Bài giảng môn Hình giải tích và đại số tuyến tính được biên soạn giúp người học nắm được những kiến thức bao gồm logic, tập hợp, ánh xạ và cấu trúc đại số; hình học số phức; định thức cấp n; hệ phương trình tuyến tính; không gian vecto và không gian vecto con...
KẾ HOẠCH BÀI GIẢNG MƠN: HÌNH GIẢI TÍCH VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Cơ sở kế hoạch: Đề cương môn học, Giáo án (3tiết lên lớp/1 G.án) Giáo viên: PGS, TS Nguyễn Xuân Viên Bài I.1 Logic, tập hợp, ánh xạ cấu trúc đại số I.1.1 Logic mệnh đề vị từ: Định nghĩa mệnh đề, phép toán mệnh đề: ∨ ; ∧ ; ⇒ ; ⇔ ; ̅ Mệnh đề định lý, định lý quan trọng logic mệnh đề: tự đọc mục d) Giáo trình (GTr1) Mệnh đề lượng tử (vị từ), phủ định vị từ: tự đọc GTr1, tr.13-14 Ví dụ: (Hàm ( ) xác định lân cận điểm = hàm liên tục x = a) ⇔ ∀( > 0)∃( > 0) ∀ (| − | < ) ⇒ | ( ) − ( )| < Từ (Hàm ( ) xác định lân cận điểm = hàm không liên tục x = ⇔ ∃( > 0)∀( > 0) ∃ (| − | < ) ∧ | ( ) − ( )| ≥ I.1.2 Tập hợp ánh xạ: Khái niệm tập hợp: tập hợp phần tử Các phép tốn tập hợp, tính chất c1- c6 phép toán tập hợp: tự đọc GTr1, tr.17-18 Quan hệ thứ tự phần Qui nạp tốn học: có chứng minh (tr.18-21): Khẳng định ( ) phụ thuộc số tự nhiên n cho ≥ thỏa mãn điều kiện: i) ( ) ii) Từ ( ) với ≥ suy Từ ( + 1) Ánh xạ: định nghĩa ánh xạ, ví dụ Tồn ánh, đơn ánh, song ánh Tập tương đương; tập đếm được, tập continum Định lý tồn ánh xạ ngược: có chứng minh I.1.3 Sơ lược cấu trúc đại số: Định nghĩa phép toán trong ∘ tập A Định nghĩa phép tốn ∘ tập A có tính kết hợp Phần tử trung hòa ; phần tử nghịch đảo phần tử a A Tính , Nhóm G, nhóm cộng 〈 ; +; 0〉, nhóm Abel, nhóm nhân 〈 ; ; 〉; nhóm nhân giao hốn 〈 ; ; 1〉 Khái niệm vành 〈 ; +,0; 〉 Các vành số quan trọng: vành số nguyên ℤ, vành ℝ[ ] - tất đa thức hệ số thực, ℝ[ ] – vành tất đa thức P(x) ( )≤ hệ số thực có bậc Khái niệm trường 〈 ; +,0; ,1〉 Các trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, phép toán số phức Mặt phẳng phức, dạng lượng giác số phức Công thức Mauvra Căn bậc n số phức: phát biểu chứng minh định lý bậc n số phức: Căn bậc n ) có n giá trị , = 0,1,2, … , − cho số phức = ( + công thức + + = √ + Các ví dụ bậc n số phức Ý nghĩa hình học bậc n số phức z: n số phức , = 0,1,2, … , − bậc n số phức z tạo thành n đỉnh n- giác đường trịn bán kính = | | với đỉnh ứng với số phức = √ + Trong HGT & ĐSTT trường hai trường cố định: trường số thực ℝ trường số phức ℂ I.2 Ma trận I.2.1 Khái niệm ma trận: Định nghĩa ma trận cấp (m,n) trường … … = = , ∈ × … … ma trận vng cấp n trường … … = = , ∈ … … ( ) – tập tất ma trận cấp (m,n) trường , ( ) – tập tất ma trận vuông cấp n trường Ma trận đường chéo … 0 … = , … 0 … ký hiệu là: = ( , ,…, ) Ma trận tam giác ma trân vng mà tất phần tử phía đường chéo 0: … … = … 0 … Ma trận tam giác ma trân vuông mà tất phần tử phía đường chéo 0: … … = … … ế = (1,1, … ,1); Ma trận đơn vị = = = ký ế ≠ hiệu Kroneker Ma trận block, block-tam giác ( ) I.2.2 Vành ma trận Các phép tốn ma trận: cộng hai ma trận; Nhóm Abel 〈 , ( ); +; 〉; nhân ma trận với số ∈ ; nhân hai ma trận, tính kết hợp phép nhân ma trận, tính phân phối phép nhân phép cộng Vành ma trận 〈 ( ); +, ; 〉 vành có đơn vị E Ma trận khả nghịch (GTr1, tr.44-47): - Khái niệm ma trận khả nghịch, ma trận nghịch đảo - Nhóm tuyến tính ( , ) - Nghịch đảo tích ma trận khả nghịch: ( ) = … … Bài Bài tập: Giáo trình2 (GTr2): Phương pháp qui nạp toán học: 1.1.11d,e Gợi ý: sử dụng nguyên lý qui nạp: Kiểm tra sở qui nạp (công thức với n =1) chứng minh qui nạp : giả sử công thức cho n = m, chứng minh cho n = m+1 Tập hợp: 1.1.18; 1.1.21 Gợi ý: 1.1.18: dùng đại số tập hợp biến đổi từ vế phức tạp vế đơn giản; Ý a) biến đổi vế phải vế trái; ý b) biến đổi vế trái vế phải Ánh xạ: 1.1.24; 1.1.25; 1.1.28 (ý d không bắt buộc (kbb)); Không bắt buộc: 1.1.34; 1.1.30; 1.1.31 Gợi ý: 1.1.28d): Ký hiệu tập tất ánh xạ từ X vào Y Gọi , ,…, tất tập Y có m-1 phần tử, hý hiệu = , = 1,2, … , Rõ ràng số toàn ánh = | | − ∪ ∪ |= |, sử dụng 1.1.26 ta nhận số …∪ −| ∪ ∪ …∪ T đáp số Số phức: 1.2.10 (kbb) ; 1.2.14; 1.2.17; 1.2.19; 1.2.21; 1.2.14 a) + 18 b) 10 − 11 c) i d) + 1.2.19 1+ ( = 0,1,2, … , − 1); −1 1+ = ( = 0,1,2, … , − 1); −1 + = ( = 0,1,2, … , − 1); −1 = 1.2.21 a) b) cos c) d) cos + sin − sin + √3 √ = √−1 = √1 ; = √−1 Thêm hình học số phức: Tìm miền biểu diễn số phức sau mặt phẳng phức (VT351) a) | + 1| + | − 1| = b) | + 2| − | − 2| = c) | − 2| = + d) | + + | ≤ Tìm vị trí điểm mặt phẳng phức ứng với số phức , thỏa mãn + + =0 | |=| |=| | (VT347) + Gợi ý: Bài 1.a) Theo định nghĩa Elip (−1,0), (1,0); = 3, = , = có tiêu điểm 1.b) − =1 1.c) = ; tiêu điểm (2,0), đường chuẩn = −2 1.d) Hình trịn ( + 3) + ( + 4) ≤ 25 Bài Các đỉnh tam giác ABC đường tròn tâm O(0,0) bán kinh = | | Đa thức phân thức: 1.3.3a,b; 1.3.4a; 1.3.5a,c; 1.3.6a,b; Gợi ý: Sử dụng lược đồ Hoocner GTr1, tr12-13 cho 1.3.3a,b; 1.3.4a 1.3.5 Tìm tất nghiệm phức 1.3.6 Tìm tất nghiệm thực, cặp nghiệm phức liên hợp = + ̅ = − cho ta thừa số ( − )( − ̅) = −2 + + 1.3.3 a) Gợi ý: (1) = (1) = 0; ′′′(1) ≠ b) 1.3.4a a) ( ) = ( − 2) − 18( − 2) + 38 1.3.5 a) ( − 1)( − 2)( − 3) c) − √3 + √3 − − √ − + + √ √3 − 2 1.3.6 a) ( + 3)( + + 3)( − + 3); + √3 + 2 b) −2 +1 +2 +1 +2 +1 Ma trận: 2.1.22b,c,d; 2.1.23a,b; 2.1.25; 2.1.26; 2.1.34; 2.1.42 Gợi ý: 2.1.22 ) = 0 , 1 Gợi ý:Viết A = E+B với = 0 0 1 sử dụng 2.1.21 2.1.23 a) là số chẵn là số lẻ (−1) (−1) = ⎡ b) ⎢(−1) ⎢ ⎣ (−1) (−1) ( (−1) + (−1) ( (−1) ) ) (−1) ( ( (−1) + (−1) Gợi ý: Viết = − ; trong đó = −1 áp dụng 2.1.21 0 , −1 ) ) ⎤ ⎥, ⎥ ⎦ = với mọi ≥ 2.1.25, 2.1.26 tìm tính trực tiếp, biểu diễn = + thấy = =⋯= = nên = ( + ) = + (2 − 1) 2.1.34 Gọi = Điều kiện = trở thành hệ phương trình, giải hai loại ma trận = 0 , = − − ( ≠ 0) 2.1.42 chứng minh trực tiếp ma trận A thỏa mãn phương trình − + = ; = , = ta có = tất nhiên = ⇔ = + , từ Bài I.3 Định thức cấp n I.3.1 Khái niệm định thức cấp n: Khái niệm nghịch thế, hoán vị, bổ đề hoán vị: Thay đổi hai vị trí hốn vị làm thay đổi tính chẵn, lẻ hoán vị (hs tự đọc chứng minh GTr1 tr.48) ( ): Định nghĩa định thức cấp n ma trận = ∈ = … ( , ,…, ; ) Trong tổng lấy theo tất n! hoán vị khác ( , , … , ) {1,2, … , } Các hệ từ định nghĩa - Định thức (của ma trận) có hàng (cột) gồm tồn số - Định thức có hai hàng tỷ lệ - Định thức (của ma trận) dạng tam giác tích phần tử đường chéo Ví dụ định thức cấp 2, Ba tính chất đặc trưng a), b), c) định thức hệ (GTr1,tr53-57) Định thức dạng tam giác (ma trận dạng tam giác), ba biến đổi sơ cấp định thức (tính định thức phương pháp Gauss) đưa định thức dạng tam giác; ví dụ minh họa cho định thức cấp 1 1 −1 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 −1 1 −1 1 0 −1 = −2 −2 = −8 −1 −1 −1 −2 0 −1 1 0 0 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 1 0 0 0 = −8 0 −1 −1 = −8 0 −1 −1 = 0 −1 0 0 −1 0 −1 0 −2 1 −1 1 1 0 = −8 0 −1 −1 = −8.1.1 (−1) (−1) = −8 Trong bước thứ 0 −1 0 0 ba ta rút thừa số chung dấu định thức đổi chỗ ℎ ↔ ℎ I.3.2 Khai triển định thức theo hàng (một cột): chứng minh công thức khai triển theo hàng Môi trường ứng dụng khai triển định thức theo hàng, cột Cho ví dụ Khai triển định thức theo k hàng (k cột): Định lý Laplace (tự đọc chứng minh: GTr1, tr61) Định thức tích hai ma trận (tự đọc chứng minh: GTr1, tr62) Định thức ma trận block-tam giác I.3.3 Cách tính định thức: tự đọc GTr1, tr.65-69 Cho ví dụ minh họa phương pháp tổng hợp: vừa sử dụng pp Gauss vừa pp phân tích theo hàng, cột Ở ví dụ sau bước thứ ba ta được: −1 −1 −1 = −8 = (−8) 1.1.1 = −8, hệ −1 định lý Laplace: định thức ma trận block tam giác tích định thức block đường chéo I.4 Ma trận nghịch đảo I.4.1 Hạng ma trận: i) Định nghĩa hạng ma trận: , tính chất ii) Phương pháp Gauss đưa ma trận vuông dạng đường chéo (bằng biến đổi sơ cấp hàng cột): - Các ma trận biến đổi sơ cấp , ( ), ( ) Ý nghĩa phép nhân ma ( ); ( ) ; trận A với ma trận biến đổi sơ cấp: ; ; ( ) ; ( ) - Phân tích ma trận vng = ; D ma trận đường chéo; B, C ma trận khả nghịch tích ma trận biển đổi sơ cấp (tự đọc, GTr1, tr.74-76) Thuật tốn tìm hạng ma trận Vì hạng ma trận không thay đổi qua biến đổi sơ cấp, dễ dàng chứng minh tính đắn thuật tốn tìm hạng ma trận biến đổi sơ cấp (hay cịn gọi phương pháp Gauss tìm hạng ma trận) sau đây: Bằng biến đổi sơ cấp hàng cột ma trận đưa ma trận dạng có số phần tử khác nằm khác hàng, khác cột Số phần tử khác không hạng ma trận Trong thực phương pháp Gauss hàng có phần tử khác tự động khoanh phần tử khác cột phần tử khác không Tương tự cho cột: cột có phần tử khác tự động khoanh phần tử khác hàng phần tử khác không Trường hợp ma trận A phụ thuộc tham số ta thực phương pháp Gauss đến gặp trường hợp mà hàng cột có thừa số chung phụ thuộc tham số dừng lại biện luận hai trường hợp: - Trường hợp thứ nhất: thừa số chung 0, tham số có giá trị cụ thể, tốn giải - Trường hợp thứ hai: thừa số chung khác 0, ta tiến hành giản ước tiếp tục phương pháp Gauss Như nhu cầu biện luận tham số cần thiết xuất thừa số chung hàng hay cột ma trận Biến đổi: lấy hàng thứ i ma trận nhân với a cộng vào hàng thứ j ta viết ℎ + ℎ , tương tự + : lấy cột thứ i ma trận nhân với a cộng vào cột thứ j ⊙ - ký hiệu phần tử tự động khoanh Ví dụ: Tìm hạng ma trận A sau tùy thuộc vào giá trị khác tham số m −1 1 −1 = −1 −1 −1 0 Sau thực biến đổi −ℎ + ℎ , ℎ + ℎ ta 0 0 ⊙ ⊙ ⊙ 2− −1 −1 −3 + −2 − −5 ⊙ ⊙ ⊙ −1 3−2 −2 − −4 −1 0 Cột thứ ba có thừa số chung −2 − 1, ta dừng lại biện luận - - TH1: = − : ta nhận ma trận TH2: 0 0 1 0 0 ⇒ 0 0 0 0 ≠ − : Giản ước cột thứ ba cho −2 = − ta nhận 0 0 1− 0 −1 0 0 ⊙ ⊙ Trên hàng thứ hai có thừa số chung − 1, dừng lại biện luận hai trường hợp trường hợp (i) m = 1, tương tự TH1 ta có = (ii) ≠ 1, Giản ước hàng thứ hai cho − ta nhận 0 0 −1 0 ⊙ ⇒ 0 0 0 Như ta nhận kết cuối : = 3 nếu = ∈ − ,1 ≠− , □ ≠1 I.4.2 Điều kiện tồn ma trận nghịch đảo: có chứng minh (GTr1, tr.64) I.4.3 Tìm ma trận nghịch đảo PP Gauss, thuật tốn ví dụ (GTr1, tr.76-78): - Đưa ma trận khả nghịch A ma trận đơn vị E biến đổi sơ cấp hàng: = ; T tích ma trận biển đổi sơ cấp - Cơ sở toán học thuật toán tìm ma trận nghịch đảo PP Gauss: = ⇔ = Tìm ma trận nghịch đảo biến đổi sơ cấp giải hệ phương trình tuyến tính Ma trận sơ cấp ∈ ( ) ma trận nhận từ ma trận đơn vị ∈ ( ) biến đổi sơ cấp hàng (hoặc cột) Mỗi biến đổi sơ cấp hàng ma trận A tương đương với nhân phía bên trái A với ba loại ma trận sơ cấp thích hợp tương ứng với biến đổi sơ cấp ma trận : đổi chỗ hai hàng, lấy hàng nhân với số cộng vào hàng khác, nhân hàng với số khác Thuật tốn tìm biến đổi sơ cấp hàng ma trận A mô tả sau: ( | )→( | ) Diễn đạt lời có nghĩa biến đổi sơ cấp hàng ma trận block ( | ) ( ma trận có n hàng, 2n cột) mà bên trái nhận ma trận đơn vị E bên phải từ E nhận −1 −1 Ví dụ: Với = −1 trình tìm viết sau: −1 −1 0 1 −1 0 −1 0 → 1 −1 0 0 −2 −1 10 d) 0 0 ⎡0 −4 −4 0⎤ ⎢ ⎥ (i) = ⎢0 −4 0⎥ , Δ = 4, Δ = −16, Δ = −96, ⎢0 0 −5 3⎥ ⎣0 0 3⎦ Δ = 480, Δ = 2304 0 0 ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ 1 − − 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥,α = ,α = − , (ii) = ⎢ ⎥ ⎢ 1 ⎥ 0 − ⎢ 8⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 24 ⎣ ⎦ ; ( ) = α = ,α = − ,α = (iii) = (1,0,0,0,0), = (0,0,0, −1,0), = − + − = (0, −1,0,0,0), (0,0,0,3,5) 52 + ; = (0, −1,1,0,0), Bài 17 III.3 Phân loại đường cong mặt cong bậc hai III.3.1 Phương trình siêu mặt bậc hai: Không gian Euclid - Afin , vectơ điểm; Phương trình siêu mặt bậc hai tổng quát ( ) + ( ) + = Đưa pt siêu mặt bậc hai tổng quát dạng tắc phép quay tịnh tiến III.3.2 Phân loại đường cong mặt cong hai tắc Khảo sát mặt cong bậc hai tắc (ℝ) gọi ma trận trực giao Ma trận ∈ = , tương đương = = Như A ma trận trực giao = Nếu A ma trận vuông cấp n trực giao hệ vectơ hàng (hệ vectơ cột ) tạo thành hệ sở trực chuẩn không gian Euclid ℝ Dễ dàng thấy biến đổi trực giao, tức biến đổi có dạng [ ] = [ ] (4) với C ma trận trực giao, bảo tồn độ dài góc vectơ Để tiện sử dụng ngơn ngữ hình học ta gọi phần tử x ( vectơ x) không gian Euclid ℝ điểm Cố định sở trực chuẩn ( , , … , ) khơng gian Euclid ℝ Phương trình bậc hai tổng qt ℝ phương trình có dạng ( ) + ( ) + = 0; (5) ( ) dạng tồn phương , ⎧ ( )= ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ , , = ( )=∑ dạng tuyến tính theo ( , , … , Ta dùng biến đổi trực giao [ ] = [ ] (4) đưa dạng toàn phương dạng tắc 53 ) ⎧ ( )= ⎪ (6) ⎨ = ⎪ ⎩ Với ( , , … , ) sở tắc dạng toàn phương F(x) Sau áp dụng phép tịnh tiến = + = 1,2, … , Đưa phương trình bậc hai tổng quát nhận từ (5) sau áp dụng đổi biến (4) dạng tắc Ví dụ: Bằng biến đổi trực giao tịnh tiến hệ trục tọa độ đưa phương trình bậc hai sau dạng tắc mơ tả mặt cong tắc 35 + −2 +2 +4 −4 + − −2 − = (1) Ta có dạng tồn phương tương ứng ( )= ( , , )= + −2 +2 +4 −4 (2) có ma trận 1 = 1 −2 −2 −2 Đa thức đặc trưng | − | = ( − 2) (−4 − ) có hai vectơ riêng = (1,1,0), = (1, −1,1) ứng với trị riêng = = 2, vectơ riêng = (1,1,0) ứng với trị riêng = −4 Ta nhận hệ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng A ( , , ) với = (1,1,0), = (1, −1,1), √ = ( , √ (−1,1,2) Ma trận chuyển sở từ sở trực chuẩn ban đầu sang , ) 1 −1 ⎡ √2 √3 √6⎤ ⎢ ⎥ 1 − ⎥, = ⎢ √2 = √3 √6 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ √3 √6 ⎦ ⎣ √ Bằng biến đổi trực giao [ ] = [ ] tức 54 ⎧ ⎪ =1 √2 =1 +1 −1 √3 −1 √6 +1 √2 √3 √6 (3) ⎨ ⎪ =1 +2 √3 √6 ⎩ từ dạng toàn phương (2) ta nhận dạng tắc ( )=2 +2 −4 (4) = + + Áp dụng biến đổi trực giao (3) vào phương trình (1) ta nhận phương trình +2 −4 − √6 = hay +2 −4 + √ = hay phương trình tắc + − 2 ta áp dụng phép tịnh tiến = = = = 1 ; (5) − (6) √8 Như sau áp dụng hai phép biến đổi liên tiếp (3) sau đến (6) hay gộp lại thành biến đổi phức hợp +1 −1 + ⎧ =1 √2 √3 √6 ⎪ ⎪ =1 −1 +1 − (7) √2 √3 √6 ⎨ ⎪ ⎪ =1 +2 − √3 √6 ⎩ ta nhận (5) phương trình tắc Hypeboloit tầng trịn xoay trục ; ( , − , − ) gốc tọa độ Công thức (7) cho phép ta nhận phương trình tắc (5) thực hai biến đổi theo thứ tự ngược lại: tịnh tiến (0,0,0) → ( , − , − ) theo công thức 55 ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ sau quay theo cơng thức ⎧ = ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ =1 √2 √2 =1 + = = +1 −1 √3 − − = √3 √3 +2 56 −1 +1 √6 √6 √6 □ Bài 18 Bài tập: GTr2, III.2: 4.1.1a, b; 4.1.2a, b; 4.1.3a, b; 4.1.6a, b; 4.1.7a,b; 4.1.8a,b 4.1.1 a) b) c) √ √ √ (2,1,3, −1), √ (2,3, −3,2), √ (1,1, −1, −2), (1, −1,1,1,0), d) e) (1,2,2, −1), (2, −1, −1, −2) ; (2,5,1,3) ; √ (3,2, −3, −1) ; √ √ √ (1,1, −1,1,1) ; (1, −1, −1, −1,1), √ (1, −1,1,1,1), √ (19,41,51, −34,39) Gợi ý: a) Cơ sở ba vectơ; b) Hai vectơ đầu; c) Hai vectơ đầu; d) Hai vectơ đầu; e) Ba vectơ đầu 4.1.2 a) (2, −2, −1,0), (1,1,0, −1) ; b) (0,1,0, −1), (1,0, −1,0) ; c) (1,1,0, −3) ; d) (1,2,1,0,0), (0,3,1,1,0), (0, −3, −1,0,1) ; e) (3,1,0,11,0), (0,0,1,3,0), (−2,0,0, −4,1) Gợi ý: Không gian = ( , , … , ) khơng gian nghiệm hệ m phương trình tuyến tính n ẩn với phương trình theo thứ tự có hệ số tọa độ vectơ ( , , … , ) 4.1.3 a) (1, −1,1), (2,1,3) ; b) (1, −1,1,1), (2,1,3, −1) ; 57 c) (1,2,1,1, −1), (−1,1,1,2,1), (2, −1,3,1,2) ; d) (1, −1,0,1,1,1), (2,3,1,2,1, −1) Gợi ý: không gian sinh vectơ hàng hệ phương trình tuyến tính cho 4.1.6 a) (1, −5, −8,1); b) (115,346,116,103); c) (133,104, −363, −29); d) (137, −80,21, −14,156) 4.1.7 a) (4,3,7); b) (3,4, −6,7); c) (−6,9,27,15); d) (88, −134, −18,32) Gợi ý: a) Cơ sở trực chuẩn b) = (1,1, −1,1), c) = d) = √ √ = (1,0,0, −1), +〈 , 〉 √ (1,2, −2); (2,1,1, −2); √ = (−1,2,1, −1), ( )=〈 , 〉 = (1,2,6,1); √ = (2, −1,3, −1), √ = √ + √ 4.1.8 a) (13,20,23), ; Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn N b) (−3,6,6,3), √ ; Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn N 58 = √ (1,0,1), = √ (−1,4,1); = (1, −1,1,1), c) (13,5, −6,13), = √ (1, −2, −2, −1), √ √ (31, −15, −8,53), ; √ Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn N = (1, −1,0,1), = (1,2, −1,1), d) ( )= √ √ ( ) = √3 + √ Gợi ý: Cơ sở trực chuẩn N 1 (2,0, −1,1), = (4,6, −5, −13), = √6 √246 15 ( )= − √6 √246 59 ; Bài 19 Bài tập: GTr2, III.2 (tiếp tiết): 4.1.21a, b, c III.3.: 4.2.4a, b, c; 4.2.11a, d; 4.2.12a, b, g; 4.2.13a, c 4.1.21 Cơ sở trực chuẩn gồm toàn vectơ riêng ( , , … , ) a) , = (1, −1), = (1,1); √ √ 0 b) 18 , = (2,2,1), = (2, −1, −2), = (1, −2,2); 0 −9 0 c) , 0 27 1 (1,1,0), = (1, −1, −4), = (2, −2,1); = √2 √18 4.2.4 a) (i) = √ = 1,2,5; = √ (2,1, −1), tương ứng ( ) = √2 (ii) = √3 −√2 √ √3 √2 (iii) Xác định dương; (iv) max ‖ (0,1,1), = +2 +5 ; ; −1 ( ) = 5 tại ± ‖ (1, −1,1), √ , min‖ (v) Elipxoit với bán trục 1, , √ √ ‖ ( ) = 1 tại ± ; b) (i) = = −3, = 6; = √ (1,0, −1), = (2,1,2) tương ứng ( ) = −3 (ii) = √ 3 −4 2√2 √2 ; 2√2 60 −3 = √ (1, −4,1), +6 ; (iii) Không xác định : ( ) = −3 < < ( ) = 6; (iv) max ‖ ( ) = 6 tại ± ‖ , min‖ ( ) = −3 tại ± ‖ , ; (v) Hypeboloit hai tầng tròn xoay trục c) = 0, (i) = 2, = 3; = √ (1,0, −1), = √ (1,0,1), = (0,1,0), tương ứng ( ) = + ; 1 (ii) = 0 √2 ; √ −1 (iii) Dương không xác định dương: ( ) ≥ 0, ( ) = 0; (iv) max ‖ ( ) = 3 tại ± ‖ , min‖ ( ) = tắc mặt trụ elip trục (v) ( ) = 0 tại ± ‖ ; 4.2.11 a) (−1,1), elip; b) ,− , hypebol; c) (1, −2), hypebol; Gợi ý: Tâm đối xứng đường cong bậc hai +2 + +2 +2 + =0 = ≠ ( , trường hợp ) thỏa mãn hệ phương trình + + d) + + =0 =0 −1, , , hypeboloit tầng; 4.2.12 a) Phương trình tắc: IXY, √ , √ = 1, elip với hệ trục tắc (−1,1); hệ sở trực chuẩn tắc ( ′ , ′ ); ′ = , ′ = − √ , √ ⎧ = + , biến đổi đưa tắc − √2 + −1 ⎨ = +1 ⎩ √2 (1) hay 61 = + −1 ; = − √ √ √ ma trận phép quay góc = ma √ trận chuyển sở từ sở trực chuẩn ban đầu sang sở tắc Theo (1) để nhận hệ trục tắc tịnh tiến → ′ ′ sau quay góc đến b) Phương trình tắc: − = 1, hypebol trục IY, hệ trục tắc IXY, (1, −2); hệ sở trực chuẩn tắc ( ′ , ′ ); ′ = ,− √ , ′ = √ , , biến đổi đưa tắc + √3 +1 (2) hay −√3 + ⎨ −2 ⎪ = ⎩ ⎧ ⎪ = = + ; −2 √ = ma trận phép quay góc √ = − − ma trận chuyển sở từ sở trực chuẩn ban đầu sang sở tắc Theo (2) để nhận hệ trục tắc tịnh tiến → ′ ′ sau quay góc = − đến g) Phương trình tắc: = - parabol trục IY, hệ trục tọa độ tắc XIY; với (2,1) Hệ sở trực chuẩn tắc ( ′ , ′ ); ′ = ,− , ′ = , ứng với trị riêng tắc : Đầu tiên quay góc – ⎧ ⎨ ⎩ = , = Biến đổi đưa = (cùng kim đồng hồ cos (− ) − (− ) = sau tịnh (− ) cos (− ) −3 (1,2) Gộp lại ta đổi biến tổng hợp + ′ 4( + 1) + 3( + 2) + = = = +2 5 (7) −3 + ′ −3( + 1) + 4( + 2) −3 + = = = +1 5 ) với ma trận trực giao tiến đến với = −25, = Theo (7) ta lại thực biến đổi theo thứ tự ngược lại so với là: tịnh tiến → ′ ′ sau quay góc − đến 62 4.2.13 Gợi ý: a) − + + = 1: hypeboloit tầng trục IX; (6,3,3), hệ trục tọa độ trực chuẩn tắc IXYZ, sở trực chuẩn tắc ′ = (2,2,1), ′ = (−2,1,2), ′ = (1, −2,2) ứng với trị riêng = −1, = 2, ′ ′ +7 = Biến đổi trực giao = ′ sau tịnh tiến ′ = − , trong +2 ′ ′ C ma trận có cột thành lập theo thứ tự từ cột tọa độ ′ , ′ , ′ : −2 = −2 2 b) − + + = 1: hypeboloit hai tầng trục IX; 2, √2, −√2 , hệ trục tọa độ trực chuẩn tắc IXYZ, sở trực chuẩn tắc ′ = √ (0, −1,1), ′ = (1,0,0), ′ = = −1, = 1, √ (0,1,1) ứng với trị riêng = ′ ′ −2 Biến đổi trực giao = ′ sau tịnh tiến ′ = + , trong C ′ ′ ma trận thành lập theo thứ tự từ cột tọa độ ′ , ′ , ′ : 1 = −1 √2 1 c) + + = 1: elipxoit, hệ trục tọa độ trực chuẩn tắc IXYZ, , , −4 , ′ = sở (−8,6,0), ′ = ứng với trị riêng trực chuẩn tắc ′ = 3√2, 4√2, −5√2 , 3√2, 4√2, 5√2 = 5, = 10, = 15; Biến đổi trực giao 63 = ′ ′ ′ sau tịnh tiến ′ ′ = ′ + 3√2 , trong C ma trận có cột thành − √2 lập theo thứ tự từ cột tọa độ ′ , ′ , ′ : 3√2 −8 = 4√2 10 −5√2 64 3√2 4√2 5√2 Bài 20 Bài tập: GTr2, III.3 (tiếp tiết): 4.2.14a,b 4.2.14 a) − + + = 0: Nón trịn xoay trục OX Hệ trục tọa độ trực chuẩn tắc OXYZ; Cơ sở trực chuẩn tắc ′ = √ (−1,1,0), ′ = (0,0,1) ứng với trị riêng = 1, ′ = √ = (1,1,0), = −1 Vectơ phương nón tắc ′ Biến đổi trực giao với ma trận 1 −1 1 ; = = √2 0 √2 b) = : mặt trụ parabol trục OY Giải: Trị riêng: = = 0, = 1, vectơ riêng tương ứng ′ = ( , , 0), ′ = (− , , 0), ′ = (0,0,1) Quay quanh trục OZ theo công thức − = 0 Thế vào phương trình cho = + ta ) + (3 ) = − (3 +4 −4 Chọn cho −4 = hay = , = ta phương trình tắc = Như sở ′ = (3,4,0), ′ = (−4,3,0), ′ = (0,0,1) sở trực chuẩn tắc, hệ tọa độ tắc OXYZ.□ Kiểm tra chương 3: tiết Hà Nội 22/ 5- 2012 Giáo trình, tài liệu tham khảo TT Tình trạng giáo trình, tài liệu Có thư Giáo Đề nghị Đề nghị viện viên mua biên (website) soạn Đại số tuyến tính, Nguyễn Xn Có khoa có Viên, HVKTQS - 1996 Bài tập ĐSTT HHGT, Nguyễn Có Xuân Viên, Nguyễn Hồi Anh, Tên giáo trình, tài liệu Giáo trình: 65 Nguyễn thị Thanh Hà, Nxb QĐND - 2010 Линейная алгебра, Ильин В.А., Позняк Э.Г., Наука – Москва 1999 Tài liệu tham khảo: Linear Algebra with Application, J T Scheick, Graw- Hill-1997 Аналитической геометрии и Линейной алгебры, Беклемешев Д.В., Высшая школа – Москва 1998 3.Линейная алгебра и её применения, Г.Стренг, МирМосква 1980 66 GV có GV có GV có điện tử tiếng Nga nt ... tr125 GTr1 có chút thay đổi từ ngữ từ toán tử tuyến tính sang ánh xạ tuyến tính (VT689) 32 Bài 11 II.2.4 Ma trận ánh xạ tuyến tính Hạng ánh xạ tuyến tính Định nghĩa ma trận AXTT (trong sở { , ,... Gauss giải hệ pttt tổng quát Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt 15 Phương pháp Gauss phương pháp thực hành giải hệ m phương trình tuyến tính tổng qt n ẩn; m, n hai số nguyên... trường số quan trọng: trường số thực ℝ, trường số hữu tỷ ℚ Trường số phức ℂ : Định nghĩa số phức, phép toán số phức Mặt phẳng phức, dạng lượng giác số phức Công thức Mauvra Căn bậc n số phức: