Bài viết trình bày phương pháp tính toán biến dạng của vỏ trụ tròn có cấu tạo đối xứng cả về tải trọng lẫn kết cấu hình học. Trên các phương diện tĩnh học, hình học và vật lý, nghiên cứu đã đưa ra được công thức tổng quát tính biến dạng của vỏ trụ tròn chịu tải uốn đối xứng và áp dụng cho những trường hợp thường gặp.
ISSN 2354-0575 TÍNH TỐN BIẾN DẠNG CỦA VỎ TRỤ TRỊN CĨ CẤU TẠO ĐỐI XỨNG HÌNH HỌC, CHỊU TẢI UỐN ĐỐI XỨNG Nguyễn Minh Tuấn, Hoàng Minh Thuận, Trần Văn Quyết Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên Ngày nhận: 11/4/2016 Ngày sửa chữa: 10/5/2016 Ngày xét duyệt: 16/6/2016 Tóm tắt: Bài báo trình bày phương pháp tính tốn biến dạng vỏ trụ trịn có cấu tạo đối xứng tải trọng lẫn kết cấu hình học Trên phương diện tĩnh học, hình học vật lý, nghiên cứu đưa công thức tổng qt tính biến dạng vỏ trụ trịn chịu tải uốn đối xứng áp dụng cho trường hợp thường gặp Kết nghiên cứu ứng dụng phục vụ sản xuất đào tạo bậc cao Từ khóa: Biến dạng, Chuyển vị, Tải trọng, Mặt trung bình, Mơđun đàn hồi Đặt vấn đề Trong thực tế kỹ thuật, ta hay gặp tốn vỏ trụ trịn có cấu tạo đối xứng trục tải trọng kết cấu hình học Đó tốn xác định ứng suất nồi hình trụ chịu áp lực nước, bể chứa hình trụ có trục thẳng đứng chịu áp lực chất lỏng bên ngàm đáy vỏ Đó hai vỏ trụ chịu áp lực bên nối với mặt bích đai gia cường cứng Mối nối ngăn cản giãn nở mép vỏ liên kết với đai, đường sinh vỏ vùng gần đai bị uốn Khi nghiên cứu ứng suất nhiệt vỏ trụ cho thấy nhiệt độ không thay đổi theo chiều dày vỏ mà thay đổi theo chiều dài vỏ trụ ta có tốn thuộc họ tốn kể Do việc tính tốn biến dạng vỏ trụ có ý nghĩa quan trọng thiết kế sản xuất Đối tượng phương pháp nghiên cứu Bài tốn tính tốn mơ hình vỏ trụ trịn đối xứng, chịu áp lực vng góc với mặt vỏ Hình Muốn có phương trình cần thiết để tính 20 vỏ ta phải khảo sát phân tố tách (Hình 1) từ mặt trung bình vỏ hai mặt phẳng chứa trục vỏ làm với góc dθ hai mặt phẳng vng góc với trục vỏ cách đoạn dx, ba phương diện sau đây: tĩnh học, hình học vật lý (Định luật Hooke) Kết nghiên cứu Kết hợp ba phương diện tĩnh học, hình học vật lý, ta đến phương trình cân theo chuyển vị cho tốn vỏ trụ trịn có biến dạng đối xứng trục dạng sau [1]: d2 c d2 W m + Eh = ^ h (1a) D W qr x dx2 dx R2 Khi h = const tồn vỏ (1a) có dạng đơn giản hơn: d W + Eh = ^ h (1b) D W qr x dx R2 Trong phương trình qr(x) áp lực vng góc với mặt vỏ; h – chiều dày vỏ; E – mô đun đàn hồi kéo (nén) vật liệu vỏ; R – bán kính mặt trung bình vỏ x Eh Ta ký hiệu: k = Eh2 ; t = m ; D = ^ - 2h 12 n R 4D độ cứng vỏ; μ - hệ số Poisson; m = k Với biến số không thứ nguyên t, ta viết lại phương trình (1b) sau: d4 W D 4 + kW = qr ^mt h m dt Hay nhân hai vế với k ta có: d W + 4W = f ^ t h (2) dt 4 Trong đó: f ^ t h = k qr ^mt h hàm tải trọng ngồi Khi khơng có tải trọng ngồi f(t) = 0, ta có phương trình tương ứng: d4 W + (3) 4W = dt Khoa học & Công nghệ - Số 10/Tháng - 2016 Journal of Science and Technology ISSN 2354-0575 Nghiệm tổng qt W(t) phương trình có vế phải (2) gồm tổng nghiệm tổng quát W1(t) phương trình (3) nghiệm riêng W2(t) phương trình (2) Cụ thể là: (4) W ^ t h = W1 ^ t h + W2 ^ t h Sau tìm nghiệm phương trình đặc trưng r4 + = (3), Viện sĩ Crưlốp tổ hợp nghiệm riêng độc lập tuyến tính để có nghiệm tổng quát W1(t) (3) sau: W1 ^ t h = C1 V1 ^ t h + C2 V2 ^ t h + C3 V3 ^ t h + C4 V4 ^ t h (5) Các hàm Vk(t), (k = 1, 2, 3, 4) có tên gọi hàm Crưlốp có dạng cụ thể: V1 ^ t h = cht cos t ; V2 ^ t h = ^cht sin t + sht cos t h ; 1 V3 ^ t h = cht sin t ; V4 ^ t h = ^cht sin t - sht cos t h Các hàm Crưlốp có thuộc tính quan trọng sau đây: V1' ^ t h = - 4V4 ^ t h ; V2' ^ t h = V1 ^ t h ; V3' ^ t h = V2 ^ t h ; (7) V 4' ^ t h = V3 ^ t h Và với t = thì: V1(0) = 1; V2(0) = V3(0) = V4(0) = 0; (8) Các thuộc tính giúp xác định dễ dàng số Ck (5) Mục đích nghiên cứu nhằm cố gắng thiết lập công thức tổng quát nghiệm riêng W2(t) cho vừa đơn giản vừa dễ sử dụng cho quy luật chất tải đối xứng lên vỏ Theo phương pháp toán tử Laplace, ta ký hiệu hàm ảnh hưởng hàm ban đầu (hàm gốc) W2(t) Φ(P) với P tham số Ảnh hưởng tải trọng f(t) hàm F (P) = P # e -Pt f (t) dt Quan hệ ký hiệu là: F (P) f (t) ; quan hệ vi phân hàm ảnh hàm ban đầu W2(t) theo định lý vi phân phép toán tử thì: W2' (t) PU ; W2'' (t) & P2 U ; W2''' (t) = P3 U ; W2(IV) (t) = P U Thay quan hệ vào (2) ta có phương trình sau đây: P U + U = F (P) hay: (P + 4) U = F (P) Do đó, ảnh hàm ban đầu (hàm gốc cần F (P) tìm) là: U (P) = (9) P +4 Khai triển phân số nguyên tố ta có: P4 + =1 P+2 P-2 -1 (10) P + ^ P + 1h2 + ^ P - 1h2 + Thay kết vào (9), ta đến hàm ảnh hàm cần tìm: P+2 P-2 -1 U (P) = ; E F^ Ph ^ P + 1h2 + ^ P - 1h2 + (11) Khoa học & Công nghệ - Số 10/Tháng - 2016 Hàm gốc tương ứng với ảnh (10) là: -t -t t - t @ e cos t + e sin t e cos t + e sin t = 14 6cht sin t - Sht cos t@ = V4 ^ t h Ta tìm hàm ban đầu nghiệm riêng W2(t) (2) sau: U (P) = F^ Ph V4 ^ t h f ^ t h = f ^ t h V4 ^ t h P +1 = t # V4 ^t - xh f^xh dx = hay: W2 ^ t h = t # f ^t - xh V4 ^ xh dx = W2 ^ t h t # V4 ^t - xh f ^xh dx (12) Theo (4), nghiệm tổng quát phương trình đầy đủ (2) là: W ^ t h = C1 V1 ^ t h + C2 V2 ^ t h + C3 V3 ^ t h + C4 V4 ^ t h + t # V4 ^t - xh f ^xh dx (13) Chú ý đến quan hệ (7), đạo hàm W2(t) sau: W2' ^ t h = W '' ^ W ''' ^ th= th= t # V3 ^t - hh f^hh dh ; t # V2 ^t - hh f^hh dh ; t # V1 ^t - hh f^hh dh Các quan hệ để tính tốn thành phần nội lực xây dựng điều kiện biên vỏ Cuối từ điều kiện biên xác lập ta số C1, C2, C3, C4 Các thành phần nội lực vỏ tính theo cơng thức thông thường theo W(t) Cụ thể là: EhW ^ t h d2 W ; (14) Ni = M i = y Mx ; Mx = - D R dx2 Công thức tổng quát (12) cho phép xác định nghiệm riêng W2(t) với quy luật chất tải lên vỏ Ta khảo sát số trường hợp thường gặp: a) Trường hợp tải trọng phân bố dọc theo dải hẹp đường sinh vỏ (Hình 2): Hình l h q= Ta đặt qr ^ t= const a0 # t # L = k theo (12) ta có: t t W2 ^ t h = q0 # W4 ^t - xh dx = - q0 # V1' ^t - xh dx = 14 q0 ^1 - cht cos t h Journal of Science and Technology 21 ISSN 2354-0575 b) Khi tải trọng phân bố đoạn [a;b] dải đường sinh (Hình 3): a Ta ký hiệu: b1 = L ; b2 = b , ^ b1 # t # b2h L Khi đó: W2 ^ t h = q0 b2 # b1 V4 ^t - xh dx = - q0 = 14 q0 6V1 ^t - b2h - V1 ^t - b1h@ b2 # b1 V1' ^t - xh dx Hình c) Trường hợp tải trọng tập trung phân bố x = a vành có chu vi mặt cắt trịn a ( L = b1 ) (Hình 4): Hình Gọi δ(x – a) hàm xung Dirác, ta viết phương trình (1b) theo δ(x – a) sau: d4 W + D kW = q0 d ^ x - ah dx & q0 d4 W + 4W = kL d ^t - b1h dt (15) Thực phép tính trường hợp q0(x) có quy luật ta đến phương P kL trình ảnh (15) U ^ P h = P +4 nghiệm riêng (15) có dạng: q0 W2 ^ t h = kL V4 ^t - a1h v ^t - a1h Ở σ0(t – α1) hàm xung đơn vị Heaviside Kết luận Nghiên cứu vừa giới thiệu cho phép giải hai nhiệm vụ phục vụ sản xuất đào tạo bậc cao Về phương diện ứng dụng vào sản xuất cơng cụ đắc lực giúp nhà thiết kế nhanh chóng thu câu trả lời xác độ bền độ cứng vỏ để thiết kế cách tối ưu thời gian, sức lực tiền bạc Về phương diện đào tạo, cho phép nâng cao chất lượng, nội dung đào tạo nhằm chống thiếu hụt kiến thức cho học viên sau đại học điều kiện quỹ thời gian eo hẹp khối lượng kiến thức cần cho họ ngày nhiều Tài liệu tham khảo [1] Đặng Việt Cương (2008), Sức bền vật liệu toàn tập, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [2] Bùi Trọng Lựu, Nguyễn Văn Vượng (2008), Bài tập Sức bền vật liệu, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Đặng Việt Cương, Khổng Doãn Điền, Nguyễn Trọng Hùng, Nguyễn Minh Tuấn (2012), Giáo trình Cơ học ứng dụng 2, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Lều Thọ Trình (2001), Cơ học kết cấu, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [5] Trần Minh Tú (2011), Bài giảng Lý thuyết vỏ mỏng, Trường Đại học Xây dựng Hà Nội CALCULATING DEFORMATION OF CYLINDRICAL SHELL WITH SYMMETRICAL GEOMETRIC STRUCTURE, SYMMETRICAL BENDING LOAD Abtract: This paper presents a method for calculating the deformation of the cylindrical shell with symmetrical structure both in payload and geometric structure In cornerstones of statics, geometry and physics, researcher have come up with a general formula for calculating deformation of cylindrical shell with symmetrical bending load The research results can be applied in the service of production and higher education Keywords: Deformation, Transposition, Load, Average Surface, Elastic Modulus 22 Khoa học & Công nghệ - Số 10/Tháng - 2016 Journal of Science and Technology ... chất tải lên vỏ Ta khảo sát số trường hợp thường gặp: a) Trường hợp tải trọng phân bố dọc theo dải hẹp đường sinh vỏ (Hình 2): Hình l h q= Ta đặt qr ^ t= const a0 # t # L = k theo (12) ta có: ... thuộc tính giúp xác định dễ dàng số Ck (5) Mục đích nghiên cứu nhằm cố gắng thiết lập công thức tổng quát nghiệm riêng W2(t) cho vừa đơn giản vừa dễ sử dụng cho quy luật chất tải đối xứng lên vỏ. .. độc lập tuyến tính để có nghiệm tổng qt W1(t) (3) sau: W1 ^ t h = C1 V1 ^ t h + C2 V2 ^ t h + C3 V3 ^ t h + C4 V4 ^ t h (5) Các hàm Vk(t), (k = 1, 2, 3, 4) có tên gọi hàm Crưlốp có dạng cụ thể: