ số đỉnh tương ứng x y Trong [5], tác giả chứng minh rằng: Định lý [5, Theorem 3.5] Cho E đồ thị K trường Khi ánh xạ  v  vLK  E   đẳng cấu nửa nhóm từ M E đến V  LK  E   Đặc biệt, với đẳng cấu này, ta có  vE v   LK  E   Theo [7], vành Hermite vành thỏa mãn tính IBN mơđun ổn định tự tự Ta có đặc trưng sau cho vành Hermite Định lý [7, Corollary 0.4.2] Vành R vành Hermite với số tự nhiên m, n , với R -môđun Q , R n  R m  Q kéo theo n  m Q R -môđun tự với số chiều n  m Trong [1] tác giả để LK ( E ) vành đơn đặc trưng đồ thị E chu trình phải có lối Ở đây, muốn khảo sát trường hợp đối ngẫu với đặc trưng đồ thị Kết mà thu LK ( E ) vành Hermite E đồ thị khơng có lối Trước tiên, chúng tơi đưa tiêu chuẩn để LK  E  vành Hermite Bổ đề Cho E  ( E , E1 , s, r ) đồ thị hữu hạn có E  {v1 , v2 , , vh } h K trường Khi LK  E  vành Hermite x   ni vi i 1  h   h  m  vi    x   n   vi   i 1   i 1  h kéo theo n  m x   n  m   vi i 1  h  Chứng minh Theo Định lí 1, ta đồng  vi  với  LK  E    i 1  ME Nhắc lại LK  E  vành Hermite với LK  E  -môđun Q ,  L  E  K m  Q   LK  E   n kéo theo n  m Q LK  E  -môđun tự với số chiều n  m Vì Q h  LK  E  -mơđun tự nên Q phải có dạng Q   ni vi | vi  E , ni    i 1  439 Mặt khác, M E  L  E  m    L  E   L  E    L  E   K K   K   K m   LK  E   LK  E    LK  E   m  m  LK  E    h   m   vi   i 1  Vậy, để  LK  E    Q   LK  E   M E ta phải có m n  h   h   h  m  vi     ni vi   n   vi   i 1   i 1   i 1  Suy điều phải chứng minh □ Với tiêu chuẩn kiểm tra tính Hermite LK  E  Bổ đề 1, thu kết Định lý số ví dụ lớp đồ thị mà đại số đường Leavitt chúng vành Hermite Định lý Cho E đồ thị hữu hạn K trường tùy ý Khi đại số đường Leavitt LK ( E ) E với hệ tử K vành Hermite E đồ thị khơng có lối Chứng minh Giả sử E đồ thị chứa chu trình c  e1 en en1 lối c  n  h  1 Gọi vi  s  ei   i  1, n  vn1  r  en1    h  h  Xét x  1 Ta có  x  vn1    vi    x     vi   i 1   i 1  Thật vậy, áp dụng quan hệ ( M ) M E cho v1 vế phải ta  h   vi    v2  1  v2  v3   vh   i 1  Tiếp tục áp dụng quan hệ ( M ) M E cho v2 v2  h    vi    v3  1  v2  v3   vh   i 1  Tiếp tục trình trên, ta v2  h  v3  h v1  Khi đó,  vi    v1  v2   vh  1    vi    x   i 1   i 1  Theo Bổ đề 1, LK  E  vành Hermite □ v3 Khi 440 Ví dụ Xét E đồ thị hình vẽ sau Khi LK  E  vành Hermite x  n1v1  n2v2  n3v3  n4v4  n5v5  n6v6 , ni  , i  1,6 thỏa Chứng minh Giả sử 1 mãn m[v1  v2  v3  v4  v5  v6 ]  [ x]  n[v1  v2  v3  v4  v5  v6 ] Từ (1) suy có số khơng âm ki , k 'i (i  1, 2,3, 4,5) để ta áp dụng quan hệ ( M ) M C ( E ) ki lần cho vi vế trái, k 'i lần cho vi (i  1, 2,3, 4,5) vế phải, từ (1) ta hệ  m1  m  n  n1  m  n  n  m1   m  n  n3   m  n  n4  m  n  n    m  n  n6   k 'i  ki  mi  m2  m2  m2  m3  m3  m4  m4  2  m5  m5 (i  1,5) Từ (2) ta nhân hai phương trình đầu với cộng tất phương trình lại (3) 8(n  m)  2n1  2n2  n3  n4  n5  n6 theo vế, ta được: suy m  n Như vậy, theo Bổ đề 1, ta phải chứng tỏ [ x]  (n  m)[v1  v2  v3  v4  v5  v6 ] Áp dụng quan hệ ( M ) M C ( E ) sau Bảng Số lần áp dụng quan hệ ( M ) lên đỉnh hai vế (4) : Vế trái Vế phải Đỉnh Số lần Đỉnh Số lần v1 l1  n1 v1 l '1  n  m v2 l2  l1  n2 v2 l '2  l '1  n  m v3 l3  l2  n3 v3 l '3  l '2  n  m v4 l4  l2  n4 v4 l '4  l '2  n  m v5 l5  l3  l4  n5 v5 l '5  l '3  l '4  n  m (4) 441 Khi (4) trở thành (2n1  2n2  n3  n4  n5  n6 )v6   [8(n  m)v6 ] (5) Ta thấy (5) suy từ (3) □ Ví dụ Xét E đồ thị hình vẽ sau Khi LK  E  vành Hermite Chứng minh Giả sử x  n1v  n2 w, ni  , i  1, thỏa mãn m[v  w]  [ x]  n[v  w] (5) Từ (5) suy có số khơng âm ki , k 'i (i  1, 2) để ta áp dụng quan hệ ( M ) M C ( E ) k1 (tương ứng k2 ) lần cho v (tương ứng w ) vế trái, k '1 (tương ứng k '2 ) lần cho v (tương ứng w ) vế phải, từ (5) ta hệ m  n  n1  k 'i  ki   m  n  n2  k '1  k1 (6) 2(n  m)  n1  n2 (7) Cộng theo vế hệ (6), ta suy m  n Như vậy, ta phải chứng tỏ [ x]  (n  m)[v  w] (8) Áp dụng quan hệ ( M ) M C ( E ) cho đỉnh v1 vế phải n  m lần vế trái n1 lần, (8) trở thành (n1  n2 )w  [2(n  m)w] (9) Ta thấy (9) suy từ (7) □ Kết luận Bài viết xác định tiêu chuẩn cho tính Hermite LK  E  đồ thị hữu hạn E (Bổ đề 1), từ thu kết điều kiện cần để LK  E  đồ thị hữu hạn E thỏa mãn tính Hermite (Định lý 3) Một số ví dụ lớp đồ thị mà đại số đường Leavitt chúng vành Hermite (Ví dụ 1, Ví dụ 2) gợi cho ta hi vọng xác định điều kiện đủ để LK  E  thỏa mãn tính Hermite 442 Tài liệu tham khảo [1] G Abrams and G Aranda Pino (2005), “The Leavitt path algebra of a graph”, Journal of Algebra, (293), p 319-334 [2] G Abrams, P Ara and M S Molina, Leavitt path algebras, Lecture Notes in Mathematics series, Springer-Verlag Inc (to appear) [3] G Abrams, G Aranda Pino and M Siles Molina (2008), “Locally finite Leavitt path algebras”, Israel J Math, (165), p 329-348 [4] G Abrams and M Kanuni (2013), “Cohn path algebras have invariant basic number, arXiv id:1303.2122v2 [5] P Ara, A Moreno and E Pardo (2007), “Nonstable K-theory for graph algebras”, Algebra Represent Theory, 2(10), p 157-178 [6] P M Cohn (2000), “From Hermite rings to Sylvester domains”, Proc Amer Math Soc, 7(128), p 1899-1904 [7] P M Cohn (2006), Free ideal rings and localization in general rings, New Mathematical Monographs, Cambridge University Press, Cambridge [8] T Y Lam (2006), Serre's problem on projective modules, Springer Monographs in Mathematics Springer-Verlag, Berlin  ... chuẩn cho tính Hermite LK  E  đồ thị hữu hạn E (Bổ đề 1), từ thu kết đi? ??u kiện cần để LK  E  đồ thị hữu hạn E thỏa mãn tính Hermite (Định lý 3) Một số ví dụ lớp đồ thị mà đại số đường Leavitt. .. , E1 , s, r ) đồ thị K trường Đại số đường Leavitt đồ thị E với hệ số trường K , kí * hiệu LK  E  , K -đại số phổ dụng với tập sinh tập E , E1  E1  thỏa mãn đi? ??u kiện sau đây: (A1) vi v j... 1   i 1  Suy đi? ??u phải chứng minh □ Với tiêu chuẩn kiểm tra tính Hermite LK  E  Bổ đề 1, chúng tơi thu kết Định lý số ví dụ lớp đồ thị mà đại số đường Leavitt chúng vành Hermite Định lý