Đề cương bài giảng môn Đại số và Hình học giải tích

ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Thời gian: Tuần Tiết 1-4 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Mệnh đề toán học phép toán logic Các mục 1.2 Tập hợp 1.3 Ánh xạ Mục đích - Giới thiệu mục đích, ý nghĩa môn học yêu cầu - Nắm nội dung lý thuyết tập khái niệm ánh xạ NỘI DUNG I LÝ THUYẾT Chương I TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC VÀ CÁC PHÉP TÍNH LOGIC 1.1.1 Mệnh đề tốn học: Là khẳng định mang ý nghĩa sai Khơng có mệnh đề nửa nửa sai Thí dụ 1.1 “ > 3” : Mệnh đề “Áo đội màu nâu” : Mệnh đề sai 1.1.2 Các phép toán logic mệnh đề Giả sử ta có mệnh đề A, B, C… a) b) c) d) e) Phép phủ định A : Mệnh đề A nhận giá trị A sai, nhận giá trị sai A Phép Hội  : Mệnh đề A  B nhận giá trị A B Phép Tuyển  : Mệnh đề A  B nhận giá trị sai A B sai Phép kéo theo  : Mệnh đề A  B nhận giá trị sai A B sai Phép Tuyển loại trừ  : Mệnh đề A  B nhận giá trị A B sai A sai B Bảng chân trị A B 0 1 1 A 1 0 A B A B A B A B A B 0 1 1 1 1 0 1 1.1.3 Điều kiện cần, điều kiện đủ Nếu A  B A gọi điều kiện đủ B, B gọi điều kiện cần có A Nếu A  B A gọi điều kiện cần đủ B ngược lại 1.1.4 Vị từ Như biết, mệnh đề câu khẳng định có ý nghĩa sai rõ ràng Tuy nhiên, thực tế có câu khẳng định mà giá trị chân lý hay sai tùy thuộc vào hay nhiều yếu tố chưa cụ thể (biến) Thí dụ 1.2 Khằng định “ x>5” có giá trị x=7 có giá trị sai x=2 a) Hàm mệnh đề Hàm P  x1 , x2 , , xn  xác định tập A gọi hàm mệnh đề n-ngôi A thay x1  a1 , x2  a2 ,, xn  an với  A , i  1, n P  a1 , a2 , , an  mệnh đề Thí dụ 1.3 P(x) = “x>5” : Là hàm mệnh đề R; P(x,y,z) = “x>y, y>z” : Là hàm mệnh đề R Trong vị từ người ta thường dụng lượng từ: Lượng từ riêng  , đọc “ tồn tại”, “có” hay “ có một”…hay Lượng từ chung  , đọc “ với mọi”, “ tất cả”,… Sự kết hợp hay nhiều lượng từ hàm mệnh đề tạo mệnh đề Những mệnh đề gọi vị từ Thí dụ 1.4  x P(x): Là khẳng định tồn x để P(x) đúng;  x P(x) : Là khẳng định với giá trị x P(x)  x y P(x,y): Là khẳng định tồn giá trị x để P(x,y) với giá trị y b) Phép toán phủ định vị từ i) x P(x) = x P ( X ) ii) x P(x) = x P( X ) Thí dụ 1.5 Để định nghĩa dãy {an} có giới hạn a, người ta viết:   0, k  N , n  k  an  a   Vì vậy, để khẳng định {an} phân kỳ khơng phải có giới hạn a, ta cần ra:   , k  N , n  k cho an  a   Hệ : i) ii) x P(x)  Q(x)  x P(x)  Q( x) x P(x)  Q(x)  x P(x)  Q( x) 1.2 TẬP HỢP 1.2.1 Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm bản, khơng định nghĩa Tuy nhiên giải thích: Một tập hợp bao gồm đối tượng xác định hợp thành Mỗi đối tượng gọi phần tử tập hợp Kí hiệu tập hợp: A, B, C Nếu x phấn tử tập A ta viết xA, cịn y khơng phải phần tử tập A ta viết xA 1.2.2 Mô tả tập hợp: Có phương pháp a) Liệt kê phần tử tập hợp Thí dụ 1.6 S ={1,2,3,a,c} Khi : 3,aS 5,6,bS b) Nêu tính chất đặc trưng phần tử Thí dụ 1.7 B = {số nguyên, dương chẵn} Khi 2,4,8B 1,13,-8B c) Một số tập hợp đặc biệt - Tập rỗng  ={} - Tập số tự nhiên N ={0,1,2,3, } - Tập số nguyên Z = {0,  1, 2, 3 } - Tập số hữu tỷ Q = {p/q p,qZ , q0} - Tập số thực R = { Các số hữu tỷ vô tỷ} d) Hai tập A B gọi hai tập nhau: Nếu chúng có phần tử A = B  (xA xB) (yB  yA) e) Bao hàm tập Tập hợp A gọi tập tập B , phần tử A B A  B  (xA  xB) Cách viết khác tập con: A  B - Đọc : A tập tập B, A nằm B; B  A - Đọc : B chứa A , B bao hàm A Như vậy, A = B A tập tập B B tập tập A Thí dụ 1.8 Cho C ={ 1, 2, 5} D={ 1,2,3,4,5} ta thấy C  D Tập tất tập tập A gọi tập 2A Thí dụ 1.9 Nếu A={ 1,2,3} 2A ={, {1},{2},{3}, {1,2},{1,3},{2.3},{1,2,3} } Dễ dàng chứng minh được: Nếu A có n phần tử 2A có 2n phần tử (!) Để mơ tả mối quan hệ tập hợp người ta thường dùng sơ đồ Ven Chẳng hạn, mô tả quan hệ A  B sơ đồ: A 1.2.3 a) b) c) d) B Các phép toán tập hợp Phép giao  : AB = { x | xA xB} AB = { x | xA xB} Phép hợp  : A-B = A\B = { x | xA xB} Phép trừ - : Tập phần bù : Giả sử A tập U Phần bù tập A U tập Ac hay A = {xU | xA} =U-A Nếu A tập "vũ trụ", nghĩa tập cần xét xem tập U, nói gọn lại Ac phần bù tập A Thí dụ 1.10 Cho A ={1,2,3,4,9} B = { 3,4,5,8} U ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Khi AB = {1,2,3,4,5,8,9} AB = {3,4 } A-B = {2,9} Ac = {0,5,6,7,8} 1.2.4 Tính chất phép toán tập hợp a) Kết hợp : (AB)C = A(BC) (AB)C = AB(C) b) Giao hoán : AB = BA B = BA c) Phân phối : (AB) C = ( AC)(BC) (AB) C = (AC)  (BC) d) Hai lần bù : (Ac)c =A e) Luật DeMorgan: (AB)c = Ac  Bc ) (AB)c = Ac  Bc 1.2.5 Tích Des Cartes Giả sử A, B , C tập hợp {Ai}i=1,2,…,n họ n tập hợp Khi ký hiệu: AB = {(x,y)| xA yB} ABC = {(x,y,z)| xA, yB zC } n  Ai  A1  A2  An = {(x1,x2 ,…,xn)| xiAi ; i=1,2,…,n } i 1 xi gọi tọa độ thứ i phần tử (x1,x2 ,…,xn) Trường hợp riêng, A1  A2    An  A : An = {(x1,x2 ,…,xn)| xiA ; i=1,2,…,n } n Dễ dàng chứng minh : N(A1A2…An) =  N ( Ai ) i 1 1.2.6 Phủ phân hoạch Cho S là họ tập tập A : S = (Ai), i=1,2, ,n Khi S gọi phân phủ tập A n  Ai = A i=1 Nếu S phủ A tập Ai rời đơi S gọi phân hoạch A Thí dụ 1.11 Ba tập A   x  R | x  0 , B   x  R | x  0 , C  0 phân hoạch tập R 1.3 ÁNH XẠ 1.3.1 Khái niệm ánh xạ: Ánh xạ từ tập E đến tập F qui luật f, liên hệ E F, cho tác động vào phần tử x thuộc tập E sinh phần tử thuộc tập F f Ký hiệu f : E  F hay E  F Gọi E Tập nguồn F tập đích Nếu f tác động vào x  E sinh y  F ta viết y  f ( x) hay y  x3  với E  F  R ; y  [x] với E  R, F  Z ; y  sin x  với E  F  R Cho tập sinh viên lớp E tập chỗ ngồi phòng học F, f ( x) chỗ ngồi sinh viên x 1.3.2 Tập ảnh: Giả sử f : E  F , - Tập ảnh ánh xạ f là: f ( E )  {y  F | x  E : y  f ( x)} - Tập ảnh tập A  E qua ánh xạ f là: f ( A)  {y  F | x  A : y  f ( x)} 1.3.3 Đơn ánh: Ánh xạ f : E  F gọi đơn ánh từ x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) hay từ f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 1.3.4 Toàn ánh: Ánh xạ f : E  F gọi một toàn ánh (ánh xạ tràn) f ( E )  F 1.3.5 Song ánh: Ánh xạ f : E  F gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Thí dụ 1.13 Xét ánh xạ: y  x3  với E  F  R : Là đơn ánh, toàn ánh nên song ánh y  [x] với E  R, F  Z : Là tồn ánh , khơng đơn ánh y  sin x  với E  F  R : Khơng đơn ánh, khơng tồn ánh 1.3.6 Ánh xạ ngược song ánh: Cho song ánh f : E  F tồn ánh xạ g : F  E xác định sau x  g ( y ) y  f ( x) Ánh xạ ngược ánh xạ f thường ký hiệu f 1 Thí dụ 1.12 Một số ánh xạ : Thí dụ 1.14 Ánh xạ y  x  với E  F  R song ánh Do đó: x  f 1 ( y )  Dễ dàng thấy f song ánh f 1 song ánh  f Song ánh f : E  F tạo quan hệ 1-1 tập E F  1 1 y 1  f 1.3.7 Hợp (tích) hai ánh xạ Cho f : E  F g : F  G Tích hai ánh xạ f g, ký hiệu g f : E  G , xác định f g sau: x  E   y  f ( x)   z  g ( y ) Nói khác z  g f ( x)  g[f ( x)] Thí dụ 1.15 Giả sử f : y  sin( x) g : z  log( y ) g f : z  log(sin x)  Các tính chất (tự CM) - Hợp hai đơn ánh đơn ánh; - Hợp hai toàn ánh toàn ánh - Hợp hai song ánh song ánh Giả sử f : E  F song ánh f 1 song ánh Khi x  E I E ( x)   f 10 f  ( x)  f 1[f ( x)]  x; : IE ánh xạ đồng E Tương tự, y  F I F ( y )   f f 1  ( y )  y : IF ánh xạ đồng F ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Thời gian: Tuần Tiết 5-8 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.4 Luật hợp thành Các mục 1.5 Sơ lược cầu trúc đại số 1.6 Số phức Mục đích - Giới thiệu sơ lược cấu trúc đại số: Nhóm, vành, trường yêu cầu - Nắm khái niệm trường số phức C số ứng dụng NỘI DUNG I LÝ THUYẾT 1.4 LUẬT HỢP THÀNH TRONG 1.4.1 Định nghĩa: Luật hợp thành tập E, hay phép toán E quy luật tác động lên hai phần tử E tạo phần tử f f :EE  E x, y  E   z  f ( x, y )  E Thường ký hiệu: z  x * y Thí dụ 1.16 - Luật cộng N : + - Luật nhân R : × - Luật chia R-{0}: / 1.4.2 Tính chất Giả sử * luật hợp thành tập E Khi đó: a) Giao hốn: Luật * gọi có tính chất giao hốn x, y  E  x * y  y * x b) Kết hợp: Luật * gọi có tính chất kết hợp x, y, z  E  ( x * y )* z  x *( y * z ) c) Có phần tử trung hịa: Luật * gọi có phần tử trung hòa e e  E x  E  x * e  e * x  x d) Phần tử đối xứng: Giả sử Luật * gọi có phần tử trung hịa e Phần tử x  E gọi có phần tử đối xứng x ' x '  E : x * x '  x '* x  e Thí dụ 1.17 - Luật + N có tính chất giao hốn, kết hợp, có phần tử trung hịa có phần tử có phần tử đối xứng Luật × Q hay R có tính chất giao hốn, kết hợp, có phần tử trung hòa phần tử khác có phần tử đối xứng 1.5 SƠ LƯỢC VỀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ Trên tập hợp ta trang bị hay nhiều phép tốn với số tính chất xác định tạo đố tượng toán học gọi cấu trúc đại số 1.5.1 Cấu trúc nhóm Giả sử tập G   có trang bị phép tốn * Khi (G,*) gọi có cấu trúc nhóm, gọi tắt nhóm G, thỏa tính chất: a) Luật * có tính kết hợp; b) Luật * có phần tử trung hịa, ký hiệu e; c) Mọi phần tử G có phần tử đối; d) Nếu luật * có tính chất giao hốn G gọi nhóm Abel Thí dụ 1.18 (Z,+) (R-{0},×) nhóm Abel, (R,×) khơng phải nhóm  Một số tính chất nhóm Giả sử (G,*) nhóm, đó: i) Phần tử trung hòa nhất; ii) Mỗi phần tử a  G có phần tử đối a’; iii) Trên nhóm G có quy tắc giản ước: a * x  a * y  x  y ; iv) Trên nhóm G phương trình a * x  b có nghiệm x  a '* b 1.5.2 Cấu trúc vành Giả sử tập A   có trang bị hai phép tốn + × Khi (A,+,×) gọi có cấu trúc vành, gọi tắt vành A, thỏa tính chất: i) (A,+) nhóm giao hốn, phần tử trung hịa ký hiệu 0; ii) Luật × có tính kết hợp; iii) Luật × có tính phân phối hai phía luật +, nghĩa là: a, b, c  A  a  (b  c)  a  b  a  c a, b, c  A  (a  b)  c  a  c  b  c ; iv) Luật × có tính chất giao hốn; Ngồi ra: v) Nếu luật × có tính chất giao hốn A gọi vành giao hốn; vi) Nếu luật × có phần tử trung hịa, ký hiệu 1, A gọi vành có đơn vị; vii) Nếu vành A có tính chất: a  b   a  b  gọi lag vành ngun Thí dụ 1.19 (Z,+,×), (Q,+,×) (R,+, ×) vành giao hốn, có đơn vị nguyên 1.5.3 Cấu trúc trường Giả sử tập K   có trang bị hai phép tốn + × Khi (K,+,×) gọi có cấu trúc trường, gọi tắt trường K, thỏa tính chất: a) K vành giao hốn, có đơn vị; b) Với a  K , a  (phần tử trung hòa luật +) tồn phần tử nghịch đảo (phần tử đối xứng luật ×), ký hiệu a-1 Thí dụ 1.20 (Q,+,×) (R,+, ×) trường  Một số tính chất trường (tự CM) Giả sử (K,+,×) trường, đó: i) K vành ngun; ii) (K-{0},×} nhóm; iii) Trong trường K, phương trình ax=b với a=0 có nghiệm x  a 1  b 1.6 SỐ PHỨC 1.6.1 Khái niệm ban đầu số phức Bộ ba  R, ,   tạo trường số thực R Mặc dù R rộng, R  Q  Z  N nên có ứng dụng lớn tính tốn, R phương trình đơn giản x   vơ nghiệm Vì cần phải mở rộng trường R để giải toán phức tạp nảy sinh KHKT kinh tế Ban đầu, người ta đặt i  1 gọi số ảo Rõ ràng i nghiệm phương trình x   Số ảo từ ứng dụng khâ hiệu Nhưng cách tiếp cận số phức không tự nhiên  Định nghĩa số phức: Số phức cặp số thực: z  (a, b) với a, b  R Đặt Re( z )  a gọi phần thực sổ sô phức z, Im( z )  b gọi phần ảo số phức z tập tất số phức C 1.6.2 Trường số phức Trên tập C ta định nghĩa hai phép toán cộng nhân Giả sử z  (a, b) z '  (a ', b ')  C , đó: z  z '  (a, b)  (a ', b ') : (a  a ', b  b ') z.z '  (a, b)  (a ', b ') : (aa ' bb ', ab ' a ' b) Dễ dàng kiểm tra lại  C , ,   trường, gọi trường số phức C (2,3)  (4,5)  (6,8) (2,3)  (4,5)  (2.4  3.5, 2.5  4.3)  (7, 22) 1.6.3 Mặt phẳng phức Có thể ký hiệu số phức x, y, z… Mỗi số phức z  (a, b) tương ứng 1-1 với cặp số thực nên hồn tồn biểu diễn điểm M(a,b) mặt phẳng Oxy Vì mặt phẳng Oxy gọi mặt phẳng phức Trong đó: Ta đồng số phức có phần ảo 0: z  (a, 0)  a Vì số thực coi trường hợp riêng số phức trục Ox gọi trục thực Kiểm tra lại: a  b  (a, 0)  (b, 0)  (a  b, 0) ab  (a, 0)(b, 0)  (ab  0, a.0  b.0)  (ab, 0) a  a  (a, 0)  (a, 0)  (a  a, 0)  (0, 0)  Thí dụ 1.21 aa 1  (a, 0)(a 1 , 0)  (aa 1 , 0)  (1, 0)  1.6.4 Tích số phức với số thực Cho z  (a, b)  C ,   R Ta có .z  ( , 0).(a, b)  ( a, b) hay  (a, b)  ( a, b) 1.6.5 Các dạng số phức Trục Oy gọi trục ảo Mỗi số phức Oy có dạng z  (0, b) , gọi số ảo Đặt i  (0,1) , gọi đơn vị ảo Ta có: (0, b)(0, b)  (b , 0)  b  R , (0, b)  b(0,1)  b.i y 2 Do i  1 nên i nghiệm phương trình x   b M ( a, b) Cần ý: i k  1, i k 1  i, i k   1, i k 3  i - Dạng chuẩn số phức: z  (a, b)  a  bi 11 Xét mặt phẳng phức Điểm M (a, b)  z  a  bi    2 Đặt   (Ox, OM )  arg( z )   a  b  Modul ( z ) | z | O a Khi đó: z  (a, b)   (cos   i sin  ) : Dạng lượng giác số phức Từ công thức Euler: ei  cos   i sin  suy z   ei : Dạng Euler số phức 1.6.6 Các phép toán số phức Giả sử z  (a, b)   (cos   i sin  )   ei z '  (a ', b ')   '(cos  ' i sin  ')   ' ei ' a) Hai số phức nhau: z  z '   a  a ' b  b '       '    ' 2k  x b) Tích hai số phức: z.z '    ' ei (  ') hay | z.z ' |   ' | z | | z ' | arg( z.z ')     '  arg( z )  arg( z ') z   ei (  ') hay c) Thương hai số phức: Với z '  ta có z' ' z  |z| z 1   arg       '  arg( z )  arg( z ') , đặc biệt arg     '   arg( z ') z'  ' | z'|  z'  z' d) Lũy thừa khai + z n   n ein hay | z n |  n , arg  z n   n  n.arg( z ) Công thức Moivre: z n   n (cos n  i sin n ) + n z  n  e i  n e i   k n  n     c os   2k n  i sin   2k  n   Như n z có n giá trị khác nhau, tương ứng với k  0,1, 2, , n  , mặt phẳng phức chúng tạo thành n đỉnh đa giác n cạnh   k   k  i.sin , k  0, Thí dụ 1.22 1 có giá trị khác zk  cos 3   k  0, z0  cos  i.sin   i Với , k  1, z1  cos   i.sin   1 3 2 5 5 k  2, z2  cos  i.sin  i 3 2 e) Tổng hiệu hai số phức: z  z '  (a  a, b  b ') y z+z’ Từ mặt phẳng phức dễ thấy: z  z ' | z |  | z ' | z z’ O 1.6.7 Số phức liên hợp: Đặt z  a  bi gọi số phức liên hợp số phức z x Trên mặt phẳng phức z đối xứng với z qua trục hoành z.z  a  b | z |2 R  Tính chất: z  z , z  z  2a  R z z   z z z | z |  4i    i Thí dụ 1.23  4i  25 25  Khử số phức mẫu số: Do 1.6.8 Giải phương trình bậc trường số phức Xét phương trình Ax  Bx  C  với A, B, C  R trường số thực, A  Ta có thuật tốn: + Tính   B  AC B   ; + Nếu   phương trình có hai nghiệm thực phân biệt: x1,2  2A B + Nếu   phương trình có nghiệm kép: x1  x2  ; 2A + Nếu   phương trình vơ nghiệm Tuy nghiên, phương trình Ax  Bx  C  trường số phức, với A  ln có hai B   nghiệm phức: x1,2  2A  B  i  Nếu A, B, C  R   phương trình có hai nghiệm phức liên hợp: x1,2  2A ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG Đơn vị: Bộ mơn Tốn, Khoa CNTT Học phần: ĐẠI SỐ & HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Thời gian: Tuần Tiết 9-12 Giáo viên: Nguyễn Trọng Toàn GV giảng 4, HV tự học: Chương TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ Các mục 1.7 Đa thức Chữa tập chương Mục đích - Giới thiệu đa thức , tính chất phép tốn yêu cầu - Học viên cần nắm khái niệm số phức thành thạo phép tính số phức NỘI DUNG I LÝ THUYẾT 1.7 ĐA THỨC 1.7.1 Khái niệm đa thức Cho số tự nhiên n trường K hàm có dạng: p  x   a  a1 x  a2 x   an x n với a0 , a1 , , an  K (ThườngK R C) + Nếu an  ta nói đa thức p  x  có bậc n; + Nếu a1  a2   an  a0  ta nói đa thức p  x  có bậc ( p  x   số  ); + Nếu a0  a1  a2   an  ta nói đa thức p  x  có bậc  ( p  x   ) Đa thức hàm đơn giản, dễ tính giá trị, đạo hàm nguyên hàm 1.7.2 Chia đa thức cho đa thức bậc nhỏ Thí dụ 1.24 Giả sử ta cần chia p  x   -6+x  x  x cho q  x   -1- x  x  x  x3  x6 x5 x3  x  x  x5  x  x3  x x2  x   x  6x  x + x   x  x3  x + x  x3 6  5x  x + 5x  5 x  5x  11 Ta viết viết: x5  x3  x   ( x  x  x  1)( x  x  5)  (5 x  5x  11) Tổng quát, giả sử p  x  đa thức bậc n q  x  đa thức bậc m (m